9.10 — Infinite Series (অসীম ধারা)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: এতদিন আমরা যোগ করেছি কয়েকটা সংখ্যা। এবার যোগ করব অসীম সংখ্যক পদ — আর আশ্চর্যজনকভাবে সেই যোগফল প্রায়ই একটা সসীম, চেনা সংখ্যা বা function হয়ে দাঁড়ায়। শুরু করব সবচেয়ে সরল ও সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ series (ধারা) দিয়ে — geometric series (জ্যামিতিক ধারা) \(1+x+x^2+\cdots=\frac{1}{1-x}\); দেখব কীভাবে এটাকে গুণ-ভাগ-অন্তরজ-সমাকল করে \(\ln 2\) আর \(\pi\)-এর series বের হয়। তারপর সবচেয়ে সূক্ষ্ম প্রশ্ন — series-টা আদৌ যোগ হয় (converge করে) নাকি অসীমে চলে যায় (diverge করে)? এর উত্তর দেয় convergence (অভিসৃতি) test-গুলো: comparison, integral, ratio, root, limit comparison ও alternating series test — প্রতিটা লাইন ধরে প্রমাণসহ। এরপর গণিতের সবচেয়ে শক্তিশালী যন্ত্র Taylor series \(\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\) — যা দিয়ে \(e^x,\sin x,\cos x\)-কে বহুপদী (polynomial)-এর মতো লেখা যায়, এমনকি Euler-এর অমর সূত্র \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) বেরিয়ে আসে। শেষে power series (শক্তি ধারা) ও তার radius of convergence (অভিসৃতি ব্যাসার্ধ) — যেখানে series function-কে ঠিক কতদূর পর্যন্ত অনুসরণ করে তা মাপি। Strang-এর Chapter 10-এর পাঁচটা section এখানে একদম বেসিক থেকে, লাইন-ধরে-ধরে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

একটা ক্যালকুলেটরে \(\sin(0.7)\) চাপলে উত্তর আসে \(0.644217\ldots\)। কিন্তু যন্ত্রটা "sine" বোঝে না — সে শুধু যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ পারে। তাহলে সে \(\sin(0.7)\) কীভাবে বের করল? উত্তর: সে আসলে একটা অসীম ধারার কয়েকটা পদ যোগ করেছে:

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\]

এই একটা কারণেই infinite series ক্যালকুলাসের কেন্দ্রে। \(e^x,\ \sin x,\ \cos x,\ \ln x,\ \tan^{-1}x\) — এই "transcendental" function-গুলো বহুপদী নয়, তাই সরাসরি হিসাব করা যায় না। কিন্তু series আকারে লিখলে এরা অসীম বহুপদী — শুধু যোগ-গুণ দিয়েই যেকোনো নির্ভুলতায় হিসাব করা যায়।

Strang-এর মতে series-এর শক্তি আরও গভীর। Geometric series manipulate করে logarithm compute করা যায় (\(\ln2=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots\)), এমনকি \(\pi\)-ও (\(\tfrac\pi4=1-\tfrac13+\tfrac15-\cdots\), Leibniz formula)। Power series দিয়ে differential equation solve করা যায়—unknown series substitute করে coefficient match করা হয়। আর decimal \(0.333\ldots=\tfrac13\) আসলে geometric series।

কিন্তু অসীম যোগফল বিপজ্জনক। \(1+1+1+\cdots\) অসীমে চলে যায়; \(1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots\) থেমে যায় ঠিক \(2\)-এ। এই দুইয়ের সীমারেখা — কোথায় series "converge" করে আর কোথায় "diverge" — খুঁজে বের করাই এই অধ্যায়ের সূক্ষ্মতম খেলা।

মূল স্বজ্ঞা

Series (ধারা)-এর যোগফল মানে তার partial sum (আংশিক যোগফল)-এর limit। অর্থাৎ "\(a_1+a_2+a_3+\cdots=s\)" আসলে "\(s_n=a_1+\cdots+a_n\) ক্রমটা \(s\)-এর দিকে যায়" — এই পুরনো ধারণারই নতুন রূপ। তাই যত ভয়ঙ্কর অসীম যোগফলই হোক, সবসময় নিজেকে জিজ্ঞেস করো: আংশিক যোগফলগুলো কি কোনো একটা সংখ্যার দিকে থিতু হচ্ছে? থিতু হলে converge, না হলে diverge।

২. মূল ধারণা (Core idea)

২.১ Geometric Series (জ্যামিতিক ধারা)

সব series-এর জননী — geometric series। প্রতিটা পদ আগেরটার \(x\)-গুণ:

\[1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}.\]

বাঁ পাশ (series) থেকে ডান পাশ (function) কীভাবে আসে? প্রথমে \(n\) পদের যোগফল বের করি। মূল কৌশল — \((1-x)\) দিয়ে গুণ করলে মাঝের সব পদ কাটাকাটি হয়ে যায় (telescoping):

\[(1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1})(1-x) = 1 - x^n.\]

কারণ \(1\cdot(1-x)=1-x\), তারপর \(x(1-x)=x-x^2\), \(\ldots\) — শুরুর \(1\) আর শেষের \(-x^n\) ছাড়া সব মাঝপথে বাতিল। তাই \(n\) পদের যোগফল:

\[s_n = 1 + x + \cdots + x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}.\]

এবার \(n\to\infty\) পাঠাই। যদি \(\lvert x\rvert < 1\) হয়, তাহলে \(x^n\to 0\), আর তখন:

\[s_n = \frac{1-x^n}{1-x} \longrightarrow \frac{1-0}{1-x} = \frac{1}{1-x}.\]

কিন্তু \(\lvert x\rvert \ge 1\) হলে \(x^n\) শূন্যে যায় না — series diverge করে। তাই geometric series কেবল \(-1 < x < 1\)-এ কাজ করে।

চিত্র ১০.১: দুই পদ, তিন পদ, তারপর পুরো series — \(1+x+x^2+\cdots=\dfrac{1}{1-x}\)। যত পদ যোগ করি, আংশিক যোগফল তত \(\tfrac{1}{1-x}\)-এর কাছে যায় (শর্ত \(\lvert x\rvert<1\))।

উল্টো দিক থেকে: function থেকে series। \(f(x)=\dfrac{1}{1-x}\) থেকে series-টা কীভাবে জন্মায়? calculus-এর সবচেয়ে সুন্দর উত্তর — সব অন্তরজ মিলিয়ে দেওয়া \(x=0\)-তে। ধাপে ধাপে অন্তরজ নিই:

\[f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2},\quad f''(x)=\frac{2}{(1-x)^3},\quad f'''(x)=\frac{6}{(1-x)^4},\ \ldots\]

\(x=0\)-তে এদের মান \(1, 1, 2, 6, 24,\ldots\) — অর্থাৎ \(n\)-তম অন্তরজ \(f^{(n)}(0)=n!\) (n factorial)। এখন লক্ষ করো: \(x^n\)-এর \(n\)-তম অন্তরজ \(x=0\)-তে ঠিক \(n!\), বাকি সব অন্তরজ শূন্য। তাই \(1+x+x^2+\cdots\) series-টার প্রতিটা অন্তরজ \(x=0\)-তে হুবহু \(\dfrac{1}{1-x}\)-এর অন্তরজের সমান। অন্তরজ মিলে গেলে function মিলে যায় — এটাই পরে Taylor series-এর বীজ।

আটটা কাজ যা geometric series থেকে নতুন series বানায় (Strang-এর তালিকা থেকে বাছাই):

• গুণ (\(a\) দিয়ে): \(a+ax+ax^2+\cdots=\dfrac{a}{1-x}\)। তাই \(3+0.3+0.03+\cdots=3.333\ldots=\tfrac{10}{3}\)।
• অন্তরজ: \(\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{(1-x)^2}\), তাই \(1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\dfrac{1}{(1-x)^2}\)।
• সমাকল: \(\displaystyle\int_0^x\frac{dx}{1-x}=-\ln(1-x)\), তাই

\[x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots = -\ln(1-x).\]

\(x\to -x\) বসিয়ে \(\ln(1+x)=x-\tfrac12 x^2+\tfrac13 x^3-\cdots\)। এখানে \(x=1\) বসালে সেই বিখ্যাত ফল:

\[\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots\]

• চলক বদল (\(x\to x^2\)): \(\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots\)। এটা সমাকল করলে inverse tangent:

\[\tan^{-1}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\]

\(x=1\)-এ (\(\tan^{-1}1=\tfrac{\pi}{4}\)) পাই Leibniz-এর \(\pi\)-সূত্র: \(\ \dfrac{\pi}{4}=1-\tfrac13+\tfrac15-\tfrac17+\cdots\)।

পুনরাবৃত্ত দশমিক (repeating decimal) আসলে geometric series। যেমন \(0.\overline{12}=0.121212\ldots\):

\[0.\overline{12} = \frac{12}{100} + \frac{12}{100^2} + \frac{12}{100^3} + \cdots = \frac{12/100}{1-1/100} = \frac{12}{99}.\]

তাই "প্রতিটা পুনরাবৃত্ত দশমিক একটা ভগ্নাংশ" — এটাই এর প্রমাণ।

কিড-চিত্র: একটা একক বর্গকে অর্ধেক, তারপর বাকির অর্ধেক, তারপর আবার অর্ধেক... করে ভরাট করলে \(\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots=1\)। অসীম সংখ্যক টুকরো, কিন্তু মোট আয়তন ঠিক \(1\) — এটাই "converge করা" series-এর চোখে দেখা রূপ (Zeno-র হেঁয়ালির উত্তর)।

২.২ Convergence, Partial Sums ও Positive-Series Tests

তিনবার আমরা হিসাব থামিয়ে সংজ্ঞা দিয়েছি — derivative কী (Ch. 2), integral কী (Ch. 5), এখন series-এর যোগফল কী। তিনটাতেই একটা limit লুকিয়ে।

Partial sum ও convergence। series \(a_1+a_2+a_3+\cdots\)-এর \(n\)-তম partial sum হলো প্রথম \(n\) পদের যোগফল \(s_n=a_1+\cdots+a_n\)। series-এর যোগফল \(=\lim_{n\to\infty}s_n\) — যদি সেই limit থাকে। যেমন \(\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots\)-এর partial sum \(s_n=1-\tfrac{1}{2^n}\to 1\), তাই যোগফল \(1\)।

প্রথম শর্ত: পদ শূন্যে যেতেই হবে। series converge করলে \(a_n\to 0\) (নিচে প্রমাণ)। কিন্তু সাবধান — উল্টোটা সত্য নয়। এর সেরা উদাহরণ harmonic series (সমমেল ধারা):

\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \quad\text{— here } a_n=\tfrac1n\to 0,\ \text{yet the sum}\ \infty.\]

কেন diverge করে? পদগুলো দলে ভাগ করি: \(\tfrac13+\tfrac14 > \tfrac14+\tfrac14=\tfrac12\); \(\tfrac15+\cdots+\tfrac18 > 4\cdot\tfrac18=\tfrac12\); প্রতিটা দল \(\tfrac12\)-এর বেশি। অসীম সংখ্যক \(\tfrac12\) যোগ হলে যোগফল অসীম। "পদ শূন্যে যাচ্ছে, কিন্তু যথেষ্ট দ্রুত নয়" — এটাই মূল বার্তা।

চিত্র ১০.২: Integral test — series-এর পদগুলোকে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে curve \(y=1/x^p\)-এর নিচের ক্ষেত্রফলের সঙ্গে তুলনা। যোগফল ও সমাকল একসঙ্গে diverge করে (\(p=1\)) বা একসঙ্গে converge করে (\(p>1\))।

তুলনা করে সিদ্ধান্ত। partial sum-এর সরল সূত্র সাধারণত পাওয়া যায় না, তাই যোগফলের মান কখনো জানব না। কিন্তু চেনা series-এর সঙ্গে তুলনা করে converge/diverge ঠিক করা যায়:

• Comparison test: \(0\le a_n\le b_n\) আর \(\sum b_n\) converge করলে \(\sum a_n\)-ও করে (ছোট পদের যোগফল ছোট)। উল্টোভাবে \(a_n\ge c_n\) আর \(\sum c_n=\infty\) হলে \(\sum a_n=\infty\)।
• Integral test: \(y(x)\) কমতি (decreasing) হয়ে \(y(n)=a_n\) মিললে, \(\sum a_n\) আর \(\int_1^\infty y\,dx\) একসঙ্গে converge বা diverge করে। এটাই harmonic series-কে \(\int \tfrac{dx}{x}=\ln x\to\infty\)-এর সঙ্গে তুলনা করে diverge প্রমাণ করে।
• p-series: \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) converge করে কেবল যদি \(p>1\)। (\(p=1\) harmonic, diverge; \(p=2\) দেয় Euler-এর \(\tfrac{\pi^2}{6}\)।)
• Ratio test: পরপর পদের অনুপাত \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L\) হলে — \(L<1\) converge, \(L>1\) diverge, \(L=1\) সিদ্ধান্তহীন।
• Root test: \((a_n)^{1/n}\to L\) হলেও একই নিয়ম। দুটোই আসলে geometric series \(\sum L^n\)-এর সঙ্গে তুলনা।
• Limit comparison test: \(\dfrac{a_n}{b_n}\to L>0\) হলে \(\sum a_n\) ও \(\sum b_n\) একসঙ্গে চলে (একই আচরণ)।

Strang একটা লাইনে সব সাজান — সবচেয়ে বেশি diverge থেকে সবচেয়ে বেশি converge। crossover (সীমারেখা) ঠিক \(\tfrac1n\)-এর পরে:

\[\underbrace{1+1+\cdots}_{a_n\not\to 0},\ \underbrace{\sum\tfrac{1}{n^p}\,(p\le 1)}_{\text{diverge}},\ \underbrace{\sum\tfrac1n}_{\text{borderline}}\ \Big|\ \underbrace{\sum\tfrac{1}{n^p}\,(p>1)}_{\text{converge}},\ \underbrace{\sum\tfrac{1}{2^n}}_{\text{geometric}},\ \underbrace{\sum\tfrac{1}{n!}}_{=\,e},\ \underbrace{\sum\tfrac{1}{n^n}}_{\text{fastest}}.\]

কিড-চিত্র: দুটো series-এর partial sum পাশাপাশি — geometric \(\sum 1/2^n\) (নীল) দ্রুত \(1\)-এ থিতু হয় (converge), কিন্তু harmonic \(\sum 1/n\) (লাল) ধীরে হলেও ওপরে উঠতেই থাকে, কখনো থামে না (diverge)। পদ শূন্যে গেলেও যোগফল থামবে — এমন নিশ্চয়তা নেই।

২.৩ All Series: Absolute, Conditional ও Alternating

এবার পদগুলো ঋণাত্মকও হতে পারে। প্রথম কৌশল — সব চিহ্ন ফেলে দিয়ে (\(\lvert a_n\rvert\) নিয়ে) positive series-এ ফিরে যাওয়া।

Absolute convergence (পরম অভিসৃতি): \(\sum \lvert a_n\rvert\) converge করলে series-কে "absolutely convergent" বলি। মূল ফল: \(\sum\lvert a_n\rvert\) converge করলে \(\sum a_n\)-ও অবশ্যই করে। কারণ চিহ্ন ফেলে দিলে যোগফল কেবল বাড়ে; ছোট \(\sum a_n\) তাই নিরাপদ।

Conditional convergence (শর্তাধীন অভিসৃতি): \(\sum a_n\) converge করে, কিন্তু \(\sum\lvert a_n\rvert\) diverge করে। সেরা উদাহরণ alternating harmonic series \(1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots=\ln 2\): চিহ্নসহ converge করে \(\ln 2\)-তে, কিন্তু চিহ্ন ফেললে harmonic হয়ে diverge করে। এটা "শর্তাধীন" — বেঁচে আছে কেবল চিহ্নের সাবধানী বিন্যাসের কারণে।

চিত্র ১০.৩: alternating series (পর্যায়ক্রমিক ধারা) converge করে যখন পদের পরম মান শূন্যের দিকে কমে। partial sum-গুলো একবার ওপরে, একবার নিচে লাফায়, প্রতিবার ছোট লাফ — দুই দিক থেকে একই limit \(s\)-কে চেপে ধরে।

Alternating series test। series \(a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots\) (চিহ্ন পালা করে বদলায়) converge করে যদি — (১) পদের পরম মান কমতে থাকে \(a_{n+1}\le a_n\), এবং (২) \(a_n\to 0\)। ছবির যুক্তি: বিজোড় partial sum \(s_1,s_3,s_5,\ldots\) কমছে, জোড় \(s_2,s_4,s_6,\ldots\) বাড়ছে, আর এদের ব্যবধান \(a_n\to 0\) — তাই দুই ক্রম একই \(s\)-এ মেলে। বোনাস: যোগফল সবসময় পরপর দুই partial sum-এর মাঝে, তাই থামলে ভুল \(\le\) পরের পদ \(a_{n+1}\)।

সাবধানবাণী — পুনর্বিন্যাস। absolutely convergent হলে পদ যেকোনো ক্রমে সাজানো/গুণ করা নিরাপদ, যোগফল বদলায় না। কিন্তু conditionally convergent হলে ভয়ংকর — \(1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots\)-এর পদ পুনর্বিন্যাস করে যেকোনো সংখ্যায় (এমনকি \(1000\)-এ) converge করানো যায়! তাই calculus যেটা সত্যিই চায় তা হলো absolute convergence — বিশেষত power series-এ।

২.৪ Taylor Series: \(e^x\), \(\sin x\), \(\cos x\)

এবার সংখ্যা থেকে function-এ ফেরা: \(\sum a_n x^n = f(x)\)। আমরা \(a_n\)-গুলো এমনভাবে বাছব যেন series-টার সব অন্তরজ \(x=0\)-তে \(f\)-এর অন্তরজের সঙ্গে মেলে।

\(e^x\)-এর series। \(f(x)=e^x\)-এর সব অন্তরজ \(e^x\), আর \(x=0\)-তে প্রতিটার মান \(1\)। এই \(1\)-গুলো মেলাতে হরে factorial বসাই — কারণ \(\dfrac{x^n}{n!}\)-এর \(n\)-তম অন্তরজ \(x=0\)-তে ঠিক \(1\):

\[e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.\]

\(x=1\) বসালে \(e=1+1+\tfrac12+\tfrac16+\cdots=2.71828\ldots\)।

\(\cos x\) ও \(\sin x\)। \(\cos x\)-এর অন্তরজ ঘুরে ঘুরে \(\cos, -\sin, -\cos, \sin\); \(x=0\)-তে মান \(1,0,-1,0,1,\ldots\) — জোড় অন্তরজ পালা করে \(\pm 1\), বিজোড় শূন্য। তাই কেবল জোড় ঘাত টিকে থাকে:

\[\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\]

একইভাবে \(\sin x\)-এ কেবল বিজোড় ঘাত:

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\]

চিত্র ১০.৪: cosine series-এর partial sum \(1-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}-\cdots\)। যত পদ যোগ হয়, বহুপদী তত দূর পর্যন্ত \(\cos x\)-কে জড়িয়ে ধরে চলে, তারপর ছেড়ে যায়। এই series সব \(x\)-এ absolutely converge করে।

সাধারণ Taylor series (10K)। যেকোনো মসৃণ \(f\)-এর জন্য, \(x=0\)-তে সব অন্তরজ মেলাতে \(a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) বাছি:

\[\boxed{\ f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n\ }\]

\(x=0\)-কে basepoint (ভিত্তিবিন্দু) ধরলে একে Maclaurin series বলে। basepoint \(x=a\) হলে ঘাতগুলো হয় \((x-a)^n\) আর অন্তরজ নেওয়া হয় \(a\)-তে: \(f(x)=\sum \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)। প্রথম দুই পদ \(f(a)+f'(a)(x-a)\) হলো সেই চেনা tangent-রেখা আসন্নীকরণ — Taylor series তার অসীম সম্প্রসারণ।

Euler-এর সূত্র। series-এ কাল্পনিক সংখ্যা \(i\) (যেখানে \(i^2=-1\)) বসিয়ে দিলে জাদু ঘটে। \(e^{i\theta}\)-এর series-এ জোড় ঘাত বাস্তব (দেয় \(\cos\theta\)-এর series), বিজোড় ঘাত \(i\)-গুণ (দেয় \(\sin\theta\)-এর series):

\[e^{i\theta} = \left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right) + i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\cdots\right) = \cos\theta + i\sin\theta.\]

চিত্র ১০.৫: Euler-এর সূত্র \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)। complex plane-এ \(e^{i\theta}\) হলো একক বৃত্তের বিন্দু, কোণ \(\theta\), মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \(r=1\) (কারণ \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\))। লক্ষ করো \(e^{2\pi i}=1\)।

কিড-চিত্র: \(\sin x\) (কালো) আর তার Taylor আসন্নীকরণ ধাপে ধাপে — degree \(1\) (\(x\)), degree \(3\) (\(x-\tfrac{x^3}{6}\)), degree \(5\), degree \(7\)। প্রতিটা নতুন পদ যোগ করলে বহুপদী আরও দূর পর্যন্ত \(\sin x\)-কে অনুসরণ করে, তারপর ছেড়ে যায় — Taylor series-এর মূল ছবি।

২.৫ Power Series ও Radius of Convergence

\(\sum a_n x^n\) (বা basepoint \(a\)-তে \(\sum a_n (x-a)^n\))-কে বলে power series (শক্তি ধারা)। মূল প্রশ্ন — এটা কোন \(x\)-এ function-এ converge করে?

Radius of convergence (10M)। একটা power series হয় সব \(x\)-এ converge করে, নয় কেবল basepoint-এ, নয়তো একটা radius of convergence \(r\) আছে: \(\lvert x\rvert < r\)-এ absolutely converge, \(\lvert x\rvert > r\)-এ diverge। প্রান্ত \(\lvert x\rvert=r\)-এ কী হবে তা আগে বলা যায় না। যেমন — \(\sum x^n/n!\) (\(=e^x\)) সব \(x\)-এ (\(r=\infty\)); \(\sum n!\,x^n\) কেবল \(x=0\)-এ; geometric \(\sum x^n\)-এর \(r=1\)।

ratio test দিয়ে \(r\) বের করা। power series-এর জন্য ratio ও root test সবচেয়ে ভালো। যেমন \(\sum \dfrac{n x^n}{4^n}\): পরপর পদের অনুপাত

\[\frac{(n+1)x^{n+1}/4^{n+1}}{nx^n/4^n} = \frac{x}{4}\cdot\frac{n+1}{n} \longrightarrow \frac{x}{4}.\]

converge চাই \(\left\lvert \tfrac{x}{4}\right\rvert < 1\), অর্থাৎ \(\lvert x\rvert < 4\) — তাই \(r=4\)।

চিত্র ১০.৬: convergence radius \(r\) হলো basepoint \(a\) থেকে সবচেয়ে কাছের singularity (যেখানে function ভেঙে পড়ে)-এর দূরত্ব — বাস্তব, কাল্পনিক বা জটিল। এটাই ব্যাখ্যা করে কেন \(r\) একটা "ব্যাসার্ধ"।

Remainder term (10N)। series থামালে ভুল কত? \(n\)-তম পদে থামলে remainder (অবশিষ্ট) \(R_n(x)=f(x)-s_n(x)\), আর Mean Value Theorem বলে মাঝের কোনো অজানা বিন্দু \(c\)-তে:

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]

অর্থাৎ ভুলটা হুবহু পরের পদের মতো, শুধু \((n+1)\)-তম অন্তরজ basepoint-এর বদলে \(c\)-তে নেওয়া। \(R_n\to 0\) হলেই series সত্যিই function-এ পৌঁছায়।

\(r\) = নিকটতম singularity-র দূরত্ব। একটা গভীর সত্য: \(r\) ঠিক ততদূর যায় যতদূরে function প্রথম "ভেঙে পড়ে"। \(\dfrac{1}{1-x}\) ভেঙে পড়ে \(x=1\)-এ, তাই \(r=1\)। কিন্তু \(\dfrac{1}{1+x^2}\) তো বাস্তবে কোথাও ভাঙে না — তবু \(r=1\)! কারণ কাল্পনিক বিন্দু \(x=\pm i\)-তে হর শূন্য হয়ে যায়। complex সংখ্যাই পর্দার আড়াল থেকে কলকাঠি নাড়ছে।

Binomial series। \((1+x)^p\)-এর Taylor series (\(x=0\)-তে) — যেকোনো ঘাত \(p\)-এর জন্য:

\[(1+x)^p = 1 + px + \frac{p(p-1)}{2!}x^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{3!}x^3 + \cdots\]

\(p\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে series থেমে যায় (সাধারণ binomial theorem, \(r=\infty\))। নয়তো (যেমন \(p=\tfrac12\) দেয় \(\sqrt{1+x}\)) series কখনো থামে না, converge করে \(\lvert x\rvert < 1\)-এ।

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য

সংজ্ঞা ১০.১ — Partial Sum ও Convergence

series \(a_1+a_2+a_3+\cdots\)-এর \(n\)-তম partial sum হলো

\[s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n.\]

series-টি একটি সংখ্যা \(s\)-এ converge করে যদি \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n = s\) থাকে; তখন \(\sum a_n = s\)। limit না থাকলে series diverge করে। মনে রাখো — যোগ করি \(a\)-গুলো, কিন্তু limit নিই \(s\)-গুলোর।

সংজ্ঞা ১০.২ — Absolute ও Conditional Convergence

\(\sum a_n\) absolutely convergent যদি \(\sum \lvert a_n\rvert\) converge করে। যদি \(\sum a_n\) converge করে কিন্তু \(\sum\lvert a_n\rvert\) diverge করে, তবে তাকে বলে conditionally convergent। (উদাহরণ: \(1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots\) conditionally convergent, যোগফল \(\ln 2\)।)

উপপাদ্য ১০.৩ (10A) — n-তম পদ পরীক্ষা

series \(\sum a_n\) converge করলে অবশ্যই \(a_n\to 0\)।

প্রমাণ: ধরা যাক \(s_n\to s\)। তাহলে \(s_{n-1}\to s\)-ও। এখন \(a_n = s_n - s_{n-1}\), তাই

\[\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n - s_{n-1}) = s - s = 0.\qquad\square\]

সতর্কতা: এটা কেবল প্রয়োজনীয় শর্ত, যথেষ্ট নয়। \(a_n\to 0\) হলেও series diverge করতে পারে (harmonic series: \(\tfrac1n\to 0\), তবু \(s_n\to\infty\))।

উপপাদ্য ১০.৪ — Geometric Series-এর যোগফল

\(\lvert x\rvert < 1\) হলে

\[1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}, \qquad \lvert x\rvert \ge 1 \Rightarrow \text{diverge}.\]

প্রমাণ: \((1-x)(1+x+\cdots+x^{n-1}) = 1-x^n\) (telescoping), তাই \(s_n = \dfrac{1-x^n}{1-x}\)। \(\lvert x\rvert<1\) হলে \(x^n\to 0\), তাই \(s_n\to \dfrac{1}{1-x}\)। \(\lvert x\rvert\ge 1\) হলে \(x^n\not\to 0\), তাই \(a_n\not\to 0\) — উপপাদ্য ১০.৩ অনুযায়ী diverge। \(\square\)

উপপাদ্য ১০.৫ (10B) — Comparison Test (ধনাত্মক পদ)

ধরা যাক সব পদ ধনাত্মক।

• যদি \(0\le a_n\le b_n\) এবং \(\sum b_n\) converge করে, তবে \(\sum a_n\) converge করে।
• যদি \(a_n\ge c_n\ge 0\) এবং \(\sum c_n\) diverge করে, তবে \(\sum a_n\) diverge করে।

যুক্তি: ধনাত্মক পদের partial sum বাড়তে থাকে। \(\sum b_n\)-এর যোগফল \(B\) হলে \(s_n=a_1+\cdots+a_n\le B\) — অর্থাৎ \(s_n\) ঊর্ধ্বসীমাবদ্ধ (bounded above) ও বাড়তি (increasing), তাই converge করে (বাস্তব সংখ্যারেখায় ফাঁক নেই)। \(\square\)

উপপাদ্য ১০.৬ (10C) — Integral Test

ধরা যাক \(y(x)\) কমতি (decreasing), ধনাত্মক, এবং \(y(n)=a_n\)। তবে

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad\text{and}\quad \int_1^{\infty} y(x)\,dx\]

দুটোই একসঙ্গে converge বা একসঙ্গে diverge করে।

যুক্তি: উচ্চতা \(a_n\)-এর আয়তক্ষেত্র curve-এর একপাশে উপরে, অন্যপাশে নিচে থাকে। তাই বাঁ-যোগফল \(\ge\) সমাকল \(\ge\) ডান-যোগফল — সমাকলের ক্ষেত্রফল সসীম হলে আয়তক্ষেত্রের যোগফলও সসীম, আর অসীম হলে অসীম। \(\square\)

উপপাদ্য ১০.৭ — p-Series

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) converge করে কেবল যদি \(p>1\)।

প্রমাণ: integral test-এ \(y=1/x^p\) নিই (\(p>0\) হলে কমতি)। \(p\ne 1\) হলে

\[\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p} = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^{\infty}.\]

\(p>1\) হলে \(x^{1-p}\to 0\), সমাকল \(=\dfrac{1}{p-1}\) সসীম — series converge করে। \(p<1\) হলে \(x^{1-p}\to\infty\), সমাকল অসীম — diverge। \(p=1\) হলে সমাকল \(\ln x\to\infty\) — diverge (harmonic)। \(\square\)

উপপাদ্য ১০.৮ (10D, 10E) — Ratio Test ও Root Test

ধনাত্মক পদের জন্য, ধরা যাক \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L\) (অথবা \((a_n)^{1/n}\to L\))। তবে

\[L<1 \Rightarrow \text{converge}, \qquad L>1 \Rightarrow \text{diverge}, \qquad L=1 \Rightarrow \text{inconclusive}.\]

প্রমাণ (\(L<1\), ratio): \(L\) ও \(1\)-এর মাঝে একটা সংখ্যা \(x\) বাছি (\(L<x<1\))। যথেষ্ট বড় \(N\)-এর পর সব অনুপাত \(x\)-এর নিচে থাকে:

\[\frac{a_{N+1}}{a_N}\le x,\quad \frac{a_{N+2}}{a_N}\le x^2,\quad \frac{a_{N+3}}{a_N}\le x^3,\ \ldots\]

তাই \(a_{N+1}+a_{N+2}+\cdots \le a_N(x+x^2+x^3+\cdots)\)। ডান পাশ geometric series (\(x<1\)), converge করে; comparison test-এ মূল series-ও converge করে। \(\square\)

উপপাদ্য ১০.৯ (10F) — Limit Comparison Test

ধনাত্মক পদের \(\sum a_n,\ \sum b_n\)-এর জন্য, যদি \(\dfrac{a_n}{b_n}\to L\) (কোনো ধনাত্মক \(L\)), তবে দুটো series একসঙ্গে converge বা একসঙ্গে diverge করে।

যুক্তি: যথেষ্ট বড় \(n\)-এ \(\tfrac12 L\,b_n \le a_n \le 2L\,b_n\)। তাই \(a_n\) ও \(b_n\) একে অন্যকে দুই পাশ থেকে চেপে ধরে — comparison test-এ একই আচরণ। এটা "লেজের" (বড় \(n\)) পদ দেখেই কাজ করে, তাই \(\sum \sin(7/n^p)\) ধরনের series-ও \(\sum 1/n^p\)-এর মতো আচরণ করে (\(L=7\))। \(\square\)

উপপাদ্য ১০.১০ (10G) — Absolute ⟹ Convergent

\(\sum \lvert a_n\rvert\) converge করলে \(\sum a_n\) converge করে।

প্রমাণ: প্রতিটা পদ \(a_n+\lvert a_n\rvert\) হয় \(0\) (যদি \(a_n<0\)), নয়তো \(2\lvert a_n\rvert\)। উভয় ক্ষেত্রেই \(0\le a_n+\lvert a_n\rvert\le 2\lvert a_n\rvert\)। যেহেতু \(\sum 2\lvert a_n\rvert\) converge করে, comparison test-এ \(\sum(a_n+\lvert a_n\rvert)\)-ও করে। এবার convergent \(\sum\lvert a_n\rvert\) বিয়োগ করি:

\[\sum a_n = \sum\big(a_n+\lvert a_n\rvert\big) - \sum \lvert a_n\rvert\]

দুই convergent series-এর বিয়োগ — তাই \(\sum a_n\) converge করে। \(\square\)

উপপাদ্য ১০.১১ (10H) — Alternating Series Test

alternating series \(a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots\) (সব \(a_n>0\)) converge করে যদি (১) \(a_{n+1}\le a_n\) (পরম মান কমতি) এবং (২) \(a_n\to 0\)।

প্রমাণ: বিজোড় partial sum \(s_1, s_3, s_5,\ldots\) কমছে, কারণ \(s_{n+2}-s_n=-a_{n+1}+a_{n+2}\le 0\) (যেহেতু \(a_{n+2}\le a_{n+1}\))। জোড় partial sum \(s_2, s_4,\ldots\) বাড়ছে একই কারণে। প্রতিটা বিজোড় \(s\) প্রতিটা জোড় \(s\)-এর উপরে, আর তাদের ব্যবধান \(s_{n}-s_{n-1}=\pm a_n\to 0\)। তাই কমতি বিজোড় ক্রম ও বাড়তি জোড় ক্রম একই limit \(s\)-এ মেলে, যা সবসময় \(s_{n-1}\) ও \(s_n\)-এর মাঝে থাকে। \(\square\)

ফল (error bound): \(n\) পদে থামলে ভুল \(\lvert s - s_n\rvert \le a_{n+1}\) — অর্থাৎ প্রথম বাদ-পড়া পদের চেয়ে ছোট।

উপপাদ্য ১০.১২ (10K, 10L) — Taylor Series

basepoint \(x=a\)-তে \(f\)-এর সব অন্তরজ মেলানো power series হলো

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots\]

\(a=0\) হলে একে Maclaurin series বলে: \(\displaystyle f(x)=\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)।

কেন \(a_n=f^{(n)}(a)/n!\)? কারণ \((x-a)^n\)-এর \(n\)-তম অন্তরজ \(x=a\)-তে ঠিক \(n!\), আর বাকি সব অন্তরজ শূন্য। তাই \(a_n(x-a)^n\) পদটা \(f\)-এর \(n\)-তম অন্তরজ মেলায় যদি \(a_n\cdot n! = f^{(n)}(a)\)। মূল উদাহরণ:

\[e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]

উপপাদ্য ১০.১৩ (10M) — Radius of Convergence

একটা power series \(\sum a_n x^n\) হয় (ক) সব \(x\)-এ converge করে, (খ) কেবল \(x=0\)-এ, নয়তো (গ) একটা \(r>0\) আছে যেন \(\lvert x\rvert<r\)-এ absolutely converge আর \(\lvert x\rvert>r\)-এ diverge।

প্রমাণ (মূল ধাপ): ধরা যাক \(\sum a_n X^n\) কোনো নির্দিষ্ট \(X\)-এ converge করে। তবে তার পদ \(\to 0\), তাই যথেষ্ট বড় \(n\)-এ \(\lvert a_n X^n\rvert\le 1\)। এখন \(\lvert x\rvert<\lvert X\rvert\) হলে

\[\lvert a_n x^n\rvert = \lvert a_n X^n\rvert\cdot\left\lvert\frac{x}{X}\right\rvert^{\,n} \le \left\lvert\frac{x}{X}\right\rvert^{\,n}.\]

ডান পাশ geometric series (\(\lvert x/X\rvert<1\)), converge করে; comparison-এ \(\sum a_n x^n\) absolutely converge করে। অর্থাৎ একটা বিন্দুতে convergence তার চেয়ে কাছের সব বিন্দুতে convergence নিশ্চিত করে। \(\square\)

উপপাদ্য ১০.১৪ (10N) — Remainder ও Binomial Series

Remainder: \(f\)-এর \((n+1)\)-তম অন্তরজ থাকলে, basepoint \(a\) ও \(x\)-এর মাঝে কোনো \(c\)-তে

\[R_n(x) = f(x) - s_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]

series function-এ converge করে যদি \(R_n\to 0\)।

Binomial series: \(\lvert x\rvert<1\)-এ

\[(1+x)^p = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{p}{n}x^n, \qquad \binom{p}{n}=\frac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}.\]

\(p\) অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে series সসীম (\(r=\infty\)); নয়তো \(r=1\)।

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১ (\(e\)-এর মান series থেকে)। \(e^x=\sum x^n/n!\)-এ \(x=1\):

\[e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots = 2 + 0.5 + 0.1667 + 0.0417 + \cdots \approx 2.7183.\]

মাত্র ছয় পদেই চার দশমিক ঘর ঠিক — কারণ factorial হর দ্রুত বড় হয়, ratio test-এ \(L=0\), অত্যন্ত দ্রুত converge।

উদাহরণ ২ (\(\sin\) ও \(\cos\) পরস্পরের অন্তরজ — series দিয়ে)। \(\sin x = x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots\) পদে পদে অন্তরজ নিই:

\[\frac{d}{dx}\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\right) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x.\]

trigonometry-র সেই কঠিন সীমা \(\tfrac{\sin x}{x}\to 1\) ছাড়াই \((\sin x)'=\cos x\) বেরিয়ে এলো — series নিজেই যথেষ্ট।

উদাহরণ ৩ (alternating series-এর ভুল-সীমা)। \(\ln 2 = 1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \tfrac15 - \cdots\)। পাঁচ পদে থামি: \(s_5 = 1-0.5+0.333-0.25+0.2 = 0.7833\)। উপপাদ্য ১০.১১ অনুযায়ী ভুল \(\le a_6 = \tfrac16 \approx 0.167\)। সত্যিই \(\ln 2 = 0.6931\), ভুল \(0.090 < 0.167\) — সীমা মানা হলো। (এই series খুব ধীরে converge করে, তাই বাস্তবে \(\ln 2\) হিসাবে অন্য series ভালো।)

উদাহরণ ৪ (Euler ও \(e^{i\pi}=-1\))। \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)-এ \(\theta=\pi\):

\[e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1, \qquad\text{i.e.}\quad e^{i\pi}+1=0.\]

গণিতের পাঁচটা মৌলিক ধ্রুবক \(e, i, \pi, 1, 0\) এক সমীকরণে — যা পুরোপুরি series থেকে জন্মানো।

উদাহরণ ৫ (radius = singularity-র দূরত্ব)। \(\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-\cdots\) কেবল \(\lvert x\rvert<1\)-এ converge করে, যদিও বাস্তব রেখায় function কোথাও ভাঙে না। কারণ \(x=i\)-তে \(1+i^2=0\) — হর শূন্য। basepoint \(0\) থেকে \(i\)-এর দূরত্ব \(1\), তাই \(r=1\)।

Analogy — Taylor series = বন্ধুর নকল করা মূকাভিনেতা

কল্পনা করো একজন মূকাভিনেতা (series) এক জায়গায় দাঁড়িয়ে (basepoint \(x=0\)) তোমার (function \(f\)) নকল করছে। সে প্রথমে তোমার অবস্থান মেলায় (\(f(0)\)), তারপর তোমার গতি/ঢাল মেলায় (\(f'(0)\)), তারপর তোমার বাঁক (\(f''(0)\)), তারপর বাঁক-বদল (\(f'''(0)\)) — যত বেশি অন্তরজ মেলায়, তত বেশি দূর পর্যন্ত সে হুবহু তোমার মতো নড়ে। কিন্তু নকলটা সবচেয়ে নিখুঁত ঠিক সেই দাঁড়ানো বিন্দুতে; দূরে সরলে (basepoint থেকে দূরে) ধীরে ধীরে মিল কমে, আর একটা দূরত্বের (\(r\)) পর সে পুরো হাল ছেড়ে দেয়। এই "কাছে নিখুঁত, দূরে দুর্বল" — power series-এর চরিত্র।

৫. Python-এ করো

নিচের দুটো প্রোগ্রাম numpy দিয়ে। প্রথমটা partial sum ও convergence যাচাই করে (geometric formula, harmonic-এর diverge, alternating harmonic → \(\ln 2\), ratio test)। দ্বিতীয়টা \(\sin x\)-এর Taylor আসন্নীকরণ ধাপে ধাপে এঁকে ছবি সেভ করে।

import numpy as np

# ---------- (i) partial sum ও convergence যাচাই ----------

# geometric series: 1 + x + x^2 + ... = 1/(1-x)  (|x|<1 হলে)
x = 0.5
N = 40
terms = x ** np.arange(N)              # পদগুলো: x^0, x^1, ..., x^(N-1)
partial = np.cumsum(terms)             # আংশিক যোগফল s_1, s_2, ...
print("geometric x=0.5:")
print("  partial sum (40 পদ) =", partial[-1])
print("  সূত্র 1/(1-x)        =", 1/(1-x))   # মিলবে

# harmonic series 1 + 1/2 + 1/3 + ... -> diverge (ধীরে বাড়তেই থাকে)
n = np.arange(1, 100001)
harm = np.cumsum(1.0 / n)
print("\nharmonic partial sum:")
for k in (10, 100, 1000, 100000):
    print(f"  s_{k:<6} = {harm[k-1]:.4f}")   # থামে না, ln(k)-এর মতো বাড়ে

# alternating harmonic 1 - 1/2 + 1/3 - ... -> ln 2 (conditionally converge)
n = np.arange(1, 100001)
alt = np.cumsum((-1.0) ** (n + 1) / n)      # (-1)^(n+1)/n
print("\nalternating harmonic -> ln 2:")
print("  partial sum (1e5 পদ) =", alt[-1])
print("  numpy-র ln 2          =", np.log(2))

# ratio test: e^x = sum x^n/n! -> অনুপাত x/(n+1) -> 0, তাই সব x-এ converge
x = 3.0
ratios = [abs(x / (m + 1)) for m in range(1, 8)]   # a_{n+1}/a_n = x/(n+1)
print("\ne^x-এর ratio a_(n+1)/a_n (x=3):", [round(r, 3) for r in ratios])
print("  অনুপাত শূন্যের দিকে যাচ্ছে => L=0<1 => সব x-এ converge")

import matplotlib
matplotlib.use("Agg")                  # স্ক্রিন ছাড়াই ছবি বানানোর ব্যাকএন্ড
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import factorial

# ---------- (ii) sin x-এর Taylor আসন্নীকরণ ধাপে ধাপে ----------
# sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

def sin_taylor(x, n_terms):
    """প্রথম n_terms টা অশূন্য পদ যোগ করে sin x-এর আসন্ন মান"""
    total = np.zeros_like(x)
    for k in range(n_terms):
        p = 2 * k + 1                  # ঘাত: 1, 3, 5, 7, ...
        total += (-1) ** k * x ** p / factorial(p)
    return total

xs = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 500)
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(xs, np.sin(xs), "k", lw=3, label="sin x (আসল)")

# degree 1, 3, 5, 7 আসন্নীকরণ — প্রতিটা আরও দূর পর্যন্ত মেলে
for n_terms, deg in [(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)]:
    plt.plot(xs, sin_taylor(xs, n_terms), lw=1.8,
             label=f"degree {deg} ({n_terms} পদ)")

plt.ylim(-2.5, 2.5)                     # দূরে বহুপদী দ্রুত ছিটকে যায়, তাই সীমা
plt.axhline(0, color="gray", lw=0.7)
plt.title("Taylor approximation of sin x (ধাপে ধাপে)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("y")
plt.legend(loc="upper center", fontsize=8)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig("taylor_sin_demo.png", dpi=150, bbox_inches="tight")
print("plot সেভ হলো: taylor_sin_demo.png")

প্রথম প্রোগ্রাম চালালে দেখবে geometric partial sum হুবহু \(1/(1-x)=2\)-তে মেলে, harmonic \(s_n\) থামে না (১ লক্ষ পদেও মাত্র \(\approx 12.09\), কিন্তু বাড়তেই থাকে), আর alternating harmonic \(\ln 2 = 0.6931\ldots\)-এ থিতু হয়। দ্বিতীয়টা দেখায় degree বাড়ার সঙ্গে Taylor বহুপদী \(\sin x\)-কে আরও দূর পর্যন্ত জড়িয়ে ধরে — ঠিক কিড-চিত্রের মতো।

৬. সাধারণ ভুল

1. \(a_n\to 0\) দেখেই converge ভাবা। সবচেয়ে বড় ফাঁদ। harmonic series-এ \(\tfrac1n\to 0\), তবু diverge। \(a_n\to 0\) কেবল প্রথম শর্ত, নিশ্চয়তা নয়।
2. series আর সংখ্যার ক্রম (sequence) গুলিয়ে ফেলা। \(\sum a_n\) converge করা মানে partial sum \(s_n\) থিতু হওয়া, স্বয়ং \(a_n\) থিতু হওয়া নয়। যোগ করো \(a\)-গুলো, limit নাও \(s\)-গুলোর।
3. geometric series \(\lvert x\rvert\ge 1\)-এ ব্যবহার। \(\dfrac{1}{1-x}\) সূত্র কেবল \(\lvert x\rvert<1\)-এ বৈধ। \(x=2\)-তে \(1+2+4+\cdots\ne \dfrac{1}{1-2}=-1\)।
4. ratio test-এ \(L=1\)-কে সিদ্ধান্ত ভাবা। \(L=1\) হলে test নীরব — p-series-এর সব \(p\)-তে \(L=1\), অথচ কেউ converge কেউ diverge। তখন integral বা comparison test লাগে।
5. conditionally convergent series-এর পদ পুনর্বিন্যাস। \(1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots\)-এর পদ এদিক-ওদিক সাজালে যোগফল বদলে যায় (যেকোনো সংখ্যায় নেওয়া যায়!)। কেবল absolutely convergent হলেই ক্রম নিরাপদ।
6. factorial ভুলে যাওয়া Taylor series-এ। \(e^x=\sum x^n/n!\), geometric \(\sum x^n\) নয়। হরে \(n!\) না থাকলে \(e^x\)-এর অন্তরজ মেলে না।
7. \(\cos(\text{series})\)-কে পদে পদে ভুলভাবে বসানো। \(\sin x\)-এর series-এ ঘাত বিজোড় (\(x, x^3, x^5\)), \(\cos x\)-এ জোড় (\(1, x^2, x^4\)) — উল্টে ফেলা সাধারণ ভুল।
8. radius of convergence-কে function-এর "ভাঙা"-র সঙ্গে না মেলানো। \(\dfrac{1}{1+x^2}\) বাস্তবে ভাঙে না, তবু \(r=1\) — কারণ কাল্পনিক \(x=\pm i\)-তে ভাঙে। singularity জটিলও হতে পারে।
9. alternating test-এ "কমতি" শর্ত না দেখা। পদ পালা করে বদলালেই converge নয়; পরম মান একঘেয়ে (monotone) কমতে হবে এবং \(\to 0\) হতে হবে। \(1-1+1-1+\cdots\)-এ \(a_n\not\to 0\), তাই diverge।
10. binomial series-এ \(\lvert x\rvert<1\) শর্ত ভুলে যাওয়া। \(p\) পূর্ণসংখ্যা না হলে \((1+x)^p\)-এর series কেবল \(\lvert x\rvert<1\)-এ বৈধ; বাইরে ব্যবহার করলে diverge।

৭. এক্সারসাইজ

1. geometric series দিয়ে \(2 + 1 + \tfrac12 + \tfrac14 + \cdots\)-এর যোগফল বের করো।
2. পুনরাবৃত্ত দশমিক \(0.\overline{7}=0.777\ldots\)-কে geometric series ধরে ভগ্নাংশে লেখো।
3. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) converge করে না diverge? কোন test আর কেন?
4. ratio test দিয়ে \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}\)-এর convergence যাচাই করো (\(L\) বের করো)।
5. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}\) converge না diverge? (comparison বা limit comparison test)
6. alternating series \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\) কি converge করে? absolutely না conditionally?
7. \(e^x=\sum x^n/n!\) থেকে \(e^{-1}=1/e\)-এর series লেখো এবং প্রথম চার পদ যোগ করে আসন্ন মান বের করো।
8. \(\cos x\)-এর Taylor series ব্যবহার করে \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\) বের করো।
9. power series \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{3^n}\)-এর radius of convergence \(r\) বের করো।
10. alternating series \(1-\tfrac{1}{2!}+\tfrac{1}{3!}-\tfrac{1}{4!}+\cdots\)-এ চার পদে (\(s_4\)) থামলে ভুল কত কম হবে (error bound)?

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

এটা geometric series, প্রথম পদ \(a=2\), অনুপাত \(r=\tfrac12\) (কারণ \(1/2 = 2\cdot\tfrac12\))। যেহেতু \(\lvert r\rvert<1\), সূত্র \(\dfrac{a}{1-r}\):

\[2 + 1 + \frac12 + \cdots = \frac{2}{1-\tfrac12} = \frac{2}{\tfrac12} = 4.\]

২-নং সমাধান দেখাও

\(0.\overline{7} = \dfrac{7}{10} + \dfrac{7}{100} + \dfrac{7}{1000} + \cdots\) — প্রথম পদ \(a=\tfrac{7}{10}\), অনুপাত \(r=\tfrac{1}{10}\):

\[0.\overline{7} = \frac{7/10}{1-1/10} = \frac{7/10}{9/10} = \frac{7}{9}.\]

৩-নং সমাধান দেখাও

এটা p-series, \(p=2\)। উপপাদ্য ১০.৭ অনুযায়ী \(p>1\) হলে converge করে। integral test-এ \(\int_1^\infty \tfrac{dx}{x^2} = \left[-\tfrac1x\right]_1^\infty = 1\) (সসীম), তাই series converge করে। (এর যোগফল আসলে \(\tfrac{\pi^2}{6}\) — Euler-এর ফল।)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(a_n = \dfrac{2^n}{n!}\)। অনুপাত:

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} = \frac{2}{n+1} \longrightarrow 0 = L.\]

\(L=0<1\), তাই ratio test-এ series converge করে (আসলে যোগফল \(e^2-1\))। factorial যেকোনো \(2^n\)-কে হারিয়ে দেয়।

৫-নং সমাধান দেখাও

বড় \(n\)-এ \(n+\sqrt{n} \approx n\), তাই \(a_n=\dfrac{1}{n+\sqrt n}\)-কে \(b_n=\dfrac1n\)-এর সঙ্গে তুলনা করি (limit comparison):

\[\frac{a_n}{b_n} = \frac{n}{n+\sqrt n} = \frac{1}{1+1/\sqrt n} \longrightarrow 1 > 0.\]

যেহেতু \(\sum \tfrac1n\) (harmonic) diverge করে, তাই \(\sum a_n\)-ও diverge করে।

৬-নং সমাধান দেখাও

এটা alternating harmonic series। পরম মান \(\tfrac1n\) একঘেয়ে কমছে এবং \(\to 0\) — তাই উপপাদ্য ১০.১১ অনুযায়ী converge করে (যোগফল \(\ln 2\))। কিন্তু চিহ্ন ফেললে \(\sum \tfrac1n\) diverge করে, তাই এটা conditionally convergent (absolutely নয়)।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(e^x\)-এ \(x=-1\) বসাই:

\[e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \cdots = 1 - 1 + 0.5 - 0.1667 + \cdots\]

প্রথম চার পদ: \(1 - 1 + 0.5 - 0.1667 = 0.3333\)। সত্যিকারের \(1/e = 0.3679\) — চার পদেই কাছাকাছি (alternating, তাই ভুল \(\le\) পরের পদ \(\tfrac{1}{24}\approx 0.042\))।

৮-নং সমাধান দেখাও

\(\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots\), তাই

\[1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots\]

\(x^2\) দিয়ে ভাগ করি:

\[\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \cdots \xrightarrow{\ x\to 0\ } \frac{1}{2}.\]

(l'Hôpital দুবার লাগানোর চেয়ে series অনেক দ্রুত।)

৯-নং সমাধান দেখাও

\(a_n = \dfrac{x^n}{3^n}\)। ratio test:

\[\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert = \left\lvert\frac{x^{n+1}/3^{n+1}}{x^n/3^n}\right\rvert = \frac{\lvert x\rvert}{3} = L.\]

converge চাই \(L<1\), অর্থাৎ \(\lvert x\rvert < 3\)। তাই radius of convergence \(r=3\)। (আসলে এটা geometric series অনুপাত \(x/3\) সহ, সূত্র \(\dfrac{1}{1-x/3}\)।)

১০-নং সমাধান দেখাও

এটা alternating series, পদ \(a_n = \tfrac{1}{n!}\) কমতি ও \(\to 0\)। \(s_4\) থামলে (চার পদ) উপপাদ্য ১০.১১-এর error bound অনুযায়ী ভুল \(\le\) পরের (পঞ্চম) পদ:

\[\lvert s - s_4\rvert \le a_5 = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120} \approx 0.0083.\]

অর্থাৎ ভুল \(0.01\)-এর কম। (এই series-এর যোগফল আসলে \(1 - e^{-1} = 0.6321\ldots\)।)

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ে আমরা অসীম যোগফলকে বশ করলাম — partial sum-এর limit হিসেবে সংজ্ঞা, তারপর convergence-এর পরীক্ষা, আর সবশেষে function-কে series আকারে লেখা (Taylor ও power series)। নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] geometric series \(\sum ar^n = \dfrac{a}{1-r}\) (\(\lvert r\rvert<1\)) লিখতে ও প্রমাণ করতে পারি (telescoping)।
• [ ] partial sum \(s_n\) ও convergence-এর সংজ্ঞা বুঝি; জানি \(a_n\to 0\) প্রয়োজনীয় কিন্তু যথেষ্ট নয় (harmonic diverge করে)।
• [ ] comparison, integral, ratio, root, limit comparison test প্রয়োগ করতে পারি; p-series \(\sum 1/n^p\) converge করে iff \(p>1\) জানি।
• [ ] absolute বনাম conditional convergence আলাদা করতে পারি; alternating series test ও তার error bound \(\lvert s-s_n\rvert\le a_{n+1}\) জানি।
• [ ] Taylor series \(\displaystyle\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\) লিখতে পারি; মুখস্থ রাখি \(e^x,\ \sin x,\ \cos x\)-এর series।
• [ ] Euler-এর সূত্র \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) series থেকে বের করতে পারি; জানি \(e^{i\pi}+1=0\)।
• [ ] power series-এর radius of convergence \(r\) ratio test দিয়ে বের করতে পারি; জানি \(r\) = নিকটতম singularity-র দূরত্ব।
• [ ] remainder \(R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\) ও binomial series \((1+x)^p\) চিনি।

---

চিত্র ১১.১ (পরের অধ্যায়ের ঝলক): চলমান cosine তরঙ্গ \(f(x,t)=\cos(x-t)\) — একটা ছোট দৃষ্টিবিভ্রমসহ, ঘোরালে গাঢ় ব্যান্ডগুলো ওপর-নিচ যেতে দেখায়। এক চলকের series থেকে আমরা এবার দুই চলকের (\(x,t\)) function-এ যাব।

➡️ পরের অধ্যায়: 9.11 — Vectors ও Matrices — এতদিন সব function ছিল এক চলকের (\(x\) বা \(t\))। এবার calculus বহুমাত্রায় ঢুকবে: \(f(x,y)\), \(f(x,y,t)\) — বক্ররেখা নয়, তল (surface); আর তাদের হাতিয়ার vector ও matrix।