9.3 — Applications of the Derivative (অন্তরজের প্রয়োগ)¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: অন্তরজ (derivative) শুধু ঢাল মাপার যন্ত্র নয় — এটা দিয়ে আমরা function-কে সরলরেখা দিয়ে আসন্ন করি (linear approximation), সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন (maximum/minimum) খুঁজি, বাঁক (concavity) বুঝি, নিখুঁত graph আঁকি, parabola–ellipse–hyperbola (conic section) চিনি, iteration $x_{n+1}=F(x_n)$ দিয়ে সমীকরণ সমাধান করি, Newton's method দিয়ে বিদ্যুৎ-গতিতে root বের করি, আর সবশেষে Mean Value Theorem (মধ্যমান উপপাদ্য) ও l'Hôpital's Rule দিয়ে পুরো বিষয়টার ভিত্তি প্রমাণ করি। Strang-এর Chapter 3-এর আটটা section এখানে লাইন-ধরে-ধরে, একদম বেসিক থেকে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

আগের অধ্যায়ে (9.2) আমরা derivative-এর সংজ্ঞা শিখেছি: $\dfrac{df}{dx}$ মানে "ঠিক এই বিন্দুতে function কত দ্রুত বদলাচ্ছে" — অর্থাৎ tangent line (স্পর্শক রেখা)-এর ঢাল। কিন্তু ঢাল বের করে লাভ কী? এই অধ্যায় সেটারই উত্তর — ঢাল দিয়ে কী কী করা যায়।

বইটা শুরু হয়েছিল একটা সরলরেখা $f = vt$ দিয়ে (বেগ ধ্রুবক হলে দূরত্ব রৈখিক)। কিন্তু বেগ $v(t)$ বদলাতে শুরু করলেই $f=vt$ ভেঙে পড়ে। সমাধান? খুব ছোট সময়-ব্যবধানে বেগকে প্রায় ধ্রুবক ধরা। এক মুহূর্তের জন্য $f(t)$ তার tangent line-এর কাছেই থাকে — এই একটাই স্বজ্ঞা পুরো অধ্যায়ের হৃৎপিণ্ড:

\[f = vt \text{ completely wrong}, \qquad \Delta f \approx v\,\Delta t \text{ almost true}, \qquad df = v\,dt \text{ exactly true}.\]

এই একটা ধারণা থেকেই বহু local model-এ linear approximation আসে। Optimization-এ differentiable interior extremum হলে $df/dx=0$ একটি necessary condition; endpoint ও derivative-না-থাকা critical point-ও আলাদাভাবে check করতে হয়। আর উপযুক্ত hypothesis-এ $0/0$ বা $\infty/\infty$ limit-এর জন্য l'Hôpital's Rule কাজে লাগে।

মূল স্বজ্ঞা

Function-টা জটিল হলেও, এক বিন্দুর খুব কাছে সেটা প্রায় সরলরেখা — সেই রেখার ঢালই $f'(x)$। এই "কাছে গেলে সব কিছু সরল" ধারণাটা ধরে রাখলে অন্তরজের প্রতিটা প্রয়োগ (আসন্নীকরণ, max–min, Newton, MVT) নিজে থেকেই খুলে যায়।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

২.১ Linear Approximation (রৈখিক আসন্নীকরণ)¶

Section 2.3-এ আমরা $y=f(x)$ curve-এর tangent line পেয়েছিলাম। বিন্দু $x=a$-তে curve ও line-এর ঢাল একই, $f'(a)$। রেখার উপরের বিন্দুর জন্য $y=f(a)$ থেকে শুরু করে ঢাল-গুণ-"বৃদ্ধি" $(x-a)$ যোগ করি:

\[Y = f(a) + f'(a)\,(x-a).\]

এখানে বড় হাতের $Y$ হলো রেখা, ছোট হাতের $y$ হলো curve। tangent-এর পুরো মজাটাই এই — বিন্দুটার কাছাকাছি এরা প্রায় সমান (যদি আমরা $a$ থেকে বেশি দূরে না যাই):

\[f(x) \approx f(a) + f'(a)\,(x-a).\]

Tangent line as the linear approximation of a curve

কিড-চিত্র: নীল curve $y=x^2$ আর কমলা tangent রেখা স্পর্শবিন্দুর কাছে প্রায় মিশে থাকে (হলুদ অঞ্চল), কিন্তু দূরে গেলে ফাঁক (সবুজ) বাড়ে — এটাই linear approximation।

Strang-এর ধ্রুপদী উদাহরণ: $y=\sqrt{x}$, $a=100$। তখন $\sqrt{100}=10$, ঢাল $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{20}$। কাছের সংখ্যা $102$-এর জন্য:

\[\sqrt{102} \approx 10 + \frac{1}{20}(102-100) = 10 + \frac{2}{20} = 10.1.\]

ক্যালকুলেটরে $\sqrt{102}=10.0995$ — মাত্র $0.0005$ ভুল! বিন্দু থেকে যত দূরে যাই, ভুল তত বাড়ে (নিচের টেবিল দেখো)। এখানে রেখা curve-এর উপরে, কারণ curve-টা "নিচের দিকে বাঁকা" (concave downward) — এর tangent সবসময় উপরে থাকে।

Square root function y equals sqrt x and its tangent line at x equals 100

চিত্র ৩.১: $Y(x)$ হলো $\sqrt{x}$-এর linear approximation, $x=a=100$-এর কাছে। $x$ যত $100$ থেকে দূরে যায়, নির্ভুলতা তত কমে — tangent রেখা curve ছেড়ে চলে যায়।

$a$ থেকে $x$-এ যাওয়ার বদলে যদি $x$ থেকে $\Delta x$ দূরত্বে $x+\Delta x$-এ যাই, একই গণিত অন্য অক্ষরে দাঁড়ায় — যেকোনো মসৃণ (smooth) function-এর জন্য সর্ব-উদ্দেশ্য সূত্র:

\[f(x+\Delta x) \approx f(x) + \big(\text{slope at } x\big)\,\Delta x.\]

দুটো খুব গুরুত্বপূর্ণ আসন্নীকরণ ($x$ শূন্যের কাছে):

\[(1+x)^n \approx 1+nx, \qquad \frac{1}{(1+x)^n} \approx 1-nx.\]

(দ্বিতীয়টা প্রথমটায় $n \to -n$ বসিয়ে পাওয়া যায়।) কিন্তু সাবধান — $(1.01)^{100}$-এর জন্য এটা বলে $1+100(0.01)=2$, অথচ আসল মান $2.7\ldots$ (এটাই Chapter 6-এর বিখ্যাত $e$!)। কারণ binomial-এর $(\Delta x)^2$ পদটা এখানে আর ছোট নয়। সাধারণ নিয়ম: linear approximation-এর ভুল $(\Delta x)^2$-এর মাপের — রৈখিক আসন্নীকরণ, দ্বিঘাত ভুল।

Differentials (অন্তরকলা)¶

একই আসন্নীকরণের আরেকটা লিখন-পদ্ধতি — যা প্রায়ই ব্যবহৃত হয়। এতদিন $dx, dy$-এর আলাদা মানে ছিল না; এখন এরা $x,y$-এর মতো স্বাধীন চলক হয়ে যায়, নাম differential। $dx$ ও $\Delta x$ দুটোই "আড়াআড়ি দূরত্ব" মাপে, কিন্তু $\Delta y$ (curve-এর পরিবর্তন) আর $dy$ (tangent রেখার পরিবর্তন) সমান নয়:

\[dy = f'(x)\,dx.\]

Differential dy along the tangent versus the true change delta y along the curve

চিত্র ৩.২: $\Delta y$ হলো curve বরাবর সত্যিকারের পরিবর্তন, আর $dy=f'(x)\,dx$ হলো tangent রেখা বরাবর তার linear approximation। এই দুটোর পার্থক্যই আসন্নীকরণের ভুল।

উদাহরণ: $y=x^2 \Rightarrow dy=2x\,dx$। কয়েকটা differential-নিয়ম: $d(x^n)=nx^{n-1}dx$, $d(\sin x)=\cos x\,dx$, $d(fg)=f\,dg+g\,df$। যাই হোক, $d$-গুলো "কাটাকাটি" করা কঠোরভাবে নিষিদ্ধ — $dy=(dy/dx)\,dx$ কোনো ভগ্নাংশের কাটাকাটি নয়, এটা একটা সংজ্ঞা।

পরম, আপেক্ষিক ও শতকরা পরিবর্তন। পরিবর্তন তিনভাবে মাপা যায়: পরম $\Delta f$, আপেক্ষিক $\Delta f/f(x)$, শতকরা $(\Delta f/f)\times 100$। আপেক্ষিক পরিবর্তন প্রায়ই বেশি বাস্তবসম্মত। যেমন পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $r=4000$ মাইলে $80$ মাইল ভুল হলে ($2\%$ আপেক্ষিক), আয়তন $V=\tfrac{4}{3}\pi r^3$-এ ভুল হয় $dV=4\pi r^2\,dr$, অর্থাৎ $6\%$ — ব্যাসার্ধের $2\%$ ভুল আয়তনে $6\%$ হয়ে যায়।

২.২ Maximum ও Minimum (সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন) — Critical Points¶

দুটো সহজ প্রশ্ন দিয়ে শুরু। $df/dx$ ধনাত্মক হলে function বাড়ছে; ঋণাত্মক হলে কমছে:

\[\frac{df}{dx} > 0 \Rightarrow f \text{ increasing}, \qquad \frac{df}{dx} < 0 \Rightarrow f \text{ decreasing}.\]

তৃতীয় প্রশ্নটাই আসল: সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন কোথায়? স্বাভাবিক উত্তর — যেখানে ঢাল শূন্য। কারণ সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন বিন্দুতে function বাড়া থেকে কমায় (বা উল্টো) বদলায়, তাই ঠিক সেখানে tangent সমতল, $f'(x)=0$।

At a peak or valley the slope of the curve is zero

কিড-চিত্র: চূড়া (local max) আর খাদ (local min) — দুই জায়গাতেই tangent রেখা অনুভূমিক, অর্থাৎ ঢাল $=0$। এটাই max–min খোঁজার মূল সূত্র।

উদাহরণ: $f(x)=x^2-2x$, ঢাল $2x-2$; এটা $x>1$-এ ধনাত্মক, $x<1$-এ ঋণাত্মক। তাই function $x=1$-এর আগে কমে, পরে বাড়ে — $x=1$-এ সর্বনিম্ন।

A parabola going down to its minimum then up, with slope signs marked

চিত্র ৩.৩: ঢালের চিহ্ন দেখে বলা যায় parabola $x=1$-এ সর্বনিম্নে নামে, তারপর আবার ওঠে — একবারও $f(x)$ হিসাব না করেই।

কিন্তু সব $f'(x)=0$ বিন্দু max/min নয়। $f(x)=4x^3-3x^4$-এ $f'=12x^2-12x^3=12x^2(1-x)$, শূন্য হয় $x=0$ ও $x=1$-এ। মান: $f(0)=0$, $f(1)=1$। বড় $x$-এ $-3x^4$ প্রাধান্য পায়, তাই দুই দিকেই function $-\infty$-এ নামে — $f=1$ পরম সর্বোচ্চ (absolute maximum), কিন্তু $f=0$ max-ও নয় min-ও নয় (এখানে $x^2$-এর "double zero"-এর কারণে curve এক মুহূর্ত থেমে একই দিকে চলে যায়)।

Graphs of 4x cubed minus 3x to the fourth and x plus one over x

চিত্র ৩.৪: $4x^3-3x^4$ এবং $x+x^{-1}$-এর graph। rough point (কোণা) ও endpoint-ও পরীক্ষা করতে হয়।

আরেকটা: $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ ($x>0$)। ঢাল $1-\dfrac{1}{x^2}=0$ হয় $x=1$-এ, আর $f(1)=2$ হলো সর্বনিম্ন।

গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম — তিন ধরনের critical point। সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন সবসময় ঘটে (১) stationary point ($f'=0$), অথবা (২) rough point (যেখানে derivative নেই, যেমন $|x|$-এর কোণা), অথবা (৩) domain-এর endpoint-এ। পদ্ধতি:

$f'(x)=0$ সমাধান করে stationary point বের করো।
প্রতিটা critical point-এ (stationary, rough, endpoint) $f(x)$ হিসাব করো।
সেই মানগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন নাও।

বদ্ধ ব্যবধানে (closed interval $a \le x \le b$) continuous function তার max ও min অবশ্যই পায় — এটাই Extreme Value Theorem (চরম মান উপপাদ্য)।

প্রয়োগে max–min: word problem¶

আসল প্রয়োগে সবচেয়ে কঠিন ধাপ প্রায়ই প্রথমটা — কোন চলককে $x$ ধরব আর function $f(x)$ কী হবে তা ঠিক করা। Strang-এর expressway উদাহরণ: expressway-এর গতি $60$ mph, সাধারণ রাস্তায় $30$ mph। কোথায় ঢুকলে মোট সময় সবচেয়ে কম? পথ দুই ভাগ — expressway পর্যন্ত $\sqrt{a^2+x^2}$ দূরত্ব ($30$ গতিতে), তারপর expressway-তে $b-x$ দূরত্ব ($60$ গতিতে):

\[f(x) = \frac{1}{30}\sqrt{a^2+x^2} + \frac{1}{60}(b-x).\]

Join the freeway at point x to minimize the total driving time

চিত্র ৩.৫: $x$ বিন্দুতে expressway-তে ঢোকো — মোট চালানোর সময় $f(x)$ সর্বনিম্ন করো।

এখন calculus। power rule দিয়ে:

\[f'(x) = \frac{1}{30}\cdot\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{1}{60} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{1}{2} \;\Rightarrow\; 4x^2=a^2+x^2 \;\Rightarrow\; x=\frac{a}{\sqrt{3}}.\]

মজার ব্যাপার — stationary point $x=a/\sqrt3$ মোটেও $b$-র উপর নির্ভর করে না ($b/60$ ধ্রুবক $df/dx$-এ মিলিয়ে যায়)! তাই আসল উত্তর হলো $a/\sqrt3$ আর $b$-এর মধ্যে ছোটটা — অর্থাৎ কখনো সরাসরি গন্তব্যে যাওয়াই ভালো (endpoint বা rough point জেতে)। কোণ $x$ দিয়ে করলে আরও সুন্দর: $df/dx=0 \Rightarrow \sin x = \tfrac12$, অর্থাৎ সেরা কোণ $30^\circ$।

Driving at angle x, spring and mass energies, and profit equals income minus cost

চিত্র ৩.৬: (a) কোণ $x$-এ চালানো; (b) স্প্রিং ও ভরের শক্তি; (c) মুনাফা $=$ আয় $-$ ব্যয়।

আরও দুটো প্রয়োগ। স্প্রিং-শক্তি: $f(x)=\tfrac12 kx^2 - mx$, ভারসাম্য $f'=kx-m=0 \Rightarrow x=m/k$ (Hooke's law)। অর্থনীতি: মুনাফা $P=I(x)-C(x)$ সর্বোচ্চ হয় যখন marginal income $=$ marginal cost, অর্থাৎ $\dfrac{dI}{dx}=\dfrac{dC}{dx}$। যেমন $C=900+400x-x^2$, $I=600x-6x^2$: $400-2x=600-12x \Rightarrow x=20$, মুনাফা $=9600-8500=1100$।

max–min-এর শাস্ত্রীয় সমস্যা — চারকোনা কাগজ কেটে সবচেয়ে বড় আয়তনের বাক্স বানানো:

Cookie box optimization figure from a square sheet

চিত্র (word-problem): বর্গাকার কাগজ থেকে বানানো "cookie box" — কোণা কেটে ভাঁজ করে সর্বোচ্চ আয়তন খোঁজার ধ্রুপদী optimization সমস্যা।

Popcorn box optimization figure

চিত্র (word-problem): "popcorn box" — একই ধরনের max-volume সমস্যা, ভিন্ন ভাঁজে।

Geometry word problem figure for maximizing area or volume

চিত্র (word-problem): জ্যামিতিক optimization — যেমন সামনে একটা স্ট্রিপ যোগ করা "chocolate box", যার নতুন আয়তন $V(x)$ সর্বোচ্চ করতে হয়।

২.৩ Second Derivative (দ্বিতীয় অন্তরজ) — Concavity ও Bending¶

$f'(x)$ বলে function বাড়ছে না কমছে। কিন্তু $f''(x)$ (দ্বিতীয় অন্তরজ, $\frac{d^2y}{dx^2}$) বলে বাঁক — ঢাল নিজে বাড়ছে না কমছে। সরলরেখা বাঁকে না, তাই $y=mx+b$-এর $f''=0$।

$f''(x) > 0$: concave up (উপরে বাঁকা, convex-ও বলে) — ঢাল বাড়ছে। tangent রেখা curve-এর নিচে থাকে।
$f''(x) < 0$: concave down (নিচে বাঁকা) — ঢাল কমছে। tangent রেখা curve-এর উপরে থাকে।

Concave up holds water and concave down spills water

কিড-চিত্র: concave up ($f''>0$) "জল ধরে রাখে" (কাপ-আকৃতি), concave down ($f''<0$) "জল ফেলে দেয়" (উল্টো কাপ)। বাঁকের দিকই দ্বিতীয় অন্তরজের চিহ্ন।

গতিতে $f''(t)$ হলো acceleration (ত্বরণ)। জনসংখ্যায় $f'>0$ মানে বাড়ছে, $f''>0$ মানে বৃদ্ধির হারও বাড়ছে — এরা আলাদা জিনিস।

Increasing slope means concave up, decreasing slope means concave down, with an inflection point

চিত্র ৩.৭: ঢাল বাড়া $=$ concave up ($f''>0$); ঢাল কমা $=$ concave down ($f''<0$); মাঝখানে inflection point যেখানে $f''=0$ এবং tangent রেখা curve-কে কেটে যায়।

Second derivative test (দ্বিতীয় অন্তরজ পরীক্ষা): stationary point-এ ($f'=0$) —

\[f''(x)>0 \Rightarrow \text{local minimum}, \qquad f''(x)<0 \Rightarrow \text{local maximum}.\]

উদাহরণ: $f=x^3-x^2$, $f'=3x^2-2x$, $f''=6x-2$। stationary point $x=0$ ও $x=\tfrac23$। $f''(0)=-2<0$ (max), $f''(\tfrac23)=+2>0$ (min)। মাঝখানে $f''=0$ হয় $x=\tfrac13$-এ — inflection point (নতিপরিবর্তন বিন্দু), যেখানে বাঁক concave down থেকে concave up-এ বদলায়।

Quadratic approximation ও bending। tangent রেখা বাঁকতে পারে না, তাই একটু দূরে গেলেই সে curve ছেড়ে দেয়। $f''$ যোগ করে আসন্নীকরণকে বাঁকানো যায়:

\[f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2.\]

Linear approximation stays straight while quadratic approximation bends with the curve

চিত্র ৩.৮: linear approximation (সোজা রেখা) কিছুদূর পরই curve ছেড়ে যায়, কিন্তু quadratic approximation curve-এর সঙ্গে বাঁকে — অনেক ভালো মেলে।

$\tfrac12$ ফ্যাক্টরটা দরকার কারণ model function $x^2$-এর $f''=2$, আর আমরা চাই $\tfrac12\cdot 2 \cdot(x)^2 = x^2$ ঠিক ফিরে আসুক। এই infinite series চললে হয় Taylor series (Chapter 6)।

২.৪ Curve Sketching (graph আঁকা)¶

একটা graph বিপুল তথ্য বহন করে। computer দ্রুত আঁকে, কিন্তু কী দেখতে হবে তা derivative শেখায়। Strang প্রথমে একটা বাস্তব graph দেখান — electrocardiogram (ECG), হৃৎপিণ্ডের বৈদ্যুতিক সংকেত। P-তরঙ্গ, QRS-জটিল, T-তরঙ্গ দেখে হৃৎপিণ্ড স্বাভাবিক না বিশৃঙ্খল তা বোঝা যায়।

Happy person with a heart and a normal electrocardiogram

চিত্র ৩.৯: সুস্থ মানুষ ও তার স্বাভাবিক ECG — নিয়মিত P–QRS–T ছন্দ। spike-এর মধ্যেকার দূরত্ব হৃৎস্পন্দনের হার বলে।

Doubtful rhythm, serious fibrillation, and signals of a heart attack

চিত্র ৩.১০: সন্দেহজনক ছন্দ, গুরুতর fibrillation, ও হৃদরোগের সংকেত — অনিয়মিত সংকোচন, স্বাভাবিক ক্রম নেই।

গণিতের দিকে, graph আঁকতে $f$, $f'$, $f''$ থেকে ছয়টা তথ্য টানি: (১) $f$-এর চিহ্ন (অক্ষের উপরে/নিচে), (২) $f'$-এর চিহ্ন (বাড়ছে/কমছে), (৩) $f''$-এর চিহ্ন (বাঁক), (৪) $x\to\pm\infty$-এ আচরণ, (৫) কোথায় $f\to\pm\infty$ (asymptote), (৬) even/odd/periodic?

Horizontal asymptote: $f(x)\to b$ হলে রেখা $y=b$।
Vertical asymptote: $x\to a$-তে $f\to\pm\infty$ হলে রেখা $x=a$ (সাধারণত হর শূন্য হলে)।
Sloping asymptote: $f(x)-(mx+b)\to 0$ হলে রেখা $y=mx+b$।

উদাহরণ: $f=\dfrac{x^2}{1-x^2}$ — even function, $x=\pm1$-এ vertical asymptote, $y=-1$ horizontal asymptote। আবার $\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}$ — তাই sloping asymptote $y=x+1$।

Graphs of x squared over one minus x squared, x squared over x minus one, and a sum of sines

চিত্র ৩.১১: $\dfrac{x^2}{1-x^2}$, $\dfrac{x^2}{x-1}$ এবং $\sin x+\tfrac13\sin 3x$-এর graph — যথাক্রমে even, sloping-asymptote-যুক্ত, ও odd-periodic।

$dy/dx=0$-এর কাছে graph খুব সমতল — এটাই minimum খুঁজে বের করা কঠিন করে। এখানেই zoom কাজে লাগে।

Entering at x, the driving time graph y of x, with zoom boxes locating the minimum

চিত্র ৩.১২: চালানোর সময় $y(x)$-এর graph অত্যন্ত সমতল; zoom box বারবার বড় করে সর্বনিম্ন বিন্দু $x^\*$ ধরা হয়।

Model function y equals x squared near its flat minimum

চিত্র ৩.১৩: model $y=x^2$, $|x|<0.01$-এ ঢাল $2x$ বদলায় $-0.02$ থেকে $+0.02$, কিন্তু $x^2$ মাত্র $0.0001$ ওঠে — তাই minimum বিন্দু চোখে ধরা কঠিন। তাই $dy/dx=0$ সমাধান করাই ভালো (graph অক্ষ কাটে, সমতল নয়)।

Centering ও zoom transform। graph-কে "ঠিকভাবে তাক করা ও ঠিক দূরত্বে দাঁড়ানো" — ছবি তোলার মতো। Centering: বিন্দু $(a,b)$-কে $(0,0)$-এ সরানো, $X=x-a$, $Y=y-b$। Zoom: অক্ষ $c,d$ গুণে স্কেল করা, $x=cX$, $y=dY$। এতে ঢাল $d/c$ গুণ হয়, বাঁক $d/c^2$ গুণ হয়।

Change of coordinates by centering and zoom transforms

চিত্র ৩.১৪: centering আর zoom দিয়ে স্থানাঙ্ক বদল — calculator তবু আসল $(x,y)$ দেখায়, কিন্তু সমীকরণ সরল ($Y=X^2$) হয়ে যায়।

Small helper graph for reading curve features

চিত্র (graph-সহায়ক): graph পড়ার অনুশীলন-চিত্র — crossing, stationary ও inflection বিন্দু চেনার জন্য।

২.৫ Conic Sections (কনিক ছেদ): Parabola, Ellipse, Hyperbola¶

দ্বিতীয় ঘাতের সমীকরণ ($1, x, y, x^2, xy, y^2$) থেকে জন্মানো curve। গ্রিকরা আবিষ্কার করেন — একটা cone (শঙ্কু)-কে সমতল দিয়ে কাটলে এরা পাওয়া যায়।

A cutting plane getting steeper turns a circle into ellipse, parabola, then hyperbola

চিত্র ৩.১৫: কাটার সমতল যত খাড়া হয় — বৃত্ত থেকে ellipse, তারপর parabola, তারপর hyperbola। parabola সবসময় ellipse ও hyperbola-র সীমানায়।

Parabola $y=ax^2+bx+c$: vertex (শীর্ষ) যেখানে $dy/dx=0$, অর্থাৎ $x=-\dfrac{b}{2a}$। প্রতিটা সোজা নেমে আসা রশ্মি focus (নাভি)-তে প্রতিফলিত হয় — তাই solar collector আর TV dish parabola-আকৃতির। focus-এর দূরত্ব vertex থেকে $p=\dfrac{1}{4a}$; directrix হলো vertex-এর $p$ নিচের রেখা, আর curve-এর প্রতিটা বিন্দু থেকে focus ও directrix-এর দূরত্ব সমান।

Parabola with minimum at vertex V, rays reflecting to the focus, centered and rescaled

চিত্র ৩.১৬: শীর্ষ $V$-তে সর্বনিম্ন parabola; সব রশ্মি focus-এ প্রতিফলিত। (b)-তে centered, (c)-তে rescaled করে $y=x^2$ পাওয়া যায়।

Ellipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ (বৃত্ত হলো $a=b$)। $(0,0)$-কেন্দ্রিক, একটা আয়তের ভেতরে বন্দি ($-a\le x\le a$, $-b\le y\le b$)। দুটো foci (নাভি) major axis-এর উপর, $x=\pm c$ যেখানে $c=\sqrt{a^2-b^2}$। মূল ধর্ম: curve-এর যেকোনো বিন্দু থেকে দুই foci-র দূরত্বের যোগফল সবসময় $2a$। তাই এক focus-এ ফিসফিস করলে অন্য focus-এ শোনা যায় ("whispering gallery"); hospital-এ kidney stone ভাঙতেও এই প্রতিফলন কাজে লাগে।

Uncentered circle and a centered ellipse with foci reflection property

চিত্র ৩.১৭: অকেন্দ্রিক বৃত্ত ও কেন্দ্রিক ellipse $\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$। $F_2$ থেকে আসা সব রশ্মি $F_1$-এ প্রতিফলিত হয়; দুই দূরত্বের যোগফল $2a$।

Hyperbola $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ (ঋণ চিহ্নটাই পার্থক্য)। দুটো শাখা, কখনো মেলে না; দূরে গেলে asymptote $y=\pm\dfrac{a}{b}x$-এর গা ঘেঁষে ওঠে। foci $y=\pm c$, $c=\sqrt{a^2+b^2}$ (এবার $a,b$-এর চেয়ে বড়)। ধর্ম: দুই foci-র দূরত্বের পার্থক্য সবসময় $2a$ — LORAN navigation-এ জাহাজের অবস্থান বের করতে ব্যবহৃত।

The hyperbola with a equals 2, b equals 3, and its foci and asymptotes

চিত্র ৩.১৮: hyperbola $\tfrac14 y^2-\tfrac19 x^2=1$, যেখানে $a=2$, $b=3$, $c=\sqrt{4+9}$। $F_1,F_2$-তে দূরত্বের পার্থক্য $2a=4$।

সাধারণ শ্রেণিবিভাগ। $Ax^2+Bxy+Cy^2=1$-এর ধরন ঠিক করে discriminant $B^2-4AC$ (rotate করলেও এটা অপরিবর্তিত থাকে):

\[B^2-4AC>0 \Rightarrow \text{hyperbola}, \qquad B^2-4AC<0 \Rightarrow \text{ellipse}, \qquad B^2-4AC=0 \Rightarrow \text{parabola}.\]

Ellipse reflection property exercise figure with tangent and normal lines

চিত্র (conic-সহায়ক): ellipse-এর প্রতিফলন-ধর্ম প্রমাণের অনুশীলন-চিত্র — tangent, normal ও দুই focus-এর কোণ সমান দেখানো হয়।

২.৬ Iteration $x_{n+1}=F(x_n)$ (পুনরাবৃত্তি)¶

Iteration মানে একই function বারবার প্রয়োগ। যেমন $F(x)=\cos x$, শুরু $x_0=1$: $x_1=\cos 1=0.54$, $x_2=\cos 0.54=0.86$, ... ৩০ ধাপ পরে সব $x_n \to 0.739085\ldots$। এই বিশেষ সংখ্যাটার বৈশিষ্ট্য — $x^\*=\cos x^\*$। সাবধান: $x_2=\cos(\cos x_0)$, মোটেও $\cos^2 x_0$ নয়!

মূল ধারণা: iteration যদি $x^\*$-এ থামে, তবে $x^\*=F(x^\*)$ — এটাই fixed point (স্থিরবিন্দু), যেখানে input $=$ output। $y=x$ আর $y=F(x)$ রেখা দুটো এখানেই ছেদ করে। উদাহরণ: $F(x)=\tfrac12 x+4 \Rightarrow x^\*=8$; $F(x)=x^2 \Rightarrow x^\*=0$ বা $1$।

আকর্ষণ না বিকর্ষণ? এর চাবি হলো fixed point-এ ঢাল $\dfrac{dF}{dx}$:

\[\left|\frac{dF}{dx}\right| < 1 \Rightarrow x^\* \text{ attracting}, \qquad \left|\frac{dF}{dx}\right| > 1 \Rightarrow x^\* \text{ repelling}.\]

কারণ error $(x_n-x^\*)$ প্রতি ধাপে প্রায় $F'(x^\*)$ গুণ হয় — $|F'|<1$ হলে error শূন্যে যায়। এটা দেখা যায় cobweb (মাকড়সার জাল) ছবিতে: $(x_0,x_0)$ থেকে curve-এ উঠে, তারপর $45^\circ$ রেখায় সরে, আবার ওঠে।

Cobweb iteration going from line to curve to line toward the fixed point

চিত্র ৩.১৯: cobweb $(x_0,x_0)\to(x_0,x_1)\to(x_1,x_1)$ — রেখা থেকে curve, curve থেকে রেখা; ছেদবিন্দু $(x^\*,x^\*)$-এর দিকে এগোয়।

Converging and diverging cobwebs for F of x equals x squared and x minus sin x

চিত্র ৩.২০: অভিসারী ও অপসারী cobweb — $F(x)=x^2$ ও $F(x)=x-\sin x$। ঢাল $|F'|$ ঠিক করে কোনটা।

সমীকরণ সমাধানের iteration $x_{n+1}=x_n-c\,f(x_n)$। $f(x)=0$ সমাধানের জন্য একটা পরিবার — $c$ আমাদের হাতে। error সমীকরণ:

\[x_{n+1}-x^\* \approx (1-cA)(x_n-x^\*), \qquad A=f'(x^\*).\]

Local linear error model-এ গুণক $m=1-cA$; $|m|<1$ হলে local convergence আশা করা যায়। Simple root-এর কাছে linear term cancel করার ideal choice $c=1/f'(x^\*)$, কিন্তু $x^\*$ অজানা। তাই current iterate-এ $c_n=1/f'(x_n)$ নেওয়াই Newton's method।

The error multiplier m equals one minus c times f prime, with Newton driving m to zero

চিত্র ৩.২১: linearized error গুণক $m=1-c\,f'(x^\*)$। Simple root-এর যথেষ্ট কাছে Newton-এর choice linear error term শূন্য করে, তাই উপযুক্ত smoothness-এ quadratic convergence পাওয়া যায়। এটি global “সবচেয়ে দ্রুত” দাবি নয়।

২.৭ Newton's Method (নিউটনের পদ্ধতি)¶

$f(x)=0$ solve করার একটি শক্তিশালী local algorithm। বিন্দু $x_0$-তে উচ্চতা $f(x_0)$ ও ঢাল $f'(x_0)$ দিয়ে tangent line বানিয়ে তার root-কে পরের guess নিই:

\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\]

Newton's method following tangent lines from x0 to x1 to x2

চিত্র ৩.২২: Newton's method — $x_0$ থেকে tangent রেখা ধরে $x_1$, সেখান থেকে আবার tangent ধরে $x_2$ — দ্রুত root-এর দিকে।

Newton's method sliding down each tangent line to the axis

কিড-চিত্র: প্রতিটা বিন্দুতে tangent রেখা এঁকে সেই রেখা ধরে অক্ষ পর্যন্ত নেমে আসাই Newton's method — $x_0\to x_1\to x_2\to x_3$, দ্রুত $\sqrt2$-এর দিকে।

বর্গমূল। $f(x)=x^2-b$, $f'=2x$, তাই সূত্র দাঁড়ায় বিখ্যাত Babylonian গড়:

\[x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{b}{x_n}\right).\]

$\sqrt4$-এর জন্য $x_0=1$: $x_1=2.5$, $x_2=2.05$, $x_3=2.0006$, $x_4=2.000000009$। Root-এর যথেষ্ট কাছে গেলে error প্রায় বর্গ হয়, তাই সঠিক digit-এর সংখ্যা আনুমানিক দ্বিগুণ হয়। একে quadratic convergence বলে; arbitrary starting point-এ এই আচরণ guaranteed নয়।

কিন্তু Newton সবসময় ভদ্র নয়। $f(x)=x^2+1=0$-এর কোনো বাস্তব সমাধান নেই, তবু Newton থামে না — সংখ্যাগুলো এলোমেলো লাফায় (chaos)। সূত্র বেরোয় $x_n=\cot(2^n\theta)$: প্রতি ধাপে কোণ দ্বিগুণ, তাই $60^\circ$ আর $61^\circ$ শুরু করলে ১০ ধাপ পরে বিশাল পার্থক্য।

Newton's method for x squared plus one equals zero giving x sub n equals cotangent of 2 to the n theta

চিত্র ৩.২৩: $x^2+1=0$-এর জন্য Newton — iteration দেয় $x_n=\cot 2^n\theta$, অর্থাৎ বিশৃঙ্খল (chaotic) আচরণ।

$z=\dfrac{1}{1+x^2}$ বসালে এটা বিশ্বের সবচেয়ে বিখ্যাত quadratic iteration হয়ে যায়: $z_{n+1}=4z_n-4z_n^2$। এর সাধারণ রূপ $z_{n+1}=az_n-az_n^2$ ($0\le a\le 4$)। $a$ বাড়ালে আচরণ বদলায়: $a\le3$-এ একটা limit, তারপর $2$-cycle, $4$-cycle, $8$-cycle... শেষে chaos।

Period doubling and chaos from iterating the quadratic map F of z

চিত্র ৩.২৪: quadratic map $F(z)=az-az^2$ থেকে period-doubling ও chaos — $a$ বাড়ার সঙ্গে cycle-এর দৈর্ঘ্য $2,4,8,\ldots$ দ্বিগুণ হতে হতে বিশৃঙ্খলা।

$Cantor set with middle thirds removed and a fractal snowflake with infinite boundary$

চিত্র ৩.২৫: Cantor set (মাঝের তৃতীয়াংশ বাদ) ও fractal snowflake (অসীম সীমানা) — self-similar, ভগ্নাংশ-মাত্রার (fractal) আকৃতি।

২.৮ Mean Value Theorem (মধ্যমান উপপাদ্য) ও l'Hôpital's Rule¶

Calculus-এর একটা ভিত্তিপ্রস্তর। এটা স্থানীয় ছবি (এক বিন্দুর ঢাল) আর সামগ্রিক ছবি (পুরো interval-এর average slope)-কে জোড়ে। যদি position function $[a,b]$-তে continuous এবং $(a,b)$-তে differentiable হয়, তবে average velocity-এর সমান instantaneous velocity কোনো $c\in(a,b)$-তে থাকবেই। শুধু “velocity লাফ দেয় না” বলা সম্পূর্ণ hypothesis নয়।

Velocity jumping over its average versus velocity equalling its average

চিত্র ৩.২৬: (a) $v$ তার গড় $v_{\text{average}}$-এর উপর দিয়ে লাফ দেয় (derivative নেই); (b) $v$ কোনো বিন্দুতে ঠিক গড়ের সমান — এটাই MVT।

Rolle's theorem হলো বিশেষ ক্ষেত্র: $f$ যদি $[a,b]$-তে continuous, $(a,b)$-তে differentiable এবং $f(a)=f(b)$ হয়, তবে মাঝে কোথাও $f'(c)=0$।

Rolle's theorem as the special case where f of a equals f of b equals zero

চিত্র ৩.২৭: Rolle's theorem — MVT-এর সেই বিশেষ রূপ যখন $f(a)=f(b)=0$; মাঝে $f'(c)=0$ বিন্দুটি (turn) থাকে।

l'Hôpital's Rule। $f(x)$ ও $g(x)$ দুটোই $0$-এ গেলে $\dfrac{f}{g}$-এর সীমা $\dfrac{0}{0}$ — অর্থহীন। কিন্তু এদের ঢাল দিয়ে বাঁচা যায়:

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]

এটা quotient rule নয় — লব-হর আলাদাভাবে অন্তরিত হয়। স্বজ্ঞা: শূন্যে যাওয়ার সময় function-এর আকার তার ঢাল নিয়ন্ত্রণ করে।

l'Hopital's rule where the ratio of functions equals the ratio of their slopes

চিত্র ৩.২৮: (a) সরলরেখায় $f/g$ ঠিক $f'(a)/g'(a)=3$; (b) curve দুটো ওই রেখার স্পর্শক হলেও সীমা একই $3$ — এটাই l'Hôpital-এর ছবি।

Exercise figure comparing two graphs becoming parallel

চিত্র (MVT-সহায়ক): দুটো graph দূরে গিয়ে সমান্তরাল হলে $f/g$-এর সীমা কী হয় — l'Hôpital ও MVT-এর অনুশীলন-চিত্র।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য¶

সংজ্ঞা ৩.১ — Linear ও Quadratic Approximation

মসৃণ function $f$-এর জন্য $x=a$-এর কাছে:

\[f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) \quad (\text{linear}),\]

\[f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \quad (\text{quadratic}).\]

linear আসন্নীকরণের ভুল $(x-a)^2$-এর মাপের; quadratic-এর ভুল $(x-a)^3$-এর মাপের।

উপপাদ্য ৩.২ — First Derivative Test ও Critical Points

ধরা যাক $f$ একটা ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত। সব সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন ঘটে critical point-এ — যা হয় (ক) stationary point ($f'(x)=0$), (খ) rough point ($f'$ নেই), অথবা (গ) endpoint।

প্রমাণ (stationary অংশ): ধরা যাক $x$ একটা অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে সর্বোচ্চ এবং $f'(x)$ আছে। তখন যেকোনো ধাপে $f(x+\Delta x)-f(x)\le 0$। ডান দিক থেকে ($\Delta x>0$): অনুপাত $\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\le 0$, তাই সীমায় $f'(x)\le 0$। বাঁ দিক থেকে ($\Delta x<0$): অনুপাত $\ge 0$, তাই $f'(x)\ge 0$। দুটো একসাথে সত্য হলে $f'(x)=0$। $\square$

উপপাদ্য ৩.৩ — Second Derivative Test

ধরা যাক $f'(x)=0$ (stationary point)। তখন:

\[f''(x)>0 \Rightarrow \text{local minimum}, \qquad f''(x)<0 \Rightarrow \text{local maximum}.\]

$f''(x)=0$ হলে পরীক্ষা ব্যর্থ (যেমন $x^3$ থামে কিন্তু ওঠে, $x^4$ থামে কিন্তু নামে)। যদি $f''$ চিহ্ন বদলায়, সেই বিন্দু inflection point।

স্বজ্ঞাগত প্রমাণ: minimum-এর বাঁ পাশে curve নামছে, ডান পাশে উঠছে — ঢাল ঋণ থেকে ধনে বদলাচ্ছে, অর্থাৎ ঢাল বাড়ছে, তাই $f''>0$। quadratic approximation $f(a)+\tfrac12 f''(a)(x-a)^2$-এ $f''(a)>0$ মানে curve tangent রেখার উপরে বাঁকে — কাপ-আকৃতি, minimum। $\square$

উপপাদ্য ৩.৪ — Conic Classification (discriminant)

$Ax^2+Bxy+Cy^2=1$ একটা hyperbola যদি $B^2>4AC$, ellipse যদি $B^2<4AC$, আর parabola যদি $B^2=4AC$। rotation করলে $A,C$ বদলায় কিন্তু $B^2-4AC$ অপরিবর্তিত — তাই এটা নির্ভরযোগ্য শ্রেণিনির্ণায়ক।

উপপাদ্য ৩.৫ — Iteration-এর আকর্ষণ পরীক্ষা

$x^\*=F(x^\*)$ একটা fixed point। কাছের $x_0$ থেকে শুরু করলে:

\[|F'(x^\*)|<1 \Rightarrow x^\* \text{ attracting}, \qquad |F'(x^\*)|>1 \Rightarrow x^\* \text{ repelling}.\]

প্রমাণ: $x_{n+1}-x^\*=F(x_n)-F(x^\*)$। derivative-এর সংজ্ঞা থেকে $F(x_n)-F(x^\*)\approx F'(x^\*)(x_n-x^\*)$। তাই

\[x_{n+1}-x^\* \approx F'(x^\*)\,(x_n-x^\*).\]

প্রতি ধাপে error $F'(x^\*)$ গুণ হয়। $|F'(x^\*)|<1$ হলে error জ্যামিতিকভাবে শূন্যে নামে (আকর্ষণ); $>1$ হলে বাড়ে (বিকর্ষণ)। $\square$

উপপাদ্য ৩.৬ — Newton's Method ও তার Superconvergence

tangent রেখা $x_n$ থেকে অক্ষ কাটে $x_{n+1}$-এ:

\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\]

ধরো $x^*$ একটি simple root: $f(x^*)=0$, $f'(x^*)\ne0$; $f$ root-এর neighborhood-এ দুইবার continuously differentiable এবং $x_0$ যথেষ্ট কাছে। তখন $F(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$-এর $F'(x^*)=0$, এবং suitable constant $M$-এর জন্য eventually

\[|x_{n+1}-x^\*| \le M\,|x_n-x^\*|^2 \quad (\text{quadratic convergence}).\]

উপপাদ্য ৩.৭ — Mean Value Theorem (MVT) ও Rolle's Theorem

MVT: যদি $f$ বদ্ধ ব্যবধান $[a,b]$-তে continuous এবং খোলা ব্যবধান $(a,b)$-তে differentiable হয়, তবে কোনো বিন্দু $c\in(a,b)$ আছে যেখানে

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c).\]

Rolle (বিশেষ রূপ): $f(a)=f(b)=0$ হলে কোনো $c$-তে $f'(c)=0$।

Rolle-এর প্রমাণ: $[a,b]$-তে continuous function তার max ও min পায় (Extreme Value Theorem)। যদি কোনোটা অভ্যন্তরে হয়, সেখানে $f'(c)=0$ (উপপাদ্য ৩.২)। যদি max ও min দুটোই প্রান্তে হয়, তবে $f(a)=f(b)=0$ বলে function ধ্রুবক $0$, তখন সর্বত্র $f'=0$। $\square$

MVT-এর প্রমাণ (Rolle থেকে): secant রেখা বিয়োগ করে graph "হেলিয়ে" দিই —

\[F(x) = f(x) - \left[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right].\]

তখন $F(a)=F(b)=0$, তাই Rolle অনুযায়ী কোনো $c$-তে $F'(c)=0$, অর্থাৎ $f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$। প্রমাণিত। $\square$

উপপাদ্য ৩.৮ — l'Hôpital's Rule ও Generalized MVT

ধরো $f,g$ punctured one-sided neighborhood-এ differentiable, $g'(x)\ne0$, এবং $x\to a$-তে $f(x),g(x)\to0$ (অথবা উভয়ের magnitude $\to\infty$)। যদি extended limit

\[L=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

থাকে, তবে standard l'Hôpital hypotheses-এর অধীনে $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$। শুধু $0/0$ দেখাই যথেষ্ট নয়; denominator ও derivative-ratio conditions দরকার।

Generalized MVT (Cauchy): $f,g$ যদি $[a,b]$-তে continuous ও $(a,b)$-তে differentiable হয়, তবে কোনো $c\in(a,b)$-তে $[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)$।

প্রমাণের idea ($0/0$ one-sided case): endpoint value $f(a)=g(a)=0$ দিয়ে extend করে $a$ ও $x$-এর মধ্যে Cauchy MVT apply করলে কোনো $c_x$-এর জন্য $f(x)/g(x)=f'(c_x)/g'(c_x)$ পাওয়া যায়। $x\to a$ হলে $c_x\to a$, তাই derivative ratio-এর limit $L$ হলে quotient-ও $L$-এ যায়। $\infty/\infty$ case-এ আলাদা bound argument লাগে। $\square$

সতর্কতা: নিয়মটা কেবল $\dfrac00$ (বা $\dfrac{\infty}{\infty}$) আকারের জন্য। সাধারণ অনুপাতে ($g(a)\ne0$) এটা প্রয়োগ করা ভুল।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ১ (linear approximation): $\sqrt{102}$ আসন্ন করো।

$f(x)=\sqrt{x}$, $a=100$। $f(a)=10$, $f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{100}}=\dfrac{1}{20}$। তাই

\[\sqrt{102}\approx 10+\frac{1}{20}(2)=10.1.\]

quadratic পদ যোগ করি: $f''(x)=-\tfrac14 x^{-3/2}$, তাই $f''(100)=-\dfrac{1}{4000}$, আর সংশোধন $\tfrac12\left(-\dfrac{1}{4000}\right)(2)^2=-0.0005$। ফলে $\sqrt{102}\approx 10.0995$ — ক্যালকুলেটরের সঙ্গে হুবহু মেলে।

উদাহরণ ২ (max–min word problem): সবচেয়ে বড় আয়তক্ষেত্র।

একটা দেয়াল এক পাশ; বাকি তিন পাশে $200$ ফুট বেড়া। ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ করো। ধরি প্রস্থ (দেয়ালের লম্ব দুই পাশ) $=x$, দৈর্ঘ্য $=200-2x$। ক্ষেত্রফল

\[A(x)=x(200-2x)=200x-2x^2.\]

$A'(x)=200-4x=0 \Rightarrow x=50$। $A''=-4<0$, তাই এটা সর্বোচ্চ (second derivative test)। দৈর্ঘ্য $=200-100=100$, সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল $=50\times100=5000$ বর্গফুট।

উদাহরণ ৩ (Newton iteration): $\sqrt{4}$ হাতে বের করো।

$f(x)=x^2-4$, সূত্র $x_{n+1}=\tfrac12\!\left(x_n+\dfrac{4}{x_n}\right)$। $x_0=1$ থেকে:

\[x_1=\tfrac12(1+4)=2.5,\quad x_2=\tfrac12\!\left(2.5+\tfrac{4}{2.5}\right)=2.05,\quad x_3=2.0006,\quad x_4=2.0000000\ldots\]

প্রতি ধাপে সঠিক অঙ্ক দ্বিগুণ — error বর্গ হচ্ছে। এটাই Newton-এর জাদু।

উদাহরণ ৪ (l'Hôpital): $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}$।

$\dfrac00$ আকার। লব-হর আলাদা অন্তরিত করি: $\dfrac{\sin x}{1}$। $x\to0$-এ এটা $\dfrac{0}{1}=0$। তাই সীমা $=0$। (আরও কঠিন: $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{1-\cos x}$ প্রথমবার $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$ আবার $\dfrac00$; দ্বিতীয়বার $\dfrac{\sin x}{\cos x}\to\dfrac01=0$।)

Analogy — Newton's method = পাহাড়ে নামার শর্টকাট

কল্পনা করো তুমি কুয়াশায় ঢাকা পাহাড়ে, নিচে নদী ($f=0$) খুঁজছ। পুরো পাহাড় দেখতে পাচ্ছ না, শুধু দাঁড়ানো জায়গার ঢাল টের পাও। সবচেয়ে বুদ্ধিমানের কাজ — সেই ঢাল বরাবর সোজা নেমে যাওয়া, যেন সমতল মাটি ধরে নদীর দিকে হাঁটছ (tangent রেখা)। যেখানে থামো, আবার সেখানকার ঢাল দেখে নামো। কাছে গেলে প্রতি ধাপে দূরত্ব বর্গ হয়ে কমে — কয়েক পা-তেই নদীর ধারে! এটাই Newton। কিন্তু নদীই যদি না থাকে ($x^2+1=0$), তুমি চিরকাল এলোমেলো ঘুরবে — সেটাই chaos।

৫. Python-এ করো¶

নিচের দুটো প্রোগ্রাম numpy ও matplotlib দিয়ে — একটা Newton's method-এ root বের করে, আরেকটা function-এর max–min খুঁজে plot করে।

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------- (i) Newton's method দিয়ে root বের করা ----------
# আমরা f(x) = x^2 - 2 = 0 সমাধান করব, উত্তর হওয়া উচিত sqrt(2)

def f(x):
    return x**2 - 2          # যে সমীকরণ সমাধান করছি

def fprime(x):
    return 2*x               # তার অন্তরজ f'(x)

x = 2.0                      # শুরুর অনুমান x0
print("ধাপ  x_n              f(x_n)")
for n in range(6):
    print(f"{n:>3}  {x:.12f}  {f(x): .2e}")
    x = x - f(x) / fprime(x) # Newton আপডেট: x_{n+1} = x_n - f/f'

print("Newton-এর উত্তর :", x)
print("numpy-র sqrt(2) :", np.sqrt(2))
# লক্ষ্য করো: প্রতি ধাপে সঠিক দশমিক সংখ্যা প্রায় দ্বিগুণ হয় (quadratic convergence)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------- (ii) একটা function-এর max ও min খুঁজে plot করা ----------
# f(x) = x^3/3 - x  ->  f'(x) = x^2 - 1,  শূন্য হয় x = -1 (max) ও x = +1 (min)

f  = lambda x: x**3/3 - x
fp = lambda x: x**2 - 1          # অন্তরজ
fpp = lambda x: 2*x              # দ্বিতীয় অন্তরজ (second derivative test-এর জন্য)

# stationary point: f'(x)=0 => x = -1, +1
stationary = np.array([-1.0, 1.0])
for xc in stationary:
    kind = "সর্বনিম্ন (min)" if fpp(xc) > 0 else "সর্বোচ্চ (max)"
    print(f"x = {xc:+.0f} : f = {f(xc):+.3f},  f''={fpp(xc):+.0f}  ->  {kind}")

# graph আঁকি
xs = np.linspace(-2.3, 2.3, 400)
plt.figure(figsize=(7, 4.5))
plt.plot(xs, f(xs), color="#1f77b4", lw=2.5, label="f(x) = x^3/3 - x")
plt.axhline(0, color="gray", lw=0.8)

# max ও min বিন্দু চিহ্নিত করি
for xc in stationary:
    color = "green" if fpp(xc) > 0 else "red"
    plt.plot(xc, f(xc), "o", color=color, ms=10)
    plt.hlines(f(xc), xc-0.6, xc+0.6, color=color, lw=2)  # অনুভূমিক tangent (ঢাল=0)

plt.title("stationary point-এ ঢাল শূন্য: সবুজ=min, লাল=max")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("f(x)")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig("maxmin_demo.png", dpi=150, bbox_inches="tight")  # ছবিটা সেভ হবে
print("plot সেভ হলো: maxmin_demo.png")

প্রথম প্রোগ্রাম চালালে দেখবে $x$ দ্রুত $1.41421356\ldots$-এ থিতু হয়, আর $f(x_n)$ ধাপে ধাপে $10^{-2}, 10^{-4}, 10^{-8}, \ldots$ — error বর্গ হচ্ছে। দ্বিতীয়টা দেখায় $x=-1$-এ সর্বোচ্চ ($f''<0$) আর $x=+1$-এ সর্বনিম্ন ($f''>0$), দুই জায়গাতেই tangent অনুভূমিক।

৬. সাধারণ ভুল¶

linear approximation দূরে নিয়ে যাওয়া। tangent রেখা কেবল বিন্দুর কাছেই কাজ করে। $(1.01)^{100}\approx 2$ ভুল (আসলে $\approx 2.7$) কারণ $(\Delta x)^2$ পদ আর ছোট নয়।
$f'(x)=0$ মানেই max/min ভাবা। $x^3$-এর $x=0$-তে $f'=0$ কিন্তু সেটা max-ও নয় min-ও নয় (inflection-ধর্মী থামা)। second derivative বা চিহ্ন-পরিবর্তন দেখো।
rough point ও endpoint ভুলে যাওয়া। $|x|$-এর সর্বনিম্ন rough point-এ, সেখানে derivative নেই। সব critical point পরীক্ষা করো, শুধু $f'=0$ নয়।
$f''$-এর চিহ্ন দিয়ে $f$ বা $f'$-এর চিহ্ন অনুমান করা। parabola নামার সময়ও $f''>0$ হতে পারে। $f''$ কেবল বাঁক বলে, ওঠা-নামা নয়।
iteration-এ $\cos(\cos x)$ আর $\cos^2 x$ গুলিয়ে ফেলা। iteration মানে function-কে ভেতরে বসানো ($F(F(x))$), গুণ বা বর্গ নয়।
Newton শুরু করা $f'(x_0)=0$ বিন্দুতে। tangent তখন অনুভূমিক, অক্ষ কাটে না — $0$ দিয়ে ভাগ হয়ে ভেঙে পড়ে। ভিন্ন $x_0$ নাও।
l'Hôpital যেখানে-সেখানে চালানো। এটা কেবল $\dfrac00$ বা $\dfrac{\infty}{\infty}$-তে। সাধারণ সীমায় (যেমন $\dfrac{x}{x-1}\to a$) চালালে ভুল উত্তর।
l'Hôpital-কে quotient rule ভাবা। লব ও হর আলাদাভাবে অন্তরিত হয় — $\left(\dfrac{f}{g}\right)'$ নয়, বরং $\dfrac{f'}{g'}$।
MVT/Rolle-এ শর্ত না মেলানো। function-কে $[a,b]$-তে continuous এবং $(a,b)$-তে differentiable হতে হবে; $|x|$-এ কোণা থাকায় MVT ব্যর্থ হতে পারে।
ellipse ও hyperbola-য় $c$ গুলিয়ে ফেলা। ellipse-এ $c=\sqrt{a^2-b^2}$ (foci ভেতরে), hyperbola-য় $c=\sqrt{a^2+b^2}$ (foci বাইরে) — চিহ্ন উল্টো।

৭. এক্সারসাইজ¶

$f(x)=\sqrt{x}$-এর linear approximation দিয়ে $\sqrt{101}$-এর আসন্ন মান বের করো ($a=100$)।
$(1.02)^3$-কে $(1+x)^n\approx 1+nx$ দিয়ে আসন্ন করো এবং সত্যিকারের মানের সঙ্গে তুলনা করো।
$f(x)=x^2-6x+5$-এর stationary point বের করে বলো এটা max না min।
$f(x)=x^3-3x$-এর সব stationary point বের করো এবং second derivative test দিয়ে প্রতিটাকে শ্রেণিবদ্ধ করো।
$f(x)=x^3-6x^2+5$-এর inflection point কোথায়? কোন অঞ্চলে concave up, কোথায় concave down?
$200$ ফুট বেড়া দিয়ে (চার পাশই বেড়া) সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফলের আয়তক্ষেত্র বানাও — বাহুগুলো কত?
$x^2+4y^2=16$ কোন conic? একে $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ রূপে লিখে $a,b$ এবং foci বের করো।
iteration $x_{n+1}=\tfrac12 x_n+3$-এর fixed point বের করো। এটা কি attracting? ($|F'|$ দেখো।)
$f(x)=x^2-5$-এর জন্য Newton's method-এর একটা ধাপ করো, $x_0=2$ থেকে। $x_1$ কত?
l'Hôpital's Rule দিয়ে $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ বের করো (প্রয়োজনে দুবার প্রয়োগ করো)।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

$f(x)=\sqrt{x}$, $a=100$: $f(a)=10$, $f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{100}}=\dfrac{1}{20}$।

\[\sqrt{101}\approx 10+\frac{1}{20}(101-100)=10+0.05=10.05.\]

সত্যিকারের মান $\sqrt{101}=10.0499\ldots$ — মাত্র $0.0001$ ভুল। বিন্দুর খুব কাছে বলে linear approximation দারুণ কাজ করেছে।

২-নং সমাধান দেখাও

$(1+x)^n\approx 1+nx$ সূত্রে $x=0.02$, $n=3$:

\[(1.02)^3\approx 1+3(0.02)=1.06.\]

সত্যিকারের মান $(1.02)^3=1.061208$। ভুল $\approx 0.0012$, যা $(\Delta x)^2=0.0004$-এর মাপের (quadratic error) — ঠিক যেমন তত্ত্ব বলে।

৩-নং সমাধান দেখাও

$f(x)=x^2-6x+5$, $f'(x)=2x-6=0 \Rightarrow x=3$। $f''(x)=2>0$, তাই এটা local minimum (আসলে parabola-র একমাত্র বিন্দু, absolute minimum)। সর্বনিম্ন মান $f(3)=9-18+5=-4$।

৪-নং সমাধান দেখাও

$f(x)=x^3-3x$, $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=0 \Rightarrow x=-1,\,+1$। $f''(x)=6x$।

$x=-1$: $f''(-1)=-6<0 \Rightarrow$ local maximum, $f(-1)=-1+3=2$।
$x=+1$: $f''(+1)=+6>0 \Rightarrow$ local minimum, $f(1)=1-3=-2$।

৫-নং সমাধান দেখাও

$f(x)=x^3-6x^2+5$, $f'(x)=3x^2-12x$, $f''(x)=6x-12$। inflection point-এ $f''=0$:

\[6x-12=0 \Rightarrow x=2.\]

$x<2$-এ $f''<0$ (concave down), $x>2$-এ $f''>0$ (concave up)। যেহেতু $f''$ চিহ্ন বদলায়, $x=2$ সত্যিকারের inflection point; সেখানে $f(2)=8-24+5=-11$।

৬-নং সমাধান দেখাও

চার পাশে বেড়া, পরিসীমা $2x+2y=200 \Rightarrow y=100-x$। ক্ষেত্রফল

\[A(x)=x(100-x)=100x-x^2.\]

$A'(x)=100-2x=0 \Rightarrow x=50$, $A''=-2<0$ (সর্বোচ্চ)। তাই $y=50$ — একটা বর্গক্ষেত্র, বাহু $50$ ফুট, সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল $2500$ বর্গফুট। (দেয়াল থাকলে উত্তর ভিন্ন হতো — উদাহরণ ২ দেখো।)

৭-নং সমাধান দেখাও

$x^2+4y^2=16$-কে $16$ দিয়ে ভাগ করি:

\[\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.\]

এটা একটা ellipse, যেখানে $a^2=16$, $b^2=4$, অর্থাৎ $a=4$, $b=2$। যেহেতু $a>b$, foci $x$-অক্ষে; $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt3$। foci: $(\pm 2\sqrt3,\,0)$।

৮-নং সমাধান দেখাও

fixed point: $x^\*=\tfrac12 x^\*+3 \Rightarrow \tfrac12 x^\*=3 \Rightarrow x^\*=6$। এখানে $F(x)=\tfrac12 x+3$, তাই $F'(x)=\tfrac12$। যেহেতু $|F'|=\tfrac12<1$, fixed point $x^\*=6$ attracting — যেকোনো শুরু থেকে $x_n\to 6$।

৯-নং সমাধান দেখাও

$f(x)=x^2-5$, $f'(x)=2x$। Newton আপডেট:

\[x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=2-\frac{2^2-5}{2\cdot2}=2-\frac{-1}{4}=2.25.\]

(উত্তর $\sqrt5=2.2360\ldots$-এর দিকে দ্রুত এগোচ্ছে; পরের ধাপে $x_2=\tfrac12(2.25+5/2.25)=2.23611\ldots$।)

১০-নং সমাধান দেখাও

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ — $\dfrac00$ আকার। l'Hôpital (প্রথমবার):

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}.\]

এটাও $\dfrac00$। আবার l'Hôpital (দ্বিতীয়বার):

\[\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\frac{\cos 0}{2}=\frac{1}{2}.\]

তাই সীমা $=\dfrac{1}{2}$। (এটা quadratic approximation $\cos x\approx 1-\tfrac12 x^2$-এর সঙ্গেও মেলে।)

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ে অন্তরজের আটটা বড় প্রয়োগ দেখলাম — এক সুতোয় গাঁথা "কাছে গেলে সব সরল" স্বজ্ঞা দিয়ে। নিজেকে যাচাই করো:

[ ] linear approximation লিখতে পারি: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$, আর জানি ভুল $(x-a)^2$-এর মাপের।
[ ] differential $dy=f'(x)\,dx$ বুঝি; পরম/আপেক্ষিক/শতকরা পরিবর্তন আলাদা করতে পারি।
[ ] max/min খুঁজতে তিন ধরনের critical point (stationary, rough, endpoint) পরীক্ষা করি।
[ ] second derivative test প্রয়োগ করতে পারি: $f''>0$ min, $f''<0$ max; আর inflection point ($f''$ চিহ্ন বদলায়) চিনি।
[ ] concave up/down আর quadratic approximation $f(a)+f'(a)(x-a)+\tfrac12 f''(a)(x-a)^2$ বুঝি।
[ ] graph আঁকতে $f,f',f''$-এর চিহ্ন ও asymptote (horizontal/vertical/sloping) ব্যবহার করি।
[ ] parabola (focus/directrix), ellipse (যোগফল $2a$), hyperbola (পার্থক্য $2a$) আলাদা করতে পারি; discriminant $B^2-4AC$ জানি।
[ ] iteration $x_{n+1}=F(x_n)$-এর fixed point ও আকর্ষণ পরীক্ষা $|F'(x^\*)|<1$ বুঝি।
[ ] Newton's method $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ লিখতে ও চালাতে পারি; জানি error বর্গ হয়।
[ ] MVT ও Rolle-এর বিবৃতি ও প্রমাণ বুঝি; l'Hôpital কেবল $\dfrac00$-তে প্রয়োগ করি।

➡️ পরের অধ্যায়: 9.4 — The Chain Rule — (শীঘ্রই)। আপাতত Part 9 সূচি।