9.5 — Integrals (সমাকল)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: derivative (অন্তরজ) ছিল "পার্থক্য নেওয়া" — এই অধ্যায়ে তার উল্টো কাজ integral (সমাকল) শিখব, যা আসলে "যোগ করা"। শুরু করব একদম বেসিক থেকে: কয়েকটা সংখ্যার sum আর difference-এর সম্পর্ক থেকে; তারপর সেই যোগফলকে অসীম-পাতলা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সীমা (limit) বানিয়ে Riemann sum → definite integral (নির্দিষ্ট সমাকল) পাব। মাঝপথে শিখব antiderivative (প্রতি-অন্তরজ) কীভাবে খুঁজতে হয়, substitution (প্রতিস্থাপন) দিয়ে chain rule উল্টো চালানো, integral-এর সাতটা মৌলিক ধর্ম আর average value (গড় মান)। পুরো অধ্যায়ের মুকুট হলো Fundamental Theorem of Calculus (ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য) — তার দুই রূপ প্রমাণসহ বিশদে। শেষে antiderivative না পেলে কী করব — numerical integration (সাংখ্যিক সমাকলন): trapezoid, midpoint, Simpson আর Gauss। Strang-এর Chapter 5-এর আটটা section এখানে লাইন-ধরে-ধরে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়গুলোতে derivative (অন্তরজ) শিখেছি—function কত দ্রুত বদলাচ্ছে। উল্টো প্রশ্নে rate accumulate করি। Signed velocity \(v(t)\) integrate করলে net displacement পাওয়া যায়; total distance পেতে speed \(|v(t)|\) integrate করতে হয়। আয়ের হার থেকে মোট আয় বা density থেকে মোট mass-ও একই accumulation idea।

Strang একটা সহজ কথা দিয়ে শুরু করেন: integration মানে যোগফলের সীমা (limit of sums) খোঁজা, আর তার চাবি হলো পার্থক্যের সীমা (limit of differences) — অর্থাৎ derivative — উল্টো দিকে চালানো। যদি \(v(x)\)-কে অন্য কোনো function \(f(x)\)-এর derivative হিসেবে চিনে ফেলি, তবে \(v\)-এর integral হলো সেই \(f\)। যেমন \(v=\cos x\)-এর integral \(f=\sin x\), কারণ \(\sin\)-এর derivative \(\cos\)।

আসল যোগফলটা হাতে করা ভয়ংকর — হাজার হাজার বর্গমূল যোগ করা। calculus-এর পুরো মজাই হলো সেই কষ্ট এড়িয়ে একটা সাফসুতরো উত্তর দেওয়া। Newton আর Leibniz-এর এই অসাধারণ স্বজ্ঞাটা আমরা ভাগ করে নেব।

মূল স্বজ্ঞা

Sum আর Difference একে অপরের উল্টো — আর সেটাই limit-এ গিয়ে Integral আর Derivative-এর উল্টো সম্পর্ক হয়ে দাঁড়ায়। সংখ্যার জগতে: যদি প্রতিটা \(v_j\) হয় দুটো \(f\)-এর পার্থক্য (\(v_j=f_j-f_{j-1}\)), তবে সব \(v\) যোগ করলে মাঝেরগুলো কাটাকাটি হয়ে থাকে শুধু \(f_n-f_0\)। function-এর জগতে ঠিক একই কথা: \(\displaystyle\int_a^b v(x)\,dx = f(b)-f(a)\), যেখানে \(v=df/dx\)। এই একটা লাইন মনে রাখলে গোটা অধ্যায় নিজে থেকেই খুলে যায়।

---

২. মূল ধারণা (Core idea)

২.১ The Idea of the Integral — যোগ ও পার্থক্য (Section 5.1)

সবকিছুর আগে বীজগণিতের একটা সরল তথ্য। ধরা যাক দুই সেট সংখ্যা: বেগ-ধরনের \(v_1,v_2,\dots,v_n\) আর দূরত্ব-ধরনের \(f_1,f_2,\dots,f_n\)। একটা উদাহরণ (\(n=4\)):

\[v_1,v_2,v_3,v_4 = 1,2,3,4 \qquad f_1,f_2,f_3,f_4 = 1,3,6,10.\]

\(f\) থেকে \(v\) পাই পার্থক্য নিয়ে (এটা derivative-এর discrete রূপ): \(f_2-f_1 = 3-1 = 2 = v_2\), \(f_3-f_2 = 6-3 = 3 = v_3\), ইত্যাদি। সাধারণভাবে

\[v_j = f_j - f_{j-1}.\]

\(j=1\)-এ একটু অসুবিধা: \(f_0\) নেই। আমরা ঠিক করি \(f_0 = 0\) — এই "শুরুর বিন্দু" পরে ক্যালকুলাসে ঘুরেফিরে আসবে।

উল্টোদিকে, \(v\) থেকে \(f\) পাই যোগ করে (এটা integral-এর discrete রূপ): \(v_1+v_2 = 1+2 = 3 = f_2\); \(v_1+v_2+v_3 = 6 = f_3\); চারটে যোগ করে \(10 = f_4\)। যোগ করা হলো পার্থক্য নেওয়ার উল্টো — এটাই পুরো ক্যালকুলাসের চাবি।

চিত্র ১ (কিড-চিত্র): রঙিন বার \(v_1,v_2,v_3,v_4\) একটার উপর একটা জমা করলে পাই running total \(f_1,f_2,f_3,f_4\)। উপরের দিকে যাওয়া = SUM (integrate), দুই \(f\)-এর ফাঁক = DIFFERENCE (differentiate) — একটা আরেকটাকে বাতিল করে।

Fundamental Theorem (সীমার আগে): যদি প্রতিটা \(v_j = f_j - f_{j-1}\), তবে

\[v_1 + v_2 + \cdots + v_n = f_n - f_0.\]

কারণ যোগফলটা telescope (দূরবীন-মোড়ার মতো গুটিয়ে যায়):

\[(f_1-f_0)+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+\cdots+(f_n-f_{n-1}).\]

এখানে \(+f_1\) কাটে \(-f_1\)-এর সাথে, \(+f_2\) কাটে \(-f_2\)-এর সাথে — শুধু বাকি থাকে শেষের \(f_n\) আর শুরুর \(-f_0\)।

মজার প্রশ্ন (Gauss-এর গন্ধ)

বিজোড় সংখ্যা \(1+3+5+\cdots+99\) যোগ করো। এগুলো হলো \(0,1,4,9,\dots\) (বর্গ) সংখ্যাগুলোর পরপর পার্থক্য! তাই Fundamental Theorem বলছে \(50\)টা বিজোড় সংখ্যার যোগফল \(= (50)^2 = 2500\)।

যোগফল কীভাবে integral হয়ে ওঠে। ধরা যাক তোমার কোম্পানির আয়ের হার \(x\) বছর পরে \(\sqrt{x}\) মিলিয়ন ডলার/বছর। প্রথম চার বছরে আয়ের হার \(\sqrt1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4\)। এদের যোগফল \(\approx 6.15\) — চারটা আয়তক্ষেত্রের (প্রতিটার base = ১ বছর) মোট ক্ষেত্রফল।

চিত্র ২ (Fig. 5.1): মোট আয় = আয়তক্ষেত্রগুলোর মোট ক্ষেত্রফল \(= \sqrt1+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt4 = 6.15\) মিলিয়ন ডলার।

কিন্তু এটা বাড়িয়ে বলা! প্রথম তিন মাসে হার \(\sqrt1=1\) ছিল না, ছিল \(\sqrt{1/4}=1/2\)। তাই সময়কে আরও সরু টুকরোয় ভাগ করি — ৪ বছরকে ১৬ কোয়ার্টারে। প্রতিটা আয়তক্ষেত্রের base এখন \(1/4\), আর ক্ষেত্রফলের যোগফল \(\approx 5.56\) — সত্যের আরও কাছে।

চিত্র ৩ (Fig. 5.2): আয় = ক্ষেত্রফলের যোগফল (উচ্চতার নয়) \(= \tfrac14\left(\sqrt{\tfrac14}+\sqrt{\tfrac24}+\cdots+\sqrt{\tfrac{16}{4}}\right) \approx 5.56\)। টুকরো যত সরু, উত্তর তত নির্ভুল।

সপ্তাহে ভাগ করলে আরও কাছে, দিনে ভাগ করলে আরও — \(1460\)টা আয়তক্ষেত্র! হাতে যোগ করা অসম্ভব। যত সরু আয়তক্ষেত্র, তত বেশি সংখ্যা, আর ক্ষেত্রফল একটা সীমার (limit) দিকে যায় যখন \(\Delta x \to 0\)। সেই সীমাই "integral"। curve-এর নিচের ক্ষেত্রফল আমরা খুঁজছি — যেটা পাটিগণিতে হয় না, কারণ এতে একটা limit লুকিয়ে আছে।

২.২ Antiderivatives — প্রতি-অন্তরজ (Section 5.2)

Leibniz \(\displaystyle\int\) চিহ্নটা বানান — এটা লম্বা-করা "S" (Latin summa = যোগ থেকে)। Sum গিয়ে দাঁড়ায় integral-এ, \(S\) গিয়ে দাঁড়ায় \(\int\)-এ, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল গিয়ে দাঁড়ায় বাঁকা ক্ষেত্রফলে:

\[\text{curved area} \;=\; \int v(x)\,dx \;=\; \int \sqrt{x}\,dx.\]

এখানে "\(dx\)" মনে করিয়ে দেয় যে base \(\Delta x \to 0\)। \(0\) থেকে \(4\) পর্যন্ত ("limits of integration") ক্ষেত্রফল হলো যোগফলের limit:

\[\lim_{\Delta x\to 0}\Big[\sqrt{\Delta x}\,(\Delta x)+\sqrt{2\Delta x}\,(\Delta x)+\cdots+\sqrt{4}\,(\Delta x)\Big] = \int_{x=0}^{x=4}\sqrt{x}\,dx.\]

আমাদের কাছে উত্তরের একটা চিহ্ন আছে, কিন্তু সংখ্যা নেই। সংখ্যাটা আনে antiderivative (প্রতি-অন্তরজ) — এমন এক function \(f(x)\) যার derivative \(\sqrt{x}\)।

কীভাবে খুঁজি? derivative ঘাত (exponent) কমায়, তাই antiderivative ঘাত বাড়ায়। \(x^{1/2}\) থেকে যাই \(x^{3/2}\)-তে। কিন্তু \(x^{3/2}\)-এর derivative \(\tfrac32 x^{1/2}\) — একটা বাড়তি \(\tfrac32\)। সেটা বাতিল করতে সামনে \(\tfrac23\) বসাই:

\[f(x) = \tfrac{2}{3}x^{3/2} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}. \checkmark\]

এখন সংখ্যা পাই। \(x=4\)-এ \(x^{3/2}=8\); \(\tfrac23\) দিয়ে গুণ করে \(\tfrac{16}{3}\); তারপর \(f(0)=0\) বিয়োগ:

\[\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \tfrac23(4)^{3/2} - \tfrac23(0)^{3/2} = \tfrac23(8) = \frac{16}{3} = 5\tfrac13.\]

চিত্র ৪ (Fig. 5.3): \(v(x)=\sqrt{x}\)-এর integral হলো curve-এর নিচের নিখুঁত ক্ষেত্রফল \(16/3\)। হাজার হাজার আয়তক্ষেত্র ধীরে ধীরে ঠিক এই সংখ্যাটার দিকেই যাচ্ছিল।

Power rule (সাধারণ সূত্র): \(v(x)=x^n\)-এর antiderivative

\[f(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} \qquad (n \neq -1).\]

\(n+1\) দিয়ে ভাগ করে derivative-এর \(n+1\) বাতিল হয়। (\(n=-1\) নিষিদ্ধ — তখন হর শূন্য; এই ক্ষেত্রটা Chapter 6-এ \(\ln x\) হয়ে ফিরবে।)

সরলরেখার নিচের ক্ষেত্রফল। \(v=x\) রেখার নিচে \(0\) থেকে \(4\) পর্যন্ত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\tfrac12(4)(4)=8\) — জানা কথা। চারটা আয়তক্ষেত্র দিলে \(1+2+3+4=10\) (বেশি, কারণ ত্রিভুজ ভিতরে); আটটা দিলে \(9\); ষোলোটা দিলে \(8\tfrac12\) — ধীরে ধীরে \(8\)-এর দিকে।

চিত্র ৫ (Fig. 5.4): \(v=x\)-এর নিচে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(8\) — আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(10, 9, 8\tfrac12,\dots\)-এর limit হিসেবে। আয়তক্ষেত্র যত সরু, তত কাছে।

curve-এর নিচের ক্ষেত্রফল সংজ্ঞায়িত করতে দুটোই যথেষ্ট: (১) সবচেয়ে চওড়া টুকরো \(\Delta x_{\max}\to 0\), আর (২) প্রতিটা আয়তক্ষেত্রের মাথা curve ছুঁলে বা কাটলে। এই limit থাকলে সেটাই ক্ষেত্রফল — চওড়া বা উচ্চতা সমান হওয়া লাগে না।

Constant of integration. \(f(x)=\tfrac12 x^2\)-এর derivative \(x\); কিন্তু \(\tfrac12 x^2+1\), \(\tfrac12 x^2-9\), বা যেকোনো \(\tfrac12 x^2+C\)-এরও derivative \(x\) (ধ্রুবকের derivative শূন্য)। তাই আলাদা করি:

• Indefinite integral (অনির্দিষ্ট সমাকল) একটা function: \(\displaystyle\int v(x)\,dx = f(x)+C\)।
• Definite integral (নির্দিষ্ট সমাকল) একটা সংখ্যা: \(f(b)-f(a)\) — এতে \(C\) থাকে না, কারণ বিয়োগে কাটাকাটি হয়ে যায়।

উদাহরণ: \(v=4-x\) কমতে থাকা বেগ। antiderivative \(f(x)=4x-\tfrac12 x^2\)। \(x=1\) থেকে \(x=3\) পর্যন্ত ক্ষেত্রফল

\[\int_1^3 (4-x)\,dx = \Big[4x-\tfrac12 x^2\Big]_1^3 = 7\tfrac12 - 3\tfrac12 = 4,\]

আর যোগ করা \(C\) দুই প্রান্তে কাটাকাটি হয়ে যায়:

চিত্র ৬ (Fig. 5.5): ক্ষেত্রফল \(= f(3)-f(1) = 7\tfrac12 - 3\tfrac12 = 4\) (trapezoid)। \(v\) কমছে বলে \(f\) নিচের দিকে বাঁকছে; \(v=0\) ছুঁলে \(f\) সমতল — নতুন ক্ষেত্রফল আর যোগ হয় না।

২.৩ Summation versus Integration — কঠিন পথ (Section 5.3)

এই section-এ integral বের করি কঠিন উপায়ে: সরাসরি \(f_n=v_1+\cdots+v_n\)-এর সূত্র বের করে, তারপর limit নিয়ে। এতে বোঝা যায় কেন correction পদগুলো limit-এ মিলিয়ে যায়।

Sigma notation (\(\Sigma\))। \(1^2+2^2+3^2+4^2\) লিখি

\[\sum_{j=1}^{4} j^2 = 30.\]

নিচে-উপরে লেখা limit বলে কোথা থেকে শুরু-শেষ; \(j\) হলো dummy variable (নামমাত্র চলক) — \(k\) বা \(i\) লিখলেও একই।

Gauss-এর যোগফল। প্রথম \(n\)টা সংখ্যার যোগ? Gauss ছোটবেলায় \(1+100, 2+99,\dots\) জোড়া বেঁধে দেখলেন প্রতিটা \(101\), আর \(50\)টা জোড়া — তাই \(1+\cdots+100 = 5050\)। সাধারণভাবে

\[\sum_{j=1}^{n} j = 1+2+\cdots+n = \tfrac12 n(n+1) = \tfrac12 n^2 + \tfrac12 n.\]

গুরুত্বপূর্ণ পদ \(\tfrac12 n^2\), correction পদ \(\tfrac12 n\)।

বর্গের যোগ — একটা সুন্দর derivation। চাই \(f_n = 1^2+2^2+\cdots+n^2\)। integral-এর কাছ থেকে ধার করে অনুমান করি \(f_n = \tfrac13 n^3\)। পরীক্ষা:

\[\tfrac13 n^3 - \tfrac13 (n-1)^3 = \tfrac13 n^3 - \tfrac13(n^3-3n^2+3n-1) = n^2 - n + \tfrac13.\]

আমরা চাই পার্থক্য হোক ঠিক \(n^2\)। এখন পার্থক্যে বাড়তি \(-n+\tfrac13\) আছে। ঠিক করতে: পার্থক্যে \(+n\) ফেরাতে যোগফলে \(\tfrac12 n(n+1)\) যোগ করি; পার্থক্যের \(+\tfrac13\) মারতে যোগফলে \(\tfrac13 n\) বিয়োগ করি:

\[\boxed{\;\sum_{j=1}^{n} j^2 = \tfrac13 n^3 + \tfrac12 n^2 + \tfrac16 n\;}\]

যাচাই: \(f_1 = \tfrac13+\tfrac12+\tfrac16 = 1\) ✓, \(f_2 = 5\) ✓, \(f_3 = 14\) ✓।

চিত্র ৭ (Fig. 5.6): \(v=x^2\)-কে ঘিরে থাকা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\tfrac13 n^3 + \tfrac12 n^2 + \tfrac16 n\); limit-এ শুধু \(\tfrac13 x^3\) টেকে।

এবার calculus — correction ছাড়া। \(v=x^2\)-এর নিচে \(0\) থেকে \(100\) পর্যন্ত ক্ষেত্রফল। \(100\)-কে \(n\) টুকরোয় ভাগ করি, প্রতিটার প্রস্থ \(\Delta x\), \(j\)-তম আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা \((j\Delta x)^2\):

\[\text{area} = \sum_{j=1}^{n} (j\Delta x)^2(\Delta x) = (\Delta x)^3 \sum_{j=1}^n j^2 = (\Delta x)^3\Big[\tfrac13\big(\tfrac{100}{\Delta x}\big)^3 + \tfrac12\big(\tfrac{100}{\Delta x}\big)^2 + \tfrac16\big(\tfrac{100}{\Delta x}\big)\Big].\]

গুছিয়ে লিখলে

\[\text{area} = \tfrac13 (100)^3 + \tfrac12 (100)^2(\Delta x) + \tfrac16 (100)(\Delta x)^2.\]

মূল পদ \(\tfrac13(100)^3\) (এক-তৃতীয়াংশ মিলিয়ন), আর বাকি সব পদে \(\Delta x\) আছে — তারা \(\Delta x\to 0\)-এ শূন্যে মিলিয়ে যায়! তাই

\[\int_0^{100} x^2\,dx = \tfrac13(100)^3, \qquad \text{in general } \int_0^n x^2\,dx = \tfrac13 n^3.\]

এটাই calculus-এর সৌন্দর্য: যোগফলে correction থাকে, integral-এ থাকে না — সরু আয়তক্ষেত্রের limit-এ সেই কোণাগুলো ধুয়ে যায়।

Proof without words (Roger Nelsen, 1990)

\((1+2+3+4)^2 = 1^3+2^3+3^3+4^3\) — একটা সমতল \(n\times n\) বর্গকে \(1,2,3,\dots\) মাপের ঘনকে সাজিয়ে দেখানো যায়।

চিত্র ৮: শব্দহীন প্রমাণ — \((1+2+\cdots+n)^2 = 1^3+2^3+\cdots+n^3\)। একক-ঘনক দিয়ে গড়া সমতল বর্গ ভেঙে \(1,2,3,4\) বাহুর ঘনক তৈরি হয়।

ত্রুটি (error) কত দ্রুত কমে? \(v=x\)-এর জন্য \(n\)টা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(= 8 + 2\Delta x\) (সঠিক মান \(8\))। ত্রুটি \(2\Delta x\) — \(\Delta x\)-এর সমানুপাতিক (first order)। \(10^{-6}\) নির্ভুলতা পেতে ৮ মিলিয়ন আয়তক্ষেত্র লাগবে — ভয়ংকর! সমাধান: আয়তক্ষেত্রকে মাঝবিন্দুতে curve কাটাও (midpoint rule) — তখন ত্রুটি \((\Delta x)^2\)-এর মাপের, হাজার আয়তক্ষেত্রেই \(10^{-6}\)।

চিত্র ৯ (Fig. 5.7): প্রান্ত-নিয়মে (endpoint rule) ত্রুটি \(\propto 1/(\text{work}) \propto 1/n\); midpoint rule অনেক ভালো: ত্রুটি \(\propto 1/(\text{work})^2\)। Section 5.8 এতে ফিরবে।

২.৪ Indefinite Integrals ও Substitution (Section 5.4)

এখন সহজ পথ: যোগফল ভুলে সরাসরি antiderivative খুঁজি। প্রতিটা integration-সূত্র আসে একটা differentiation-সূত্র উল্টে। কিছু জানা জোড়া (প্রতিটায় \(f'(x)=v(x)\)):

\(v(x)\)	প্রতি-অন্তরজ \(f(x)\)
\(x^n \ (n\neq -1)\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)
\(\sec^2 x\)	\(\tan x + C\)
\(\csc^2 x\)	\(-\cot x + C\)
\(\sec x\tan x\)	\(\sec x + C\)
\(\csc x\cot x\)	\(-\csc x + C\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\sin^{-1}x + C\)
\(\dfrac{1}{1+x^2}\)	\(\tan^{-1}x + C\)
\(\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2-1}}\)	\(\sec^{-1}x + C\)

Linearity (রৈখিকতা)। derivative-এর তিন মহাগুরুত্বপূর্ণ নিয়ম — linearity, product rule, chain rule — integral-এও প্রাধান্য বজায় রাখে:

\[\text{linearity} \to \text{linearity}, \quad \text{product rule} \to \text{integration by parts}, \quad \text{chain rule} \to \text{substitution}.\]

Linearity বলে যোগফলের integral = আলাদা integral-দের যোগ, আর ধ্রুবক বাইরে টানা যায়:

\[\int \big[a\,v(x)+b\,w(x)\big]\,dx = a\int v(x)\,dx + b\int w(x)\,dx.\]

Substitution — এই section-এর রত্ন। chain rule বলে \(f(g(x))\)-এর derivative \(f'(g(x))\cdot g'(x)\)। উল্টো পড়লে: ডান পাশ দেওয়া থাকলে বাম পাশ তার antiderivative। ভিতরের function \(g\) (বা \(u\))-এর derivative উপস্থিত থাকতে হবে:

\[\int v(u(x))\,\frac{du}{dx}\,dx = f(u(x)) + C.\]

চারটা ধাপ: (১) \(u(x)\) বেছে \(du/dx\) বের করো; (২) integral-এ \(v(u)\cdot\frac{du}{dx}\,dx\) (বা \(v(u)\,du\)) খুঁজে পাও; (৩) \(\int v(u)\,du = f(u)+C\) করো; (৪) \(u\)-এর জায়গায় \(u(x)\) ফেরত বসাও।

উদাহরণ (Strang-এর):

\[\int \sin x\cos x\,dx \overset{u=\sin x}{=} \tfrac12(\sin x)^2 + C, \qquad \int \tan^4 x\,\sec^2 x\,dx \overset{u=\tan x}{=} \tfrac15(\tan x)^5 + C.\]

\[\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx \overset{u=x^2-1}{=} \sqrt{x^2-1} + C, \qquad \int \cos 2x\,dx = \tfrac12\sin 2x + C.\]

ধ্রুবক সবসময় ঠিক করা যায় (২ বা ১৫ দিয়ে ভাগ), কিন্তু \(du/dx\) থাকতেই হবে। যেমন \(\int \cos 2x\,dx\)-এ \(u=2x\), \(du/dx=2\) — তাই ২ দিয়ে গুণ-ভাগ করে বসাই।

চিত্র ১০ (Fig. 5.8): \(u=x+1\) graph সরায়, \(u=2x\) graph চেপে দেয়, \(u=x^2\) — শেষ graph-এ \(du/dx=2x\)-এর অর্ধেক ধরা।

সবচেয়ে সাধারণ ভুল

\(\displaystyle\int (x^2+1)^2\,dx \neq \tfrac13(x^2+1)^3\) — কারণ ভিতরের \(x^2+1\)-এর derivative \(2x\) integral-এ নেই। substitution তখনই চলে যখন \(du/dx\) হাজির থাকে (বা শুধু ধ্রুবক দিয়ে ঠিক করা যায়)।

২.৫ The Definite Integral — Riemann sum (Section 5.5)

এতক্ষণ ধরে নিয়েছি \(f(x)\) পাওয়া যায়। কিন্তু বেশিরভাগ \(v(x)\)-এর সুন্দর antiderivative নেই (যেমন \(\sin x^2\))। তবু তাদের graph-এর নিচে ক্ষেত্রফল আছে — সেটাই আমরা সংজ্ঞা দিয়ে ধরি।

সমস্যা: \([a,b]\)-তে continuous (অবিচ্ছিন্ন) \(v(x)\)-এর integral। ধাপ ১: \([a,b]\)-কে \(n\)টি subinterval-এ partition করো, mesh point \(x_0=a<x_1<\cdots<x_n=b\); \(k\)-তম subinterval-এর width \(\Delta x_k\), সেখানে \(v\)-এর minimum \(m_k\) ও maximum \(M_k\)।

দুই ধরনের আয়তক্ষেত্র: নিচের (lower) উচ্চতা \(m_k\), উপরের (upper) উচ্চতা \(M_k\)। আসল ক্ষেত্রফল এদের মাঝে:

\[s = \sum_k m_k\,\Delta x_k \;\le\; \int_a^b v(x)\,dx \;\le\; \sum_k M_k\,\Delta x_k = S.\]

চিত্র ১১ (Fig. 5.9): নিচের আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(s\); উপরের যোগফল \(S\) মাথার টুকরোগুলোও ধরে; Riemann sum \(S^*\) ঠিক মাঝে।

নতুন meshpoint যোগ করলে \(s\) বাড়ে আর \(S\) কমে — তারা কাছাকাছি আসে, কখনো একে অপরকে পার হয় না:

\[s \le s' \le \cdots \le S' \le S.\]

সংজ্ঞা: \(v\) continuous হলে \(\Delta x_{\max}\to 0\)-এ \(s\) আর \(S\) একই সংখ্যা \(A\)-তে মেলে। সেই \(A\)-ই হলো \(v\)-এর Riemann integral \(a\) থেকে \(b\) পর্যন্ত।

মাঝের যেকোনো বিন্দু \(x_k^*\)-এ উচ্চতা নিয়ে বানানো Riemann sum \(S^* = \sum_k v(x_k^*)\Delta x_k\)-ও একই \(A\)-তে যায়:

চিত্র ১২ (Fig. 5.10): উপ-ব্যবধানে sample বিন্দু \(x_k^*\)-এর নানা অবস্থান; আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা \(v(x_k^*)\)। মাঝবিন্দু নিলে (midpoint) সবচেয়ে ভালো।

চিত্র ১৩ (কিড-চিত্র): \(2 \to 4 \to 16\) আয়তক্ষেত্র — যত বেশি ও সরু, ক্ষেত্রফল তত নিখুঁত মান (\(16/3\approx 5.33\))-এর দিকে যায়। এটাই Riemann integral-এর সংজ্ঞা।

কোন function integrable নয়?

Dirichlet-এর function \(V(x)=1\) সব ভগ্নাংশে, \(=0\) বাকি সব জায়গায়। প্রতিটা টুকরায় \(m_k=0\) কিন্তু \(M_k=1\), তাই সবসময় \(s=0\) আর \(S=b-a\) — ফাঁক বন্ধ হয় না। এটা Riemann-অর্থে integrable নয় (Lebesgue-এর উন্নত সংজ্ঞায় এর integral \(0\), কিন্তু সে অন্য গল্প)।

Strang আরও কিছু sample velocity function \(v(x)\) দেন—কোনোটা positive, কোনোটা negative। Signed area position change/displacement দেয়; \(|v|\)-এর area total distance দেয়:

নমুনা-চিত্র: ডানে \(v_2(x)\) negative হলে accumulated position \(f\) কমে; total distance কমে না, কারণ সেখানে \(|v_2|\) accumulate করতে হয়।

নমুনা-চিত্র: ডানে \(v_4(x)\) positive থেকে negative হয়—signed area যোগ-বিয়োগ হয়ে displacement বদলায়; total distance-এর জন্য negative lobe-ও positive contribution দেয়।

নমুনা-চিত্র: ত্রিভুজ ও বৃত্তকলা (circular sector)-এর ক্ষেত্রফল — integral দিয়ে area মাপার জ্যামিতিক উদাহরণ (এখানে \(\frac12 r^2\,d\theta\)-ধাঁচের ক্ষুদ্র টুকরো)।

২.৬ Properties ও Average Value (Section 5.6)

definite integral-এর সাতটা মৌলিক ধর্ম — প্রয়োগে এগুলো সবাই ব্যবহার করে।

Property 1 (পাশাপাশি যোগ): \(\displaystyle\int_a^b v + \int_b^c v = \int_a^c v\)।

Property 2: \(\displaystyle\int_b^b v\,dx = 0\) (একটা বিন্দুর উপর ক্ষেত্রফল শূন্য)।

Property 3 (উল্টো দিকে চিহ্ন বদল): \(\displaystyle\int_b^a v\,dx = -\int_a^b v\,dx = f(a)-f(b)\)।

Property 4 (জোড়/বিজোড়): বিজোড় (odd) function-এর জন্য \(\displaystyle\int_{-a}^{a} v\,dx = 0\) (ক্ষেত্রফল কাটাকাটি); জোড় (even) function-এর জন্য \(\displaystyle\int_{-a}^{a} v\,dx = 2\int_0^a v\,dx\) (ক্ষেত্রফল যোগ)।

চিত্র ১৪ (Fig. 5.11): Property 1–4 — ক্ষেত্রফল যোগ, পিছনে গেলে চিহ্ন বদল, বিজোড় কাটাকাটি, জোড় দ্বিগুণ।

Property 5: \(v(x)>0\) হলে \(\displaystyle\int_a^b v\,dx > 0\)।

Property 6 (তুলনা): \(l(x)\le v(x)\le u(x)\) হলে \(\displaystyle\int_a^b l \le \int_a^b v \le \int_a^b u\)।

Property 7 (Mean Value Theorem for Integrals): \(v\) continuous হলে \(a,b\)-এর মাঝে এমন এক বিন্দু \(c\) আছে যেখানে

\[v(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b v(x)\,dx = \text{average value of } v(x).\]

চিত্র ১৫ (Fig. 5.12): Property 5–7 — \(v\) শূন্যের উপরে; \(v\) থাকে \(l\) ও \(u\)-এর মাঝে; গড় মান (\(+\) আর \(-\) ভারসাম্য)।

গড় মানের অর্থ। \(n\)টা সংখ্যার গড় \(\tfrac1n(v_1+\cdots+v_n)\) — এর অবিচ্ছিন্ন রূপ integral ভাগ দৈর্ঘ্য। \(b-a\) চওড়া, \(v(c)\) উঁচু আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঠিক curve-এর নিচের ক্ষেত্রফলের সমান — উপরে-নিচে সমান ক্ষেত্রফল কাটাকাটি হয়:

চিত্র ১৬ (Fig. 5.13): গড় উচ্চতা \(v(c)=v_{\text{ave}}\)-এর উপরে ও নিচে সমান ক্ষেত্রফল — intermediate value theorem বলে \(v\) কোথাও ঠিক নিজের গড় মানকে ছোঁয়।

উদাহরণ: \([0,1]\)-এ \(v=x\)-এর গড় \(\tfrac12\); \(v=x^2\)-এর গড় \(\tfrac13\)। Expected value (প্রত্যাশিত মান): \(0\) ও \(1\)-এর মাঝে এলোমেলো একটা সংখ্যা বাছলে তার প্রত্যাশিত মান \(\tfrac12\), প্রত্যাশিত বর্গ \(\tfrac13\) — এটাই continuous probability-র শুরু (Property 7 থেকে জন্ম)।

চিত্র ১৭: (বাঁয়ে) অর্ধবৃত্তে এলোমেলো বিন্দু \(P\) থেকে \(x\)-অক্ষের গড় দূরত্ব \(y\); (ডানে) Buffon-এর সুচ — ফাটল পার হওয়ার সম্ভাবনা \(\cos\theta > y\) শর্তে — integral দিয়ে গড় ও সম্ভাবনার ধ্রুপদী উদাহরণ।

২.৭ The Fundamental Theorem — মৌলিক উপপাদ্য (Section 5.7)

এই অধ্যায়ের হৃৎপিণ্ড। মূল কথা: integral-এর derivative ফিরিয়ে দেয় সেই function-কেই (Part 1), আর derivative-এর integral ফিরিয়ে দেয় সেই function-কেই (Part 2)।

Part 1. \(v\) continuous, আর \(\displaystyle f(x)=\int_a^x v(t)\,dt\) (ভাসমান উপরের প্রান্ত)। তবে

\[\frac{df}{dx} = v(x).\]

স্বজ্ঞা: \(x\) একটু বাড়লে ক্ষেত্রফল বাড়ে একটা সরু ফালি — প্রায় \(v(x)\cdot\Delta x\)। প্রস্থ দিয়ে ভাগ করলে বাড়ার হার \(= v(x)\)।

চিত্র ১৮ (Fig. 5.14): মৌলিক উপপাদ্যের Part 1 — (সরু ফালির ক্ষেত্রফল \(\Delta f\))\(/\)(base \(\Delta x\)) \(\to\) উচ্চতা \(v(x)\)।

চিত্র ১৯ (কিড-চিত্র): নীল ক্ষেত্রফল \(A(x)=\int_a^x v\); \(x\) থেকে \(x+dx\)-এ কমলা ফালি যোগ হয় \(\approx v(x)\,dx\)। তাই ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হার \(dA/dx = v(x)\) — এটাই Part 1।

পরিবর্তনশীল প্রান্ত। নিচের প্রান্ত \(x\) হলে ক্ষেত্রফল হারায়, তাই চিহ্ন উল্টো:

\[g(x)=\int_x^b v(t)\,dt \;\Rightarrow\; \frac{dg}{dx} = -v(x).\]

দুই প্রান্তই \(x\)-নির্ভর হলে (chain rule-সহ) সাধারণ সূত্র:

\[A(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} v(t)\,dt \;\Rightarrow\; \frac{dA}{dx} = v(b(x))\,\frac{db}{dx} - v(a(x))\,\frac{da}{dx}.\]

চিত্র ২০ (Fig. 5.15): \(x\) থেকে \(b\) পর্যন্ত ক্ষেত্রফলের \(dg/dx=-v(x)\); ডানে \(v(b)\,db\) ক্ষেত্রফল যোগ হয়, বাঁয়ে \(v(a)\,da\) হারায়।

Part 2. \(v(x)=\dfrac{df}{dx}\) হলে

\[\int_a^b v(x)\,dx = f(b)-f(a).\]

এটাই আমরা বারবার ব্যবহার করি (integral derivative-এর চেয়ে কঠিন, তাই antiderivative \(f\) পেলেই কাজ সারা)। দুই Part-এর পূর্ণ প্রমাণ নিচে অংশ ৩-এ।

প্রয়োগ — আয়তক্ষেত্রের বাইরে। integral শুধু আয়তক্ষেত্র যোগ করে না; বৃত্তের ক্ষেত্রফল = সরু বলয় (ring)-এর যোগ, গোলকের আয়তন = সরু খোল (shell)-এর যোগ:

\[A = \int_0^r 2\pi r\,dr = \pi r^2, \qquad V = \int_0^r 4\pi r^2\,dr = \tfrac43\pi r^3.\]

চিত্র ২১ (Fig. 5.16): বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বলয়ের উপর integral; গোলকের আয়তন = খোলের উপর integral। (\(dA/dr=C\), \(dV/dr=A\)।)

আরেকটা কৌশল: antiderivative না পেলে অনুভূমিক ফালি (horizontal strip) দিয়ে integrate করা। \(v=\cos^{-1}x\)-এর নিচের ক্ষেত্রফল \(0\) থেকে \(1\):

\[\text{area} = \int_0^{\pi/2}\cos v\,dv = \big[\sin v\big]_0^{\pi/2} = 1.\]

চিত্র ২২ (Fig. 5.17): বর্গ নিয়ে গোলমাল; কিন্তু অনুভূমিক ফালি ও ত্রিভুজ দিয়ে সফল — Archimedes বৃত্তের ক্ষেত্রফলে ত্রিভুজ ব্যবহার করেছিলেন।

চিত্র ২৩ (Fig. 5.17 আবার): বর্গের ক্ষেত্রে ভুলটা কোথায় — যদি \(dA=4s\,ds\) হতো তবে \(A=2s^2\) হয়ে যেত (ভুল); আসলে বাহু বাড়লে শুধু দুই দিকে ক্ষেত্রফল যোগ হয়, তাই \(dA/ds=2s\)।

২.৮ Numerical Integration — সাংখ্যিক সমাকলন (Section 5.8)

antiderivative না পেলে সংখ্যা দিয়েই \(\int_a^b y\,dx\) বের করি। মান বিচারের নিয়ম: একটা সূত্র যত বেশি \(\int 1\,dx, \int x\,dx, \int x^2\,dx,\dots\) নিখুঁত করে, তত ভালো। যদি \(\int x^p\,dx\) প্রথম ভুল হয়, order of accuracy \(= p\)।

প্রান্ত-নিয়ম (first order, \(p=1\)): ডান ও বাম আয়তক্ষেত্র

\[R_n = \Delta x\,(y_1+y_2+\cdots+y_n), \qquad L_n = \Delta x\,(y_0+y_1+\cdots+y_{n-1}).\]

এরা \(y=x\)-এই ভুল। ত্রুটি \(\approx \tfrac12\Delta x\,[y(b)-y(a)]\) — \(\Delta x\)-এর সমানুপাতিক।

চিত্র ২৪ (Fig. 5.18): \(R_n\) ও \(L_n\)-এর ত্রুটি \(E,e\) আসলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল; ঢাল যত বেশি, ত্রুটি তত বড় (আয়তক্ষেত্রের ঢাল শূন্য)।

Trapezoid ও Midpoint (second order, \(p=2\)): \(R_n,L_n\)-এর গড় নিলে ত্রুটি কাটাকাটি হয় — trapezoidal rule; আর মাঝবিন্দুতে উচ্চতা নিলে midpoint rule:

\[T_n = \tfrac12(R_n+L_n) = \Delta x\Big(\tfrac12 y_0 + y_1 + \cdots + y_{n-1} + \tfrac12 y_n\Big), \qquad M_n = \Delta x\,(y_{1/2}+y_{3/2}+\cdots+y_{n-1/2}).\]

দুটোই \(y=x\)-এ নিখুঁত। \(y=x^2\)-এ ত্রুটি \(T_n-I \approx \tfrac{1}{12}(\Delta x)^2[y'(b)-y'(a)]\), আর \(M_n\)-এর ত্রুটি ঠিক এর অর্ধেক (উল্টো চিহ্নে) — midpoint দ্বিগুণ ভালো।

চিত্র ২৫ (Fig. 5.19): দ্বিতীয়-ক্রম নির্ভুলতা — trapezoid curve-এর উপরে (concave up হলে বেশি), midpoint নিচে; ত্রুটির পূর্বাভাস \(v=x^2\) থেকে।

চিত্র ২৬ (কিড-চিত্র): সমতল-মাথা আয়তক্ষেত্র curve মিস করে; ঢালু-মাথা trapezoid রেখা ধরে; অনেক ছোট trapezoid দিলে ত্রুটি ক্ষুদ্র — সাংখ্যিক সমাকলনের মূল কৌশল।

Simpson (fourth order, \(p=4\)): trapezoid-এর \(\tfrac13\) আর midpoint-এর \(\tfrac23\) মিশিয়ে (প্রতি ব্যবধানে parabola বসিয়ে):

\[S_n = \tfrac13 T_n + \tfrac23 M_n = \tfrac16\Delta x\big(y_0 + 4y_{1/2} + 2y_1 + 4y_{3/2} + 2y_2 + \cdots + 4y_{n-1/2} + y_n\big).\]

বিখ্যাত \(1\text{-}4\text{-}2\text{-}4\text{-}\cdots\text{-}4\text{-}1\) প্যাটার্ন। এটা \(x^2\) আর \(x^3\) পর্যন্ত নিখুঁত (তাই order \(4\), ত্রুটি \(\propto (\Delta x)^4\)) — এজন্যই এত জনপ্রিয়।

Gauss (optional, order 4, মাত্র দুই বিন্দু): \([-1,1]\)-এ

\[\int_{-1}^{1} y(x)\,dx \approx y\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt3}\right) + y\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right).\]

"Gauss বিন্দু" \(\pm 1/\sqrt3\) — কারণ \(y=x^2\)-এর integral \(\tfrac23\) ঠিক দেয়: \((-x_G)^2+(x_G)^2 = \tfrac23 \Rightarrow x_G=1/\sqrt3\)।

চিত্র ২৭ (Fig. 5.20): Simpson বনাম Gauss — দুটোই চতুর্থ-ক্রম, ত্রুটি \(E=c(\Delta x)^4(y'''_{j+1}-y'''_j)\); \(c_S=1/2880\), \(c_G=-1/4320\) (Gauss সামান্য ভালো)।

---

৩. সংজ্ঞা ও উপপাদ্য

এবার মূল ধারণাগুলো নিখুঁতভাবে গুছিয়ে লিখি — সংজ্ঞা, নিয়ম আর FTC-এর দুই Part প্রমাণসহ।

সংজ্ঞা ১ — Definite integral (Riemann sum-এর limit)

\([a,b]\)-তে \(v(x)\) continuous। meshpoint \(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\), প্রস্থ \(\Delta x_k=x_k-x_{k-1}\), প্রতিটায় বাছাই বিন্দু \(x_k^*\in[x_{k-1},x_k]\)। Riemann sum $\(S^* = \sum_{k=1}^{n} v(x_k^*)\,\Delta x_k.\)$ \(\Delta x_{\max}\to 0\)-এ যদি \(S^*\) একটা সংখ্যায় মেলে (নিচের যোগফল \(s\) আর উপরের যোগফল \(S\) একই সীমায় বন্ধ হয়ে আসে), সেই সীমাই নির্দিষ্ট সমাকল: $\(\int_a^b v(x)\,dx = \lim_{\Delta x_{\max}\to 0} \sum_{k=1}^{n} v(x_k^*)\,\Delta x_k.\)$

সংজ্ঞা ২ — Antiderivative ও indefinite integral

\(f(x)\)-কে \(v(x)\)-এর প্রতি-অন্তরজ (antiderivative) বলি যদি \(f'(x)=v(x)\)। যেকোনো দুই antiderivative শুধু একটা ধ্রুবকে পার্থক্য করে, তাই অনির্দিষ্ট সমাকল হলো সবচেয়ে সাধারণ রূপ: $\(\int v(x)\,dx = f(x) + C.\)$

নিয়ম — Substitution (chain rule উল্টো)

\(f'=v\) হলে $\(\int v(u(x))\,\frac{du}{dx}\,dx = f(u(x)) + C.\)$ নির্দিষ্ট সমাকলে প্রান্তও বদলাতে হয়: \(x:a\to b\) হলে \(u:u(a)\to u(b)\), তাই $\(\int_a^b v(u(x))\,\frac{du}{dx}\,dx = \int_{u(a)}^{u(b)} v(u)\,du = f(u(b))-f(u(a)).\)$

এখন মূল উপপাদ্য। প্রথমে একটা সহায়ক (lemma) লাগবে।

সহায়ক (Lemma) — শূন্য derivative মানে ধ্রুবক

কোনো ব্যবধানে \(f'(x)=0\) সব জায়গায় হলে \(f\) সেখানে ধ্রুবক।

প্রমাণ। ধরি \(f\) ধ্রুবক নয়, অর্থাৎ দুটো বিন্দু \(a<b\) আছে যেখানে \(f(a)\neq f(b)\)। Mean Value Theorem (মধ্যমান উপপাদ্য) বলে কোনো \(c\in(a,b)\)-তে $\(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \neq 0.\)$ কিন্তু ধরে নিয়েছিলাম \(f'\equiv 0\) — স্ববিরোধ। তাই \(f\) ধ্রুবকই হতে হবে। \(\square\)

উপপাদ্য (FTC Part 1) — integral-এর derivative

\(v\) continuous, আর \(\displaystyle f(x)=\int_a^x v(t)\,dt\)। তবে \(f\) differentiable এবং $\(\frac{df}{dx} = v(x).\)$

প্রমাণ (লাইন-ধরে)। \(x\)-এ ছোট পরিবর্তন \(\Delta x\) নিই। ক্ষেত্রফলের পার্থক্য (Property 1 দিয়ে): $\(\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) = \int_a^{x+\Delta x} v(t)\,dt - \int_a^{x} v(t)\,dt = \int_x^{x+\Delta x} v(t)\,dt.\)$

এই ছোট ব্যবধানে \(\Delta x\) দিয়ে ভাগ করলে পাই গড় মান — Property 7 (Mean Value Theorem for integrals) বলে কোনো \(c\) আছে (\(x\) ও \(x+\Delta x\)-এর মাঝে) যেখানে $\(\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x} v(t)\,dt = v(c).\)$

এখন \(\Delta x\to 0\)। তখন \(c\) চাপা পড়ে \(x\)-এর দিকে, আর \(v\) continuous বলে \(v(c)\to v(x)\)। বাম পাশ \(\Delta f/\Delta x \to df/dx\)। তাই $\(\frac{df}{dx} = v(x). \qquad \square\)$

(Mean Value Theorem ছাড়াও সরাসরি করা যায়: \(v_{\min}\le v(t)\le v_{\max}\) ওই ব্যবধানে; integrate করে \(v_{\min}\Delta x \le \Delta f \le v_{\max}\Delta x\); ভাগ করে \(v_{\min}\le \Delta f/\Delta x\le v_{\max}\); \(\Delta x\to 0\)-এ দুই প্রান্তই \(v(x)\)-এ যায়।)

উপপাদ্য (FTC Part 2) — derivative-এর integral

\(v(x)\) continuous এবং \(v(x)=\dfrac{df}{dx}\) হলে $\(\int_a^b v(x)\,dx = f(b)-f(a).\)$

প্রমাণ (লাইন-ধরে)। Part 1 থেকে জানি ক্ষেত্রফল-function $\(A(x)=\int_a^x v(t)\,dt \quad\text{also has}\quad A'(x)=v(x).\)$ তাহলে \(A'=v=f'\), অর্থাৎ \((A-f)'=0\) পুরো ব্যবধানে। উপরের সহায়ক বলে \(A(x)-f(x)=C\) (ধ্রুবক), অর্থাৎ $\(A(x) = f(x)+C.\)$ নিচের প্রান্তে ক্ষেত্রফল শূন্য: \(A(a)=0 \Rightarrow f(a)+C=0 \Rightarrow C=-f(a)\)। উপরের প্রান্তে $\(\int_a^b v(x)\,dx = A(b) = f(b)+C = f(b)-f(a). \qquad \square\)$

আরেকটা প্রমাণ (উপ-ব্যবধান দিয়ে)। প্রতিটা টুকরায় Mean Value Theorem: $\(f(x_k)-f(x_{k-1}) = v(x_k^*)\,(x_k-x_{k-1}).\)$ বাম পাশগুলো যোগ করলে telescope হয়ে \(f(b)-f(a)\); ডান পাশ \(\Delta x\to 0\)-এ \(\int_a^b v(x)\,dx\)। তাই দুটো সমান। \(\square\)

উপপাদ্য (পরিবর্তনশীল প্রান্ত)

\(\displaystyle A(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} v(t)\,dt\) হলে (Part 2 + chain rule দিয়ে) $\(\frac{dA}{dx} = v(b(x))\,b'(x) - v(a(x))\,a'(x).\)$

---

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১ (power rule + FTC Part 2)। \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx\)। antiderivative \(\tfrac13 x^3\), তাই $\(\int_0^3 x^2\,dx = \Big[\tfrac13 x^3\Big]_0^3 = \tfrac13(27)-0 = 9.\)$

উদাহরণ ২ (substitution, প্রান্তসহ)। \(\displaystyle\int_0^1 (x^2+5)^3\,x\,dx\)। ধরি \(u=x^2+5\), \(du=2x\,dx\)। প্রান্ত: \(x=0\Rightarrow u=5\), \(x=1\Rightarrow u=6\): $\(\int_0^1 (x^2+5)^3 x\,dx = \tfrac12\int_5^6 u^3\,du = \tfrac12\Big[\tfrac{u^4}{4}\Big]_5^6 = \frac{6^4-5^4}{8} = \frac{1296-625}{8} = \frac{671}{8}.\)$

উদাহরণ ৩ (FTC Part 1, পরিবর্তনশীল প্রান্ত)। \(\displaystyle A(x)=\int_{2x}^{x^3}\cos t\,dt\)। সূত্র দিয়ে সরাসরি: $\(\frac{dA}{dx} = \cos(x^3)\cdot 3x^2 - \cos(2x)\cdot 2.\)$ (এটা দেখতে chain rule-এর মতো — কারণ এটাই chain rule!)

উদাহরণ ৪ (odd function)। \(\displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0\), কারণ \(x^3\) বিজোড় — \([-2,0]\)-এর ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল \([0,2]\)-এর ধনাত্মক ক্ষেত্রফলকে কাটে (Property 4)। যাচাই: \(\big[\tfrac14 x^4\big]_{-2}^{2} = 4-4 = 0\)।

উদাহরণ ৫ (average value)। \([0,2]\)-এ \(v=x^2\)-এর গড় মান $\(v_{\text{ave}} = \frac{1}{2-0}\int_0^2 x^2\,dx = \frac12\cdot\frac{8}{3} = \frac{4}{3}.\)$ আর \(v(c)=\tfrac43 \Rightarrow c^2=\tfrac43 \Rightarrow c=2/\sqrt3 \approx 1.15\) — ওই বিন্দুতে function ঠিক তার নিজের গড়কে ছোঁয়।

Analogy — সিঁড়ি ভাঙা আর সিঁড়ি গড়া

ভাবো একটা সিঁড়ি। প্রতিটা ধাপের উচ্চতা (\(v_j\)) হলো derivative-এর কাজিন: পাশাপাশি দুই তলার উচ্চতার পার্থক্য। মেঝে থেকে কোনো তলার মোট উচ্চতা (\(f_j\)) হলো integral-এর কাজিন: এ পর্যন্ত সব ধাপ যোগ। "তিন তলা কত উঁচু?" জানতে দুই উপায় — সব ধাপ যোগ করো (কষ্টকর summation), অথবা শুধু তিন তলার মেঝের উচ্চতা পড়ো (সহজ antiderivative)। FTC মানে: দুই উপায় সবসময় একই উত্তর দেয় — মোট উচ্চতা \(= f_{\text{end}} - f_{\text{start}}\)। সিঁড়ি অসীম মসৃণ র‌্যাম্প হয়ে গেলে ধাপ হয় \(v(x)\,dx\), যোগ হয় \(\int\), আর গল্পটা ঠিক একই থাকে।

---

৫. Python-এ করো

নিচের কোড numpy দিয়ে হাতে-কলমে Riemann sum (বাম/ডান/মাঝবিন্দু) আর trapezoid নিয়ম বানায়, সঠিক মানের সাথে তুলনা করে, তারপর matplotlib দিয়ে ক্ষেত্রফল আঁকে।

import numpy as np

# যে function-এর integral চাই: v(x) = x^2, ব্যবধান [0, 3]
def v(x):
    return x**2

a, b = 0.0, 3.0
exact = (b**3 - a**3) / 3.0        # কারণ ∫ x^2 dx = x^3/3, তাই সঠিক মান = 9

print(f"{'n':>5} {'left(Ln)':>10} {'right(Rn)':>10} {'mid(Mn)':>12} {'trap(Tn)':>12}")
for n in [4, 10, 100, 1000]:
    x  = np.linspace(a, b, n + 1)          # n+1 টা meshpoint => n টা টুকরো
    dx = (b - a) / n                       # প্রতিটা টুকরার প্রস্থ Δx

    left  = np.sum(v(x[:-1])) * dx                    # বাম-প্রান্ত আয়তক্ষেত্র  L_n
    right = np.sum(v(x[1:]))  * dx                    # ডান-প্রান্ত আয়তক্ষেত্র R_n
    mid   = np.sum(v((x[:-1] + x[1:]) / 2)) * dx      # মাঝবিন্দু নিয়ম          M_n
    # trapezoid: দুই প্রান্তে অর্ধেক ওজন (version-নিরপেক্ষ, নিজে হাতে লেখা)
    trap  = dx * (0.5*v(x[0]) + np.sum(v(x[1:-1])) + 0.5*v(x[-1]))   # T_n

    print(f"{n:5d} {left:10.5f} {right:10.5f} {mid:12.6f} {trap:12.6f}")

print("সঠিক মান (exact) =", exact)
# লক্ষ্য করো: Ln নিচে থেকে, Rn উপর থেকে 9-এর দিকে আসে;
# Mn আর Tn অনেক দ্রুত (second order) সঠিক মানে পৌঁছায়।

সম্ভাব্য আউটপুট (সংক্ষেপে): n=1000-এ left≈8.9865, right≈9.0135, mid≈8.999996, trap≈9.0000045 — অর্থাৎ midpoint ও trapezoid প্রান্ত-নিয়মের চেয়ে বহুগুণ নিখুঁত।

import matplotlib
matplotlib.use("Agg")                      # ফাইল হিসেবে সেভ করার জন্য (স্ক্রিন লাগে না)
import matplotlib.pyplot as plt

# মসৃণ curve
xs = np.linspace(a, b, 400)
plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.plot(xs, v(xs), color="crimson", lw=2.5, label="y = v(x) = x²")
plt.fill_between(xs, v(xs), alpha=0.15, color="crimson")   # সত্যিকারের ক্ষেত্রফল

# 8টা ডান-প্রান্ত Riemann আয়তক্ষেত্র
n = 8
xr = np.linspace(a, b - (b - a) / n, n)     # প্রতিটা আয়তক্ষেত্রের বাঁ-কিনারা
dx = (b - a) / n
plt.bar(xr, v(xr + dx), width=dx, align="edge",
        alpha=0.45, color="steelblue", edgecolor="white",
        label=f"{n} Riemann rectangles")

plt.title("Riemann sum approaches the integral  ∫₀³ x² dx = 9")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("v(x)")
plt.legend()
plt.savefig("riemann_area.png", dpi=150, bbox_inches="tight")
# আয়তক্ষেত্র সরু করলে (n বাড়ালে) নীল যোগফল লাল ক্ষেত্রফলে মিশে যাবে — এটাই integral।

নিজে পরীক্ষা করো

উপরের কোডে v বদলে np.sqrt(x) করো আর [a,b]=[0,4] দাও — সঠিক মান হওয়ার কথা \(16/3\approx 5.333\)। দেখো mid/trap কত দ্রুত সেখানে পৌঁছায়। তারপর v = np.sin আর [0, np.pi] দিয়ে দেখো integral \(\approx 2\) আসে কি না (এক arch-এর ক্ষেত্রফল)।

---

৬. সাধারণ ভুল

যেসব ভুল সবচেয়ে বেশি হয়

1. \(+C\) ভুলে যাওয়া। অনির্দিষ্ট সমাকলে সবসময় \(+C\) — না লিখলে "সবচেয়ে সাধারণ antiderivative" ধরা হয় না। (নির্দিষ্ট সমাকলে \(C\) কাটাকাটি হয়, তাই সেখানে দরকার নেই।)
2. \(du/dx\) ছাড়া substitution। \(\int (x^2+1)^2\,dx \neq \tfrac13(x^2+1)^3\) — ভিতরের derivative \(2x\) হাজির না থাকলে substitution চলে না। শুধু ধ্রুবক (\(2,15,\dots\)) হলে ঠিক করা যায়, চলক নয়।
3. নির্দিষ্ট সমাকলে প্রান্ত না বদলানো। \(u\)-তে গেলে \(\int_a^b \to \int_{u(a)}^{u(b)}\); পুরনো \(x\)-প্রান্ত রেখে দিলে ভুল উত্তর।
4. প্রান্ত উল্টে দেওয়া। \(\int_b^a = -\int_a^b\) (Property 3)। উপরে সবসময় "শেষ", নিচে "শুরু"।
5. Power rule-এ \(n=-1\)। \(\int x^{-1}\,dx \neq \dfrac{x^0}{0}\) — এটা অসংজ্ঞায়িত; আসল উত্তর \(\ln\lvert x\rvert + C\) (Chapter 6)।
6. উচ্চতা আর ক্ষেত্রফল গুলিয়ে ফেলা। integral হলো (উচ্চতা \(\times\) প্রস্থ)-এর যোগ, শুধু উচ্চতার যোগ নয় — \(\Delta x\) গুণ করতে ভুলো না (চিত্র ৩ মনে করো)।
7. \(v(x)\) ঋণাত্মক হলে। integral তখন "চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল (signed area)" — \(x\)-অক্ষের নিচের অংশ বিয়োগ হয়। মোট জ্যামিতিক ক্ষেত্রফল চাইলে \(\int \lvert v\rvert\,dx\) লাগে।
8. \(\int fg \neq (\int f)(\int g)\)। integral গুণফলের উপর "বণ্টন" হয় না; ওটার জন্য integration by parts বা substitution লাগে।

---

৭. এক্সারসাইজ

সহজ থেকে কঠিন — ১০টা। কাগজে করো, তারপর নিচের সমাধান মেলাও।

1. \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx\) নির্ণয় করো (FTC সরাসরি)।
2. \(v(x) = 3x^2 + 2x\)-এর সাধারণ antiderivative লেখো, তারপর \(\displaystyle\int_0^1 v\,dx\) বের করো।
3. \(\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx\) নির্ণয় করো (\(n=-2\) power rule)।
4. Substitution দিয়ে: \(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx\)।
5. \(\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx\) নির্ণয় করো এবং জ্যামিতিকভাবে ব্যাখ্যা করো এটা কেন এক arch-এর ক্ষেত্রফল।
6. \([0,1]\)-এ \(v(x)=x\)-এর average value বের করো; আবার \(v(x)=x^2\)-এরও। "প্রত্যাশিত মান \(\tfrac12\) অথচ প্রত্যাশিত বর্গ \(\tfrac13\)" — এক লাইনে ব্যাখ্যা করো।
7. Substitution দিয়ে নির্দিষ্ট সমাকল (প্রান্তসহ): \(\displaystyle\int_0^1 (x^2+5)^3\,x\,dx\)।
8. \(\displaystyle g(x)=\int_{2x}^{x^3}\cos t\,dt\)-এর \(g'(x)\) বের করো (পরিবর্তনশীল প্রান্ত)।
9. প্রমাণ করো: বিজোড় (odd) function-এর জন্য \(\displaystyle\int_{-a}^{a} v\,dx = 0\)। তারপর দিয়ে \(\displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\,dx\) বের করো।
10. \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\)-এর জন্য \(n=2\) trapezoidal rule হিসাব করো, সঠিক মান \(\tfrac13\)-এর সাথে ত্রুটি বের করো, আর সেটাকে মূল-ত্রুটি সূত্র \(\tfrac{1}{12}(\Delta x)^2[v'(b)-v'(a)]\)-এর সাথে মেলাও।

---

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(x^2\)-এর antiderivative \(\tfrac13 x^3\)। FTC Part 2: $\(\int_0^3 x^2\,dx = \Big[\tfrac13 x^3\Big]_0^3 = \tfrac13(27) - \tfrac13(0) = 9.\)$

২-নং সমাধান দেখাও

পদে পদে antiderivative (linearity): \(3x^2 \to x^3\), \(2x \to x^2\)। তাই $\(\int (3x^2+2x)\,dx = x^3 + x^2 + C.\)$ নির্দিষ্ট মান: $\(\int_0^1 (3x^2+2x)\,dx = \big[x^3+x^2\big]_0^1 = (1+1) - 0 = 2.\)$

৩-নং সমাধান দেখাও

\(\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}\), power rule (\(n=-2\)): antiderivative \(\dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac1x\)। তাই $\(\int_1^2 x^{-2}\,dx = \Big[-\tfrac1x\Big]_1^2 = \Big(-\tfrac12\Big) - (-1) = \tfrac12.\)$

৪-নং সমাধান দেখাও

\(u = x^2-1\), \(du = 2x\,dx \Rightarrow x\,dx = \tfrac12\,du\)। তাই $\(\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,dx = \tfrac12\int u^{-1/2}\,du = \tfrac12\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \sqrt{u} + C = \sqrt{x^2-1} + C.\)$ যাচাই: \(\dfrac{d}{dx}\sqrt{x^2-1} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}\) ✓।

৫-নং সমাধান দেখাও

\(\sin x\)-এর antiderivative \(-\cos x\)। তাই $\(\int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2.\)$ জ্যামিতি: \([0,\pi]\)-তে \(\sin x \ge 0\), তাই এটা sine-এর একটা পূর্ণ "arch"-এর নিচের ক্ষেত্রফল — ঠিক \(2\) (মজার ব্যাপার, arch-এর উচ্চতা \(1\) হলেও ক্ষেত্রফল \(\pi\) নয়, \(2\))।

৬-নং সমাধান দেখাও

$\(\text{average of } x = \frac{1}{1-0}\int_0^1 x\,dx = \Big[\tfrac12 x^2\Big]_0^1 = \tfrac12.\)$ $\(\text{average of } x^2 = \frac{1}{1-0}\int_0^1 x^2\,dx = \Big[\tfrac13 x^3\Big]_0^1 = \tfrac13.\)$ ব্যাখ্যা: এলোমেলো সংখ্যাটার গড় (প্রত্যাশিত মান) \(\tfrac12\); কিন্তু বর্গ করলে বড় সংখ্যাগুলো (১-এর কাছাকাছি) বেশি "ভার" পায় বলে বর্গের গড় \(\tfrac14\) নয়, \(\tfrac13\) — অর্থাৎ \((\text{avg})^2 = \tfrac14 \neq \tfrac13 = \text{avg}(x^2)\)।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(u = x^2+5\), \(du = 2x\,dx \Rightarrow x\,dx = \tfrac12\,du\)। প্রান্ত বদলাও: \(x=0\Rightarrow u=5\), \(x=1\Rightarrow u=6\)। $\(\int_0^1 (x^2+5)^3 x\,dx = \tfrac12\int_5^6 u^3\,du = \tfrac12\Big[\tfrac{u^4}{4}\Big]_5^6 = \frac{6^4-5^4}{8} = \frac{1296-625}{8} = \frac{671}{8} = 83.875.\)$

৮-নং সমাধান দেখাও

পরিবর্তনশীল-প্রান্ত সূত্র: \(\dfrac{dA}{dx} = v(b(x))\,b'(x) - v(a(x))\,a'(x)\), এখানে \(v=\cos\), \(b(x)=x^3\) (\(b'=3x^2\)), \(a(x)=2x\) (\(a'=2\))। তাই $\(g'(x) = \cos(x^3)\cdot 3x^2 - \cos(2x)\cdot 2.\)$

৯-নং সমাধান দেখাও

প্রমাণ। \(\displaystyle\int_{-a}^{a} v = \int_{-a}^{0} v + \int_0^a v\) (Property 1)। প্রথম integral-এ \(t=-x\) বসাই, \(dt=-dx\); \(x=-a\to 0\) হলে \(t=a\to 0\): $\(\int_{-a}^{0} v(x)\,dx = \int_{a}^{0} v(-t)\,(-dt) = \int_0^a v(-t)\,dt = \int_0^a -v(t)\,dt = -\int_0^a v(t)\,dt,\)$ কারণ \(v\) বিজোড় (\(v(-t)=-v(t)\))। তাই \(\displaystyle\int_{-a}^a v = -\int_0^a v + \int_0^a v = 0\). \(\square\)

প্রয়োগ: \(x^3\) বিজোড়, তাই \(\displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0\)। (যাচাই: \(\big[\tfrac14 x^4\big]_{-2}^2 = 4-4 = 0\)।)

১০-নং সমাধান দেখাও

\(n=2\), \(\Delta x = \tfrac12\); meshpoint \(x_0=0, x_1=\tfrac12, x_2=1\); মান \(y_0=0, y_1=\tfrac14, y_2=1\)। $\(T_2 = \Delta x\Big(\tfrac12 y_0 + y_1 + \tfrac12 y_2\Big) = \tfrac12\Big(0 + \tfrac14 + \tfrac12\Big) = \tfrac12\cdot\tfrac34 = \tfrac38 = 0.375.\)$ সঠিক মান \(\tfrac13 \approx 0.3333\), তাই ত্রুটি \(= T_2 - \tfrac13 = \tfrac38-\tfrac13 = \tfrac{9-8}{24} = \tfrac{1}{24} \approx 0.0417\)।

সূত্রের সাথে মেলানো: \(v=x^2 \Rightarrow v'=2x\), তাই \(v'(1)-v'(0) = 2-0 = 2\)। মূল-ত্রুটি $\(\tfrac{1}{12}(\Delta x)^2\,[v'(b)-v'(a)] = \tfrac{1}{12}\cdot\tfrac14\cdot 2 = \tfrac{2}{48} = \tfrac{1}{24}.\)$ হুবহু মিলে গেল — trapezoidal rule দ্বিতীয়-ক্রম (ত্রুটি \(\propto (\Delta x)^2\)), আর \(x^2\)-এর জন্য পূর্বাভাসটা নিখুঁত।

---

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এক নজরে। integral হলো derivative-এর উল্টো: derivative পার্থক্য নেয়, integral যোগ করে। সংখ্যার জগতে \(v_j=f_j-f_{j-1}\) থেকে \(\sum v_j = f_n-f_0\) (telescoping) — limit-এ এটাই হয়ে যায় Fundamental Theorem: \(\int_a^b v\,dx = f(b)-f(a)\), যেখানে \(f'=v\)। antiderivative জানা থাকলে সহজ পথ (substitution, linearity); না জানলে Riemann sum-এর সংজ্ঞা বা numerical integration (trapezoid, midpoint, Simpson, Gauss)।

মূল সূত্রগুলো:

\[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1), \qquad \int_a^b v\,dx = f(b)-f(a), \qquad \frac{d}{dx}\int_a^x v\,dt = v(x).\]

Checklist — নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] Sum ও difference-এর telescoping সম্পর্ক (\(\sum v_j = f_n - f_0\)) বোঝাতে পারি
• [ ] \(\int\) চিহ্নের অর্থ (যোগফলের limit, base \(\Delta x\to 0\)) ব্যাখ্যা করতে পারি
• [ ] power rule দিয়ে antiderivative বের করতে পারি এবং কেন \(n\neq -1\) জানি
• [ ] indefinite (\(+C\), function) আর definite (সংখ্যা) integral-এর পার্থক্য জানি
• [ ] substitution-এ \(u\) বাছতে, \(du/dx\) খুঁজতে, আর প্রান্ত বদলাতে পারি
• [ ] Riemann sum (\(s \le \int \le S\)) দিয়ে definite integral-এর সংজ্ঞা লিখতে পারি
• [ ] integral-এর সাতটা ধর্ম আর average value (\(\frac{1}{b-a}\int_a^b v\)) ব্যবহার করতে পারি
• [ ] FTC Part 1 (\(\frac{d}{dx}\int_a^x v = v\)) প্রমাণসহ বোঝাতে পারি
• [ ] FTC Part 2 (\(\int_a^b v = f(b)-f(a)\)) প্রমাণসহ বোঝাতে পারি
• [ ] পরিবর্তনশীল-প্রান্ত সূত্র (\(v(b)b' - v(a)a'\)) প্রয়োগ করতে পারি
• [ ] numerical rule-দের order চিনি (rectangle 1, trapezoid/midpoint 2, Simpson/Gauss 4)
• [ ] উপরের ৮টা সাধারণ ভুল এড়িয়ে চলতে পারি

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.6 — Exponentials ও Logarithms — এবার দেখব সেই আশ্চর্য function \(e^x\), যে নিজেই নিজের derivative আর নিজেই নিজের integral; সাথে \(\ln x\) (যা \(1/x\)-এর সেই "নিষিদ্ধ" \(n=-1\) antiderivative), semilog–loglog graph, আর \(dy/dx = y\) সমীকরণ — যেখানে প্রকৃতির প্রায় সব বৃদ্ধি-ক্ষয়ের সূত্র লুকিয়ে।