9.14 — Multiple Integrals (বহুগুণ সমাকল)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: double integral ও triple integral, Fubini's Theorem, integration limits ও order reversal, polar/cylindrical/spherical coordinates এবং Jacobian। \(f\ge0\) হলে \(\iint_R f\,dA\) surface-এর নিচের volume; sign-changing \(f\)-এর ক্ষেত্রে এটি signed volume/net accumulation। প্রয়োগে area, volume, mass, moment, centroid, inertia, Gaussian integral ও gravity আসবে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

এক-চলকের গল্পটা ছিল সরল: \(\int_a^b f(x)\,dx\) মানে \([a,b]\) ব্যবধানকে ছোট ছোট টুকরো \(\Delta x\)-তে কেটে, প্রতিটার উপর \(f(x)\,\Delta x\) (সরু আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল) যোগ করে সীমা নেওয়া। কিন্তু বাস্তব জগৎ এক-মাত্রিক নয়। একটা ধাতব পাতের ভর বের করতে হলে ঘনত্ব \(\rho(x,y)\)-কে পুরো তল-অঞ্চল \(R\)-এর উপর যোগ করতে হয়। একটা পাহাড়ের নিচে কতটা আয়তন, একটা গ্রহের মহাকর্ষ, সম্ভাব্যতার সেই বিখ্যাত ঘণ্টা-আকৃতির লেখচিত্রের নিচের ক্ষেত্রফল — এসবই এক-চলকে ধরা যায় না।

মূল ধারণাটা কিন্তু হুবহু একই: ছোট ছোট টুকরো যোগ করো, তারপর সীমা নাও। শুধু টুকরোটা এখন ছোট ব্যবধান \(\Delta x\) নয়, বরং ছোট আয়তক্ষেত্র \(\Delta A=\Delta x\,\Delta y\) (দুই মাত্রায়) বা ছোট বাক্স \(\Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z\) (তিন মাত্রায়)।

দুটো কারণে আমরা সীমা ও যোগফলের সংজ্ঞায় ফিরে যাই। এক, একটা শক্ত ভিত্তি দরকার যাতে ভরসা করা যায় যখন সাধারণ সমাকল কঠিন বা অসম্ভব। দুই — এবং এটাই আসল — বহুগুণ সমাকল কেবল ক্ষেত্রফল-আয়তন নয়; সেগুলো তো সবচেয়ে সহজ ছবি মাত্র। আসল প্রয়োগ ভর, ভরকেন্দ্র, জড়তা-ভ্রামক (moment of inertia), সম্ভাব্যতা, মহাকর্ষ — বিজ্ঞান-প্রকৌশলের হৃৎপিণ্ড।

মূল স্বজ্ঞা

একটা বহুগুণ সমাকলকে ভয় পেয়ো না — সেটা আসলে একের পর এক কয়েকটা সাধারণ (single) সমাকল। ভেতরের (inner) সমাকল একটা চলক নিয়ে কাজ করে বাকিগুলোকে ধ্রুবক ধরে; তার উত্তর একটা "ফালির ক্ষেত্রফল" বা "কাঠির উচ্চতা"। বাইরের (outer) সমাকল সেই ফালিগুলো যোগ করে। সবচেয়ে কঠিন অংশ গণিত নয় — সীমা (limits)। তাই অঞ্চল \(R\) সবসময় এঁকে নাও (আয়তক্ষেত্র ছাড়া)।

২. মূল ধারণা (Core idea)

২.১ Double Integrals (দ্বৈত সমাকল) — Section 14.1

একটা sum-এর limit। \(z=f(x,y)\) এবং base region \(R\) ধরি। যদি \(f\ge0\) হয়, \(R\)-এর উপরে ও surface-এর নিচে volume চাই। \(f\) negative হলে একই Riemann sum signed contribution দেয়; geometric volume পেতে positive/negative অংশ আলাদা করতে বা \(|f|\) integrate করতে হয়।

উপায়: \(R\)-কে ছোট ছোট আয়তক্ষেত্রে কাটো, প্রতিটার ক্ষেত্রফল \(\Delta A=(\Delta x)(\Delta y)\)। \(i\)-তম আয়তক্ষেত্রের উপরে একটা "সরু কাঠি (thin stick)" দাঁড়িয়ে আছে; তার ভিত্তি-ক্ষেত্রফল \(\Delta A\), উচ্চতা প্রায় \(f(x_i,y_i)\) (কাঠির ভেতরের একটা বিন্দু)। তাহলে—

\[\text{one signed contribution}=f(x_i,y_i)\,\Delta A,\qquad \text{total}=\sum f(x_i,y_i)\,\Delta A.\]

এটাই যেকোনো সমাকলের চাবি-ধাপ: ছোট টুকরোর যোগফল দেখা। এখন সীমা নাও, \(\Delta x\to 0\) ও \(\Delta y\to 0\)। যোগফল একটা সীমায় পৌঁছায় — সেটাই \(f\)-এর দ্বৈত সমাকল \(R\)-এর উপর:

\[\iint_R f(x,y)\,dA=\lim_{\substack{\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0}}\sum f(x_i,y_i)\,\Delta A.\]

কিড-চিত্র: ভিত্তি-অঞ্চল \([0,1]\times[0,2]\)-কে ছোট আয়তক্ষেত্রে কাটা হয়েছে; প্রতিটার উপরে একটা রঙিন "কাঠি" যার উচ্চতা \(f(x_i,y_i)\)। কাঠিগুলোর যোগফল (স্বচ্ছ কমলা তল \(z=1+x^2+y^2\)-এর নিচের আয়তন) সীমায় দ্বৈত সমাকলে পরিণত হয়।

চিত্র ১৪.১: ভিত্তি অঞ্চল \(R\)-কে ছোট টুকরো \(\Delta A\)-তে কাটা; উপরের ঘন বস্তু \(V\) ভাগ হলো সরু কাঠিতে, প্রতিটির আয়তন \(\Delta V=z\,\Delta A\)। এই কাঠিগুলোর যোগফলের সীমাই দ্বৈত সমাকল \(\iint_R f\,dA\)।

দ্বৈত সমাকলের তিনটে ধর্ম, ঠিক single integral-এর মতো: (১) রৈখিকতা (linearity): \(\iint(f+g)\,dA=\iint f\,dA+\iint g\,dA\); (২) ধ্রুবক বাইরে: \(\iint c\,f\,dA=c\iint f\,dA\); (৩) অঞ্চল ভাগ: \(R=S\cup T\) (পরস্পরছেদহীন) হলে \(\iint_R f\,dA=\iint_S f\,dA+\iint_T f\,dA\)।

একটা দ্বৈত সমাকলকে দুটো single সমাকলে ভাঙা। এখানেই আসল হিসাব। স্থির \(x\)-এ একটা ফালি (slice) নাও; তার ক্ষেত্রফল হলো \(y\)-এর উপর একটা সমাকল (\(x\) ধ্রুবক):

\[A(x)=\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\quad(\text{the answer is a function of }x).\]

একে inner integral (ভেতরের সমাকল) বলে — এটা partial derivative-এর উল্টো ("partial integration")। তারপর outer integral (বাইরের সমাকল) এই ফালিগুলো যোগ করে আয়তন দেয়: \(\int A(x)\,dx\)।

চিত্র ১৪.২: স্থির \(x\)-এ \(V\)-এর একটা ফালি; তার ক্ষেত্রফল \(A(x)=\int f(x,y)\,dy\) — ভেতরের সমাকল। বাইরের সমাকল \(\int A(x)\,dx\) এই ফালিগুলো যোগ করে মোট আয়তন দেয়।

যখন অঞ্চল \(R\) আয়তক্ষেত্র নয় (ত্রিভুজ, বৃত্ত...), তখন ভেতরের সমাকলের সীমা পরিবর্তনশীল হয় — সেগুলো \(x\)-এর উপর নির্ভর করে। ভেতরের সমাকলের সীমা কখনো ভেতরের চলকের উপর নির্ভর করতে পারে না (যেমন \(\int f\,dy\)-এর সীমায় \(y\) থাকতে পারে না); থাকলে বুঝবে হিসাব ভুল হয়েছে। ক্রম উল্টে দিলে (dy আগে না dx আগে) সীমাও বদলে যায় — এটাই প্রায়ই কঠিন।

চিত্র ১৪.৩: (বাঁয়ে) \(xy\)-তলের উপরে ও নিচে সরু কাঠি (Example 2 — আয়তন ঋণাত্মক হতে পারে, তল যদি তলের নিচে থাকে); (ডানে) সমাকলের ক্রম উল্টে দেওয়া (Examples 3, 4) — উল্লম্ব ফালির বদলে অনুভূমিক ফালি।

ক্রম উল্টানো — একটা ছবি হাজার শব্দের সমান। ধরো অঞ্চল \(R\) প্যারাবোলা \(y=x^2\) ও রেখা \(y=2x\)-এর মাঝখানে (\(x=0\) থেকে \(2\))। উল্লম্ব ফালিতে \(y\) যায় \(x^2\) থেকে \(2x\); অনুভূমিক ফালিতে \(x\) যায় \(y/2\) থেকে \(\sqrt{y}\)। একই অঞ্চল, দুই রকম সীমা:

কিড-চিত্র: একই অঞ্চল \(R\) (প্যারাবোলা \(y=x^2\) ও রেখা \(y=2x\)-এর মাঝে), দুই ক্রমে সমাকল। (বাঁয়ে) উল্লম্ব ফালি — আগে \(dy\) (\(x^2\) থেকে \(2x\)), পরে \(dx\) (\(0\) থেকে \(2\))। (ডানে) অনুভূমিক ফালি — আগে \(dx\) (\(y/2\) থেকে \(\sqrt{y}\)), পরে \(dy\) (\(0\) থেকে \(4\))। সীমা পুরো বদলে যায়, উত্তর একই।

চিত্র ১৪.৪: তিনটি অঞ্চল — Example 5-এর tetrahedron (চতুস্তলক), Example 6-এর অর্ধবৃত্ত (semicircle, ভর ও centroid নির্ণয়ে), ও Example 7-এর ত্রিভুজ (যেখানে ক্রম না উল্টালে \(\int\cos x^2\,dx\) অসম্ভব)। প্রতিটির জন্য \(R\) আঁকাই সীমা খোঁজার চাবি।

২.২ Change to Better Coordinates (উন্নত স্থানাঙ্কে বদল) — Section 14.2

অনেক অঞ্চল \(x,y\)-অক্ষের সঙ্গে খাপ খায় না। একটা হেলানো বর্গ (tilted square) বা একটা রিং (ring) — এদের জন্য \(y\)-দিকের সীমা ভয়ানক। সমাধান: চলক বদল করো। কিন্তু চলক বদলালে শুধু সীমা বদলায় না, আরও দুটো জিনিস বদলায়: (১) ছোট ক্ষেত্রফল \(dA=dx\,dy\) হয়ে যায় \(dA=(\text{some factor})\,du\,dv\); (২) সমাকল্য (integrand) \(f\)-ও নতুন চলকে লিখতে হয়।

চিত্র ১৪.৫: (বাঁয়ে) \(\alpha\) কোণে ঘোরানো একক বর্গ; (ডানে) \(4\) ও \(5\) ব্যাসার্ধের একটা রিং। এই আকৃতিগুলো \(x,y\)-অক্ষে বেমানান — কিন্তু "ঠিক" স্থানাঙ্কে (ঘোরানো অক্ষ বা পোলার) খুবই সহজ।

ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে (\(\alpha\) কোণে অক্ষ ঘোরানো) \(x=u\cos\alpha-v\sin\alpha\), \(y=u\sin\alpha+v\cos\alpha\)। বিশুদ্ধ ঘূর্ণনে ক্ষেত্রফল বদলায় না, তাই \(dA=du\,dv\) (গুণক \(=1\))। এতে হেলানো বর্গের সীমা \(0\) থেকে \(1\) পর্যন্ত সুন্দর হয়ে যায়।

চিত্র ১৪.৬: স্থানাঙ্ক বদল — অক্ষ \(\alpha\) কোণে ঘোরানো। বিন্দুগুলো নড়লে গোটা বর্গ ঘোরে। বিশুদ্ধ ঘূর্ণনে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত, তাই \(dA=du\,dv\) অর্থাৎ গুণক \(J=1\)।

পোলার স্থানাঙ্কে বদল। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বদল হলো \(r\) ও \(\theta\)-তে: \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\)। এখানে ছোট ক্ষেত্রফল হয়ে যায়—

\[dA=r\,dr\,d\theta\quad(\text{not just }dr\,d\theta\text{!}).\]

কেন বাড়তি \(r\)? কারণ ক্ষেত্রফল সবসময় দুটো দৈর্ঘ্যের গুণফল, আর \(d\theta\) কোনো দৈর্ঘ্য নয় — একটা কোণ। একটা "polar rectangle" (রশ্মি ও বৃত্ত দিয়ে কাটা টুকরো)-এর বাহু দুটো: ব্যাসার্ধ বরাবর \(dr\), আর চাপ বরাবর \(r\,d\theta\) (ব্যাসার্ধ \(r\)-এ কোণ \(d\theta\)-এর চাপের দৈর্ঘ্য)। তাদের গুণফলই \(r\,dr\,d\theta\)।

কিড-চিত্র: একটা polar rectangle — ব্যাসার্ধ বরাবর বাহু \(dr\) (লাল), চাপ বরাবর বাহু \(r\,d\theta\) (নীল), কেন্দ্রে কোণ \(d\theta\)। ক্ষেত্রফল \(dA=(dr)(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta\)। এই বাড়তি \(r\)-ই পোলারের Jacobian।

চিত্র ১৪.৭: রিং ও তার ভেতরের একটা polar rectangle — \(xy\)-তলে বাঁকানো, কিন্তু \(r\theta\)-তলে সোজা আয়তক্ষেত্র। প্রসারণ-গুণক (stretching factor) এখানে \(r=4.5\) (কেন্দ্রে বসানো ব্যাসার্ধ)।

পোলার স্থানাঙ্কে ঘনত্ব \(\rho=1\) দিলে অর্ধবৃত্তের সমাকল একটা সিলিন্ডারের অংশের আয়তন দেয়; \(\rho=1-r\) দিলে একটা কোণের (cone) অংশ।

চিত্র ১৪.৮: অর্ধবৃত্তের উপর ঘনত্ব স্তূপীকৃত। \(\rho=1\) দিলে ভর \(=\) ক্ষেত্রফল \(=\pi/2\) (সিলিন্ডারের অংশ)।

চিত্র ১৪.৮ (দ্বিতীয় অংশ): একই অর্ধবৃত্ত, কিন্তু ঘনত্ব \(\rho=1-r\) — কেন্দ্রে সর্বোচ্চ, প্রান্তে শূন্য (কোণের অংশ, ভর \(\pi/6\))। ভরকেন্দ্র তাই কেন্দ্রের দিকে সরে আসে।

যেকোনো স্থানাঙ্কে বদল — Jacobian। সাধারণ নিয়ম: \(x=x(u,v)\), \(y=y(u,v)\) হলে \(dx\,dy=|J|\,du\,dv\), যেখানে \(J\) হলো \(2\times2\) Jacobian নির্ণায়ক (প্রথম অন্তরজের ম্যাট্রিক্স)। রৈখিক বদলে (যেমন \(x=\tfrac23u+\tfrac13v\), \(y=\tfrac13u+\tfrac23v\)) সামান্তরিক সোজা হয়ে বর্গ হয়।

চিত্র ১৪.১০: \(xy\) থেকে \(uv\)-তে বদল — একটা সামান্তরিক \(R\) থেকে বর্গ \(S\); এখানে \(J=\tfrac13\), তাই \(9\) ক্ষেত্রফলের বর্গ থেকে \(3\) ক্ষেত্রফলের সামান্তরিক আসে।

চিত্র ১৪.১০ (সংশ্লিষ্ট): বাঁকা সীমানার ক্ষেত্রেও \(dA=|J|\,du\,dv\)। একটা বাহু \(\big(\tfrac{\partial x}{\partial u}\mathbf{i}+\tfrac{\partial y}{\partial u}\mathbf{j}\big)du\), আরেকটা \(\big(\tfrac{\partial x}{\partial v}\mathbf{i}+\tfrac{\partial y}{\partial v}\mathbf{j}\big)dv\); বাঁক থেকে শুধু \((du)^2,(dv)^2\) পদ আসে, যা উপেক্ষণীয়।

২.৩ Triple Integrals (ত্রৈ সমাকল) — Section 14.3

দুই থেকে তিন মাত্রায় যাওয়াটা অনুমেয়। ছোট ব্যবধান বা ছোট আয়তক্ষেত্রের বদলে এখন একটা ছোট বাক্স (box), আয়তন \(dV=dx\,dy\,dz\) (দৈর্ঘ্য \(\times\) প্রস্থ \(\times\) উচ্চতা)। ত্রৈ সমাকল হলো \(\sum f_i\,\Delta V\)-এর সীমা। মূল সমস্যা আবার সেই সীমা — \(x,y,z\)-এর উপর সঠিক সীমা।

\[\iiint f(x,y,z)\,dV=\int\!\!\left(\int\!\!\left(\int f\,dx\right)dy\right)dz.\]

বাক্সগুলোকে একটা ক্রমে সাজাও: \(x\)-দিকে লাইনে (ভেতরের \(x\)-সমাকল — একটা রেখার দৈর্ঘ্য, \(y,z\) ধ্রুবক), লাইনগুলোকে তলে (\(y\)-সমাকল — ফালির ক্ষেত্রফল), তলগুলোকে যোগ (\(z\)-সমাকল — মোট আয়তন)।

চিত্র ১৪.১২: \(2,3,1\) বাহুর একটা বাক্স; prism (প্রিজম) তার অর্ধেক (আয়তন \(3\))। ভেতরের \(\int dx=2\) রেখার দৈর্ঘ্য; মধ্য \(\int dy\) ফালির ক্ষেত্রফল (\(6\) বা \(6-6z\)); বাইরের \(\int dz\) আয়তন। ছয়টা ক্রমেই সমাকল করা যায়।

চতুস্তলক (tetrahedron)। সবচেয়ে শিক্ষণীয় উদাহরণ: \(x+y+z=1\) তল ও তিন অক্ষ-তল দিয়ে ঘেরা। \(x\)-দিকের একটা রেখা \(x=0\)-তে ঢোকে, \(x=1-y-z\)-তে বেরোয়। তারপর \(y\)-সমাকল (\(0\) থেকে \(1-z\)) সেগুলোকে ত্রিভুজাকার ফালিতে জোড়ে; উচ্চতা \(z\)-এ ফালির ক্ষেত্রফল \(\tfrac12(1-z)^2\)। শেষে \(z\)-সমাকল আয়তন \(\tfrac16\) দেয় (পিরামিডের \(\tfrac13\times\)ভিত্তি\(\times\)উচ্চতা-র সঙ্গে মেলে)।

চিত্র ১৪.১৩: চতুস্তলক — \(x\)-দিকের রেখা শেষ হয় \(x+y+z=1\) তলে; \(y\)-সমাকলে সেগুলো ত্রিভুজাকার ফালিতে জোড়ে (\(y+z=1\) প্রান্ত পর্যন্ত)। গড় উচ্চতা \(\bar z=\iiint z\,dV/\iiint dV=\tfrac14\); ভরকেন্দ্র \((\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)\)।

গোলক বা উপবৃত্তাভের (ellipsoid) জন্য \(x\)-এর সীমা \(\pm\sqrt{1-y^2-z^2}\) — জঘন্য! উপবৃত্তাভে তাই চলক বদল \(u=x/a,\,v=y/b,\,w=z/c\) করলে গোলক পাওয়া যায়, আর \(dV=(abc)\,du\,dv\,dw\), ফলে আয়তন \(\tfrac43\pi abc\)।

চিত্র ১৪.১৪: \(\int dx=\) "সূচের" (needle) দৈর্ঘ্য, \(\iint dx\,dy=\) ফালির ক্ষেত্রফল। ডানে ellipsoid — একটা প্রসারিত গোলক; \(u=x/a\) ইত্যাদি বদলে সীমা সুন্দর হয়, প্রসারণ-গুণক \(J=abc\) ধ্রুবক।

২.৪ Cylindrical ও Spherical Coordinates — Section 14.4

Cylindrical coordinates (বেলনাকার স্থানাঙ্ক) — অক্ষ-প্রতিসম কঠিন বস্তুর জন্য আদর্শ। তিনটি স্থানাঙ্ক \(r,\theta,z\): \(r\) অক্ষ থেকে বাইরে, \(\theta\) অক্ষের চারপাশে, \(z\) অক্ষ বরাবর। এটা পোলার (\(r,\theta\) একটা তলে) \(+\) উপরে \(z\)। ছোট আয়তন হলো polar rectangle-এর ক্ষেত্রফল \(r\,dr\,d\theta\) গুণ উচ্চতা \(dz\):

\[dV=r\,dr\,d\theta\,dz\qquad(\text{stretching factor }J=r).\]

চিত্র ১৪.১৫: বেলনাকার স্থানাঙ্ক — একটা বিন্দু ও একটা অর্ধ-বেলন (half-cylinder)। ছোট "বাঁকানো বাক্সের" আয়তন \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)। সিলিন্ডার-কোণ-গোলকের মতো আকৃতি এতে সহজ, কিন্তু বাক্স বা চতুস্তলক নয়।

একটা কোণ (\(r=1-z\)) তিনভাবে কাটা যায় — উচ্চতায় চাকতি (slice), ব্যাসার্ধে খোল (shell), কোণে ফালি (wedge) — যেমন Chapter 8-এ ঘূর্ণন-কঠিনে। প্রতিটাই আয়তন \(\pi/3\) দেয়।

চিত্র ১৪.১৬: একটা কোণকে তিনভাবে কাটা — উচ্চতা \(z\)-এ চাকতি (slice, আগে \(r,\theta\)), ব্যাসার্ধ \(r\)-এ খোল (shell, আগে \(z,\theta\)), কোণ \(\theta\)-তে ফালি (wedge, আগে \(r,z\))। ভিন্ন ক্রমে সমাকল, ভিন্নভাবে কঠিন বস্তু কাটা।

Spherical coordinates (গোলকীয় স্থানাঙ্ক) — গোলকের জন্য নিখুঁত। পৃথিবীর মতো: পৃষ্ঠে দুটো কোণ (অক্ষাংশ-দ্রাঘিমা), আর ভেতরে-বাইরে যেতে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব \(\rho\) (গ্রিক অক্ষর "rho", \(r\)-এর সঙ্গে গুলিয়ে না ফেলার জন্য)। এখানে \(r=x^2+y^2\)-এর \(r\) নয়, বরং \(\rho^2=x^2+y^2+z^2\)। কোণ \(\theta\) আগের মতোই (\(0\) থেকে \(2\pi\), দ্রাঘিমা)। নতুন কোণ \(\phi\) হলো polar angle, \(z\)-অক্ষ থেকে নিচে মাপা: উত্তর মেরুতে \(\phi=0\), বিষুবরেখায় \(\phi=\pi/2\), দক্ষিণ মেরুতে \(\phi=\pi\) (মনে রেখো, \(2\pi\) নয়)।

রূপান্তর (\(\rho\to rz\to xyz\), যেখানে \(r=\rho\sin\phi\), \(z=\rho\cos\phi\)):

\[x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\phi.\]

আয়তন-উপাদান (একটা "গোলকীয় বাক্স" — দুটো বাহু \(d\rho,\rho\,d\phi\), তৃতীয় বাহু অনুভূমিক \(\rho\sin\phi\,d\theta\)):

\[dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.\]

চিত্র ১৪.১৭: গোলকীয় স্থানাঙ্ক \(\rho,\phi,\theta\)। একটা "গোলকীয় বাক্সের" তিন বাহু \(d\rho\), \(\rho\,d\phi\), ও \(\rho\sin\phi\,d\theta\); গুণফল \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)। এটা একটা দূরত্ব-ঘনফল, \(\rho^2\,d\rho\) থেকে।

এই স্থানাঙ্কের সবচেয়ে সুন্দর প্রয়োগ Newton-এর — একটা নিরেট গোলকের মহাকর্ষ। বাইরের বিন্দু থেকে গোলকের ভেতরের বিন্দুর দূরত্ব \(q\) ভিন্ন ভিন্ন, কিন্তু \(1/q\)-এর গড় ঠিক \(1/D\) (\(D=\) কেন্দ্র থেকে দূরত্ব)। ফলে গোলকটা যেন তার সমস্ত ভর কেন্দ্রে জমা করে রেখেছে — ঠিক যা Newton-এর সৌরজগৎ ব্যাখ্যায় দরকার ছিল।

চিত্র ১৪.১৮: বাইরের বিন্দু \(P\) থেকে ভেতরের বিন্দুর দূরত্ব \(q\); আর পৃষ্ঠের দুই দিকের দূরত্ব \(q,Q\)। law of cosines \(q^2=D^2-2D\rho\cos\phi+\rho^2\) দিয়ে সমাকল করলে \(1/q\)-এর গড় হয় \(1/D\) — তাই বাইরে থেকে নিরেট গোলক আর বিন্দু-ভর অভিন্ন।

৩. সংজ্ঞা ও সূত্র

সংজ্ঞা ১৪.১ — Double Integral (যোগফলের সীমা)

\(f(x,y)\) যদি অঞ্চল \(R\)-এ সন্তত (continuous) হয়, তবে \(R\)-এর উপর \(f\)-এর দ্বৈত সমাকল—

\[\iint_R f(x,y)\,dA=\lim_{\substack{\Delta x\to0\\ \Delta y\to0}}\sum_i f(x_i,y_i)\,\Delta A,\qquad \Delta A=\Delta x\,\Delta y.\]

এই সীমা আয়তক্ষেত্র ও বিন্দু \((x_i,y_i)\)-এর সব পছন্দে একই হয়। \(f=1\) দিলে সমাকলটা \(R\)-এর ক্ষেত্রফল; \(f=\rho(x,y)\) (ঘনত্ব) দিলে ভর। \(dA\) লিখে আমরা আয়তক্ষেত্র ছাড়া অন্য আকৃতিও অনুমোদন করি (পোলারে \(dA=r\,dr\,d\theta\))।

সংজ্ঞা ১৪.২ — Iterated Integral ও Fubini's Theorem (14A)

\(f\) আয়তক্ষেত্র \(R:\,a\le x\le b,\ c\le y\le d\)-এ সন্তত হলে দ্বৈত সমাকলকে দুটো পুনরাবৃত্ত (iterated) সমাকলে ভাঙা যায়, যেকোনো ক্রমে:

\[\iint_R f\,dA=\int_a^b\!\!\left[\int_c^d f(x,y)\,dy\right]dx=\int_c^d\!\!\left[\int_a^b f(x,y)\,dx\right]dy.\]

ভেতরের সমাকল ফালির ক্ষেত্রফল \(A(x)\) বা \(a(y)\); বাইরের সমাকল সেই ফালিগুলো যোগ করে। সীমা উল্টে যায় ক্রম বদলালে। অ-আয়তক্ষেত্র অঞ্চলে ভেতরের সীমা বাইরের চলকের ফাংশন হয়, কিন্তু বাইরের সীমা সবসময় ধ্রুবক (সংখ্যা)।

সংজ্ঞা ১৪.৩ — Polar Coordinates ও \(dA=r\,dr\,d\theta\)

\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\) দিয়ে ছোট ক্ষেত্রফল \(dA=r\,dr\,d\theta\)। জ্যামিতিক উৎপত্তি (দুইভাবে):

(ক) আসন্ন উপায়। \(r\) থেকে \(r+dr\) এবং \(\theta\) থেকে \(\theta+d\theta\)-এর মধ্যে polar rectangle-এর সোজা বাহু (ব্যাসার্ধ বরাবর) দৈর্ঘ্য \(dr\); বাঁকা বাহু (চাপ) প্রায় \(r\,d\theta\); কোণ \(90^\circ\)। তাই \(dA\approx(dr)(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta\)।

(খ) সঠিক উপায়। \(d\theta\) কোণের একটা বৃত্তীয় খণ্ডের (sector) ক্ষেত্রফল \(\tfrac12 R^2\,d\theta\)। দুই ব্যাসার্ধের খণ্ডের বিয়োগ:

\[\Delta A=\tfrac12(r+dr)^2\,d\theta-\tfrac12 r^2\,d\theta=\tfrac12\,d\theta\big[2r\,dr+(dr)^2\big]=r\,dr\,d\theta+\tfrac12(dr)^2\,d\theta.\]

\(dr,d\theta\to0\)-এ \((dr)^2\) পদটা উপেক্ষণীয়, তাই \(dA=r\,dr\,d\theta\)। বাড়তি \(r\) থাকতেই হবে, কারণ ক্ষেত্রফল দুটো দৈর্ঘ্যের গুণফল, আর \(d\theta\) দৈর্ঘ্য নয়। \(\square\)

উপপাদ্য ১৪.৪ — Jacobian (জ্যাকোবিয়ান) (14B): \(dx\,dy=|J|\,du\,dv\)

\(x=x(u,v),\ y=y(u,v)\) হলে ক্ষেত্রফলের প্রসারণ-গুণক (stretching factor) হলো \(2\times2\) Jacobian নির্ণায়ক:

\[J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{bmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[2mm] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{bmatrix}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}.\]

সমাকল রূপান্তরিত হয়: \(\displaystyle\iint_R f(x,y)\,dx\,dy=\iint_S f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,|J|\,du\,dv\)। পরম মান \(|J|\) নিই কারণ দ্বৈত সমাকল বাঁ-থেকে-ডান, নিচ-থেকে-উপর চলে (single integral-এর মতো উল্টো নয়)। শর্ত \(J\neq0\)।

পোলারের জন্য যাচাই (derivation)। \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\):

\[J=\det\begin{bmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\[2mm] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\theta}\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r.\]

তাই \(dx\,dy=|J|\,dr\,d\theta=r\,dr\,d\theta\) — জ্যামিতি ছাড়া, ছবি ছাড়া, শুধু নির্ণায়ক থেকে। \(\square\)

রৈখিক বদল \(x=au+bv,\ y=cu+dv\)-এ \(J=ad-bc\) (ধ্রুবক); বিশুদ্ধ ঘূর্ণনে \(J=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\)। উল্টো দিকে \(\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\dfrac{1}{J}\) (ঠিক \(du/dx=1/(dx/du)\)-এর মতো)।

সংজ্ঞা ১৪.৫ — Triple Integral ও \(dV=dx\,dy\,dz\)

ত্রি-মাত্রিক অঞ্চল \(V\)-এ ছোট বাক্সের আয়তন \(\Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z\); ত্রৈ সমাকল—

\[\iiint_V f(x,y,z)\,dV=\lim\sum_i f_i\,\Delta V=\int\!\!\int\!\!\int f\,dx\,dy\,dz.\]

ভেতরের \(\int dx\) একটি line slice, মধ্যের \(\int dy\) একটি area slice, বাইরের \(\int dz\) volume accumulate করে। \(f=1\) দিলে volume; \(f=\rho\) দিলে mass। ছয়টি integration order-ই তাত্ত্বিকভাবে ব্যবহার করা যায়, কিন্তু general region-কে কোনো order-এ single nested bounds-এ লেখা না গেলে region split করতে হয়।

সংজ্ঞা ১৪.৬ — Cylindrical Coordinates: \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)

\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\)। ভিত্তি একটা polar rectangle (ক্ষেত্রফল \(r\,dr\,d\theta\)), উচ্চতা \(dz\):

\[dV=r\,dr\,d\theta\,dz\qquad(J=r).\]

অক্ষ-প্রতিসম বস্তুর (সিলিন্ডার \(0\le r\le 1\), কোণ \(r+z=1\), গোলক \(r^2+z^2=R^2\)) জন্য আদর্শ। \(z\)-অক্ষের চারপাশের জড়তা-ভ্রামক (moment of inertia) \(\iiint r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz\) (বাড়তি \(r^2\) অক্ষ থেকে দূরত্বের বর্গ)।

সংজ্ঞা ১৪.৭ — Spherical Coordinates ও \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\) (14C)

\(x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi\), যেখানে \(\rho\ge0\), \(0\le\phi\le\pi\) (\(z\)-অক্ষ থেকে polar angle), \(0\le\theta\le2\pi\) (azimuth)। তিন-মাত্রায় Jacobian একটা \(3\times3\) নির্ণায়ক:

\[J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)}=\det\begin{bmatrix}\sin\phi\cos\theta & \rho\cos\phi\cos\theta & -\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta & \rho\cos\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi & -\rho\sin\phi & 0\end{bmatrix}=\rho^2\sin\phi.\]

derivation (Example 9)। নিচের সারিতে কোণায় \(0\) থাকায় ছয় পদের দুটো শূন্য; বাকি চার পদ \(\rho^2\sin\phi\cos^2\phi\sin^2\theta,\ \rho^2\sin\phi\cos^2\phi\cos^2\theta,\ \rho^2\sin^3\phi\sin^2\theta,\ \rho^2\sin^3\phi\cos^2\theta\)। প্রথম দুটো যোগ (\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)) দেয় \(\rho^2\sin\phi\cos^2\phi\); শেষ দুটো যোগ দেয় \(\rho^2\sin^3\phi\); দুটো মিলে \(\rho^2\sin\phi(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho^2\sin\phi\)। তাই \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)। \(\square\)

স্থানাঙ্ক-সারণি (দ্রুত রেফারেন্স):

স্থানাঙ্ক	রূপান্তর	উপাদান
Cartesian ২D	—	\(dA=dx\,dy\)
Polar	\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)	\(dA=r\,dr\,d\theta\)
Cartesian ৩D	—	\(dV=dx\,dy\,dz\)
Cylindrical	\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\)	\(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)
Spherical	\(x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi\)	\(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১ (আয়তক্ষেত্রে দ্বৈত সমাকল, দুই ক্রমে): \(\displaystyle\iint_R(1+x^2+y^2)\,dA\), যেখানে \(R:\,0\le x\le1,\ 0\le y\le2\)।

আগে \(dy\) (ভেতরে), পরে \(dx\) (বাইরে)। ভেতরের সমাকল (\(x\) ধ্রুবক, \(y:0\to2\)):

\[A(x)=\int_0^2(1+x^2+y^2)\,dy=\Big[y+x^2y+\tfrac{y^3}{3}\Big]_0^2=2+2x^2+\tfrac83.\]

বাইরের সমাকল (\(x:0\to1\)):

\[\int_0^1\Big(2+2x^2+\tfrac83\Big)dx=\Big[2x+\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac83x\Big]_0^1=2+\tfrac23+\tfrac83=\tfrac{16}{3}.\]

উল্টো ক্রমে (আগে \(dx\), পরে \(dy\)): ভেতরে \(\int_0^1(1+x^2+y^2)dx=1+\tfrac13+y^2=\tfrac43+y^2\); বাইরে \(\int_0^2(\tfrac43+y^2)dy=\tfrac83+\tfrac83=\tfrac{16}{3}\)। একই উত্তর — Fubini নিশ্চিত করেছিল।

উদাহরণ ২ (অ-আয়তক্ষেত্র অঞ্চল): \(z=x-2y\) তলের নিচে, \(x=0,y=0,x+y=1\) ত্রিভুজের উপরে আয়তন।

ত্রিভুজে উল্লম্ব ফালি: \(y\) যায় \(0\) থেকে \(1-x\); \(x\) যায় \(0\) থেকে \(1\)। ভেতরে (\(y:0\to1-x\)):

\[\int_0^{1-x}(x-2y)\,dy=\Big[xy-y^2\Big]_0^{1-x}=x(1-x)-(1-x)^2=(1-x)(2x-1)=-1+3x-2x^2.\]

বাইরে (\(x:0\to1\)):

\[\int_0^1(-1+3x-2x^2)\,dx=\Big[-x+\tfrac32x^2-\tfrac23x^3\Big]_0^1=-1+\tfrac32-\tfrac23=-\tfrac16.\]

আয়তন ঋণাত্মক — কারণ কঠিন বস্তুর বেশিরভাগ \(xy\)-তলের নিচে (যেখানে \(x-2y<0\))। এটাই বহুগুণ সমাকলে চিহ্নের অর্থ।

উদাহরণ ৩ (ক্রম উল্টানো): \(\displaystyle\int_0^2\!\!\int_{x^2}^{2x} x^3\,dy\,dx\)-কে \(dx\,dy\) ক্রমে লেখো ও যাচাই করো।

অঞ্চল \(R\): নিচে প্যারাবোলা \(y=x^2\), উপরে রেখা \(y=2x\); এরা মেলে \(x=0\) ও \(x=2\)-তে (\(2x=x^2\))। অনুভূমিক ফালিতে স্থির \(y\)-এ \(x\) যায় রেখা থেকে (\(x=y/2\)) প্যারাবোলা পর্যন্ত (\(x=\sqrt{y}\)); \(y:0\to4\)। তাই—

\[\int_0^2\!\!\int_{x^2}^{2x} x^3\,dy\,dx=\int_0^4\!\!\int_{y/2}^{\sqrt{y}} x^3\,dx\,dy.\]

যাচাই। মূল: ভেতরে \(\int_{x^2}^{2x}x^3\,dy=x^3(2x-x^2)=2x^4-x^5\); বাইরে \(\int_0^2(2x^4-x^5)dx=\tfrac{2\cdot32}{5}-\tfrac{64}{6}=\tfrac{64}{5}-\tfrac{64}{6}=\tfrac{64}{30}=\tfrac{32}{15}\)। উল্টো: ভেতরে \(\int_{y/2}^{\sqrt y}x^3dx=\tfrac{y^2}{4}-\tfrac{y^4}{64}\); বাইরে \(\int_0^4(\tfrac{y^2}{4}-\tfrac{y^4}{64})dy=\tfrac{64}{12}-\tfrac{1024}{320}=\tfrac{16}{3}-\tfrac{16}{5}=\tfrac{32}{15}\)। ✓

উদাহরণ ৪ (পোলার — রিং): \(4\le r\le5\) রিং-এর ক্ষেত্রফল ও \(\iint x^2\,dA\)।

পোলারে সীমা চমৎকার: \(r:4\to5\), \(\theta:0\to2\pi\)। ক্ষেত্রফল—

\[\int_0^{2\pi}\!\!\int_4^5 r\,dr\,d\theta=2\pi\Big[\tfrac{r^2}{2}\Big]_4^5=2\pi\cdot\tfrac{25-16}{2}=9\pi.\]

\(x=r\cos\theta\) বসাই; \(x^2\,dA=(r\cos\theta)^2\,r\,dr\,d\theta\) (একটা \(r\) \(x^2\) থেকে, আরেকটা \(dA\) থেকে):

\[\iint x^2\,dA=\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\int_4^5 r^3\,dr=\pi\cdot\Big[\tfrac{r^4}{4}\Big]_4^5=\pi\cdot\tfrac{625-256}{4}=\tfrac{369\pi}{4}.\]

(\(\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi\), কারণ \(\cos^2\theta\)-এর গড় \(\tfrac12\))। প্রতিসাম্যে \(\iint x\,dA=0\)।

উদাহরণ ৫ (সবচেয়ে সুন্দর — Gaussian সমাকল): \(\displaystyle A=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}\)।

\(e^{-x^2}\)-এর কোনো প্রাথমিক অ্যান্টিডেরিভেটিভ নেই। কৌশল: ক্ষেত্রফল \(A\)-কে আয়তন \(A^2\)-এ নাও, পুরো তলের উপর:

\[A^2=\int_{-\infty}^{\infty}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-y^2}\,dy\,dx=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\infty}e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta.\]

পোলার \(x^2+y^2=r^2\) আর মূল্যবান \(r\) (Jacobian থেকে)! এবার \(u=r^2\) বসানো যায়: \(\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr=\tfrac12\int_0^\infty e^{-u}\,du=\tfrac12\)। \(\theta\)-সমাকল \(2\pi\)। তাই \(A^2=\tfrac12\cdot2\pi=\pi\), অর্থাৎ \(A=\sqrt{\pi}\)। এটাই সম্ভাব্যতার normal distribution-কে ভিত্তি দেয়।

উদাহরণ ৬ (ত্রৈ সমাকল — চতুস্তলক): \(x=0,y=0,z=0,\ x+y+z=1\) চতুস্তলকের আয়তন।

\(x\) ঢোকে \(0\)-তে, বেরোয় \(1-y-z\)-তে; \(y:0\to1-z\); \(z:0\to1\)।

\[V=\int_0^1\!\!\int_0^{1-z}\!\!\int_0^{1-y-z}dx\,dy\,dz=\int_0^1\!\!\int_0^{1-z}(1-y-z)\,dy\,dz.\]

মধ্য সমাকল: \(\int_0^{1-z}(1-y-z)dy=\big[(1-z)y-\tfrac12y^2\big]_0^{1-z}=(1-z)^2-\tfrac12(1-z)^2=\tfrac12(1-z)^2\)। বাইরে:

\[V=\int_0^1\tfrac12(1-z)^2\,dz=\tfrac12\Big[-\tfrac{(1-z)^3}{3}\Big]_0^1=\tfrac12\cdot\tfrac13=\tfrac16.\]

\(\tfrac13\times\)ভিত্তি\(\times\)উচ্চতা \(=\tfrac13\cdot\tfrac12\cdot1=\tfrac16\)-এর সঙ্গে মেলে।

উদাহরণ ৭ (গোলকীয় — বল/ball-এর আয়তন): ব্যাসার্ধ \(R\)-এর নিরেট গোলকের আয়তন।

সীমা লক্ষ করো — সবই ধ্রুবক (গোলকীয় স্থানাঙ্কের জাদু): \(\rho:0\to R\), \(\phi:0\to\pi\), \(\theta:0\to2\pi\)।

\[V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{R}\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=\Big[\tfrac{\rho^3}{3}\Big]_0^R\Big[-\cos\phi\Big]_0^{\pi}\Big[\theta\Big]_0^{2\pi}=\tfrac{R^3}{3}\cdot2\cdot2\pi=\tfrac{4}{3}\pi R^3.\]

তিনটে সমাকল আলাদা হয়ে গেল কারণ সমাকল্য গুণফল-রূপে ভাঙে — গোলকীয় স্থানাঙ্কের বড় সুবিধা।

Analogy — বহুগুণ সমাকল \(=\) একটা দালান মেঝে-ধরে-ধরে মাপা

একটা বহুতল দালানের মোট আয়তন বের করবে কীভাবে? এক এক করে প্রতিটা ঘরের (\(\Delta V=\) দৈর্ঘ্য\(\times\)প্রস্থ\(\times\)উচ্চতা) হিসাব করে যোগ করবে — এটাই \(\iiint dV\)। সাজানোর ক্রম তোমার হাতে: আগে একটা করিডোর ধরে ঘর যোগ করো (ভেতরের সমাকল), তারপর একটা তলার সব করিডোর (মধ্য সমাকল), শেষে সব তলা (বাইরের সমাকল)। দালানটা যদি গোল টাওয়ার হয়, তবে \(x,y\)-গ্রিডে ঘর মাপা বিরক্তিকর — বরং কেন্দ্র থেকে ব্যাসার্ধ ও কোণ ধরে (পোলার/গোলকীয়) মাপাই স্বাভাবিক, তখন প্রতিটা "ঘরের" আকার বদলায় বলে বাড়তি গুণক \(r\) বা \(\rho^2\sin\phi\) (Jacobian) আসে — দূরের ঘরগুলো বড়। ক্রম আর স্থানাঙ্ক বদলালেও মোট আয়তন এক — শুধু গোনার সুবিধা বদলায়।

৫. Python-এ করো

নিচে double integral দুইভাবে approximate করা হলো—(i) midpoint-rule grid sum এবং (ii) SciPy dblquad-এর adaptive numerical quadrature, যা value-এর সঙ্গে estimated absolute error দেয়। Closed-form \(16/3\)-কে reference হিসেবে compare করব।

import numpy as np

# ---------- (i) Midpoint rule: সংজ্ঞা "যোগফলের সীমা"-র সরাসরি রূপ ----------
# আয়তন বের করব: f(x,y) = 1 + x^2 + y^2, অঞ্চল R = [0,1] x [0,2]. সঠিক উত্তর 16/3.
def f(x, y):
    return 1.0 + x**2 + y**2

a, b = 0.0, 1.0          # x-এর সীমা
c, d = 0.0, 2.0          # y-এর সীমা
for n in (10, 50, 200):  # গ্রিড যত সূক্ষ্ম, সীমা তত কাছে
    dx = (b - a) / n
    dy = (d - c) / n
    xs = a + (np.arange(n) + 0.5) * dx   # প্রতি ছোট বর্গের মধ্যবিন্দু (midpoint)
    ys = c + (np.arange(n) + 0.5) * dy
    X, Y = np.meshgrid(xs, ys)
    approx = np.sum(f(X, Y)) * dx * dy   # sum f(x_i, y_i) * ΔA  —  ঠিক সংজ্ঞামতো
    print(f"n={n:4d}  আসন্ন = {approx:.6f}   ভুল = {abs(approx - 16/3):.2e}")

print("সঠিক মান 16/3 =", 16/3)

# ---------- (ii) scipy দিয়ে adaptive numerical double integral ও Gaussian ----------
import numpy as np
from scipy import integrate

# একই আয়তন: dblquad(f, x-নিম্ন, x-উচ্চ, y-নিম্ন, y-উচ্চ)  — ভেতরের চলক y
val, err = integrate.dblquad(lambda y, x: 1 + x**2 + y**2, 0, 1, 0, 2)
print("scipy dblquad  =", round(val, 6), " (সঠিক 16/3 =", round(16/3, 6), ")")

# Gaussian: A^2 = ∫∫ e^{-(x^2+y^2)} dA পুরো তলে  ->  A = sqrt(pi)
A2, _ = integrate.dblquad(lambda y, x: np.exp(-(x**2 + y**2)),
                          -8, 8, -8, 8)   # -8..8 কার্যত অসীম
print("A^2 =", round(A2, 5), "   A =", round(np.sqrt(A2), 6),
      "   sqrt(pi) =", round(np.sqrt(np.pi), 6))

# পোলারে হাতে-verify: ∫0..2π ∫0..∞ e^{-r^2} r dr dθ = (1/2)(2π) = π

# ---------- (iii) সমাকলের অঞ্চল আঁকা: প্যারাবোলা ও রেখার মাঝে (উদাহরণ ৩) ----------
import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use("Agg")            # ফাইল-আউটপুট ব্যাকএন্ড
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2, 200)
plt.figure(figsize=(6, 5))
plt.fill_between(x, x**2, 2*x, color="#cfe8ff", label="region R")  # অঞ্চল
plt.plot(x, x**2, "b", lw=2, label=r"$y=x^2$")                     # নিচের সীমা
plt.plot(x, 2*x, "r", lw=2, label=r"$y=2x$")                       # উপরের সীমা
for xi in np.linspace(0.2, 1.8, 8):                                # উল্লম্ব ফালি (dy আগে)
    plt.plot([xi, xi], [xi**2, 2*xi], "g", lw=2, alpha=0.7)
plt.legend(); plt.xlabel("x"); plt.ylabel("y")
plt.title("Region of integration with vertical strips")
plt.tight_layout()
plt.savefig("region_demo.png", dpi=150)   # ছবিটা সেভ হবে
print("অঞ্চল আঁকা সেভ হলো: region_demo.png")

প্রথম প্রোগ্রাম চালালে দেখবে \(n\) বাড়ার সঙ্গে আসন্ন মান দ্রুত \(5.3333\ldots=16/3\)-এ থিতু হয়, আর ভুল প্রায় \(n^{-2}\) হারে কমে (midpoint rule)। দ্বিতীয়টা scipy-তে হুবহু \(16/3\) ও \(A=\sqrt{\pi}=1.77245\) দেয়। তৃতীয়টা সেই অঞ্চল ও উল্লম্ব ফালি এঁকে দেখায় — সীমা কেন \(x^2\le y\le 2x\) তা চোখে ধরা পড়ে।

৬. সাধারণ ভুল

1. পোলারে \(r\) ভুলে যাওয়া। \(\iint f\,dx\,dy=\iint f\,r\,dr\,d\theta\) — শুধু \(dr\,d\theta\) নয়। বাড়তি \(r\)-ই Jacobian; ভুলে গেলে ক্ষেত্রফল-আয়তন সব ভুল।
2. ভেতরের সীমায় ভেতরের চলক রাখা। \(\int f\,dy\)-এর সীমা \(x,z\)-এর ফাংশন হতে পারে, কিন্তু \(y\)-এর নয়। সীমায় \(y\) দেখলেই বুঝবে ক্রম বা সীমা ভুল।
3. বাইরের সীমা পরিবর্তনশীল রাখা। বাইরের (শেষ) সমাকলের সীমা সবসময় ধ্রুবক সংখ্যা — নাহলে উত্তর একটা চলকের ফাংশন থেকে যায়, সংখ্যা হয় না।
4. ক্রম উল্টে সীমা না বদলানো। \(dy\,dx\) থেকে \(dx\,dy\)-তে গেলে সীমা পুরো নতুন করে আঁকতে হয়। শুধু সমাকল-চিহ্ন অদল-বদল করলেই হবে না — অঞ্চল \(R\) এঁকে নাও।
5. Jacobian-এ পরম মান বাদ দেওয়া। \(dx\,dy=|J|\,du\,dv\), পরম মানসহ। \(J\) ঋণাত্মক এলে ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক হয়ে যাবে — অসম্ভব।
6. \(r\) (cylindrical) আর \(\rho\) (spherical) গুলিয়ে ফেলা। \(r^2=x^2+y^2\) (অক্ষ থেকে দূরত্ব), কিন্তু \(\rho^2=x^2+y^2+z^2\) (মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব)। এরা এক নয়; \(r=\rho\sin\phi\)।
7. \(\phi\)-এর পরিসর ভুল। গোলকীয় polar angle \(\phi\) চলে \(0\) থেকে \(\pi\) পর্যন্ত (\(2\pi\) নয়) — \(z\)-অক্ষ থেকে নিচে মাপা। আর azimuth \(\theta\) চলে \(0\) থেকে \(2\pi\)।
8. \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)-তে \(\sin\phi\) বা \(\rho^2\) বাদ দেওয়া। দুটোই Jacobian-এর অংশ; একটাও বাদ গেলে গোলকের আয়তন \(\tfrac43\pi R^3\) আসবে না।
9. \(d\theta\)-কে দৈর্ঘ্য ভাবা। \(d\theta\) একটা কোণ (রেডিয়ান), দৈর্ঘ্য নয়। চাপের দৈর্ঘ্য \(r\,d\theta\) — তাই ক্ষেত্রফলে \(r\) আসে।
10. আয়তক্ষেত্র নয় এমন অঞ্চলে ছবি না আঁকা। ত্রিভুজ/বৃত্ত/চতুস্তলকে সীমা মাথায় বের করা প্রায় অসম্ভব। Strang-এর নিয়ম: "অঞ্চল সবসময় আঁকো (আয়তক্ষেত্র ছাড়া)।"

৭. এক্সারসাইজ

1. আয়তক্ষেত্র \(R:\,0\le x\le2,\ 0\le y\le1\)-এ \(\displaystyle\iint_R x^2\,dA\) এবং \(\displaystyle\iint_R y^2\,dA\) বের করো (দুটো সমাকলন করে)।
2. \(x=0,\ y=0,\ x+y=1\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\iint dA\) দুই ক্রমে (\(dy\,dx\) ও \(dx\,dy\)) বের করো।
3. সমাকল \(\displaystyle\int_0^1\!\!\int_{y}^{1}\cos(x^2)\,dx\,dy\)-এর ক্রম উল্টে দাও এবং মান বের করো (সরাসরি \(\int\cos x^2\,dx\) অসম্ভব)।
4. দুই বৃত্ত \(r=1\) ও \(r=3\) এবং দুই রশ্মি \(\theta=0\) ও \(\theta=\pi/4\)-এর মধ্যেকার অঞ্চলের ক্ষেত্রফল পোলারে বের করো।
5. পোলার ব্যবহার করে একক চাকতি (\(x^2+y^2\le1\))-এর উপরে \(z=x^2+y^2\)-এর নিচের আয়তন বের করো।
6. রৈখিক বদল \(x=2u+v,\ y=u+2v\)-এর Jacobian \(J\) বের করো; \(uv\)-এককবর্গ (\(0\le u,v\le1\)) থেকে আসা \(xy\)-অঞ্চল \(R\)-এর ক্ষেত্রফল কত?
7. \(x=0,y=0,z=0,\ x+y+z=1\) চতুস্তলকে ঘনত্ব \(\rho=1\) ধরে ভরকেন্দ্রের উচ্চতা \(\bar z\) বের করো।
8. গোলকীয় স্থানাঙ্কে ব্যাসার্ধ \(R\)-এর গোলকের উপরের অর্ধেকের (\(\phi:0\to\pi/2\)) আয়তন বের করো।
9. বেলনাকার স্থানাঙ্কে \(r=1-z\) কোণের (cone, \(0\le z\le1\)) আয়তন বের করো এবং \(\tfrac13\pi(\text{radius})^2(\text{height})\)-এর সঙ্গে মেলাও।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(\displaystyle\iint_R x^2\,dA=\int_0^1\!\!\int_0^2 x^2\,dx\,dy\)। ভেতরে \(\int_0^2 x^2\,dx=\big[\tfrac{x^3}{3}\big]_0^2=\tfrac83\); বাইরে \(\int_0^1\tfrac83\,dy=\tfrac83\)।

\(\displaystyle\iint_R y^2\,dA=\int_0^2\!\!\int_0^1 y^2\,dy\,dx\)। ভেতরে \(\int_0^1 y^2\,dy=\tfrac13\); বাইরে \(\int_0^2\tfrac13\,dx=\tfrac23\)।

(আয়তক্ষেত্রে সমাকল্য গুণফল-রূপে ভাঙায় হিসাব সহজ: \(\iint x^2=(\int_0^2x^2dx)(\int_0^1dy)=\tfrac83\cdot1\); \(\iint y^2=(\int_0^2dx)(\int_0^1y^2dy)=2\cdot\tfrac13\)।)

২-নং সমাধান দেখাও

\(dy\,dx\) ক্রমে: উল্লম্ব ফালিতে \(y:0\to1-x\), তারপর \(x:0\to1\)।

\[\int_0^1\!\!\int_0^{1-x}dy\,dx=\int_0^1(1-x)\,dx=\Big[x-\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^1=\tfrac12.\]

\(dx\,dy\) ক্রমে: অনুভূমিক ফালিতে \(x:0\to1-y\), তারপর \(y:0\to1\)।

\[\int_0^1\!\!\int_0^{1-y}dx\,dy=\int_0^1(1-y)\,dy=\tfrac12.\]

দুই ক্রমে একই ক্ষেত্রফল \(\tfrac12\) — ঠিক যেমন সমকোণী ত্রিভুজের \(\tfrac12\cdot1\cdot1\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

অঞ্চল: \(y:0\to1\), প্রতি \(y\)-এ \(x:y\to1\) — অর্থাৎ ত্রিভুজ \(\{0\le y\le x\le1\}\)। ক্রম উল্টে \(x\) বাইরে নিলে: \(x:0\to1\), আর \(y:0\to x\)। তখন ভেতরের \(\int_0^x\cos(x^2)\,dy=x\cos(x^2)\) — দরকারি \(x\) গুণক এসে গেল!

\[\int_0^1\!\!\int_0^{x}\cos(x^2)\,dy\,dx=\int_0^1 x\cos(x^2)\,dx=\Big[\tfrac12\sin(x^2)\Big]_0^1=\tfrac12\sin 1.\]

ক্রম উল্টানোই এই "অসম্ভব" সমাকলকে সম্ভব করল।

৪-নং সমাধান দেখাও

পোলারে ক্ষেত্রফল \(\iint r\,dr\,d\theta\), সীমা \(r:1\to3\), \(\theta:0\to\pi/4\):

\[\int_0^{\pi/4}\!\!\int_1^3 r\,dr\,d\theta=\Big[\theta\Big]_0^{\pi/4}\Big[\tfrac{r^2}{2}\Big]_1^3=\tfrac{\pi}{4}\cdot\tfrac{9-1}{2}=\tfrac{\pi}{4}\cdot4=\pi.\]

(যাচাই: বড় খণ্ড \(\tfrac12(3^2)\tfrac{\pi}{4}\) বিয়োগ ছোট খণ্ড \(\tfrac12(1^2)\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}\cdot\tfrac{8}{2}=\pi\)।)

৫-নং সমাধান দেখাও

\(z=x^2+y^2=r^2\), একক চাকতিতে \(r:0\to1\), \(\theta:0\to2\pi\), আর \(dA=r\,dr\,d\theta\):

\[V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 r^3\,dr\,d\theta=2\pi\Big[\tfrac{r^4}{4}\Big]_0^1=2\pi\cdot\tfrac14=\tfrac{\pi}{2}.\]

বাড়তি \(r\) না দিলে ভুল করে \(\tfrac{2\pi}{3}\) পেতে — তাই Jacobian জরুরি।

৬-নং সমাধান দেখাও

\[J=\det\begin{bmatrix}\partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}=2\cdot2-1\cdot1=3.\]

একক বর্গ \(S\)-এর ক্ষেত্রফল \(1\), তাই \(R\)-এর ক্ষেত্রফল \(=\iint_S|J|\,du\,dv=3\cdot1=3\)। রৈখিক বদল বলে \(J\) সর্বত্র ধ্রুবক \(3\) — সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(3\)।

৭-নং সমাধান দেখাও

আয়তন (উদাহরণ ৬) \(V=\tfrac16\)। moment \(M_{xy}=\iiint z\,dV\): স্থির \(z\)-এ ত্রিভুজাকার ফালির ক্ষেত্রফল \(\tfrac12(1-z)^2\), তাই

\[\iiint z\,dV=\int_0^1 z\cdot\tfrac12(1-z)^2\,dz=\tfrac12\int_0^1(z-2z^2+z^3)\,dz=\tfrac12\Big(\tfrac12-\tfrac23+\tfrac14\Big)=\tfrac12\cdot\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{24}.\]

\[\bar z=\frac{\iiint z\,dV}{\iiint dV}=\frac{1/24}{1/6}=\frac{6}{24}=\frac14.\]

প্রতিসাম্যে \(\bar x=\bar y=\tfrac14\) — ভরকেন্দ্র \((\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)\)।

৮-নং সমাধান দেখাও

উপরের অর্ধ-গোলকে \(\phi:0\to\pi/2\) (বিষুবরেখা পর্যন্ত), \(\rho:0\to R\), \(\theta:0\to2\pi\):

\[V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^{R}\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=\tfrac{R^3}{3}\Big[-\cos\phi\Big]_0^{\pi/2}\cdot2\pi=\tfrac{R^3}{3}\cdot(0-(-1))\cdot2\pi=\tfrac{2}{3}\pi R^3.\]

পুরো গোলকের (\(\tfrac43\pi R^3\)) ঠিক অর্ধেক — যেমন হওয়ার কথা।

৯-নং সমাধান দেখাও

বেলনাকারে \(r\) যায় \(0\) থেকে \(1-z\); \(z:0\to1\); \(\theta:0\to2\pi\); \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\):

\[V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{1}\!\!\int_0^{1-z} r\,dr\,dz\,d\theta.\]

ভেতরে \(\int_0^{1-z}r\,dr=\tfrac12(1-z)^2\); মধ্যে \(\int_0^1\tfrac12(1-z)^2\,dz=\tfrac12\cdot\tfrac13=\tfrac16\); বাইরে \(\int_0^{2\pi}\tfrac16\,d\theta=\tfrac{2\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3}\)।

সূত্র \(\tfrac13\pi r^2 h=\tfrac13\pi(1)^2(1)=\tfrac{\pi}{3}\)-এর সঙ্গে মেলে। ✓

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ে single integral থেকে দুই ও তিন variable-এ গেছি—ছোট contribution যোগ করে limit নিই। \(f\ge0\) হলে double integral surface-এর নিচের volume; sign-changing \(f\) হলে signed volume/net accumulation। Fubini suitable integrability assumptions-এ multiple integral-কে iterated integral-এ ভাঙে; coordinate change-এ Jacobian লাগে।

• [ ] দ্বৈত সমাকলকে যোগফলের সীমা হিসেবে লিখতে পারি: \(\iint_R f\,dA=\lim\sum f(x_i,y_i)\,\Delta A\)।
• [ ] Fubini দিয়ে iterated integral-এ ভাঙতে পারি; ভেতরের/বাইরের সমাকল ও ফালির অর্থ বুঝি।
• [ ] অঞ্চল \(R\) এঁকে সীমা বসাতে পারি; ক্রম উল্টাতে (\(dy\,dx\leftrightarrow dx\,dy\)) নতুন সীমা বের করতে পারি।
• [ ] জানি ভেতরের সীমা ভেতরের চলকের উপর নির্ভর করতে পারে না, বাইরের সীমা সবসময় ধ্রুবক।
• [ ] পোলারে \(dA=r\,dr\,d\theta\) — জ্যামিতিক ও নির্ণায়ক, দুইভাবে বের করতে পারি; বাড়তি \(r\) ভুলি না।
• [ ] Jacobian \(J=\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\) নির্ণায়ক বের করে \(dx\,dy=|J|\,du\,dv\) প্রয়োগ করি।
• [ ] Triple integral-এ integration order বদলাতে পারি এবং single set of bounds যথেষ্ট না হলে region split করতে পারি।
• [ ] বেলনাকারে \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\), গোলকীয়ে \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\) লিখতে ও প্রয়োগ করতে পারি।
• [ ] \(r\) (অক্ষ থেকে) আর \(\rho\) (মূলবিন্দু থেকে) আলাদা করি; \(\phi:0\to\pi\), \(\theta:0\to2\pi\) মনে রাখি।
• [ ] প্রয়োগে ক্ষেত্রফল/আয়তন/ভর/moment/centroid/moment of inertia আর Gaussian \(\int e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\) বের করতে পারি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.15 — Vector Calculus — বহুগুণ সমাকলের পর একটা জিনিস বাকি: Fundamental Theorem of Calculus-এর দ্বি-মাত্রিক রূপ। vector field, line integral, আর Green's Theorem একটা অঞ্চলের দ্বৈত সমাকলকে তার সীমানা-বক্ররেখার একক সমাকলের সঙ্গে জোড়ে — divergence, curl, flux ও circulation-এর গল্প।