10.1 — Joy: Strategic Games-এর শুরু¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: game theory (গেম থিওরি) আসলে কী — কেন "একা সবচেয়ে ভালো সিদ্ধান্ত" আর "সবাই মিলে বুদ্ধি খাটালে সবচেয়ে ভালো সিদ্ধান্ত" দুটো সম্পূর্ণ আলাদা জিনিস। আমরা কোনো শুকনো সংজ্ঞা-উপপাদ্য দিয়ে শুরু করব না; বরং লেখক Presh Talwalkar-এর The Joy of Game Theory বইয়ের মজার সব বাস্তব গল্প এক-এক করে, প্রতিটা যুক্তি ধরে ধরে খুলব — gas station (পেট্রল পাম্প) কেন পাশাপাশি বসে (Hotelling's game), price match guarantee (দাম-মেলানোর প্রতিশ্রুতি) কীভাবে দাম বাড়িয়ে রাখতে পারে (Bertrand duopoly), ট্যাক্সি নিয়ে ঝগড়া করা মহিলার গল্পে dominated strategy (অধীন কৌশল) কেন কখনো খেলা উচিত নয়, Stanford-এর ক্লাসে ২৫০ ডলার বাজির beauty contest-এ ২/৩-গড়ের ধাঁধা ও iterated elimination of dominated strategies (IEDS), ব্যাংক-বন্ধের-সময়ের গল্পে dominant strategy (প্রধান কৌশল), focal point (ফোকাল বিন্দু) দিয়ে কথা না বলেও দেখা করে ফেলা, সাইকেলের ধাক্কা এড়ানোর খেলা, এক ক্যান সোডা তিন ভাইয়ে সমান ভাগের mechanism design, আর প্রায় ২০০০ বছরের পুরনো Talmud-এর সম্পত্তি-ভাগের রহস্য যা game theory শেষমেশ সমাধান করল। প্রতিটা গল্পের সাথে থাকবে "কীভাবে জিতবে / বাস্তবে প্রয়োগ করবে" — সেই ব্যবহারিক উপদেশটাই বইয়ের আসল উপহার।

উৎস (source): The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Thinking — Presh Talwalkar।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

ধরো তুমি দাবা খেলছ। প্রতিটা চাল দেওয়ার আগে ভাবো — "আমি এখানে গুটি বসালে প্রতিপক্ষ কী করবে? তারপর আমি কী করব? তারপর আবার সে?" এই "তুমি করলে আমি করব, আমি করলে তুমি করবে" — এই পরস্পর-নির্ভর সিদ্ধান্তের (interdependent decision-making) জগৎটাই হলো game theory।

সাধারণ optimization-এ তুমি একা — শুধু নিজের সেরা পথটা বের করলেই হলো, আশপাশে আর কেউ নেই। কিন্তু game theory-তে তোমার সেরা সিদ্ধান্ত নির্ভর করে অন্যেরা কী করবে তার উপর, আর তাদের সিদ্ধান্ত আবার নির্ভর করে তুমি কী করবে তার উপর। এই জট খোলাই আসল খেলা। তাই game theory কেবল বোর্ড-গেম বা জুয়া নিয়ে নয়। Talwalkar পরিষ্কার করে বলেন — এটা economics (অর্থনীতি)-এর একটা শাখা, যা দেখায় গাণিতিকভাবে সাজানো একটা "খেলায়" প্রতিটা player (খেলোয়াড়) কীভাবে নিজের সিদ্ধান্তকে সবচেয়ে ভালো করতে পারে, যখন প্রত্যেকের কাজ দলের বাকিদের উপর প্রভাব ফেলে। এক বাক্যে: game theory শেখায় পরস্পর-নির্ভর পরিস্থিতিতে কীভাবে সবচেয়ে ভালো সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়।

বইয়ের দুটো মূল লক্ষ্য (কেন শিখব)। Talwalkar বইয়ের একদম শুরুতেই দুটো উদ্দেশ্য ঘোষণা করেন — এই দুটো মাথায় রাখলে গোটা অধ্যায়ের সুরটা ধরা যায়:

(১) কৌশলগত পরিস্থিতি চিনতে শেখা (recognize strategic situations) — কখন তুমি আসলে একটা "game"-এ আছ, সেটা বুঝে ফেলা। বেশিরভাগ মানুষ বুঝতেই পারে না যে তারা একটা খেলার ভেতরে; আর যা চিনতে পারো না, তার জন্য বুদ্ধি খাটাতে পারো না।
(২) ভালো সিদ্ধান্ত নেওয়া এবং খেলাটাই বদলে ফেলা (make better decisions and change the game) — এটা এক শক্তিশালী ধারণা যা "কেউ জেতে না" (no-win) পরিস্থিতিকে "সবার লাভ" (mutually beneficial) পরিস্থিতিতে পাল্টে দিতে পারে। এটাই বইয়ের সবচেয়ে দামি শিক্ষা — খেলা তোমার পছন্দ না হলে নিয়ম বদলে ফেলো।

game theory কতদূর ছড়িয়ে। এর প্রয়োগ শুধু অর্থনীতিতেই আটকে নেই — political science (রাষ্ট্রবিজ্ঞান), business (ব্যবসা), evolutionary biology (বিবর্তনীয় জীববিজ্ঞান), computer science (কম্পিউটার বিজ্ঞান), আর philosophy (দর্শন) — সর্বত্র। এর গুরুত্ব এতটাই যে অর্থনীতিতে Nobel পুরস্কার একাধিকবার game theory-র কাজে দেওয়া হয়েছে। Talwalkar চারটে বছর আলাদা করে উল্লেখ করেন:

১৯৯৪ — John C. Harsanyi, John F. Nash Jr., Reinhard Selten।
২০০৫ — Robert J. Aumann, Thomas C. Schelling।
২০০৭ — Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin, Roger B. Myerson।
২০১২ — Alvin E. Roth, Lloyd S. Shapley।

(লক্ষ করো — এই তালিকার Nash, Schelling, Aumann আর Shapley-র নাম এই অধ্যায়েই বারবার ফিরে আসবে: Nash equilibrium, Schelling point, আর Aumann-এর Talmud-সমাধানে।)

একটা "game"-এর তিনটে উপাদান। এগিয়ে যাওয়ার আগে একটা কাজের সংজ্ঞা দরকার। এই বইয়ে game (খেলা) মানে এমন একটা পরিস্থিতি যার তিনটে অংশ:

players (খেলোয়াড়) — যারা জড়িত, তাদের সংগ্রহ (a set of people involved)।
strategies (কৌশল) — প্রতিটা খেলোয়াড় যে যে অনুমোদিত চাল দিতে পারে, তার তালিকা (allowable moves)।
payoff (প্রাপ্তি) বা utility (উপযোগ) — প্রতিটা সম্ভাব্য ফলাফল সম্পর্কে খেলোয়াড় কেমন অনুভব করে, তা একটা সংখ্যাগত ফাংশনে প্রকাশ করা।

সংজ্ঞাটা এত সহজ শোনায় যে মনে হয় ব্যাপারটা তুচ্ছ। কিন্তু Talwalkar সাবধান করেন — এই সহজ সংজ্ঞাটা game theory-র বিশাল গভীরতাকে আড়াল করে রাখে (belies the complexity)। "game কী" বলতে কয়েক সেকেন্ড লাগে, কিন্তু game theory উপভোগ ও আয়ত্ত করতে সারা জীবন লাগে। এই বই তোমাকে শুধু যাত্রাটা শুরু করিয়ে দেবে।

এই অধ্যায়ের ধরন — গল্প আগে, সংজ্ঞা পরে। এই অধ্যায় (মূল বইয়ের "Section I: Introducing Strategic Games") বেশ কয়েকটা উদাহরণ দিয়ে শুরু করে, আর পথেই dominant strategy ও Nash equilibrium-এর মতো মৌলিক ধারণা চেনায়। লক্ষ্য — খেলাগুলো কীভাবে বর্ণনা করা হয়, কীভাবে সমাধান করা হয়, আর দৈনন্দিন জীবনে কীভাবে কাজে লাগে সেটার সাথে পরিচিত হওয়া। পাঠ্যবইয়ের চেনা পথ হলো আগে সংজ্ঞা-উপপাদ্য শেখা, তারপর উদাহরণ; এই বই ঠিক উল্টো — আগে বাস্তব গল্প ও পরিস্থিতি দিয়ে স্বজ্ঞা (intuition) গড়ে তোলা, তারপর সংজ্ঞাগুলো আপনাআপনি ধরা দেয়। আর আমরা সরাসরি ঝাঁপ দেব একটা ধাঁধায় — গ্যাস স্টেশন কেন গায়ে-গায়ে জড়ো হয়ে বসে?

মূল স্বজ্ঞা

game theory-র এক-লাইনের সারমর্ম: "আমার সেরা চাল নির্ভর করে তুমি কী করবে তার উপর, আর তোমারটা আমার উপর।"

একা optimize করা ≠ কৌশলগতভাবে optimize করা।
প্রতিটা game = players + strategies + payoffs।
যদি খেলাটা তোমার পছন্দ না হয়, চেষ্টা করো নিয়ম বদলে খেলাটাই পাল্টে ফেলতে — এটাই সবচেয়ে শক্তিশালী চাল, আর এটাই এই অধ্যায়ের সোডা-ভাগ ও Talmud-এর গল্পের মূল কথা।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

এবার এক-এক করে গল্পগুলোতে ঢুকি। প্রতিটা গল্প একটা করে ধারণা তৈরি করবে, আর সব শেষে (৩ নং অংশে) আমরা সংজ্ঞাগুলো গুছিয়ে নেব।

২.১ Hotelling's game — gas station পাশাপাশি কেন বসে?¶

San Francisco-র California Bay Area-তে শত শত পেট্রল পাম্প। সাধারণ বুদ্ধি বলে — এরা ছড়িয়ে-ছিটিয়ে বসবে, যাতে প্রতিটা এলাকার লোক কাছের পাম্পে সেবা পায়। কিন্তু বাস্তব একটা সাধারণ পর্যবেক্ষণ দিয়ে এই ধারণা ভেঙে দেয়: যখনই তুমি কোনো পাম্পে যাও, প্রায় সবসময়ই আশপাশে আরেকটা পাম্প থাকে — প্রায়ই ঠিক রাস্তার ওপারে। অর্থাৎ গ্যাস স্টেশন প্রবলভাবে জড়ো (highly clustered) হয়ে বসে। কেন?

কিছুটা কারণ জনসংখ্যার ঘনত্ব (population clustering) — যেখানে চাহিদা বেশি (যেমন শহর) সেখানে পাম্প বেশি, আর কম-লোকের ভুট্টাখেতে (cornfield) পাম্প কম। এটা ঠিক, কিন্তু এটা দিয়ে আসল ধাঁধার উত্তর হয় না — "ঠিক রাস্তার ওপারে কেন?" কেন ছড়িয়ে বসে না?

Talwalkar স্বীকার করেন, বাস্তবে অনেক কারণ কাজ করে: একটা পাম্প বসানো নিজেই একটা optimization সমস্যা — চাহিদা, জমির দাম (real estate prices), জনসংখ্যা বৃদ্ধির অনুমান, আর জ্বালানি সরবরাহের সুবিধা, সব হিসেব করতে হয়। সমস্যাটা জটিল, তাই যেকোনো সরল ব্যাখ্যারই কিছু ঘাটতি থাকবে। তবু জায়গা নিয়ে প্রতিযোগিতার একটা সরল খেলা আছে যা দারুণ অন্তর্দৃষ্টি দেয় — মাত্র কয়েকটা নিয়ম, অথচ দেখিয়ে দেয় কীভাবে ব্যবসা জায়গা নিয়ে প্রতিযোগিতা করতে করতে জড়ো হয়ে বসে। এই খেলার একটা প্রয়োগ আবার আছে নির্বাচনী প্রচারণার কৌশলেও। খেলাটা গণিতবিদ Harold Hotelling-এর ১৯২৯ সালের গবেষণাপত্র "Stability in Competition"-এর মডেলের উপর ভিত্তি করে।

খেলার সাজ (setup)। এই খেলায় দুজন খেলোয়াড়। কল্পনা করো প্রত্যেকে একটা করে হট-ডগ স্ট্যান্ড, একটা সোজা সমুদ্রসৈকতে খদ্দেরের জন্য প্রতিযোগিতা করছে। সৈকতকে ভাবো একটা সংখ্যারেখা — এক প্রান্ত \(-1\), অন্য প্রান্ত \(1\); খদ্দেররা এই রেখা জুড়ে সমানভাবে ছড়ানো (uniformly spread out)। দুটো স্ট্যান্ড হুবহু একই জিনিস বেচে, তাই প্রতিযোগিতা কেবল জায়গা (location) নিয়ে — প্রত্যেকে \(-1\) থেকে \(1\)-এর মধ্যে একটা সংখ্যা (অবস্থান) বেছে নেয়।

স্ট্যান্ড কোথায় বসল তার উপর নির্ভর করে খদ্দের সিদ্ধান্ত নেয় — প্রতিটা খদ্দের সবচেয়ে কাছের স্ট্যান্ডে যায়। দুটো স্ট্যান্ড একই জায়গায় হলে খদ্দের সমান ভাগ হয়ে দুই স্ট্যান্ডে যায়। একটা উদাহরণ: খদ্দের যদি \(0.5\) বিন্দুতে থাকে, আর স্ট্যান্ড দুটো \(-1\) ও \(1\)-এ, তবে সে \(1\)-এর স্ট্যান্ডের কাছে, তাই সেখানেই যাবে।

Hotelling game setup: two hot dog stands S1 and S2 on a beach from -1 to 1

চিত্র ১: খেলার সাজ — সৈকত \(-1\) থেকে \(1\) সংখ্যারেখা, দুই স্ট্যান্ড \(S_1\) ও \(S_2\) যেকোনো জায়গা বেছে নিতে পারে। খদ্দের সবসময় কাছের স্ট্যান্ডে যায়। খেয়াল করো — রেখার দুই প্রান্ত ও প্রতিটা স্ট্যান্ডের জন্য জায়গা রাখা আছে।

প্রশ্ন: যদি দুই স্ট্যান্ড সবচেয়ে বেশি খদ্দের পাওয়ার জন্য প্রতিযোগিতা করে, তবে শেষমেশ কে কোথায় গিয়ে দাঁড়াবে? (আগেই বলে রাখি — এই খেলার সমাধানকে বলে Nash equilibrium; পরের অধ্যায়ে এর পূর্ণ ব্যাখ্যা।)

সমাধান (স্বজ্ঞামূলক)। খেলাটা ধরার একটা সহজ উপায় — আগে প্রতিযোগিতা পুরো ভুলে যাও। ধরো তুমিই একমাত্র স্ট্যান্ড, একচেটিয়া (monopolist)। কোথায় বসবে? উত্তর সোজা — যেখানে খুশি। তুমি একচেটিয়া, খদ্দের বাধ্য হয়ে তোমার কাছেই আসবে। এমনকি একদম প্রান্তে \(-1\)-এ বসলেও, উল্টো প্রান্ত \(1\)-এর খদ্দেরকেও পুরো পথ হেঁটে তোমার কাছে আসতে হবে। একচেটিয়া হওয়া বেশ আরামের।

কিন্তু ধরো তুমি একটু সতর্ক (paranoid) একচেটিয়া — সাধারণ বুদ্ধিই তোমাকে কেন্দ্রের (\(0\)) দিকে ঠেলবে। কেন? কারণ তুমি যদি একদম বাঁ প্রান্তে বা ডান প্রান্তে বসো, একজন নতুন প্রতিযোগী এসে আরও কেন্দ্রের দিকে বসে তোমাকে কেটে দিতে (cut you off) পারবে। ধরো তুমি বাঁ দিক ঘেঁষে বসেছ; নতুন প্রতিযোগী তোমার একটু ডানে, কেন্দ্রের দিকে বসে বাজারের সিংহভাগ (majority) নিয়ে নেবে।

A new entrant locates toward the centre and captures the majority of the market

চিত্র ২: তুমি প্রান্তে বসলে (কালো/কঠিন রেখা = তোমার বাজার) নতুন প্রতিযোগী তোমার কেন্দ্র-দিকে বসে (ভাঙা রেখা) অর্ধেকের বেশি বাজার নিয়ে নেয়। তাই প্রান্ত অনিরাপদ।

এই সমস্যা কেন্দ্রে বসলে হয় না। কেন্দ্রে বসলে যে কোনো নতুন প্রতিযোগী — তোমার বাঁয়ে হোক বা ডানে — অর্ধেকের কম বাজার পায়। তাই কেন্দ্র নিরাপদ।

Locating at the centre is safe: any entrant gets less than half

চিত্র ৩: কেন্দ্রে বসাই নিরাপদ — প্রতিযোগী যেদিকেই বসুক, অর্ধেকের কম পায়। আর এখান থেকেই আরেকটা কথা বেরোয়: এক স্ট্যান্ড কেন্দ্রে বসলে অন্যজনও কেন্দ্রেই বসতে চাইবে, কারণ বাজার সমান ভাগ করা (অর্ধেক পাওয়া) এক পাশে থেকে অর্ধেকের-কম পাওয়ার চেয়ে ভালো।

সমাধান (গাণিতিক) — দুই ধাপে। উপরের যুক্তিটা ঠিক, কিন্তু গাণিতিকভাবে নিখুঁত নয়। Talwalkar বলেন — বই পড়া বা game theory বোঝার জন্য এই অংশটা বাধ্যতামূলক নয়, তবে এটা একটা গাণিতিক প্রমাণের স্বাদ দেয়, তাই অন্তত চোখ বুলিয়ে যাওয়ার অনুরোধ। (চাইলে সরাসরি "Social optimum" অংশে যেতে পারো।) এখানে আসল কথা মনে রাখো — দুই স্ট্যান্ড একসাথে (simultaneously) জায়গা বাছছে, আর প্রত্যেককে ভাবতে হচ্ছে অন্যজন কোথায় বসতে পারে। এই পরস্পর-নির্ভরতাই game theory-র মূল।

ধাপ ১ — payoff (প্রাপ্তি) ভাবো। ধরো দুই স্ট্যান্ড \(0.2\) ও \(0.4\)-এ। কে কতটা সৈকত পাবে? প্রথম স্ট্যান্ড স্পষ্টতই \(0.2\)-এর বাঁয়ের সব খদ্দের পায়, দ্বিতীয় স্ট্যান্ড \(0.4\)-এর ডানের সব। মাঝামাঝি বিন্দু \(0.3\)-এ খদ্দের সমান-সমান খুশি; তাই \(0.3\)-এর বড় মানে গেলে খদ্দের \(0.4\)-এ যায়, ছোট হলে \(0.2\)-এ। কঠিন ও ভাঙা রেখার দৈর্ঘ্যই দুই স্ট্যান্ডের বাজার-অংশ (market share)। এই উদাহরণে প্রথম স্ট্যান্ড পায় রেখার \(65\%\), দ্বিতীয় \(35\%\)।

Market shares when stands are at 0.2 and 0.4: the split point is the midpoint 0.3

চিত্র ৪: স্ট্যান্ড \(0.2\) ও \(0.4\)-এ। ভাগ-বিন্দু ঠিক মাঝ \(0.3\)। কঠিন রেখা = প্রথম স্ট্যান্ডের বাজার (\(65\%\)), ভাঙা রেখা = দ্বিতীয়ের (\(35\%\))।

কিন্তু এই সাজ খেলার সমাধান নয় — কারণ একটা স্ট্যান্ড আরও ভালো জায়গা খুঁজে নিতে পারে। ধরো দ্বিতীয় স্ট্যান্ড একটু কেন্দ্রের দিকে সরে \(0.2\)-এ চলে এল; তখন দুই স্ট্যান্ড খদ্দেরের কাছে সমান আকর্ষণীয়, বাজার \(50/50\)। কিন্তু এটাও সমাধান নয় — এবার প্রথম স্ট্যান্ড পাল্টা (retaliate) আরও কেন্দ্রের দিকে সরে বেশি খদ্দের নেবে। এই "একজন সরলে অন্যজন সরে"-র গাণিতিক ভাষা লাগবে।

ধাপ ২ — best response (সেরা জবাব) বের করো। best response হলো অন্যজনের একটা নির্দিষ্ট অবস্থানের বিপরীতে তুমি যে অবস্থানটা সবচেয়ে ভালোভাবে বেছে নাও। (আরও সাধারণভাবে — অন্য এক বা একাধিক খেলোয়াড়ের দেওয়া strategy profile-এর বিপরীতে তোমার সেরা কৌশল।) হিসেব সহজ করতে ধরে নাও খেলাটা কেবল জেতা বা হারা — বেশিরভাগ বাজার পেলে "জিতলে"। এবার ধরো প্রথম স্ট্যান্ড অবস্থান \(k\)-তে। দ্বিতীয়ের সেরা জবাব কী — কোন কোন জায়গায় বসলে অর্ধেকের বেশি বাজার পাবে? একটামাত্র উত্তর নেই: কেন্দ্রের যত কাছে যাবে ততই সিংহভাগ পাবে, অর্থাৎ কেন্দ্র থেকে \(k\)-এর চেয়ে কম দূরত্বের যেকোনো বিন্দু — সংখ্যাগতভাবে \(-k\) ও \(k\)-এর মধ্যে। আর \(k = 0\) (কেন্দ্র) হলে সেরা জবাব একটাই — কেন্দ্র।

একটা সংখ্যা দিয়ে ধরো: প্রথম স্ট্যান্ড \(k = 0.3\)-এ। দ্বিতীয় স্ট্যান্ড যদি ঠিক \(0.3\)-এর একটু বাঁয়ে (কেন্দ্র-ঘেঁষে), ধরো \(0.29\)-এ বসে, তবে ভাগ-বিন্দু \(0.295\); দ্বিতীয় স্ট্যান্ড \(0.295\)-এর বাঁয়ের পুরোটা — অর্থাৎ রেখার অর্ধেকের বেশি — পায়। তাই \(0.3\)-এর যেকোনো কেন্দ্র-দিকের বিন্দুই দ্বিতীয়ের সেরা জবাব। এখন উল্টে ভাবো: প্রথম স্ট্যান্ড যদি \(k = 0\) (কেন্দ্র)-এ থাকে, দ্বিতীয় যেদিকেই সরুক অর্ধেকের কম পায়, তাই তার একমাত্র সেরা জবাব \(0\)। যখন দুজনেই \(0\)-তে, তখন কেউ সরে লাভবান হতে পারে না — এটাই স্থিতিশীল ফল।

Both stands at the centre is the equilibrium: each is a best response to the other

চিত্র ৫: এটাই খেলার সমাধান — দুজনেই কেন্দ্রে, দুজনেই দুজনের সেরা জবাব খেলছে, বাজার সমান ভাগ। এই "পরস্পরের সেরা জবাব" অবস্থাটাই Nash equilibrium — পরের অধ্যায়ে বিস্তারিত।

Social optimum (সামাজিক সর্বোত্তম)। game যা বলে সেটাই কিন্তু সবসময় সমাজের জন্য সেরা নয়। হট-ডগ খেলার এই ভারসাম্য আসলে বহু খদ্দেরের জন্য বিরক্তিকর — দুই স্ট্যান্ড কেন্দ্রে জড়ো, খদ্দেরের কাছে ছড়িয়ে না থেকে। ভাবো, যদি দুই স্ট্যান্ড পুরো সৈকত জুড়ে ছড়িয়ে \(-0.5\) ও \(0.5\)-এ বসত — তখনও দুজনেই \(50\%\) করেই পেত (কেউ বাজার হারাত না), কিন্তু কোনো খদ্দেরকেই \(0.5\)-এর বেশি হাঁটতে হতো না। অথচ কেন্দ্র-সমাধানে (দুজনেই \(0\)-তে) প্রান্তের খদ্দেরকে পুরো \(1\) দূরত্ব হাঁটতে হয়।

Social optimum: stands spread at -0.5 and 0.5, nobody walks more than 0.5

চিত্র ৬: ছড়ানো ব্যবস্থা (\(-0.5, 0.5\)) সবার জন্য ভালো — কিন্তু এটা টেকে না (not sustainable)। কারণ প্রতিটা স্ট্যান্ডের কেন্দ্রের দিকে সরে অর্ধেকের বেশি খদ্দের নেওয়ার প্রলোভন (incentive to deviate) থাকে; একজন সরলে অন্যজনও সরে, শেষে দুজনেই আবার কেন্দ্রে।

আমার নিজের বানানো একটা সরল ছবিতে দুটো অবস্থা পাশাপাশি রাখা:

Kid-friendly summary: Nash equilibrium at the centre versus the social optimum spread out

চিত্র ৭: উপরে Nash equilibrium — দুই স্ট্যান্ড কেন্দ্রে জড়ো, প্রান্তের খদ্দের পুরো \(1\) হাঁটে। নিচে social optimum — ছড়ানো, কেউ \(0.5\)-এর বেশি হাঁটে না। বাজার দুই ক্ষেত্রেই \(50/50\), তবু জড়ো-হওয়াটাই "স্থিতিশীল" ফল।

কেন এই মডেল এত জায়গায় খাটে। এই সরল খেলা ব্যাখ্যা করে কেন প্রতিযোগীরা এত কাছাকাছি বসে ও জমি নিয়ে প্রতিযোগিতা করে — বড় burger চেইন, supermarket, coffee shop সব গায়ে-গায়ে বসে, যদিও খদ্দেরের জন্য ছড়িয়ে থাকলেই ভালো হতো। আরও তিনটে প্রয়োগ:

রাজনীতি (median voter)। কল্পনা করো দুই প্রার্থী একটা রাজনৈতিক স্কেলে অবস্থান বাছছে — \(-1\) (খুব উদারপন্থী / very liberal) থেকে \(1\) (খুব রক্ষণশীল / very conservative)। ভোটাররা স্কেল জুড়ে ছড়ানো, আর প্রত্যেকে নিজের মতের সবচেয়ে কাছের প্রার্থীকে ভোট দেয়। তখন দুই প্রার্থীরই মাঝামাঝি (moderate) অবস্থানে ছুটে আসার প্রলোভন থাকে — তাই "গড় ভোট (average vote)" খোঁজা রাজনীতিকদের স্বাভাবিক আচরণ। এই কারণেই নির্বাচনী প্রচারের সময় দুই প্রার্থীকে আলাদা করা কঠিন।
স্থানীয় TV খবর। স্থানীয় চ্যানেলগুলো দর্শকের মনোযোগের জন্য প্রতিযোগিতা করে, প্রত্যেকে কিছু খবর বাছে। ভালো হতো যদি বিভিন্ন চ্যানেল বিভিন্ন খবর দিত, কিন্তু তা হয় না — একই খবর প্রায় সব চ্যানেলে, একই ক্রমে দেখানো হয়, কারণ সবাই "সবচেয়ে আকর্ষণীয়" খবরের দিকে জড়ো হয়। (কতবার এক চ্যানেলে একটা খবর দেখে অন্য চ্যানেলে গিয়ে হুবহু সেই খবরই পেয়েছ?)
ওয়েব — মুক্তিদায়ক। শেষে একটা আশার কথা: ইন্টারনেট এদিক থেকে মুক্তি দেয়। এখানে প্রবেশ সস্তা (entry is cheap), তাই blog আর ছোট website ছোট ছোট নিশ (niche) বিষয়েও জায়গা করে দেয় — জড়ো-হওয়ার নিয়ম এখানে দুর্বল।

প্রয়োগ করবে কীভাবে

কোনো প্রতিযোগিতা দেখলে জিজ্ঞেস করো — "এখানে কি Hotelling-জড়োহওয়া চলছে?" যদি সবাই এক জায়গায় ভিড় করে (একই বাজার, একই মধ্যপন্থা), তবে আসল সুযোগ প্রান্তে — যে নিশ কেউ ধরছে না। কেন্দ্রে ভিড়ের সাথে না লড়ে ওয়েবের মতো "সস্তা প্রবেশের প্রান্ত" খোঁজো।

২.২ Price match guarantee — দাম কমায় না বাড়ায়?¶

দোকান যখন ঘোষণা করে "যেকোনো প্রতিযোগীর দাম মিলিয়ে দেব" (price match), শুনতে মনে হয় দারুণ অফার — শুধু যে তারা নিজের দামকে সবচেয়ে কম বলে দাবি করছে তা নয়, অন্য কোথাও কম পেলে সেটাও মিলিয়ে দেবে। মনে হয় স্পষ্ট বিজয়ী = খদ্দের।

সংবাদমাধ্যমেও তা-ই বলা হয়। Talwalkar The Wall Street Journal-এর নভেম্বর ২০১৩-র একটা লেখা উদ্ধৃত করেন: "আর electronics-এ, যেখানে পণ্য দোকানে-দোকানে একই, সেখানে একমাত্র আসল প্রতিযোগিতার অস্ত্র হলো দাম। দেশের চারটি বড় consumer electronics খুচরা বিক্রেতা — Best Buy, Wal-Mart, Target Corp. আর Staples Inc. — সবাই প্রতিশ্রুতি দিচ্ছে ছুটির মৌসুমের বেশিরভাগ সময় ক্রেতা চাইলে প্রতিদ্বন্দ্বীদের in-store দাম মিলিয়ে দেবে।"

কিন্তু price matching মানেই কি সবসময় কম দাম? পুরো প্রভাব বুঝতে হলে দামের বিস্তারিত গবেষণা লাগত। তবে তা ছাড়াও একটা game theory মডেল ইঙ্গিত দেয় price matching দামকে কীভাবে প্রভাবিত করে — আর একটা খেলা উল্টো এক চমকপ্রদ কথা বলে: price matching দাম উঁচুতে ধরে রাখতে সাহায্য করতে পারে!

একচেটিয়া (Monopoly — One Business)। কাল্পনিক উদাহরণ: Lears একচেটিয়াভাবে ফ্রিজ বানায়, খরচ ২০০ ডলার। প্রতিযোগী নেই বলে Lears দাম বাড়িয়ে সেই বিন্দুতে নিয়ে যায় যেখানে তার আয় (revenue) সর্বোচ্চ — ধরো সেটা ২০০ ডলার-খরচের পণ্যে বিক্রয়মূল্য ৩০০ ডলার। Lears খুশি, কিন্তু সমাজ কম দামে ভালো থাকত।

দুই ব্যবসা (Duopoly — Two Businesses)। খদ্দেরের সৌভাগ্য — Sowe's বাজারে ঢুকল, একই খরচে (২০০ ডলার) হুবহু একই ফ্রিজ বানাতে পারে। Sowe's কত দাম রাখবে?

Sowe's যদি ৩০০ ডলার রাখে, খদ্দের দুই দোকানে উদাসীন, তাই Sowe's অর্ধেক বাজার পায়, লাভ ভাগ হয়।
কিন্তু Sowe's যদি ২৯৯ ডলার রাখে, সব খদ্দের কম দামের দিকে ঝুঁকে Sowe's-এ চলে আসে — একচেটিয়া দামের সামান্য নিচে দাম দিয়ে Sowe's কার্যত পুরো বাজার দখল করে।
Lears সব খদ্দের হারিয়ে খুশি থাকবে না — সে পাল্টা ২৯৮ ডলার দেয়, বাজার ফিরিয়ে নিতে।

দুই ফার্ম anti-trust (একচেটিয়া-বিরোধী) আইনের কারণে পরস্পরকে বিশ্বাস করে দাম ঠিক করতে পারে না, তাই তারা প্রতিযোগিতা করতে বাধ্য। এই দাম-যুদ্ধ (bidding war) চলতে চলতে দাম নেমে আসে একেবারে ২০০ ডলারে (খরচ)। এর নিচে গেলে দুজনেরই লোকসান, তাই কেউ নামবে না; আর কেউ দাম বাড়াতেও পারবে না, কারণ তখন অন্যজন সস্তা হয়ে সব খদ্দের নিয়ে নেবে।

এই খেলার নাম Bertrand Duopoly — দুটো ফার্ম কেবল দাম নিয়ে প্রতিযোগিতা করছে, আর খদ্দেরদের কোনো আনুগত্য (loyalty) নেই, তারা শুধু সবচেয়ে কম দামের ফার্ম বাছে। চমকপ্রদ ফল: সাধারণত ধরা হয় অল্প ক'টা ফার্মের বাজারে দাম বেশি থাকবে (কারণ তারা যোগসাজশ করে লাভ উঁচুতে রাখবে) — কিন্তু Bertrand দেখায়, মাত্র দুটো ফার্ম থাকলেও দাম-যুদ্ধে দাম সর্বনিম্নে নেমে যেতে পারে।

এটাকে তুমি কীভাবে দেখবে নির্ভর করে তুমি কোন পক্ষে — যে খদ্দের দাম মিলিয়ে কেনে (comparison shops) সে খুশি, আর যে ব্যবসা চালায় সে ভীত (তাই ব্যবসায়ীরা "দাম-যুদ্ধের সর্বনাশা প্রভাব / ruinous effects of a price war" নিয়ে কথা বলে)। আদর্শগতভাবে ব্যবসায়ীরা চায় সবার জন্য দাম উঁচুতে থাকুক, যাতে বড় লাভ ভাগ করা যায়। আর দেখা যায়, price matching ঠিক সেই কাজটাই করতে পারে।

price matching কীভাবে খেলাটা বদলায়। প্রথমে একটা সূক্ষ্ম কথা: Bertrand মডেল এটা বলে না যে ঘন-কেন্দ্রীভূত বাজার সবসময় দাম-প্রতিযোগী হবে। বাস্তবে ব্যবসা কেবল দাম নিয়ে লড়ে না — তারা খদ্দের আটকে রাখতে (lock in) ও আনুগত্য বাড়াতে নানা কৌশল নেয়। তাত্ত্বিকভাবে price match guarantee-ও দাম উঁচুতে রাখতে সাহায্য করতে পারে।

কীভাবে? ধরো Sowe's আর Lears দুজনেই price matching ঘোষণা করল, এমনকি দামের পার্থক্যের অতিরিক্ত \(10\%\) ছাড়ও দেবে। শুনতে খুব খদ্দের-বান্ধব। কিন্তু ভাবো — দুজনেই ৩০০ ডলারে শুরু, বাজার ভাগ, ভালো লাভ। এবার Sowe's যদি ২৯৯ ডলারে নামে, খদ্দের কি Sowe's-এ যাবে? না! তারা বরং Lears-এ গিয়ে price-match চাইবে — Lears-এর ২৯৯ ডলার (+অতিরিক্ত ছাড়) নেবে। মানে Sowe's দাম কমিয়েও কোনো খদ্দের পায় না — যেটা সে standard Bertrand-এ পেত। ফলে দাম কমানোর প্রলোভনটাই মরে যায়, দাম-যুদ্ধ কখনো শুরুই হয় না। দুই ফার্ম নীরবে সহযোগিতা করে (tacitly cooperate) দাম উঁচুতে ধরে রাখে।

credible threat (বিশ্বাসযোগ্য হুমকি) ও ভাবমূর্তি। দোকান price matching রাখার আরও কারণ আছে। এক, এটা ভালো জনসংযোগ (public relations) কৌশল — ব্যবসা বলতে চায় "আমার প্রতিযোগীর কাছে যেয়ো না, আমার দামই সবচেয়ে কম।" কিন্তু যে ব্যবসার আসল উদ্দেশ্য লাভ, তাকে বিশ্বাস করার কারণ নেই। তাই ব্যবসা দাবিটাকে বিশ্বাসযোগ্য করতে price matching নীতি ঘোষণা করে — যেন বলছে: "দেখো, আমার দামই সবচেয়ে কম। এত নিশ্চিত যে দাম মিলিয়ে দেব — শুধু তা-ই না, \(10\%\) ছাড়ও দেব।" শুনতে দারুণ। এই ইতিবাচক ভাবমূর্তিই সম্ভবত কারণ যে বেশিরভাগ দোকানে price matching থাকে। আর আমরা যখন ভাবছি সব দোকান আমাদের সাহায্য করছে, তখন হয়তো তারা এটাকে লাভ বাড়ানোর সূক্ষ্ম হাতিয়ার হিসেবে ব্যবহার করছে।

(উৎস: Fitzgerald, Drew, and Paul Ziobro. "Price War Looms for Electronics." The Wall Street Journal. 20 Nov 2013.)

২.৩ Dominated strategy — cab-এর গল্প¶

এবার ব্যবসা ছেড়ে দৈনন্দিন জীবনে। বইয়ের প্রথম উদাহরণগুলো ছিল ব্যবসার, কিন্তু game theory হলো যেকোনো সময় বুদ্ধিমান সিদ্ধান্ত নেওয়ার হাতিয়ার — নিচের গল্পটা তা-ই দেখায়।

Talwalkar একবার রাতে San Francisco-তে ট্যাক্সি (cab) ধরছিলেন। ঠিক করলেন একটা জনপ্রিয় মোড়ের কাছে যাবেন, কিন্তু ভিড় থেকে একটু দূরে দাঁড়াবেন। ভাগ্য ভালো — শীঘ্রই একটা ট্যাক্সি এল। তিনি উঠতে যাচ্ছেন, এমন সময় এক মহিলা অভিযোগ করলেন তিনি আগে থেকে বাইরে ছিলেন, আর Talwalkar তাঁর ট্যাক্সি "চুরি" করছেন। Talwalkar ভদ্রভাবে বললেন তিনি মহিলাকে খেয়াল করেননি, তবে যেহেতু তাঁর ট্যাক্সির পেছনেই আরেকটা ট্যাক্সি আসছে, মহিলা সেটা নিন। মহিলা মুখ বাঁকিয়ে (scowled) সেই উপদেশ মেনে নিলেন।

ট্যাক্সিতে বসে Talwalkar ঘটনাটা ভাবছিলেন। বিশেষ করে ধাঁধা লাগছিল — মহিলা চেঁচালেন কেন? যদি তাঁর মূল লক্ষ্য একটা ট্যাক্সি পাওয়া হতো, তবে চেঁচানো ছিল সম্ভবত সবচেয়ে খারাপ কাজ।

কেন? মহিলার উচিত ছিল Talwalkar-এর দৃষ্টিকোণ থেকে খেলাটা ভাবা। যেহেতু Talwalkar আসন্ন ট্যাক্সির কাছে ছিলেন, ট্যাক্সিটা নেওয়া বা না-নেওয়া পুরোপুরি তাঁর হাতে (full control)। এটা মাথায় রাখলে মহিলার হাতে নিজের সম্ভাবনা বাড়ানোর অনেক ভালো বিকল্প ছিল:

Talwalkar-কে ভদ্রভাবে অনুরোধ করা ট্যাক্সিটা ছেড়ে দিতে,
অন্য জায়গায় সরে যাওয়া (যেখানে সে নিজেই ট্যাক্সির কাছে থাকত),
বা ফোনে ট্যাক্সি ডাকা।

এর যেকোনোটাই তাঁর ট্যাক্সি পাওয়ার সম্ভাবনা বাড়াত। কিন্তু চেঁচিয়ে তিনি Talwalkar-কে বিরক্ত করলেন (rubbed me the wrong way), ফলে নিজের সম্ভাবনা কমালেন।

এখানেই dominated strategy (অধীন কৌশল)-এর সংজ্ঞা। game theory-তে একটা কাজ (এখানে মহিলার চেঁচানো) যদি আরেকটা কাজের (পেছনের ট্যাক্সি ধরা) চেয়ে খারাপ ফল দেয় — অন্যরা যেভাবেই আচরণ করুক (এখানে: Talwalkar ট্যাক্সি ছাড়ুন বা না ছাড়ুন, প্রতিটা পরিস্থিতিতে), তবে প্রথম কাজটা dominated। অর্থাৎ কোনো একটা কৌশল যদি অন্য একটা কৌশলের চেয়ে সবসময়ই খারাপ, সেটা dominated।

game theory-র সবচেয়ে সরল অথচ জরুরি উপদেশ এটাই: কখনো dominated কাজ কোরো না। Talwalkar জোর দিয়ে বলেন — "এই বই থেকে যদি একটা জিনিসই শেখো, সেটা হোক এটাই: দয়া করে, কখনো, কখনো dominated strategy খেলো না।" কারণ dominated strategy শুধু খারাপ সিদ্ধান্ত নয়, এটা সম্ভাব্য সবচেয়ে খারাপ সিদ্ধান্ত। তুলনাটা তীক্ষ্ণ: লটারির টিকিট কেনা হারা-বাজি, সাধারণত বোকামি — তবু সেখানে জেতার সামান্য একটা সুযোগ থাকে। dominated strategy খেলা তার চেয়েও খারাপ — লটারির টিকিট কেনার চেয়েও বাজে। dominated কৌশল এড়িয়ে চললে তুমি সবসময় ভালো থাকো।

২.৪ Beauty contest — ২/৩-গড়ের ধাঁধা¶

dominated strategy না-খেলার কথাটা সহজ শোনায়, কিন্তু তাত্ত্বিক ভবিষ্যদ্বাণী আর বাস্তব ফল সবসময় এক হয় না। Talwalkar এটা দেখান Stanford-এ ছাত্রজীবনের এক স্মরণীয় ঘটনা দিয়ে — তাঁর game theory-র অধ্যাপক ভিড়ের আচরণ শেখাতে ২৫০ ডলার বাজি রেখেছিলেন।

ক্লাস শুরু হলো নিরীহভাবে। একটা সরল খেলার নিয়ম:

প্রত্যেকে গোপনে \(0\) থেকে \(20\)-এর মধ্যে একটা পূর্ণসংখ্যা জমা দেবে।
সব সংখ্যা জড়ো করে গড় (average) বের করা হবে।
জেতা সংখ্যা (winning number) = গড়ের দুই-তৃতীয়াংশ, নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় গোল করা। যেমন গড় \(3\) হলে জেতা সংখ্যা \(2\); গড় \(4\) হলে জেতা সংখ্যা \(3\) (\(2.66\ldots\) থেকে গোল করে)।
জেতা সংখ্যার সবচেয়ে কাছের যে/যারা, সে/তারা পুরস্কার পাবে — অধ্যাপকের সঙ্গে ৫ ডলারের একটা স্মুদি খেতে খেতে আড্ডা। (পাঠ্যবই-সংস্করণে একাধিক বিজয়ী পুরস্কার ভাগ করে নেয়; অধ্যাপক উদার ছিলেন।)

পড়ার আগে সত্যিই ভাবো — তুমি কোন সংখ্যা লিখতে? কল্পনা করো তুমি লেকচার হলে বসে, বাকি ৪৯ জনকে বুদ্ধিতে হারানোর গৌরব চাও, আর অধ্যাপকের সঙ্গে বসতে চাও কারণ game theory তোমার দারুণ লাগে। হাতে মাত্র ১০ সেকেন্ড। কোন সংখ্যা?

Keynes-এর beauty contest। খেলাটার নাম p-beauty contest — এখানে "\(p\)" হলো সেই ভগ্নাংশ যা দিয়ে গড়কে গুণ করা হয় (\(p = 2/3\))। মজার ব্যাপার, \(1\)-এর চেয়ে ছোট যেকোনো \(p\)-তেই খেলার ফল একই রকম হয়। নামটা "beauty contest" কেন? কারণ এটা অর্থনীতিবিদ John Maynard Keynes-এর কল্পিত এক সৌন্দর্য-প্রতিযোগিতার সংখ্যা-রূপ।

কল্পনা করো একটা পত্রিকা প্রতিযোগিতা চালাচ্ছে — শহরের সবচেয়ে সুন্দর মুখ বাছতে হবে। পাঠকরা ভোট দেবে, আর সবচেয়ে বেশি ভোট-পাওয়া মুখই বিজয়ী। যে পাঠক বিজয়ী মুখকে ভোট দেবে, সে একটা বড় পুরস্কারের র‍্যাফেলে ঢুকবে। এবার খেলাটা কীভাবে চলে? Keynes দল-গতিশীলতা (group dynamics) দেখাতে চেয়েছিলেন। বোকা (naive) কৌশল — তুমি নিজে যে মুখ সুন্দর মনে করো সেটা বাছা। ভালো কৌশল — অন্যরা যে মুখকে সুন্দর ভাববে সেটা বাছা।

সংখ্যার beauty contest-এও একই যুক্তি: তুমি পছন্দের সংখ্যা লিখবে না; বরং অন্যরা কী লিখবে সেই হিসেবে সংখ্যা বাছবে, যাতে তোমার সংখ্যা গড়ের ২/৩-এর সবচেয়ে কাছে পড়ে। দুই খেলারই মজার প্যাঁচ — তোমার আন্দাজ নিজেই গড়কে বদলে দেয়। আর প্রত্যেকে সবাইকে বুদ্ধিতে হারাতে চাইছে।

খেলার এই সূক্ষ্মতার উপর ভরসা করেই অধ্যাপক বাজি ধরেছিলেন যে পুরস্কার পাবে কেবল অল্প কয়েকজন। যদিও গাণিতিকভাবে সবাই জিততে পারত, তিনি ঝুঁকিটা নিয়েছিলেন। আসলে তিনি জানতেন — সবাই যদি সম্পূর্ণ যুক্তিবাদী (rational) হয়, তবে সবাই জিতবে, আর তাঁকে ৫০ জনকে ৫ ডলার করে স্মুদি খাওয়াতে হবে — মোট ২৫০ ডলার বাজি। তবু তিনি আত্মবিশ্বাসী ছিলেন। কেন — সেটা সমাধান দেখলে বোঝা যাবে; দেখা যাবে যৌক্তিকভাবে rational হওয়া কেন কঠিন।

সমাধান — দুটো নীতি। অন্যরা কী লিখবে তা জানা অসম্ভব, তবু খেলার একটা সমাধান আছে। সবাই সম্পূর্ণ যুক্তিবাদী হলে জেতার মতো সংখ্যা মাত্র দুটো। এটা বের করতে একটু চতুর ভাবনা লাগে, কিন্তু ভিত্তি দুটো সহজ নীতি:

নীতি ১ — বোকা কৌশল খেলো না (eliminate dominated strategies)। খেলোয়াড়দের এমন সংখ্যা লেখা এড়ানো উচিত যা কখনোই জিততে পারে না। কোন সংখ্যা কখনো জেতে না? প্রথমে ভাবো — সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য জেতা সংখ্যা কী? সবাই যে সর্বোচ্চ সংখ্যা লিখতে পারে তা \(20\)। সবাই \(20\) লিখলে গড় \(20\), জেতা সংখ্যা \(\tfrac{2}{3}\times 20 = 13\) (গোল করে)। তাহলে তোমার কি কখনো \(20\) লেখা উচিত? না। সবসময় \(19\) ভালো: \(20\) শুধু তখনই "জেতে" যখন বাকি সবাই ঠিক \(20\) লেখে — কিন্তু তখন সবাই পুরস্কার ভাগ করে; আর তখন তুমি \(19\) লিখলে একাই জিততে (unshared)। শুধু তা নয়, \(19\) আরও অনেক ক্ষেত্রেও জেতাতে পারে (যেমন যখন সবাই \(19\) লেখে)। তাই \(20\) সবসময় \(19\)-এর চেয়ে খারাপ — \(20\) একটা dominated strategy, বাদ। এবং তোমার যুক্তিবাদী প্রতিপক্ষরাও ঠিক এভাবেই ভাববে; বড় সিদ্ধান্ত: কোনো খেলোয়াড় কখনো \(20\) লিখবে না।

নীতি ২ — খেলা ছেঁটে পুনরাবৃত্তি করো (trim the game and iterate)। যেহেতু কেউ \(20\) লিখবে না, \(20\)-কে বিকল্প থেকে মুছে দাও — খেলাটা ছোট হয়ে \(0\)–\(19\) হলো, নীতি ১-এর এক রাউন্ড টিকে গেল। এবার আবার জিজ্ঞেস করো: এই ছোট খেলায় কি কোনো dominated strategy আছে? এখন \(19\) ঠিক আগের \(20\)-এর ভূমিকায় — এটাই সর্বোচ্চ সম্ভাব্য গড়, তাই \(19\) লেখা কখনো ভালো নয়; নীতি ১-এ \(18\) সবসময় \(19\)-এর চেয়ে ভালো, তাই \(19\) dominated, বাদ। খেলা এখন \(0\)–\(18\) (দুই রাউন্ড শেষ)। থামার কারণ নেই — একইভাবে \(18\), \(17\), \(16\), ... একে একে বাদ যায়। প্রক্রিয়া থামে যখন \(0\) আর \(1\) ছাড়া সব বাদ পড়ে যায়।

এই ভাবনা-প্রক্রিয়ার নাম আছে — বেশ লম্বা নাম: iterated elimination of dominated strategies (IEDS)। ধারণা: বাজে চাল ছাঁটো, খেলা ছোট করো, আবার ছাঁটো — যতক্ষণ না টিকে-থাকা চালগুলো বেরোয়। এই টিকে-থাকা চালগুলোকে বলে rationalizable (যুক্তিসঙ্গত) moves — যেগুলো আসলে জিততে পারে।

ছাঁটাইটা সংখ্যায় দেখলে আরও পরিষ্কার। প্রতিটা রাউন্ডে "বর্তমান সর্বোচ্চ সংখ্যা"-ই সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য গড়, তাই গড়ের ২/৩-এর বড় কোনো সংখ্যা আর জিততে পারে না — সেগুলো বাদ:

রাউন্ড	এখনকার সর্বোচ্চ সংখ্যা	সম্ভাব্য সর্বোচ্চ জেতা \(=\tfrac{2}{3}\times\)সর্বোচ্চ	যা বাদ যায়	টিকে থাকা পরিসর
শুরু	\(20\)	\(13\)	—	\(0\)–\(20\)
১	\(20\)	\(\tfrac{2}{3}\times 20 \approx 13\)	\(14\)–\(20\)	\(0\)–\(13\)
২	\(13\)	\(\tfrac{2}{3}\times 13 \approx 9\)	\(10\)–\(13\)	\(0\)–\(9\)
৩	\(9\)	\(\tfrac{2}{3}\times 9 = 6\)	\(7\)–\(9\)	\(0\)–\(6\)
৪	\(6\)	\(\tfrac{2}{3}\times 6 = 4\)	\(5\)–\(6\)	\(0\)–\(4\)
...	...	...	...	ধীরে ধীরে ছোট
শেষ	—	—	\(2\)ও বাদ	\(\{0, 1\}\)

(Talwalkar-এর মূল উপস্থাপনায় একটা-একটা করে সর্বোচ্চ সংখ্যা বাদ যায় — \(20\), তারপর \(19\), তারপর \(18\)...; উপরের টেবিল একই যুক্তি কয়েক ধাপ লাফিয়ে দেখায়। শেষমেশ দুই পথই \(\{0, 1\}\)-এ থামে।)

Schematic of iterated elimination of dominated strategies (IEDS)

চিত্র ৮: IEDS-এর ছক — প্রতিটা ধাপে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটা dominated বলে বাদ যায়, খেলা ছোট হতে হতে টিকে থাকে শুধু \(\{0, 1\}\)।

আমার নিজের বানানো ছবিতে পুরো ছাঁটাই-প্রক্রিয়াটা এক নজরে:

Kid-friendly IEDS ladder: boxes 0 to 20, eliminated round by round, survivors 0 and 1

চিত্র ৯: \(0\) থেকে \(20\) পর্যন্ত বাক্স। R1-এ \(20\) বাদ (\(19\) সবসময় ভালো), R2-তে \(19\) বাদ, ... এভাবে চলতে চলতে সবুজ \(\{0, 1\}\)-ই কেবল টিকে থাকে — এরাই একমাত্র "জিততে-পারা" সংখ্যা।

দুটো ভারসাম্য (the equilibria)। IEDS-এ টিকে থাকে শুধু \(0\) ও \(1\)। এদের মধ্যে কোনটা ভালো? এখানে দুঃখজনকভাবে IEDS আর কিছু বলতে পারে না। \(0\) জেতা সম্ভব: ৫০ জন সবাই \(0\) লিখলে গড় \(0\), জেতা সংখ্যা \(0\)। আবার \(1\) জেতাও সম্ভব: সবাই \(1\) লিখলে গড় \(1\), জেতা \(\tfrac{2}{3}\), গোল করে \(1\)। কোনটা ঘটবে তা নির্ভর করে সবাই ভাবছে যে বাকিরা কী লিখবে তার উপর — দুটো ভারসাম্যই (সবাই-\(0\) ও সবাই-\(1\)) অর্জনযোগ্য।

ক্লাসরুমের বাস্তবতা (back to the classroom)। ক্লাসের কেউই তখন IEDS-এর এই গভীর ধারণা জানত না — এটা ছিল game theory-র মাত্র তৃতীয় লেকচার। অধ্যাপক প্রায় নিশ্চিত ছিলেন ছাত্রদের আন্দাজ এলোমেলো হবে। কিন্তু Stanford-এর ছেলেমেয়েরা চালাক হতে পারে। এক ছাত্র তীক্ষ্ণ বুদ্ধিতে বুঝল সমন্বয় (coordination) কাজে দেবে; সে জিজ্ঞেস করল — "আমরা কি নিজেদের মধ্যে কথা বলতে পারি?" অধ্যাপক তখনও ভাবছিলেন ছাত্ররা আনাড়ি, তাই হেসে আত্মবিশ্বাসের সঙ্গে বললেন — "নিশ্চয়ই। বলো।" যেহেতু হাতে মাত্র ১০ সেকেন্ড। অধ্যাপক মত বদলানোর আগেই ছাত্রটা দ্রুত সবাইকে চেঁচিয়ে বলল — "আমরা সবাই যদি \(0\) লিখি, সবাই জিতব।"

ব্যাপারটা অসাধারণ — সে ভারসাম্যটাই ধরে ফেলেছিল আর সবাইকে বলে দিয়েছিল কী করতে হবে! সে কাউকে ঠকাতে পারছিল না, কারণ অঙ্কটা পরিষ্কার: সবাই \(0\) লিখলে সবার সংখ্যাই জেতা সংখ্যা হবে।

"Stanford-এর ছেলেমেয়েরা কতটা চালাক?" ভোট গুনে অধ্যাপক স্বস্তি পেলেন। বেশিরভাগই প্রশংসনীয়ভাবে \(0\) লিখেছিল (Talwalkar নিজেও তাঁদের একজন)। কিন্তু বড় সংখ্যাও ছিল — \(1\) থেকে \(10\) পর্যন্ত। একজন তো \(10\) লিখেছিল! আর এটা উত্তর বলে দেওয়ার পরেও। সব মিলিয়ে জেতা সংখ্যা দাঁড়াল \(2\), পুরস্কার পেল তিনজন ছাত্র। সমন্বয়ের অভাবে অধ্যাপককে মোট মাত্র ১৫ ডলার দিতে হলো। আরও মজার — অধ্যাপক বড়-সংখ্যা-লেখা ছাত্রদের কারণ জিজ্ঞেস করলেন; তারা সবাই অস্বস্তিতে (squirmed) বলল "ওটা আমার সৌভাগ্যের সংখ্যা (lucky number)" বা "জানি না, ঠিকমতো ভাবছিলাম না।"

বাস্তব পাঠ — bounded rationality (সীমিত যুক্তি)। ব্যাপারটা কী দাঁড়াল? একদল চালাক ছাত্র, যাদের উত্তরটাই বলে দেওয়া হয়েছিল, তবু সবাই \(0\) লিখল না। এই উদাহরণ IEDS-এর একটা দুর্বলতা দেখায়: IEDS তখনই যুক্তিসঙ্গত উত্তর দেয় যখন ধরে নাও সবাই স্তরে-স্তরে (nested) অসীম গভীর যুক্তি খাটায়। কিন্তু মানুষের যুক্তির ক্ষমতা অসীম নয় — আমাদের আছে কেবল সীমিত যুক্তি-ক্ষমতা (bounded rationality)। তাই বাস্তবে তুমি কী লিখবে তা নির্ভর করে "বইয়ের উত্তর" + "অন্যরা আসলে কী করবে সে সম্পর্কে তোমার ব্যক্তিগত বিশ্বাস" — এই দুইয়ের মিশ্রণে। এক কথায়: book smarts (বইয়ের বুদ্ধি) + social smarts (মানুষ-চেনা বুদ্ধি) দুটোই লাগে। যারা জেতা সংখ্যা লিখেছিল, তারা আন্দাজ করেছিল কিছু লোক অযৌক্তিক কারণে বড় সংখ্যা লিখবে — তত্ত্ব আর বাস্তবকে না গুলিয়ে তারা পুরস্কৃত হলো।

প্রয়োগ করবে কীভাবে

কোনো "সবাই একই লক্ষ্যে ছুটছে" খেলায় (নিলাম, শেয়ারবাজারের ভিড়, ভাইরাল ট্রেন্ড) — শুধু "নিখুঁত যুক্তির উত্তর" (\(0\)) ধরে বসে থেকো না। জিজ্ঞেস করো: ভিড় কতটা গভীর ভাবছে? যদি অধিকাংশ অগভীর হয়, সত্যিকারের জেতা চাল তত্ত্বের চেয়ে একটু "কম-গভীর" জায়গায় থাকে।

২.৫ Dominant strategy — সবসময় খেলার মতো চাল¶

dominated-এর ঠিক উল্টো হলো dominant strategy (প্রধান কৌশল) — এমন চাল যা সবসময় খেলাই যুক্তিযুক্ত। সংজ্ঞা: এমন কৌশল যা তোমার অন্য যেকোনো বিকল্পের তুলনায়, এবং অন্যরা যা-ই করুক, তোমাকে সেরা ফল দেয়। এটা খুঁজে পেলে সিদ্ধান্ত সহজ — সেটাই খেলো।

দুটো সহজ উদাহরণ:

checkout line (দোকানের বিল-লাইন)। সমান-দক্ষ দুই ক্যাশিয়ারের দুটো লাইন \(A\) ও \(B\)। \(A\)-তে একজন অপেক্ষায়, \(B\) খালি। কী করবে? স্পষ্টতই খালি \(B\)-তে যাও — এটাই dominant strategy।
গাড়ির লেন। ধরো ডান লেনে তোমার সামনে একটা গাড়ি, বাঁ লেন খালি, আশপাশে আর গাড়ি নেই, তুমি কয়েক মাইল সোজা যাবে। বাঁ লেন সাধারণত ভালো — ডানের গাড়ি হয়তো ধীরে চলবে বা মোড়ে গিয়ে গতি কমাবে। এখানে বাঁ লেন নেওয়া dominant strategy।

কিছু dominant strategy স্পষ্ট, কিছু নয় — ব্যাংক + কাজের গল্প। Talwalkar একবার টুকটাক কাজ (errands) সারছিলেন, হঠাৎ মনে পড়ল ব্যাংকে যেতে হবে। কিন্তু ঘড়িতে ৫:০২ pm, তাই নিশ্চিত ছিলেন না ব্যাংক বন্ধ হয়ে গেছে কিনা। হাতে তিনটে কাজ:

(ক) ব্যাংকে যাওয়া (check the bank),
(খ) ২০-মিনিটের একটা কাজ,
(গ) ৪০-মিনিটের একটা কাজ।

তিনি সব কাজ শেষ করতে চান, আর প্রথম কাজটাতেই সফল হতে চান। কোনটা আগে করবেন? Talwalkar বলেন উত্তরটা কঠিন নয়, game theory না জেনেও বের করা যায় — তবে dominant strategy বোঝার জন্য পরিস্থিতিটা দারুণ শিক্ষণীয়। (মজা করে বলেন, তাঁর বাবা সঙ্গে ছিলেন এবং তক্ষুনি সঠিক সিদ্ধান্তটা বলে দিলেন — "কারণ আমি তাঁকে কিছু game theory শিখিয়েছি!")

সঠিক সিদ্ধান্ত — ২০-মিনিটের কাজটা আগে করা। কেন? ব্যাংক কখন বন্ধ হতে পারে তার সম্ভাব্য তিনটে ক্ষেত্র ভাবো:

ক্ষেত্র ১: ব্যাংক ৫:০০-তেই বন্ধ হয়ে গেছে। তাহলে প্রথমে ব্যাংকে যাওয়া খারাপ, কারণ প্রথম কাজেই ব্যর্থ হতে চাই না।
ক্ষেত্র ২: ব্যাংক ৫:৩০-এ বন্ধ। তাহলে ৩০ মিনিটের মধ্যে ব্যাংক + ২০-মিনিটের কাজ যেকোনো ক্রমে করা যায়। কিন্তু ৪০-মিনিটের কাজ আগে করলে ব্যাংক ফসকে যাবে — তাই ৪০-মিনিটের কাজ প্রথমে করা খারাপ।
ক্ষেত্র ৩: ব্যাংক ৬:০০ (বা পরে) বন্ধ। তাহলে যেকোনো ক্রমেই একটা কাজ + ব্যাংক + অন্য কাজ — সব হয়ে যায়।

দেখা যাচ্ছে: ব্যাংকে-আগে ক্ষেত্র ১-এ খারাপ, ৪০-মিনিট-আগে ক্ষেত্র ২-এ খারাপ। কিন্তু ২০-মিনিটের কাজ আগে করা তিনটে ক্ষেত্রেই যুক্তিসঙ্গত — অন্তত সমান ভালো, নয়তো ভালো। অতএব ২০-মিনিটের কাজ অন্য যেকোনো কাজের চেয়ে ভালো বা সমান — এটাই dominant strategy। আর একবার dominant strategy চিনে ফেললে সিদ্ধান্ত সহজ — সেটাই খেলো।

এই গল্পে "ব্যাংক কখন বন্ধ" — এই সময়টা ছিল দরকারি চলক। আর সেই বন্ধ-হওয়ার সময় নির্দিষ্ট করার ভঙ্গিটাই আমাদের নিয়ে যায় game theory-র পরের ধারণায় — focal point।

২.৬ Focal point (Schelling point) — কথা না বলেও মিলে যাওয়া¶

উপরের গল্পে ব্যাংকের বন্ধের সময়গুলো (\(5:00, 5:30, 6:00\)) এল কোথা থেকে? Talwalkar যখন ৫:০২ দেখলেন, তাঁর দুশ্চিন্তা হলো ব্যাংক হয়তো বন্ধ। কেন? তত্ত্বে ব্যাংক যেকোনো সময় বন্ধ হতে পারে — এমনকি রোজ ৫:০৩ pm-এ বন্ধ করলেও আইনত কোনো বাধা নেই। কিন্তু ৫:০৩-এর মতো সময় বাছায় একটা অদ্ভুততা আছে: কর্মীরা ঘণ্টার ৩ মিনিট পরে থাকতে বিরক্ত হবে, খদ্দেররা অবাক হবে কেন এমন উদ্ভট সংখ্যা। প্রথাগত ও স্বাভাবিক (customary and natural) হলো ব্যাংক "গোল (round)" সময়ে বন্ধ হবে — যেমন \(5:00\), \(5:30\), বা \(6:00\)।

এই স্বাভাবিক, বিশেষ বিন্দুগুলোই game theory-র focal point (ফোকাল বিন্দু), যাকে অর্থনীতিবিদ Thomas Schelling-এর নামে Schelling point-ও বলা হয়। সংজ্ঞা: focal point হলো এমন একটা সময় বা কৌশল যা কোনো-না-কোনোভাবে স্বাভাবিক বা বিশেষ। এদের গুরুত্ব বিশাল — এরা মানুষকে কথা না বলেও (without communication) সমন্বয় (coordinate) করতে দেয়।

Schelling-এর ধ্রুপদী পরীক্ষা: এক পরীক্ষায় মানুষকে বলা হলো তাদের New York City-তে এক অচেনা লোকের সঙ্গে দেখা করতে হবে — কোথায় যাবে? বিপুল সংখ্যাগরিষ্ঠ বলল Grand Central ট্রেন স্টেশন, দুপুর ১২টা। অর্থাৎ একটা বিশিষ্ট (prominent) জায়গা ও একটা বিশেষ সময় বেছে দেখা হওয়ার সম্ভাবনা বাড়ানো। ব্যাংকের ক্ষেত্রেও তা-ই — focal point-এর ধারণা আমাদের অনুমান করতে দেয় যে ব্যাংক গোল সময়ে বন্ধ হবে। তুমি বলতে পারো "এটা তো অভিজ্ঞতা থেকে জানি" — কিন্তু গভীরে সেই মনস্তাত্ত্বিক কারণটার একটা কৌশলগত উপাদান আছে।

সমন্বয়-খেলার (coordination game) কুইজ। focal point-এর শক্তি বোঝাতে একটা ছোট পরীক্ষা। নিচের সাতটা কাজে তোমার লক্ষ্য — এমন উত্তর দাও যাতে আলাদাভাবে একই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া এক সঙ্গীর সঙ্গে তোমার উত্তর মিলে যায় (কথা বলা নিষেধ):

একটা বাছো: 'heads' না 'tails'?
তালিকা থেকে একটা সংখ্যা: \(7, 13, 99, 100, 261, 555\)।
একটা শহরে দেখা করব, আগে কথা বলা যাবে না — কোন শহর বাছলে দেখা হওয়ার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি: Rome, Berlin, Paris, New York, London?
একটা নির্দিষ্ট দিনে দেখা করব ঠিক হয়েছে, কিন্তু সময় বলা নেই আর কথা বলা যাবে না — দিনের ঠিক কোন মিনিটে দেখা করবে?
একটা ধনাত্মক সংখ্যা লেখো।
একটা টাকার অঙ্ক বলো।
তোমাকে ১০০ ডলার দেওয়া হলো \(A\) ও \(B\) দুই স্তূপে ভাগ করতে। তোমার ভাগ যদি সঙ্গীর ভাগের সঙ্গে হুবহু মেলে, তবে তুমি \(A\) স্তূপের টাকা আর সঙ্গী \(B\) স্তূপের টাকা পাবে। কীভাবে ভাগ করবে?

কুইজের উদ্দেশ্য কী? এই সাত প্রশ্নের সাধারণ সুর — প্রতিটাতে লক্ষ্য কথা না বলে ফল মিলিয়ে ফেলা। এমন পরিস্থিতিকে বলে coordination game (সমন্বয়-খেলা), যেখানে কৌশল হলো অন্যপক্ষ যা করছে তার সঙ্গে মেলানো।

উপরের মতো প্রশ্ন ১৯৯ জন বিভিন্ন সংস্কৃতির মানুষকে করা হয়েছিল। ফলাফল দেখাল কিছু উত্তর অন্যদের চেয়ে বেশি "স্পষ্ট" ও জনপ্রিয়:

Heads — \(69\%\) মানুষ।
তালিকা থেকে — \(7\) (\(36\%\)); তারপর \(100\) (\(17\%\)), \(13\) (\(14\%\)), \(261\) (\(11\%\)), \(99\) (\(13\%\)), \(555\) (\(9\%\))।
শহর — শীর্ষ উত্তর প্রায় সমান ভাগে Paris (\(27\%\)) ও London (\(26\%\))।
মিনিট — সবচেয়ে সাধারণ দুপুর ১২টা (\(30\%\)); পরের উত্তর ২টা পেয়েছিল মাত্র \(6\%\)।
ধনাত্মক সংখ্যা — সবচেয়ে সাধারণ \(7\) (\(16\%\)), তারপর \(2\) (\(14\%\))। এখানে খুব বেশি ঐকমত্য ছিল না।
টাকার অঙ্ক — শীর্ষ উত্তর ১ মিলিয়ন (\(30\%\)), তারপর \(100\) (\(11\%\))।
১০০ ডলার ভাগ — \(50/50\) দিয়েছিল \(80\%\) মানুষ।

যদিও প্রতিটা প্রশ্নের হাজারটা উত্তর সম্ভব, তবু বহু মানুষ একই "স্বাভাবিক" উত্তরে মিলে গেল। এটাই দেখায় কিছু পছন্দ কীভাবে বেশি "স্বাভাবিক", আর সেই স্বাভাবিকতাই যোগাযোগ ছাড়া মানুষকে সমন্বয় করতে সাহায্য করে। পরের অংশে দেখব focal point-এর একটা প্রয়োগ — জনসাধারণের নিরাপত্তায়।

(উৎস: Abitbol, Pablo. "An Experiment on Intercultural Tacit Coordination — Preliminary Report." MPRA paper. October 2009.)

২.৭ সাইকেলের ধাক্কার খেলা (Bicycle collisions)¶

সাইকেলের নিরাপত্তা নিয়ে চেনা উপদেশ অনেক: হেলমেট পরো, ট্রাফিক আইন মানো (stop sign-এ থামো), খুব জোরে চালিও না, ব্রেক ঠিক আছে কিনা দেখো। সবই কাজের কথা, ছোটবেলা থেকে শোনা — তবু Talwalkar-কে কলেজজীবনে সাইকেল দুর্ঘটনা থেকে বাঁচাতে পারেনি। এই সমস্যা সামলাতে তিনি এমন উপদেশ নিলেন যা game theory ও focal point-এর উপর দাঁড়ানো।

খেলার সাজ। সাইকেলের ধাক্কা এড়ানো একটা coordination game — দুই বাইকার একই জায়গায় একই সময়ে থাকতে চায় না। ভাবো উল্টোদিক থেকে আসা দুই বাইকার, প্রত্যেকের তিনটে চাল: সোজা যাওয়া, নিজের বাঁয়ে সরা, বা নিজের ডানে সরা।

Two bikers moving in opposite directions, each can go straight, left, or right

চিত্র ১০: দুই বাইকার উল্টোদিকে চলছে, প্রত্যেকের তিন বিকল্প — এটাই সাইকেল-খেলার সাজ।

ধাক্কা বনাম নিরাপদ। ধাক্কা লাগে (crash) যখন — দুজনেই সোজা যায়, অথবা দুজনেই একই দিকে সরে একে অপরের দিকে চলে আসে (উভয়ে বাঁয়ে, বা উভয়ে ডানে)। বাকি সব সংমিশ্রণে (যেমন একজন সোজা, অন্যজন ডানে সরল) নিরাপদ পার (safe exchange)। মোট নয়টা সম্ভাব্য সংমিশ্রণের মধ্যে ৬টা নিরাপদ, ৩টা ধাক্কা।

Nine combinations: six safe cases versus three crash cases

চিত্র ১১: নয়টি সম্ভাব্য সংমিশ্রণ — ৬টা নিরাপদ, ৩টা ধাক্কা।

খেলার এই গঠনের কল্যাণে, নিছক এলোমেলো চাললেও ধাক্কার চেয়ে নিরাপদে পার হওয়া দ্বিগুণ সম্ভব (\(6\) বনাম \(3\))। এর উপর একটা focal point আছে যা ধাক্কা আরও কমায়। America-য় মানুষ রাস্তার ডান দিকে চলে, তাই স্বাভাবিক focal point — দুজনেই নিজ নিজ ডানে সরা।

The focal point: both bikers swerve to their right to avoid a crash

চিত্র ১২: focal point — দুজনেই নিজের ডানে সরলে নিরাপদে পার। কথা না বলেও সমন্বয়।

এই নিয়ম ধাক্কা এড়ায় — এবং বাড়তি হিসেবে America-র অফিসের করিডোরে হাঁটার ক্ষেত্রেও দারুণ কাজে লাগে।

মানব-স্বভাব যেভাবে নিরাপদ focal point নষ্ট করে। দুর্ভাগ্যবশত আমাদের বন্ধুসুলভ স্বভাব এই নিরাপদ focal point-কেই ভেঙে দেয়। আমরা অনেকে নার্ভাস হয়ে উল্টোদিকের বাইকারের সঙ্গে চোখাচোখি (eye contact) করি। চোখাচোখি হলে অন্যজনকে অনুকরণ (mirror) করার তাড়না জাগে; আর যেহেতু সিদ্ধান্তের সময় খুব কম, আমরা যথেষ্ট দ্রুত সাড়া দিতে পারি না — এমনকি এলোমেলো চালের স্বাভাবিক নিরাপত্তাটুকুও নষ্ট করে ধাক্কাকেই বেশি সম্ভাব্য করে তুলি।

তাই Talwalkar-এর পাওয়া সেরা উপদেশ: উল্টোদিকের বাইকারের সঙ্গে চোখাচোখি এড়াও। কথাটা চমকপ্রদ কিছু নয়, সবসময় ভদ্রও শোনায় না, কিন্তু ভীষণ কাজের — যখন তুমি অন্যজনের দিকে তাকাও না, তখন দুজনেই "ডানে সরা" focal point-এর উপর নির্ভর করবে। (একটা মজার টীকা — Talwalkar ও বন্ধুরা কলেজে ঠাট্টা করত যে উল্টোদিকের বাইকার আকর্ষণীয় হলে "না-তাকানো" নিয়ম মানা প্রায় অসম্ভব; তবে তখন খেলাটাই আলাদা, কারণ তখন সেই মানুষটার সঙ্গে ধাক্কা লেগে আলাপ জমাতে হয়তো আপত্তি নেই!)

যেসব ক্ষেত্রে খেলা কঠিন হয়। focal point সংস্কৃতি-নির্ভর। চোখাচোখি এড়ানো America-য় "ডানে সরা" ভারসাম্যে পৌঁছে দেয়, কিন্তু বহু আন্তর্জাতিক ছাত্রের ক্ষেত্রে ব্যর্থ হয় — যারা বাঁ-দিকে-চলা দেশ থেকে এসেছে, তাদের সহজাত প্রবৃত্তি "বাঁয়ে সরা"। আরেকটা প্যাঁচ — কিছু বাইকার আসলে coordination খেলছেই না; তারা এটাকে chicken game-এর মতো দেখে, কখনো সরবে না (গতি কমাতে চায় না, এমনকি অন্যদের ধমকাতে উপভোগ করে)।

খেলাটা আরও জটিল হয় যখন চলক বাড়ে। বাস্তব পরিস্থিতিতে থাকে চার-রাস্তার মোড় (four-way intersection), বেশি ট্রাফিক; প্রতিটা বাইকারকে একাধিক বাইকারের সঙ্গে সমন্বয় করতে হয়। হিসেব করে দেখো — এমনকি স্বাভাবিক নিরাপত্তা ধাক্কার হার \(1\%\)-এ নামালেও, যে মোড়ে দিনে ১০০০টা এমন খেলা হয়, সেখানে দিনে প্রায় ১০টা ধাক্কা — যা যথেষ্ট বেশি।

নকশা দিয়ে সমাধান (design)। কী করা যায়? focal point-এর ধারণায় ফিরে যাও — একজন নকশাকার (designer) সাফল্যের সম্ভাবনা বাড়াতে একটা নতুন focal point বানিয়ে বাইকারদের ঠিক দিকে ঠেলে দিতে পারেন। অর্থাৎ ভালো নকশায় খেলাটাই উন্নত করা যায়। একটা বাস্তব প্রয়োগ: তীর-চিহ্নসহ এক-মুখী bike circle — যেখানে তীর দেখায় ট্রাফিক কোন দিকে ঘুরবে।

A designed bike circle with one-way arrows to guide traffic flow

চিত্র ১৩: নকশা-করা bike circle — তীর দেখায় এক-মুখী প্রবাহ।

যথেষ্ট বাইকার নিয়ম মানলে ট্রাফিক এক-মুখী প্রবাহে চলে; প্রয়োগ আপনাআপনি (naturally) হয়ে যায় — নতুন বাইকাররাও প্রবাহ অনুসরণ করে, কারণ সেটাই সবচেয়ে নিরাপদ পথ। মজার বাস্তবতা: Stanford University তাদের ব্যস্ত এক মোড়ে (যার ডাকনাম ছিল "Intersection of Death") একটা ট্রাফিক সার্কেল বসিয়েছিল; দুর্ঘটনা কমেছে কিনা স্পষ্ট নয়, কারণ জায়গাটার নাম এখন "Circle of Death"!

২.৮ সোডা সমান ভাগ — mechanism design¶

সমন্বয়ের সুর ধরে রেখে, এবার ভাইবোনদের মধ্যে ভাগাভাগির একটা গল্প। Talwalkar কৃতজ্ঞতা জানান তাঁর পঞ্চম শ্রেণির অঙ্কের শিক্ষককে, যিনি অজান্তেই তাঁকে game theory-র সঙ্গে পরিচয় করিয়ে দিয়েছিলেন — একটা extra-credit সমস্যায় লুকিয়ে ছিল game theory:

"আমার মা প্রায়ই এক ক্যান সোডা আমাকে ও আমার দুই ভাইকে দিয়ে বলতেন ভাগ করে নিতে। স্বাভাবিকভাবেই আমরা সবাই বেশি সোডা চাইতাম, কিন্তু মা বলতেন ন্যায্যভাবে ভাগ করো — ঝগড়া ছাড়া। আমরা ব্যর্থ হওয়ার পর মা এমন একটা সমাধান বের করলেন যা সবার পছন্দ হলো। আমরা কোন পদ্ধতিতে সোডা ভাগ করতাম?"

ক্লাসের বেশিরভাগ ছাত্র (Talwalkar সহ) গাণিতিকভাবে ভেবে উত্তর দিয়েছিল — "প্রতিটা গ্লাসে আয়তনের \(1/3\) ঢালো।" কিন্তু শিক্ষক বললেন এই উত্তর অসম্পূর্ণ — কারণ এটা কেবল ফলাফল বলছে, কীভাবে সেই ফলাফলে পৌঁছানো হবে তা বলছে না। কে ঢালবে? কে কোন ক্রমে বাছবে? আর দলের সবাই একে অপরকে বিশ্বাস করবে কীভাবে?

মায়ের সমাধান: একজনকে বেছে নেওয়া হতো ঢালার (pouring) জন্য। ক্যান খালি হওয়ার পর, যে ঢালল সে গ্লাস বাছবে সবার শেষে। পদ্ধতিটা সফল হলো — সোডা সবসময় সমান ভাগ হতো।

কেন কাজ করে? কারণ এই নিয়ম ঢালুনেওয়ালাকে গ্লাসগুলো যতটা সম্ভব সমান করার প্রণোদনা (incentive) দেয়। অসমান ঢাললে সে-ই ক্ষতিগ্রস্ত হবে — কারণ বাকি ভাইরা ভরা গ্লাসগুলো আগে তুলে নেবে, তার জন্য পড়ে থাকবে সবচেয়ে কম-ভরা গ্লাস। আরেকভাবে বললে, এই নিয়ম বাকি ভাইদের ঢালুনেওয়ালাকে বিশ্বাস করতে বাধ্য করে। এটা লক্ষণীয়, কারণ ভাইদের স্বার্থ একেবারে বিপরীতমুখী (diametrically opposed) — তবু নিয়মটা তাদের বিশ্বাস আদায় করে নেয়।

এটাই mechanism design (কৌশল-নকশা) — সম্পদ ভাগের জন্য এমন নিয়ম ও প্রণোদনা তৈরি করা, যাতে ফলটা নকশাকারের চোখে দক্ষ (efficient) বা ন্যায্য (fair) হয়। বাজার যখন নিখুঁতভাবে কাজ করে না, তখন তাকে কাজ করানোর তাত্ত্বিক ভিত্তি এটাই; এটা আরও অনেক জায়গায় আসে — যেমন airline-গুলো কীভাবে সৃজনশীলভাবে টিকিটের দাম ঠিক করে।

তোমার বেতনেও (splitting your paycheck)। mechanism design ব্যক্তিগত অর্থেও কাজে লাগে। প্রশ্ন: তুমি তোমার বেতন কীভাবে ভাগ করবে? অর্থাৎ ভালো আর্থিক ফল পাওয়ার জন্য তোমার "mechanism" কী? পরিকল্পনা না থাকলে মানুষ এক লোভী (greedy) পদ্ধতি ব্যবহার করে — পুরো বেতন (কখনো ঋণ করেও) এখনকার তাৎক্ষণিক তৃপ্তিতে খরচ করে ফেলে, ভবিষ্যতের প্রত্যাশিত খরচের (যেমন বাড়ির down payment) বা অবসরের জন্য কিছুই রাখে না।

ফলাফলে অখুশি হলে নকশাটাই বদলাও। যেমন তিন ভাইকে সমান ভাগে বাধ্য করা হয়েছিল, তুমিও নিজের অর্থের জন্য একটা mechanism বানাও। এখানে নিজেকে তিনজন আলাদা মানুষ হিসেবে ভাবা কাজে দেয়:

inner child — এখনই-চাই, তাৎক্ষণিক তৃপ্তির শিশু-সত্তা,
inner teenager — বড়জোর পাঁচ বছর সামনের কথা ভাবতে পারা কিশোর-সত্তা,
inner adult — অবসরের সময়ের টাকা নিয়ে ভাবা প্রাপ্তবয়স্ক-সত্তা।

আর তোমার বেতন হলো সেই সোডা, যা এই তিন "সত্তা"-কে ভাগ করে নিতে হবে। এবার পরিষ্কার — পরিকল্পনা ছাড়া মানুষ ব্যর্থ হয় কেন: তারা কেবল inner child-কে তুষ্ট করে, ভবিষ্যতের সত্তাদের জন্য কিছু রাখে না। এটা ঠিক ঢালুনেওয়ালাকে আগে বাছতে দেওয়ার সমান।

সোডা-mechanism থেকে শিক্ষা: যে সবার শেষে বাছবে, সে-ই ঢালুক। তোমার অবসর-সত্তাই সবার শেষে বাছছে, তাই analogy অনুযায়ী সে-ই আগে ঠিক করুক বেতন কীভাবে ভাগ হবে। যেমন — \(10\%\) অবসরের জন্য, \(10\%\) মাঝারি-মেয়াদের জন্য, বাকিটা এখনকার খরচে। এই কৌশল সাধারণভাবে পরিচিত "pay yourself first" (নিজেকে আগে দাও) নামে; কিন্তু আসলে তুমি "পরের-নিজেকে আগে দিচ্ছ" (paying your later self first) — ঠিক একজন game theorist-এর মতো।

২.৯ Talmud-এর সম্পত্তি-ভাগ রহস্য¶

ঋণ ও ন্যায্য-ভাগের প্রসঙ্গ ধরেই এবার এক পুরনো ধাঁধা। ধরো এক ব্যক্তি \(100\), \(200\), ও \(300\) ঋণ রেখে মারা গেল, কিন্তু সবার পাওনা মেটানোর মতো যথেষ্ট সম্পত্তি নেই। সম্পত্তি কীভাবে ভাগ হবে?

Talwalkar আগেই সতর্ক করেন — একটাই সঠিক উত্তর নাও থাকতে পারে। ন্যায্য-ভাগ (fair division) যতটা যুক্তির উপর নির্ভর করে, ততটাই সামাজিক প্রথার (social custom) উপর। কেন — তিনটে পরিস্থিতি দেখো যাদের সমাধান সম্পূর্ণ আলাদা:

এক অভিভাবক সন্তানদের উপহারের প্রতিশ্রুতি দেন, কিন্তু বোনাস কম হওয়ায় পিছিয়ে আসতে হয়।
একটা পাবলিক কোম্পানি stock ও bond ইস্যু করে, তারপর হিসাব-কেলেঙ্কারিতে দেউলিয়া হয়ে যায়।
রেস্তোরাঁয় বন্ধুরা খাবার অর্ডার করে (দাম দেওয়ার প্রতিশ্রুতিতে), তারপর বিল কীভাবে ভাগ হবে তা নিয়ে ঝগড়া করে।

এদের কোনোটারই একটামাত্র "সঠিক" উপায় নেই — পরিবারের ঝগড়া, মামলা-মোকদ্দমা, রেস্তোরাঁর তর্ক প্রতিদিন তা প্রমাণ করে। দ্বন্দ্বটা আসলে দৃষ্টিভঙ্গির। কেউ চায় পাওনার-অনুপাতে (proportional) ভাগ — ঋণের আকার যত বড়, ভাগ তত বড় (যেমন রেস্তোরাঁয় "যে যা খেয়েছ তা দাও" পদ্ধতি)। যুক্তিসঙ্গত শোনালেও সবাই এটা চায় না। আবার কেউ চায় সমান (equal) ভাগ — তাদের যুক্তি, মানুষটাই আসল, ঋণের আকার নয় (যেমন Christmas-এ বাবা-মা সব সন্তানকে বয়স বা আচরণ নির্বিশেষে সমান উপহার দেন)। শেষমেশ কোন পদ্ধতি গৃহীত হবে তা নির্ভর করে সামাজিক প্রথার উপর; সবাইকে রাজি করানো অর্থনীতি নয়, প্ররোচনার (persuasion) কাজ — আর আবেগে-তুষ্ট পদ্ধতি প্রায়ই যুক্তিতে-সঙ্গত পদ্ধতিকে হারিয়ে দেয়।

ন্যায্য-ভাগের একদম প্রথম আলোচনাগুলোর একটা আসে Babylonian Talmud থেকে — ইহুদি আইন ও প্রথার আলোচনার সংকলন। Talmud একটা দেউলিয়া-সমস্যা আলোচনা করে (এক ব্যক্তি তার স্ত্রীদের সম্পত্তির চেয়ে বেশি ঋণ দেওয়ার প্রেক্ষাপটে)। এর উত্তর সহজবোধ্য নয় — আসলে এই উত্তর প্রায় ২০০০ বছর ধরে পণ্ডিতদের হতভম্ব করে রেখেছিল। দেখা যাক কেন।

Talmud-এর উত্তর। তিন পাওনাদার যথাক্রমে \(100\), \(200\), \(300\) দাবি করছে; সম্পত্তি কীভাবে ভাগ হবে? Talmud তিনটে উদাহরণ দিয়ে উত্তর দেয় — সম্পত্তির আকার \(100\), \(200\), ও \(300\) হলে আলাদা আলাদা। কোনো সাধারণ নিয়ম (general rule) দেওয়া নেই — এই কারণেই উত্তরগুলো আপাতদৃষ্টিতে পরস্পরবিরোধী মনে হয়:

সম্পত্তি \(100\): প্রত্যেককে \(33\tfrac{1}{3}\) — অর্থাৎ সমান ভাগ। গাণিতিকভাবে সহজ, সামাজিকভাবেও আবেদনময়। কিন্তু এই ধারণা অন্য ক্ষেত্রে ব্যবহার হয়নি।
সম্পত্তি \(300\): ভাগ \(50, 100, 150\) — অর্থাৎ ঋণের আকারের সমানুপাতিক (proportional) ভাগ। আধুনিক আইনজীবী ও অর্থনীতিবিদদের কাছে proportional ভাগ জনপ্রিয়। ধাঁধা: \(300\)-এর ক্ষেত্রকে \(100\)-এর ক্ষেত্র থেকে আলাদাভাবে সামলানো হলো কেন?
সম্পত্তি \(200\): ভাগ \(50, 75, 75\) — এটা না সমান, না অনুপাত — একেবারেই অদ্ভুত এক সিদ্ধান্ত। আর দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাওনাদার একই \(75\) কেন পাবে? এই সংখ্যাগুলো এল কোথা থেকে?

Talwalkar এটাকে একটা টেবিলে গুছিয়ে দেন — সারি = সম্পত্তির আকার, কলাম = পাওনা, ঘর = কে কত পায়:

সম্পত্তির আকার	পাওনা \(100\)	পাওনা \(200\)	পাওনা \(300\)
\(100\)	\(33\tfrac{1}{3}\)	\(33\tfrac{1}{3}\)	\(33\tfrac{1}{3}\)
\(200\)	\(50\)	\(75\)	\(75\)
\(300\)	\(50\)	\(100\)	\(150\)

The Talmud estate-division table for claims of 100, 200, 300

চিত্র ১৪: Talmud-এর ভাগ — সারি = সম্পত্তির আকার, কলাম = পাওনা, ঘর = কে কত পায়।

এই ভাগ প্রায় ২০০০ বছর যথাযথ ব্যাখ্যা এড়িয়ে গেছে, খণ্ডের পর খণ্ড সমালোচনামূলক পর্যালোচনা লেখা হয়েছে। কিছু পণ্ডিত কার্যত হাল ছেড়ে দিয়ে বলেছিলেন \(200\)-এর ঘরটা হয়তো নকল করতে গিয়ে ভুল (faulty transcription) হয়ে গেছে। ঠিক এই অপ্রত্যাশিত প্রেক্ষাপটেই game theory এসে হাজির — এবং সম্ভবত দিনটা বাঁচিয়ে দেয়।

game theory উত্তর দেয়। ১৯৮০-এর দশকে অধ্যাপক Robert Aumann ও Michael Maschler একটা গবেষণাপত্রে দাবি করেন তাঁরা রহস্যটা ভেঙেছেন। তাঁরা দেখান — Talmud-এর উত্তরে কোনো অসঙ্গতি নেই; পুরোটাই একটা game theory নীতির সঙ্গতিপূর্ণ প্রয়োগ। কেন game theory লাগল? কারণ দেখা গেল Talmud-এর উত্তর হলো একটা যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত coalitional game (সহযোগী/cooperative game)-এর সমাধান, যাকে বলে nucleolus। Aumann ও Maschler এই ধারণাকে সহজ ভাষায় প্রকাশ করেন এক একক ও সঙ্গতিপূর্ণ নীতি হিসেবে: equal division of the contested sum (বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ)।

এগোনোর আগে একটু সন্দিহান হওয়া ভালো — এই ব্যাখ্যা কি নিছক কাকতালীয়? একই ভাগ তৈরি করতে পারে এমন হয়তো অসীম সংখ্যক ব্যাখ্যা আছে। Aumann ও Maschler তাঁদের উত্তরকে যুক্তি দেন অন্যান্য Talmud-অনুচ্ছেদ পরীক্ষা করে — দেখান যে একই নীতি নানা বিষয়ে প্রয়োগ হয়েছে। "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ" স্পষ্টতই একটা সামাজিক প্রথা ছিল, যা ব্যাখ্যা করে কেন এটা আমাদের কাছে অদ্ভুত লাগলেও তাদের সংস্কৃতিতে স্বাভাবিক ছিল।

বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ — কাপড়ের উদাহরণ। Talmud এমন এক পরিস্থিতি দেখে যা তাদের সময়ে সাধারণ ছিল: দুজন একটা কাপড় (garment) নিয়ে ঝগড়া করছে। একজন দাবি করে অর্ধেক তার, অন্যজন দাবি করে পুরোটা তার। এক বিচারককে ঠিক করতে বলা হলো কে কী পাবে। তুমি হলে কী করতে? স্বাভাবিক উত্তর হতে পারত সমান ভাগ \((1/2, 1/2)\) বা অনুপাত-ভাগ \((1/3, 2/3)\)। কিন্তু Talmud দেয় ভিন্ন উত্তর — \((1/4, 3/4)\), যা আসলে "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ"। যুক্তি তিন ধাপে:

কোন অংশ নিয়ে বিতর্ক? এখানে ঠিক অর্ধেক নিয়ে দুজনেই দাবি করছে (অর্ধেক-দাবিদার পুরো অর্ধেকই চায়) — তাই বিতর্কিত (contested/disputed) অংশ = ঐ অর্ধেক।
বিতর্কিত অর্ধেক সমান ভাগ — দুজনকে \(1/4\) করে।
অবিতর্কিত (undisputed) বাকি অর্ধেক পুরোটা যায় সেই একমাত্র দাবিদারের কাছে যার দাবি নিয়ে কেউ আপত্তি করেনি (পুরো-দাবিদার)।

ফল: অর্ধেক-দাবিদার পায় \(1/4\); পুরো-দাবিদার পায় \(1/4 + 1/2 = 3/4\)।

Two claimants disputing a garment, split as 1/4 and 3/4

চিত্র ১৫: কাপড়ের ঝগড়া — বিতর্কিত অর্ধেক সমান ভাগ, অবিতর্কিত অর্ধেক পুরো-দাবিদারকে। ফল \((1/4, 3/4)\)।

আমার নিজের বানানো ছবিতে ধাপগুলো পরিষ্কার:

Kid-friendly contested-sum diagram: claims, garment, and award rows giving 1/4 and 3/4

চিত্র ১৬: উপরে দুজনের দাবি, মাঝে কাপড়ের বিতর্কিত (হ্যাচ) ও অবিতর্কিত অংশ, নিচে চূড়ান্ত ভাগ — A পায় \(1/4\), B পায় \(3/4\)।

উত্তরটা অদ্ভুত লাগতে পারে, কিন্তু মনে রেখো — ন্যায্য-ভাগ পদ্ধতি সামাজিক প্রথার উপর নির্ভর করে। যেকোনো দুই-পক্ষের সমস্যায় একই তিন ধাপ খাটে:

কোন অংশ দুজনেই দাবি করছে (বিতর্কিত) তা ঠিক করো।
বিতর্কিত অংশ সমান ভাগ করো।
অবিতর্কিত অংশ পুরোটা দাও একমাত্র দাবিদারকে।

দুই পাওনাদারে অনুশীলন (পাওনা \(100\) ও \(300\))। এই নীতি তখনও খাটে যখন দাবিগুলো সম্পত্তির চেয়ে বড় — যেমন সম্পত্তি-ভাগে। কয়েকটা উদাহরণ:

উদাহরণ ১ (সম্পত্তি \(66\tfrac{2}{3}\)): পুরো সম্পত্তিটাই বিতর্কিত (দুজনের পাওনাই এর চেয়ে বড়), তাই সমান ভাগ — \(33\tfrac{1}{3}\) করে।
উদাহরণ ২ (সম্পত্তি \(125\)): প্রথম \(100\) দুজনেই দাবি করে → বিতর্কিত → সমান ভাগ; বাকি \(25\) পুরোটা \(300\)-দাবিদারকে। ভাগ \(50\) ও \(75\)।
উদাহরণ ৩ (সম্পত্তি \(200\)): প্রথম \(100\) বিতর্কিত (সমান ভাগ); বাকি \(100\) পুরোটা \(300\)-দাবিদারকে। ভাগ \(50\) ও \(150\)।

সম্পত্তি	পাওনা \(100\)	পাওনা \(300\)	যুক্তি
\(66\tfrac{2}{3}\)	\(33\tfrac{1}{3}\)	\(33\tfrac{1}{3}\)	পুরোটাই বিতর্কিত → সমান ভাগ
\(125\)	\(50\)	\(75\)	প্রথম \(100\) বিতর্কিত (সমান), বাকি \(25\) → \(300\)-দাবিদার
\(200\)	\(50\)	\(150\)	প্রথম \(100\) বিতর্কিত (সমান), বাকি \(100\) → \(300\)-দাবিদার

Two-creditor divisions for claims 100 and 300 at various estate sizes

চিত্র ১৭: পাওনা \((100, 300)\)-এর জন্য বিভিন্ন সম্পত্তির ভাগ — সবগুলোই "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ" নীতি মানে।

কেন এখানেই থামব? পাওনা-জোড়া \((100, 200)\) আর \((200, 300)\)-এর জন্যও একই নীতি খাটে। (এই দুই জোড়াই তিন-পাওনাদার সমস্যার ভেতরে লুকিয়ে থাকা বাকি জোড়া।)

Further two-creditor examples for claim pairs (100, 200)

চিত্র ১৮: পাওনা \((100, 200)\) জোড়ার জন্য একই নীতিতে ভাগ।

Further two-creditor examples for claim pairs (200, 300)

চিত্র ১৯: পাওনা \((200, 300)\) জোড়ার জন্য একই নীতিতে ভাগ।

\(200\)-এর রহস্য ভাঙা — জোড়া-সঙ্গতি (pairwise consistency)। এবার ফিরি তিন-পাওনাদারের (\(100, 200, 300\)) সেই রহস্যময় সম্পত্তি-\(200\)-এর ভাগে: \(50, 75, 75\)। Aumann-Maschler-এর কৌশল — যেকোনো দুজন পাওনাদার নাও, আর দেখো তাদের মোট প্রাপ্তি কীভাবে ভাগ হয়েছে। এটা করি কেন? এটা একটা সঙ্গতি-যাচাই (consistency check) — যুক্তিসঙ্গত যে, প্রতিটা জোড়ার পাওনা এমনভাবে ভাগ হওয়া উচিত যা "কাপড়-ঝগড়া" ভাগের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ।

জোড়া \((100, 200)\): একসাথে পায় \(50 + 75 = 125\)। কীভাবে ভাগ? \(50/75\) — ঠিক "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ": প্রথম \(100\) বিতর্কিত, সমান ভাগ (\(50\) করে); অবিতর্কিত \(25\) → \(200\)-দাবিদার। ✓
জোড়া \((100, 300)\): একসাথে পায় \(50 + 75 = 125\); ভাগ \(50/75\) — একই নীতি। ✓
জোড়া \((200, 300)\): একসাথে পায় \(75 + 75 = 150\)। যেহেতু দুজনের পাওনাই \(\ge 150\), পুরোটাই বিতর্কিত → সমান ভাগ \(75/75\)। ✓

অর্থাৎ রহস্যময় \(200\)-ভাগটা জোড়া-জোড়া করে ভাঙলে প্রতিটা জোড়ায় একই নীতি ফিরে আসে — Talwalkar একে "সত্যিই অসাধারণ" বলেন। Aumann ও Maschler দেখান এই পদ্ধতি তিন কেন, একশো বা এমনকি এক মিলিয়ন পাওনাদারেও খাটে। একই শর্ত মানতে হয়: সম্পদ এমনভাবে ভাগ হবে যাতে যেকোনো দুজনের প্রাপ্তি "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ" নীতি মানে। আর সবচেয়ে বড় কথা — এই ভাগটা অনন্য (unique)।

অ্যালগরিদম (৭ ধাপে)। কিছু ভাগ যে জোড়া-জোড়া "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ" মানে, সেটা দেখা এক জিনিস; কিন্তু শূন্য থেকে ভাগটা বের করব কীভাবে? Aumann ও Maschler দেখান সঙ্গতিপূর্ণ ভাগ ঠিক একটাই, আর সেটা বের করার একটা সাত-ধাপি নিয়ম আছে:

পাওনাদারদের ছোট-থেকে-বড় পাওনায় সাজাও।
সম্পত্তি সবার মধ্যে সমানভাবে ভাগ করতে থাকো, যতক্ষণ না সবচেয়ে ছোট পাওনাদার তার পাওনার অর্ধেক পায়।
এবার সবচেয়ে ছোট পাওনাদার বাদে বাকিদের মধ্যে সমান ভাগ, যতক্ষণ না পরের-ছোট পাওনাদার তার পাওনার অর্ধেক পায়।
এভাবে চলো যতক্ষণ না প্রত্যেকে মূল পাওনার অর্ধেকে পৌঁছায়।
এবার উল্টো দিকে (in reverse) কাজ করো — সবচেয়ে বড় পাওনাদারকে সম্পত্তি থেকে দিতে থাকো, যতক্ষণ না তার ক্ষতি (loss = পাওনা − প্রাপ্তি) পরের-বড় পাওনাদারের ক্ষতির সমান হয়।
তারপর বড় পাওনাদারদের মধ্যে সমান ভাগ, যতক্ষণ না বড়দের ক্ষতি তার-পরের পাওনাদারের ক্ষতির সমান হয়।
সব টাকা বিলি না হওয়া পর্যন্ত চালিয়ে যাও।

The seven-step algorithm applied to the Talmud three-creditor example

চিত্র ২০: ৭-ধাপি অ্যালগরিদম Talmud উদাহরণে প্রয়োগ — সম্পত্তি ছোট থাকলে সমান ভাগ, বড় হলে ক্ষতি সমান করে ভাগ। এটাই সেই রহস্যময় \(50, 75, 75\) ও \(50, 100, 150\) ফিরিয়ে দেয়।

অ্যালগরিদম হাতে-কলমে — তিনটে সম্পত্তির পূর্ণ ট্রেস। নিয়মগুলো বিমূর্ত শোনায়, তাই তিন পাওনাদার (\(100, 200, 300\))-এর জন্য পুরো হিসাব ধাপে ধাপে দেখি। মূল কৌশল: সম্পত্তি আগে "অর্ধেক-পাওনা"-লক্ষ্যে সমানভাবে বিলি হয় — সবচেয়ে ছোট পাওনাদার তার পাওনার অর্ধেকে পৌঁছালে সে "সন্তুষ্ট", তখন বাকিরা নিজেদের মধ্যে ভাগ চালিয়ে যায়।

সম্পত্তি \(100\) (রহস্য: সমান ভাগ)। তিনজনের মধ্যে সমান বিলি শুরু। কিন্তু সবচেয়ে ছোট পাওনাদার তার অর্ধেক (\(50\))-এ পৌঁছানোর আগেই সম্পত্তি ফুরিয়ে যায় — \(100\) সমানভাবে ভাগ হলে প্রত্যেকে পায় \(\tfrac{100}{3} = 33\tfrac{1}{3}\)। থামো। ফল: \(33\tfrac{1}{3},\ 33\tfrac{1}{3},\ 33\tfrac{1}{3}\)। ✓
সম্পত্তি \(200\) (রহস্য: \(50, 75, 75\))। ধাপ ২ — তিনজনে সমান বিলি, যতক্ষণ না \(100\)-দাবিদার তার অর্ধেক \(50\) পায়; এতে \(3\times 50 = 150\) খরচ, প্রত্যেকের হাতে এখন \(50\), বাকি \(50\)। ধাপ ৩ — এবার \(100\)-দাবিদারকে বাদ দিয়ে বাকি দুজনের (\(200\)- ও \(300\)-দাবিদার) মধ্যে সমান বিলি, যতক্ষণ না \(200\)-দাবিদার তার অর্ধেক \(100\) পায়। কিন্তু হাতে মাত্র \(50\), দুজনে ভাগ করে \(25\) করে। এতে সম্পত্তি শেষ। ফল: \(100\)-দাবিদার \(50\); \(200\)-দাবিদার \(50 + 25 = 75\); \(300\)-দাবিদার \(50 + 25 = 75\) → \(50, 75, 75\)। ✓ (এখানে ক্ষতি-সমান-করার উল্টো ধাপ ৫–৭ লাগেইনি — সম্পত্তি ছোট, "অর্ধেক" পর্যায়েই সব বিলি হয়ে গেছে।)
সম্পত্তি \(300\) (রহস্য: \(50, 100, 150\) — অনুপাত)। ধাপ ২ — তিনজনে সমান বিলি, \(100\)-দাবিদার \(50\) পেলে থামো; খরচ \(150\), প্রত্যেকে \(50\), বাকি \(150\)। ধাপ ৩ — বাকি দুজনের মধ্যে সমান বিলি, \(200\)-দাবিদার \(100\) পেলে থামো; সে \(50\) থেকে \(100\)-এ যেতে \(50\) লাগে, দুজনে \(50\) করে পায় (খরচ \(100\)), বাকি \(50\); এখন \(200\)-দাবিদার \(100\), \(300\)-দাবিদার \(100\)। ধাপ ৪ (চালিয়ে যাও) — এখন শুধু \(300\)-দাবিদার নিজের অর্ধেক \(150\)-এ পৌঁছায়নি; বাকি \(50\) পুরোটা তাকে দাও → \(300\)-দাবিদার \(150\)। ফল: \(50, 100, 150\)। ✓ লক্ষ করো — এটা ঘটনাচক্রে পাওনার সমানুপাতিকও বটে, তাই "\(300\)-এর ক্ষেত্র অনুপাত-ভাগ" মনে হয়েছিল; আসলে এটা একই একক নীতিরই ফল।

দেখলে তো — একটাই নিয়ম ("অর্ধেক পর্যন্ত সমান, তারপর ক্ষতি-সমান") তিনটে আপাত-বিরোধী উত্তরকেই ব্যাখ্যা করে। সম্পত্তি খুব বড় হলে (সবাই অর্ধেক পেরিয়ে গেলে) ধাপ ৫–৭-এর উল্টো-দিক (ক্ষতি সমান করা) সক্রিয় হয় — সেটাই symmetric "উপর থেকে সমান ক্ষতি" ছবিটা দেয়।

রহস্যের সমাধান? Talwalkar মনে করেন — হ্যাঁ। Talmud-এর উত্তরগুলো শুধু যে একটা সঙ্গতিপূর্ণ নীতি মানে তা-ই নয়, নীতিটা এমন এক ধারণার উপর দাঁড়ানো যা প্রথা হিসেবেই উল্লিখিত ছিল। সুতরাং এটা সত্যিই কৌতূহলোদ্দীপক এক ঘটনা যে — যুক্তি ও যৌক্তিকতার হাতিয়ার game theory-কে দরকার হলো এমন এক Talmud-সমাধান পড়ে ফেলতে, যা মূলত সামাজিক প্রথার উপর নির্ভরশীল ছিল।

(উৎস: Aumann, R. J., and M. Maschler. Journal of Economic Theory 36 (1985), pp. 195–213.)

৩. মূল সংজ্ঞা ও যুক্তি¶

এবার গল্পগুলোর পেছনের ধারণাগুলো পরিষ্কার সংজ্ঞায় সাজাই।

player (খেলোয়াড়) ও game (খেলা)। game = (players, strategies, payoffs)। player-রা সিদ্ধান্ত নেয়; খেলার মূল বৈশিষ্ট্য — পরস্পর-নির্ভর সিদ্ধান্ত (interdependent decision-making)।

strategy (কৌশল)। একজন খেলোয়াড়ের একটা সম্পূর্ণ কর্মপরিকল্পনা — সে কী চাল দেবে। Hotelling-এ কৌশল হলো \([-1, 1]\)-এর একটা সংখ্যা (অবস্থান); beauty contest-এ \(\{0, 1, \dots, 20\}\)-এর একটা সংখ্যা। সব খেলোয়াড়ের কৌশল একসাথে নিলে হয় একটা strategy profile (কৌশল-সমাহার)।

payoff (প্রাপ্তি) / utility (উপযোগ)। প্রতিটা strategy profile-এর জন্য একজন খেলোয়াড় কত "লাভ" পায়, তার সংখ্যাগত মান। খেলোয়াড় নিজের payoff সর্বোচ্চ করতে চায়। গাণিতিকভাবে খেলোয়াড় \(i\)-এর payoff একটা ফাংশন:

\[u_i(s_i, s_{-i})\]

এখানে \(s_i\) তার নিজের কৌশল আর \(s_{-i}\) বাকিদের কৌশল-সমাহার।

best response (সেরা জবাব)। বাকিদের কৌশল \(s_{-i}\) দেওয়া থাকলে, খেলোয়াড় \(i\)-এর যে কৌশল \(s_i\) তার payoff সর্বোচ্চ করে:

\[s_i^\ast \in \arg\max_{s_i} \; u_i(s_i, s_{-i})\]

Hotelling-এ প্রতিপক্ষ \(0\)-তে থাকলে তোমার একমাত্র সেরা জবাবও \(0\)।

Nash equilibrium (Nash ভারসাম্য) — একটু আগাম। এমন একটা strategy profile যেখানে প্রত্যেকে পরস্পরের সেরা জবাব খেলছে — কেউ একা সরে গিয়ে লাভবান হতে পারে না। Hotelling-এ দুজনেই \(0\)-তে থাকাই Nash equilibrium। পূর্ণ সংজ্ঞা পরের অধ্যায়ে।

dominance (আধিপত্য)। কৌশল \(A\) কৌশল \(B\)-কে strictly dominate করে যদি অন্যরা যা-ই করুক, \(A\) সবসময় \(B\)-এর চেয়ে কঠোরভাবে বেশি payoff দেয়:

\[u_i(A, s_{-i}) > u_i(B, s_{-i}) \quad \text{for all } s_{-i}\]

dominated strategy (অধীন কৌশল): যে কৌশলকে অন্য কোনো কৌশল dominate করে — কখনো খেলো না (cab-এ চেঁচানো, beauty contest-এ \(20\))।
dominant strategy (প্রধান কৌশল): যে কৌশল বাকি সব কৌশলকে dominate করে — সবসময় খেলো (খালি লাইন, ২০-মিনিটের কাজ আগে)।

IEDS (iterated elimination of dominated strategies)। সমাধানের একটা পদ্ধতি: dominated কৌশল বাদ দাও → ছোট খেলা → আবার dominated খোঁজো → বাদ দাও, এভাবে চলতে থাকো। যা টিকে থাকে তা-ই rationalizable। beauty contest-এ এটা \(\{0, 1\}\)-এ থামে। সীমাবদ্ধতা: এটা ধরে নেয় সবাই অসীম-গভীর যুক্তি খাটায়; বাস্তবে bounded rationality তা ভেঙে দেয়।

Bertrand duopoly (দুই-ফার্মের দাম-প্রতিযোগিতা)। দুটো ফার্ম কেবল দাম নিয়ে প্রতিযোগিতা করে, খদ্দেরের আনুগত্য নেই। ফল: দাম নেমে আসতে পারে প্রান্তিক খরচে (marginal cost) — এমনকি মাত্র দুটো ফার্ম থাকলেও। price matching এই দাম-যুদ্ধের প্রণোদনা মেরে দাম উঁচুতে ধরে রাখতে পারে (tacit cooperation)।

Hotelling / median-voter যুক্তি (আনুষ্ঠানিকভাবে)। কেন কেন্দ্রই ভারসাম্য? ধরো এক স্ট্যান্ড কেন্দ্র \(0\)-তে। অন্যজন যদি \(x > 0\)-তে সরে, ভাগ-বিন্দু হয় \(x/2\); কেন্দ্রের স্ট্যান্ড পায় \(x/2\)-এর বাঁয়ের সব, অর্থাৎ দৈর্ঘ্য \(1 + x/2 > 1\), যা মোট \(2\)-এর অর্ধেকের বেশি। তাই কেন্দ্র থেকে সরা স্ট্যান্ডটি সবসময় অর্ধেকের কম পায় — সরে লাভ নেই। উভয়ে কেন্দ্রে থাকাই তাই পরস্পরের সেরা জবাব। এটাই median voter theorem-এর সারমর্ম: রেখায় ছড়ানো ভোটার ও single-peaked পছন্দ থাকলে, মধ্যমা (median) অবস্থানই বিজয়ী — প্রতিযোগীরা মাঝে জড়ো হয়।

coordination game (সমন্বয়-খেলা)। যে খেলায় খেলোয়াড়েরা একে অপরের সাথে মিলে যেতে চায় (ধাক্কা এড়ানো, একই শহরে দেখা, সোডা-ভাগ)। প্রায়ই একাধিক ভারসাম্য থাকে; কোনটা ঘটবে তা focal point ঠিক করতে সাহায্য করে।

focal point (ফোকাল বিন্দু / Schelling point)। payoff-এ না-থাকা কিন্তু সাংস্কৃতিক/মানসিকভাবে "বিশেষ" একটা কৌশল, যা কথা না বলেও খেলোয়াড়দের একই দিকে টানে (Grand Central দুপুর, ডানে-সরা, গোল-সময়)। সংস্কৃতি-নির্ভর।

mechanism design (কৌশল-নকশা)। উল্টো সমস্যা — খেলোয়াড়দের কৌশল ধরে নিয়ে ফল বের করা নয়, বরং কাঙ্ক্ষিত ফলের জন্য নিয়ম-প্রণোদনা বানানো (সোডা-ঢালুনে-শেষে-বাছে; Talmud-এর ভাগ-নীতি; "পরের-নিজেকে আগে দাও")।

contested sum / nucleolus। ন্যায্য-ভাগে "বিতর্কিত অংশ সমান ভাগ, অবিতর্কিত অংশ একমাত্র দাবিদারকে" — এই নীতি জোড়া-সঙ্গতির শর্তে এক অনন্য ভাগ দেয়, যা cooperative game theory-র nucleolus সমাধানের সমতুল্য।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

৪.১ একটা payoff matrix — Bertrand দাম-যুদ্ধ ও dominant strategy¶

Bertrand গল্পটাকে সরল করে দুটো দামে ভাবি: প্রতিটা ফার্ম High (৩০০ ডলার) বা Low (২৯৯ ডলার) বাছে; খরচ ২০০ ডলার, মোট বাজার \(100\) ইউনিট। দুজন একই দামে থাকলে বাজার সমান ভাগ; একজন কম দিলে সে পুরো বাজার নেয়।

দুজনেই High: প্রত্যেকে \(50 \times (300-200) = 5000\)।
একজন Low, একজন High: Low পায় \(100 \times (299-200) = 9900\), High পায় \(0\)।
দুজনেই Low: প্রত্যেকে \(50 \times (299-200) = 4950\)।

প্রতিটা ঘরে জোড়া \((\text{Lears},\ \text{Sowe's})\) — অর্থাৎ (Lears-এর প্রাপ্তি, Sowe's-এর প্রাপ্তি):

Lears \ Sowe's	Sowe's: High	Sowe's: Low
Lears: High	\((5000,\ 5000)\)	\((0,\ 9900)\)
Lears: Low	\((9900,\ 0)\)	\((4950,\ 4950)\)

dominant strategy খোঁজো। Lears-এর দিক থেকে:

Sowe's যদি High খেলে: Lears-এর High \(= 5000\) বনাম Low \(= 9900\) → Low ভালো।
Sowe's যদি Low খেলে: Lears-এর High \(= 0\) বনাম Low \(= 4950\) → Low ভালো।

দুই ক্ষেত্রেই Low ভালো — তাই Low হলো Lears-এর dominant strategy (একইভাবে Sowe's-এরও)। ফল: দুজনেই Low → \((4950, 4950)\)। অথচ দুজনে High খেললে দুজনেই বেশি পেত \((5000, 5000)\)! এটাই দাম-যুদ্ধের ট্র্যাজেডি — যুক্তিসঙ্গত ব্যক্তিগত সিদ্ধান্ত সবাইকে খারাপ ফলে নিয়ে যায় (এই গঠনই পরের অধ্যায়ের Prisoner's Dilemma)।

price-match কীভাবে বদলায়। দুই দোকানে price-match থাকলে, Low খেলে আর বাজার পাওয়া যায় না (খদ্দের অন্য দোকানে গিয়ে match নেয়)। তখন "Low দিলে \(9900\)" ঘরটাই আর সত্য থাকে না — Low-এর আধিপত্য ভেঙে যায়, দুজনেই High-এ থেকে যায় \((5000, 5000)\)।

৪.২ beauty contest — সংখ্যায় হিসাব¶

সবচেয়ে বড় সম্ভব জেতা সংখ্যা। সবাই \(20\) লিখলেও গড় \(20\), জেতা \(\tfrac{2}{3}\times 20 = 13.33 \to 13\)। তাই \(13\)-এর বড় সংখ্যা কখনো জেতে না — \(20\) dominated।

level-k যুক্তি (মানুষ আসলে যেভাবে ভাবে)। ধরো "level-0" খেলোয়াড় এলোমেলো লেখে, গড় ধরো \(10\)। তাহলে:

\[\text{level-1}: \tfrac{2}{3}\times 10 \approx 7, \quad \text{level-2}: \tfrac{2}{3}\times 7 \approx 5, \quad \text{level-3}: \tfrac{2}{3}\times 5 \approx 3, \ \dots\]

প্রতি স্তরে সংখ্যা ছোট হয়, সীমায় fixed point \(x = \tfrac{2}{3}x \Rightarrow x = 0\)। পুরোপুরি যুক্তিবাদী হলে সবাই \(0\) → জেতা \(0\)। বাস্তবে ভিড় অগভীর, তাই আসল জেতা সংখ্যা \(0\)-এর চেয়ে বড় হয় (ক্লাসে ছিল \(2\))।

৪.৩ contested sum — সংখ্যায়¶

তিন-পাওনাদার (\(100, 200, 300\)), সম্পত্তি \(200\) → ভাগ \(50, 75, 75\)। জোড়া \((200, 300)\) একসাথে পায় \(150\); পুরোটাই বিতর্কিত (দুজনের পাওনাই \(\ge 150\)), তাই সমান ভাগ \(75, 75\) — মিলে যায়। এই "প্রতি জোড়ায় বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ" শর্তটাই পুরো ভাগকে অনন্যভাবে ঠিক করে দেয়।

৫. Python-এ করো¶

দুটো জিনিস করব: (১) numpy দিয়ে iterated elimination of dominated strategies (IEDS) — উপরের Bertrand খেলায় লাগাব; (২) beauty contest simulation — দেখব কেন তত্ত্ব \(0\) বললেও বাস্তবে জেতা সংখ্যা বড় হয়।

import numpy as np

# ============ ১) IEDS — dominated কৌশল একে একে বাদ ============
# একটা 2-player normal-form game। row player-এর কৌশল সারি, column player-এর কলাম।
# A[i, j] = row player (Lears)-এর payoff; B[i, j] = column player (Sowe's)-এর payoff।
# কৌশল 0 = High ($300), 1 = Low ($299)।
A = np.array([[5000,    0],
              [9900, 4950]])   # Lears (সারি)-এর প্রাপ্তি
B = np.array([[5000, 9900],
              [   0, 4950]])   # Sowe's (কলাম)-এর প্রাপ্তি

def strictly_dominated_rows(P):
    # কোন সারি i অন্য কোনো সারি k দ্বারা কঠোরভাবে dominated?
    # অর্থাৎ প্রতিটা কলামে P[k] > P[i] (সব ঘরে বড়)।
    dom = []
    for i in range(P.shape[0]):
        for k in range(P.shape[0]):
            if k != i and np.all(P[k] > P[i]):
                dom.append(i)
                break
    return dom

rows = list(range(A.shape[0]))   # টিকে থাকা সারি-কৌশল
cols = list(range(A.shape[1]))   # টিকে থাকা কলাম-কৌশল
changed = True
while changed:
    changed = False
    # row player-এর dominated সারি বাদ (A-এর সারি তুলনা)
    dr = strictly_dominated_rows(A[np.ix_(rows, cols)])
    if dr:
        rows = [r for idx, r in enumerate(rows) if idx not in dr]
        changed = True
    # column player-এর dominated কলাম বাদ (B-এর কলাম = B^T-এর সারি)
    dc = strictly_dominated_rows(B[np.ix_(rows, cols)].T)
    if dc:
        cols = [c for idx, c in enumerate(cols) if idx not in dc]
        changed = True

name = {0: "High", 1: "Low"}
print("টিকে থাকা Lears কৌশল :", [name[r] for r in rows])   # ['Low']
print("টিকে থাকা Sowe's কৌশল:", [name[c] for c in cols])   # ['Low']
# ফল: দুজনেই Low → (4950, 4950); অথচ (High, High) দিত (5000, 5000)।

# ============ ২) beauty contest simulation (level-k) ============
rng = np.random.default_rng(0)

def winning_number(guesses, p=2/3):
    return round(p * np.mean(guesses))   # ২/৩ × গড়, নিকটতম পূর্ণসংখ্যায়

# (ক) সবাই সম্পূর্ণ যুক্তিবাদী → সবাই 0 → জেতা সংখ্যা 0
print("সবাই 0 লিখলে জেতা সংখ্যা =", winning_number(np.zeros(50, dtype=int)))
# (এবং সবাই 20 লিখলেও জেতা মাত্র = 13, তাই 20 কখনো ভালো নয়)
print("সবাই 20 লিখলে জেতা সংখ্যা =", winning_number(np.full(50, 20)))

# (খ) level-k খেলোয়াড়: k যত বড়, যুক্তি তত গভীর
def level_k_guess(k, base_mean=10.0, p=2/3):
    x = base_mean
    for _ in range(k):        # প্রতি স্তরে আগের গড়ের 2/3-এ best-respond
        x = p * x
    return int(round(x))
for k in range(5):
    print(f"level-{k} খেলোয়াড় লেখে ≈ {level_k_guess(k)}")   # 10, 7, 4, 3, 2 → 0-এর দিকে

# (গ) মিশ্র ভিড়: বেশিরভাগ অগভীর, কিছু গভীর
levels  = rng.integers(0, 4, size=50)      # প্রতিজনের যুক্তির গভীরতা
guesses = np.array([level_k_guess(int(k)) if k > 0 else rng.integers(0, 21)
                    for k in levels])
w = winning_number(guesses)
close   = np.abs(guesses - w)
winners = int(np.sum(close == close.min()))
print(f"গড় = {guesses.mean():.2f} | জেতা সংখ্যা = {w} | বিজয়ী = {winners} জন")
# তত্ত্ব বলে 0, কিন্তু অগভীর ভিড়ের কারণে জেতা সংখ্যা 0-এর চেয়ে বড় হয় — ঠিক ক্লাসরুমের মতো।

চালালে পাবে: IEDS দুজনকেই Low-এ নামায়; আর beauty contest-এ তাত্ত্বিক \(0\) হলেও মিশ্র ভিড়ে জেতা সংখ্যা ছোট-কিন্তু-শূন্য-নয় হয় — bounded rationality-র বাস্তব ছাপ, ঠিক Stanford-এর ক্লাসরুমের মতো।

৬. সাধারণ ভুল¶

Nash equilibrium আর social optimum গুলিয়ে ফেলা। Hotelling-এ দুই স্ট্যান্ড কেন্দ্রে জড়ো হওয়া ভারসাম্য, কিন্তু সমাজের জন্য সেরা নয় (ছড়িয়ে বসলে সবাই ভালো থাকত)। "খেলোয়াড়রা যা করবে" ≠ "যা করা উচিত"।
dominant আর dominated উল্টো বলা। dominant = সবসময় খেলার মতো (সেরা); dominated = কখনো খেলার নয় (নিকৃষ্ট)। শব্দ দুটো কাছাকাছি, অর্থ বিপরীত।
"strictly" শর্ত ভুলে যাওয়া। dominated প্রমাণে অন্য কৌশলটা প্রতিটা প্রতিপক্ষ-চালে ভালো হতে হবে — একটা ক্ষেত্রেও সমান/খারাপ হলে (strictly) dominated বলা যাবে না।
IEDS-কে অভ্রান্ত ভবিষ্যদ্বাণী ভাবা। IEDS ধরে নেয় সবাই অসীম গভীর যুক্তি খাটায়। বাস্তবে মানুষ bounded rational — তাই beauty contest-এ জেতা সংখ্যা \(0\) না হয়ে \(2\) হয়। তত্ত্বের সাথে ব্যবহারিক বিশ্বাস মেশাও।
price matching মানেই খদ্দেরের লাভ ভাবা। উল্টোটাও হতে পারে — এটা দাম-যুদ্ধের প্রণোদনা মেরে দাম উঁচুতে ধরে রাখতে পারে।
focal point-কে payoff-এর অংশ ভাবা। focal point payoff বদলায় না; এটা কেবল মানসিক/সাংস্কৃতিক "স্বাভাবিকতা" যা কথা না বলে সমন্বয়ে সাহায্য করে। তাই এটা সংস্কৃতি-নির্ভর (ডানে বনাম বাঁয়ে সরা)।
contested sum-এ পুরো দাবি ভাগ করা। ভাগ হয় শুধু বিতর্কিত অংশ; অবিতর্কিত অংশ পুরোটাই একমাত্র দাবিদারের — এটাই \((1/4, 3/4)\) আর \(50, 75, 75\)-এর চাবি।
চোখাচোখি-কে "ভদ্রতা" ভাবা (বাইক)। coordination game-এ চোখাচোখি অনুকরণ ডেকে আনে ও focal point নষ্ট করে — কখনো কখনো এড়িয়ে চলাই নিরাপদ।

৭. এক্সারসাইজ¶

সহজ থেকে কঠিন — ৮টা। আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান মেলাও।

(dominated চেনা) একটা লাইনে \(2\) জন, পাশের সমান-দ্রুত লাইনে কেউ নেই। কোন লাইন dominant, আর ভিড়ের লাইনে দাঁড়ানো কেন dominated — এক লাইনে বলো।
(Hotelling) এক স্ট্যান্ড \(-0.6\)-এ। অন্য স্ট্যান্ডের best response কোন পরিসরে? সে ঠিক কোথায় বসলে সবচেয়ে বেশি বাজার পাবে?
(beauty contest, \(p=2/3\)) \(0\)–\(20\) খেলায় সবাই যদি \(6\) লেখে, জেতা সংখ্যা কত? আর সবাই \(9\) লিখলে?
(IEDS) \(0\)–\(100\) পরিসরে \(p=2/3\) beauty contest হলে প্রথম ধাপে কোন সংখ্যাগুলো (সর্বোচ্চ দিক থেকে) dominated হয়ে বাদ যাবে? চূড়ান্তে কী টিকবে?
(payoff matrix) ৪.১-এর Bertrand ছকে দেখাও Sowe's-এর জন্যও Low একটা dominant strategy (দুই ক্ষেত্র মিলিয়ে)।
(contested sum, দুই পাওনাদার) পাওনা \(100\) ও \(300\), সম্পত্তি \(150\)। "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ" নীতিতে কে কত পায়?
(focal point) তুমি ও এক বন্ধু কথা না বলে ঢাকার একটা বিখ্যাত জায়গায় দেখা করতে চাও। এটা কোন ধরনের game? তোমার বাছাই কীভাবে করবে, আর কেন সেটা কাজ করতে পারে — ব্যাখ্যা করো।
(Talmud, কঠিন) তিন পাওনাদার \(100, 200, 300\); সম্পত্তি \(200\) → ভাগ \(50, 75, 75\)। জোড়া \((100, 300)\)-এর মোট প্রাপ্তি বের করে দেখাও তাদের ভাগ "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ" নীতির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

খালি লাইন dominant — অন্য যা-ই হোক, কম অপেক্ষা মানে দ্রুত সেবা। তাই ভিড়ের লাইনে দাঁড়ানো dominated: প্রতিটা পরিস্থিতিতেই খালি লাইনের চেয়ে খারাপ ফল দেয়, কখনো ভালো নয়।

২-নং সমাধান দেখাও

প্রতিপক্ষ \(k = -0.6\)-এ। কেন্দ্রের দিকে যেকোনো জায়গা তাকে হারায় — best response পরিসর \(-0.6 < x < 0.6\) (অর্থাৎ \(-|k|\) ও \(|k|\)-এর মধ্যে, প্রতিপক্ষের চেয়ে কেন্দ্রের কাছে)।

সবচেয়ে বেশি বাজার পেতে ঠিক প্রতিপক্ষের ডান ঘেঁষে (\(-0.6\)-এর সামান্য ডানে) বসবে — তাহলে \(-0.6\)-এর বাঁয়ের সামান্য অংশ ছাড়া প্রায় পুরো সৈকত তার। (তবে প্রতিপক্ষও পাল্টা সরবে; শেষ ভারসাম্য দুজনেই \(0\)-তে।)

৩-নং সমাধান দেখাও

জেতা সংখ্যা = গড়ের \(\tfrac{2}{3}\), নিকটতম পূর্ণসংখ্যায়।

সবাই \(6\): গড় \(6\), \(\tfrac{2}{3}\times 6 = 4\) → জেতা \(4\)।
সবাই \(9\): গড় \(9\), \(\tfrac{2}{3}\times 9 = 6\) → জেতা \(6\)।

লক্ষ করো জেতা সংখ্যা সবসময় গড়ের নিচে — তাই সবাই বড় সংখ্যা লিখলেও জেতা ছোট হয়।

৪-নং সমাধান দেখাও

সবাই \(100\) লিখলেও গড় \(100\), জেতা \(\tfrac{2}{3}\times 100 \approx 67\)। তাই \(67\)-এর বড় সব সংখ্যা (\(68\)–\(100\)) কখনো জেততে পারে না — প্রথম ধাপে এরা dominated, বাদ।

এরপর নতুন সর্বোচ্চ \(67\); একই যুক্তিতে \(\tfrac{2}{3}\times 67 \approx 45\)-এর বড়রা বাদ — এভাবে ধাপে ধাপে ছাঁটতে থাকলে চূড়ান্তে টিকে থাকে শুধু \(\{0, 1\}\) (ঠিক \(0\)–\(20\) খেলার মতোই)।

৫-নং সমাধান দেখাও

Sowe's-এর দিক থেকে (ছকের দ্বিতীয় সংখ্যা):

Lears যদি High: Sowe's-এর High \(= 5000\) বনাম Low \(= 9900\) → Low ভালো।
Lears যদি Low: Sowe's-এর High \(= 0\) বনাম Low \(= 4950\) → Low ভালো।

দুই ক্ষেত্রেই Low ভালো, তাই Sowe's-এরও dominant strategy Low। ফলে \((\text{Low}, \text{Low}) = (4950, 4950)\) — উভয়ের dominant চাল, অথচ যৌথভাবে খারাপ।

৬-নং সমাধান দেখাও

পাওনা \(100\) ও \(300\), সম্পত্তি \(150\)।

প্রথম \(100\) দুজনেই দাবি করে (দুজনের পাওনাই \(\ge 100\)) → বিতর্কিত → সমান ভাগ: \(50\) করে।
বাকি \(50\) শুধু \(300\)-দাবিদার দাবি করে (\(100\)-দাবিদারের দাবি \(100\)-এই শেষ) → পুরোটা \(300\)-দাবিদারকে।

ভাগ: \(100\)-দাবিদার \(= 50\), \(300\)-দাবিদার \(= 50 + 50 = 100\)। অর্থাৎ \((50, 100)\)।

৭-নং সমাধান দেখাও

এটা একটা coordination game (কথা না বলে সঙ্গীর সাথে মেলানো)। তুমি এমন জায়গা বাছবে যেটা focal point — সবচেয়ে সুপরিচিত, বিশিষ্ট, "স্বাভাবিক" (যেমন শহীদ মিনার বা কোনো বড় ল্যান্ডমার্ক), আর সময়ও গোল/স্বাভাবিক (দুপুর ১২টা)। কাজ করে কারণ তুমি ধরে নাও বন্ধুও একই "সবচেয়ে স্পষ্ট" পছন্দ ভাববে — payoff না বদলেও সাংস্কৃতিক স্বাভাবিকতা দুজনকে এক বিন্দুতে টানে। (Schelling-এর New York পরীক্ষায় যেমন Grand Central দুপুর ১২টা।)

৮-নং সমাধান দেখাও

তিন-পাওনাদার ভাগ \(50, 75, 75\) (পাওনা \(100, 200, 300\))। জোড়া \((100, 300)\)-এর মোট \(= 50 + 75 = 125\)।

এই \(125\)-কে দুই পাওনা \(100\) ও \(300\)-এর মধ্যে "বিতর্কিত অংশের সমান ভাগ" নীতিতে ভাগ করলে:

প্রথম \(100\) বিতর্কিত (দুজনের পাওনাই \(\ge 100\)) → সমান \(50\) করে।
বাকি \(25\) শুধু \(300\)-দাবিদারের → তাকে।

ফল \(50\) ও \(75\) — ঠিক তিন-পাওনাদার সমাধানে \(100\)-দাবিদার পেয়েছিল \(50\), \(300\)-দাবিদার \(75\)। সঙ্গতিপূর্ণ! ✓ (একই যাচাই অন্য জোড়াতেও খাটে — এই জোড়া-সঙ্গতিই পুরো ভাগকে অনন্য করে।)

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এক-নজরে:

game = players + strategies + payoffs; আসল কথা পরস্পর-নির্ভর সিদ্ধান্ত — আমার সেরা চাল তোমার চালের উপর নির্ভর করে। বইয়ের দুই লক্ষ্য: (১) কৌশলগত পরিস্থিতি চেনা, (২) খেলাটাই বদলে ফেলা।
Hotelling / median voter: রেখায় ছড়ানো খদ্দের/ভোটারে প্রতিযোগীরা কেন্দ্রে জড়ো হয় (গ্যাস স্টেশন, বার্গার চেইন, প্রার্থী, TV খবর)। ভারসাম্য ≠ social optimum।
dominated strategy (অধীন কৌশল): অন্যরা যা-ই করুক, সবসময় খারাপ — কখনো খেলো না (cab-এ চেঁচানো)। লটারির টিকিটের চেয়েও খারাপ।
dominant strategy (প্রধান কৌশল): অন্যরা যা-ই করুক, সবসময় (অন্তত সমান) ভালো — সবসময় খেলো (খালি লাইন, ২০-মিনিট কাজ আগে)।
beauty contest + IEDS: \(2/3\)-গড় খেলায় বড় সংখ্যা একে একে dominated হয়ে বাদ, টিকে \(\{0, 1\}\); তবু bounded rationality-র জন্য বাস্তব জেতা সংখ্যা বড় হয় (Stanford-এ \(2\))। book smarts + social smarts।
Bertrand duopoly: দুই ফার্মও দাম-যুদ্ধে খরচে নেমে আসতে পারে; price matching সেই যুদ্ধ থামিয়ে দাম উঁচুতে ধরে রাখে (tacit cooperation)।
focal point (Schelling point): payoff না বদলেও "স্বাভাবিক" বিন্দু কথা না বলে সমন্বয় ঘটায় (Grand Central দুপুর, ডানে-সরা, গোল-সময়) — সংস্কৃতি-নির্ভর; বাইক-নিরাপত্তায় "চোখাচোখি এড়াও"।
mechanism design: কাঙ্ক্ষিত ফলের জন্য নিয়ম বানানো (ঢালুনে-শেষে-বাছে; "পরের-নিজেকে আগে দাও")।
contested sum (Talmud): শুধু বিতর্কিত অংশ সমান ভাগ, অবিতর্কিত অংশ একমাত্র দাবিদারকে → \((1/4, 3/4)\); জোড়া-সঙ্গতি রহস্যময় \(50, 75, 75\) ব্যাখ্যা করে (Aumann-Maschler, nucleolus)।

Checklist — নিজেকে যাচাই করো:

[ ] একটা পরিস্থিতিকে players + strategies + payoffs দিয়ে বর্ণনা করতে পারি।
[ ] dominant ও dominated strategy আলাদা করতে পারি ও কোনটা খেলব বলতে পারি।
[ ] Hotelling-এ কেন দুই প্রতিযোগী কেন্দ্রে জড়ো হয়, best-response যুক্তিতে দেখাতে পারি।
[ ] ভারসাম্য (equilibrium) আর social optimum-এর পার্থক্য বোঝাতে পারি।
[ ] beauty contest-এ IEDS চালিয়ে \(\{0, 1\}\)-এ পৌঁছাতে পারি, আর bounded rationality কেন আসল ফল বদলায় ব্যাখ্যা করতে পারি।
[ ] Bertrand দাম-যুদ্ধ ও price-match কীভাবে দাম উঁচুতে রাখে বলতে পারি।
[ ] focal point কী, কেন কাজ করে, আর কেন সংস্কৃতি-নির্ভর — বলতে পারি।
[ ] mechanism design-এর সোডা-ভাগ ও "পরের-নিজেকে আগে দাও" যুক্তি ব্যাখ্যা করতে পারি।
[ ] contested-sum নীতিতে দুই ও তিন পাওনাদারের ভাগ বের করতে পারি এবং জোড়া-সঙ্গতি যাচাই করতে পারি।
[ ] Python-এ IEDS ও beauty-contest simulation চালিয়ে ফল মিলিয়ে দেখতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 10.2 — Joy: Nash ও Prisoner's Dilemma — Nash equilibrium-এর পূর্ণ সংজ্ঞা, Prisoner's Dilemma ও তার বাস্তব উদাহরণ (JC Penney, Golden Balls...)।