9.1 — Introduction to Calculus (ক্যালকুলাসের সূচনা)¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: position (অবস্থান) থেকে velocity (বেগ) বের করা differentiation, আর velocity integrate করে net displacement (নিট সরণ) পাওয়া। Total distance পেতে velocity-র magnitude/speed integrate করতে হয়। এরপর average velocity থেকে instantaneous velocity-তে যাব limit (সীমা) দিয়ে, আর circular motion থেকে $\sin$ ও $\cos$-এর slope বের করব।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

তুমি গাড়িতে বসে আছ। সামনে speedometer এই মুহূর্তের speed (দ্রুতি) দেখায়, আর odometer মোট কত পথ পেরিয়েছ—total distance—দেখায়। Calculus-এ signed velocity $v(t)$ ব্যবহার করলে তার antiderivative $f(t)$-কে position (অবস্থান) ধরা বেশি নির্ভুল। তখন

\[f(b)-f(a)=\int_a^b v(t)\,dt\quad\text{(net displacement)},\qquad \text{total distance}=\int_a^b |v(t)|\,dt.\]

Velocity পুরো interval-এ nonnegative হলে দুটো একই হয়। এই chapter-এ source-এর ভাষা অনুসরণে কোথাও $f$-কে “distance” বলা হলেও negative velocity এলে $f$ আসলে signed position/displacement।

দুটো স্বাভাবিক প্রশ্ন ওঠে:

Signed velocity $v(t)$ জানা থাকলে position-এর change এবং total distance কীভাবে বের করব? — যথাক্রমে $\int v$ ও $\int|v|$।
Position $f(t)$ জানা থাকলে প্রতি মুহূর্তের velocity কীভাবে বের করব? — derivative $f'(t)$ দিয়ে।

Speed/signed velocity-এর পুরো record থাকলে odometer ও displacement দুটোই rebuild করা সম্ভব—শুধু integrand যথাক্রমে $|v|$ ও $v$। Calculus সেই accumulation-টাই formalize করে।

মজার ব্যাপার হলো, এই পুরো বিষয়টা বুঝতে প্রথমে কোনো জটিল সূত্র লাগে না — লাগে শুধু graph দেখা আর সাধারণ বুদ্ধি। তাই শুরুটাই হবে হাতে-কলমে।

মূল স্বজ্ঞা

Calculus মানে দুটো জিনিস, আর তারা একে অপরের উল্টো:

position graph $f$-এর slope = velocity $v$ → derivative।
velocity graph-এর signed area = displacement; speed $|v|$-এর area = total distance → integral।

একটা graph থাকলে অন্যটা বের করা যায়। "slope আর area একে অপরের বিপরীত" — এই একটা বাক্যেই পুরো Chapter 1-এর প্রাণ।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

২.১ Velocity ও Distance — graph-এর গল্প (1.1)¶

প্রথমে লক্ষ করো, $v$ আর $f$-এর একক (unit) আলাদা। $f$ মাপা হয় mile বা কিলোমিটারে; $v$ মাপা হয় mile/hour-এ। বেগে সময় (time) ঢুকে আছে, দূরত্বে নেই। তাই $f$ থেকে $v$ বের করার প্রতিটা সূত্রে $f$-কে সময় দিয়ে ভাগ করতে হবে — এটাই মনে রাখার প্রথম সূত্র।

Speedometer shows velocity v, odometer shows distance f

চিত্র ১: ড্যাশবোর্ডের দুটো কাঁটা — একটা বেগ ($v$) দেখায়, আরেকটা মোট দূরত্ব ($f$)। একই মুহূর্তে দুটো তথ্য।

সবচেয়ে সহজ কেস — ধ্রুব বেগ (constant velocity)। ধরো বেগ সবসময় $v = 60$ (mile/hour)। তাহলে $2$ ঘণ্টায় $f = 120$, $4$ ঘণ্টায় $f = 240$, আর $t$ ঘণ্টায় $f = 60t$। দূরত্ব সময়ের সাথে রৈখিকভাবে (linearly) বাড়ছে — তার graph একটা সরলরেখা।

Constant velocity v=60 as a flat line, distance f=60t as a sloping line

চিত্র ২: বাঁয়ে ধ্রুব বেগ $v = 60$ — একটা আনুভূমিক (horizontal) রেখা। ডানে দূরত্ব $f = 60t$ — একটা ঢালু সরলরেখা। গাড়িটা শুরু থেকেই পুরো বেগে (এটা "step function"), আর $f$ শুরু হয় শূন্য থেকে (নতুন গাড়ি)।

এখানে $v$ ধ্রুব এবং $f$ শূন্য থেকে শুরু, তাই:

\[ f = v\,t \]

উল্টোটাও সত্য: $f$ যখন রৈখিকভাবে বাড়ে, $v$ তখন ধ্রুব। সময় দিয়ে ভাগ করলেই ঢাল (slope) পাওয়া যায়। যেমন $t_1 = 2$ ঘণ্টায় $f_1 = 120$, আর $t_2 = 4$ ঘণ্টায় $f_2 = 240$ — দুই জায়গাতেই $f/t = 60$ mile/hour। জ্যামিতিকভাবে বেগ হলো distance-graph-এর ঢাল:

\[ \text{slope} = \frac{\text{change in distance}}{\text{change in time}} = \frac{v\,t}{t} = v \]

আরও দুটো সম্ভাবনা। graph সবসময় $(0,0)$ থেকে শুরু হয় না, আর ঢাল ঋণাত্মকও হতে পারে:

Two straight distance lines: f=20+60t with slope 60, and f=-30t with slope -30

চিত্র ৩: বাঁয়ে position $f=20+60t$, ঢাল $60$। ডানে position $f=-30t$—velocity negative, তাই graph নামে; physical total distance কখনো negative হয় না।

দুটো শিক্ষা এখান থেকে:

শুরুর মান কোনো প্রভাব ফেলে না ঢালে। $60t$-এর বদলে $20 + 60t$ হলেও ঢাল $60$-ই থাকে — যোগ করা ধ্রুবটা পরিবর্তন হিসাব করার সময় বাদ পড়ে যায়।
ঋণাত্মক বেগ = নিচে-নামা graph। $v$ ঋণাত্মক হলে $f$-এর graph নামতে থাকে।

এবার calculus-এর সবচেয়ে চমকপ্রদ অংশ — slope-এর উল্টো হলো signed area। $v$-এর graph থেকে position $f$-এর পরিবর্তন পাই area accumulate করে। ধ্রুব positive velocity-তে area $v\times t$ একই সঙ্গে displacement ও distance; velocity negative হলে signed area কমে, কিন্তু total distance কমে না।

Kid-friendly two-panel figure: velocity step graph with shaded area = distance, and distance line with slope triangle = velocity

চিত্র ৪: এখানে $v=60>0$, তাই velocity-graph-এর area $=180$ mile একই সঙ্গে displacement ও total distance। Position graph $f=60t$-এর slope $60$।

মূল উপপাদ্য 1A (calculus-এর দুই স্তম্ভ)

position $f$-graph-এর slope দেয় velocity $v$।
$v$-graph-এর signed area দেয় position-এর change; $|v|$-এর area দেয় total distance।

এবার একটা পরিবর্তনশীল বেগের উদাহরণ, যেটা তুমি সঙ্গে সঙ্গে বুঝবে — সামনে-পিছে (forward and back)। গাড়ি বেগ $+V$ নিয়ে সামনে যায় $t = 3$ পর্যন্ত, তারপর বেগ $-V$ নিয়ে পিছিয়ে $t = 6$-এ ঠিক শুরুর জায়গায় ফিরে আসে।

Velocity +V then -V, distance rises to 3V then returns to 0 at t=6

চিত্র ৫: velocity $+V$ ও $-V$ — সামনে-পিছে গতি। Position $f$ প্রথমে $3V$-তে উঠে, পরে $0$-তে ফেরে। Signed area/net displacement শূন্য; কিন্তু total distance $3V+3V=6V$।

এখানে $v$-graph-এর signed area শূন্য: সামনে-যাওয়া ও পিছিয়ে-আসা displacement cancel হয়ে $f(6)-f(0)=0$। কিন্তু odometer-এর total distance শূন্য নয়; সেটা $\int_0^6|v(t)|dt=6V$।

Function (অপেক্ষক) কী? এই উদাহরণটা function-এর ধারণা শেখার সোনার সুযোগ:

$v(t)$ হলো $t$ সময়ে $v$ function-টার মান। সময় $t$ হলো input (ইনপুট), আর বেগ $v(t)$ হলো output (আউটপুট)।

"$v$ of $t$" পড়ি $v(t)$-কে। সামনে-পিছে উদাহরণে $v(2) = +V$ আর $v(4) = -V$। function যেন একটা memory bank — প্রতিটা $t$-এর জন্য $v$-এর মান জমা রাখা। সূত্রে:

\[ v(t) = \begin{cases} +V & 0 \le t < 3 \\[2pt] -V & 3 < t \le 6 \end{cases} \]

লক্ষ করো $t = 3$-এ কাঁটাটা হঠাৎ লাফ দেয় — তাই $v$ এখানে discontinuous (অবিচ্ছিন্ন নয়), $v(3)$ সংজ্ঞায়িতই নয়। কিন্তু distance function-টা মসৃণ:

\[ f(t) = \begin{cases} Vt & 0 \le t \le 3 \\[2pt] V(6 - t) & 3 \le t \le 6 \end{cases} \]

$t = 3$-এ দুই সূত্রই $f(3) = 3V$ দেয় — তারা মিলে যায়, তাই $f$ continuous (অবিচ্ছিন্ন)। $v$-তে লাফ থাকলেও $f$-এ লাফ নেই; $f$-graph-এ শুধু একটা কোণা (corner) — যেখানে ঢাল সংজ্ঞায়িত নয়।

Domain ও Range। function-এর সব input-এর সেট হলো domain (ডোমেইন), সব output-এর সেট হলো range (রেঞ্জ)। এখানে $f$-এর domain হলো $0 \le t \le 6$, range হলো $0 \le f \le 3V$। আর $v$-এর range মাত্র দুটো মান: $\{+V,\ -V\}$।

প্রতিটা linear (রৈখিক) function-এর সূত্র $f(t) = vt + C$ — graph একটা সরলরেখা, $v$ তার ঢাল, আর ধ্রুব $C$ রেখাটাকে ওপরে-নিচে সরায় (শুরুর বিন্দু ঠিক করে)।

Function-কে বদলানো — শিফট (shift)। একই $f$ থেকে নতুন function বানানো যায়। $f(t) - 2$ আর $f(t - 2)$ — এই দুটো আলাদা, আর শুরুতে গুলিয়ে ফেলা সহজ:

f(t)-2 shifts graph down, f(t-2) shifts graph right

চিত্র ৬: $f$ থেকে $2$ বিয়োগ ($f(t) - 2$) — সব দূরত্ব $2$ কমে, পুরো graph নিচে নামে (range বদলায়)। $t$ থেকে $2$ বিয়োগ ($f(t - 2)$) — সময় $2$ পিছিয়ে যায়, graph ডানে সরে (domain বদলায়)।

Function-কে বদলানো — জুম (zoom)। যোগ-বিয়োগের বদলে গুণ করলে: $2f(t)$ দূরত্ব দ্বিগুণ করে, আর $f(2t)$ সময় দ্বিগুণ দ্রুত চালায় (সব কিছু দ্বিগুণ তাড়াতাড়ি হয়)। দুটোই ঢাল দ্বিগুণ করে:

Doubling distance 2f(t) or speeding up time f(2t) both double the slope

চিত্র ৭: $2f(t)$ (দূরত্ব দ্বিগুণ) আর $f(2t)$ (সময় দ্রুত) — দুটোই ঢাল দ্বিগুণ করে। এগুলো calculator-এ "zoom"-এর মতো।

২.২ Calculus Without Limits — পার্থক্য ও যোগফল (1.2)¶

এবার একটা চাবিকাঠি — এখানে function বা curve লাগবে না, শুধু কতগুলো সংখ্যা আর তাদের পার্থক্য (differences)। ধরো সংখ্যাগুলো $f$, আর পাশাপাশি সংখ্যার বিয়োগফল $v$:

\[ f = 0,\ 2,\ 6,\ 7,\ 4,\ 9 \qquad\Longrightarrow\qquad v = 2,\ 4,\ 1,\ -3,\ 5 \]

($2 - 0 = 2$, $6 - 2 = 4$, $7 - 6 = 1$, $4 - 7 = -3$, $9 - 4 = 5$।) এবার এই পার্থক্যগুলো যোগ করো:

\[ 2 + 4 + 1 - 3 + 5 = 9 \]

যোগফল $9$ — যা কিনা $f$-এর শেষ সংখ্যা! এটা কি কাকতালীয়? আরেকটা উদাহরণ নাও: $f = 1, 3, 7, 8, 5, 10$ — সব $f$ ঠিক $1$ করে বাড়ানো। পার্থক্য $v$ হুবহু একই ($2, 4, 1, -3, 5$), যোগফলও $9$। কিন্তু শেষ সংখ্যা এখন $10$। তাহলে যোগফল $=$ শেষ $f$ নয়, বরং $9 = 10 - 1 =$ শেষ $f$ বিয়োগ প্রথম $f$।

কেন মাঝের সংখ্যাগুলো কাটাকাটি হয়? লিখে দেখো (telescoping):

\[ (5 - 1) + (12 - 5) + (7 - 12) + (10 - 7) = 10 - 1 \]

$5$-রা কাটে, $12$-রা কাটে, $7$-রা কাটে — শুধু $10$ আর $1$ বেঁচে থাকে। এটাই calculus-এর বীজ।

মূল উপপাদ্য 1B

$f$-দের পার্থক্যগুলো যোগ করলে পাওয়া যায় $f_{\text{last}} - f_{\text{first}}$ (শেষ বিয়োগ প্রথম)।

দুটো সুন্দর উদাহরণ:

রৈখিক: $f = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ → পার্থক্য $v = 1, 1, 1, 1, 1$ (ধ্রুব)। যোগফল $5 = 7 - 2$। ধ্রুব $v$ মানে ধ্রুব বেগ, আর $f = t + 2$ একটা সরলরেখা।
বর্গ (squares): $f = 0, 1, 4, 9, 16$ → পার্থক্য $v = 1, 3, 5, 7$ (বিজোড় সংখ্যা!)। আর $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$। সুন্দর সত্য: প্রথম $j$টা বিজোড় সংখ্যার যোগফল সবসময় $j^2$।

Subscript (নিম্নলিপি) দিয়ে লেখা। কোন সংখ্যাটা দেখছি বোঝাতে $j$ ব্যবহার করি: শূন্যতম সংখ্যা $f_0 = 0$, আর $j$-তম সংখ্যা $f_j = j^2$। $j$-তম পার্থক্য:

\[ v_j = f_j - f_{j-1} \]

আর $j$-তম বিজোড় সংখ্যা $v_j = 2j - 1$।

Piecewise-constant velocity v=1,3,5,7 and piecewise-linear distance f=0,1,4,9,16

চিত্র ৮: বর্গ উদাহরণের graph। $f$-graph piecewise linear (বিন্দুগুলো সরলরেখায় জোড়া), $v$-graph piecewise constant (প্রতি ধাপে ধ্রুব — সিঁড়ির মতো)। ঠিক distance-velocity graph-এর মতোই।

দুটো সংযোগ এই graph থেকে স্পষ্ট:

ঢালের সাথে: প্রতি ধাপে সময়ের পরিবর্তন (across) $= 1$, আর $f$-এর পরিবর্তন (up) $= v$। তাই ঢাল $= v/1 = v$। breakpoint-গুলোতে ($t = 1, 2, 3, \dots$) ঢাল হঠাৎ বদলায়।
ক্ষেত্রফলের সাথে: সিঁড়ির নিচের প্রতিটা আয়তক্ষেত্রের ভিত্তি $1$, উচ্চতা $v$, তাই ক্ষেত্রফল $= v$। মোট ক্ষেত্রফল $= v$-দের যোগফল $= f_{\text{last}} - f_{\text{first}}$।

আরও: যেকোনো সময়ে থামা যায়। $t = 3.5$-এ থামলে শেষ আয়তক্ষেত্রের (উচ্চতা $7$) অর্ধেক গোনা হয়: $1 + 3 + 5 + \tfrac12(7) = 12.5$ — যা $9$ আর $16$-এর ঠিক মাঝখানে।

মূল উপপাদ্য 1C (Fundamental Theorem-এর ছায়া)

$v$-রা হলো $f(t)$-এর ঢাল। আর $v$-graph-এর নিচের ক্ষেত্রফল $= f(t_{\text{end}}) - f(t_{\text{start}})$।

এটাই Fundamental Theorem of Calculus — কিন্তু এখানে শুধু বীজগণিত (algebra) দিয়ে, কোনো limit ছাড়াই। আপাতত এটা শুধু piecewise linear $f$ ও piecewise constant $v$-এর জন্য; Chapter 5-এ curve-এর জন্য সাধারণীকরণ হবে।

Exponential (সূচকীয়) বৃদ্ধি। $f = 1, 2, 4, 8, 16$ ("$2$-এর ঘাত")। পার্থক্য $v = 1, 2, 4, 8$ — একই সুন্দর সংখ্যা! $f$ যখন $2$-এর ঘাত, $v$-ও তাই। এখানে $v(t)$ হলো $f(t)$-এর সমানুপাতিক — এটাই exponential growth-এর চিহ্ন (population, ব্যাংকের টাকা, জাতীয় ঋণ)।

Exponential velocity and distance, powers of 2

চিত্র ৯: বেগ ও দূরত্ব সূচকীয়ভাবে বাড়ছে ($2$-এর ঘাত)। $2^j$ (সূচকীয়) খুব দ্রুত $j^2$ (দ্বিঘাত) আর $2j$ (রৈখিক)-কে ছাড়িয়ে যায়।

দোলন (oscillation)। এবার $f = 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0$ — শুরুতেই ফিরে আসে ($f_6 = 0$)। পার্থক্য $v = 1, 0, -1, -1, 0, 1$, যোগফল শূন্য।

Piecewise-constant discrete cosine and piecewise-linear discrete sine, both repeating

চিত্র ১০: $f$-graph দেখতে (মোটামুটি) $\sin$ curve-এর মতো, $v$-graph দেখতে (আরও মোটা দাগে) $\cos$ curve-এর মতো — "ডিজিটাল" ধাপে ধাপে। এখানে period (পর্যায়) $6$; সত্যিকারের $\sin, \cos$-এর period $2\pi$।

গতির ঝলক (a burst of speed)। গাড়ি বেগ $V$ নিয়ে ছোটে যতক্ষণ না $f = 1$ হয়, তারপর হঠাৎ থামে:

\[ v(t) = \begin{cases} V & t \le T \\[2pt] 0 & t > T \end{cases} \qquad f(t) = \begin{cases} Vt & t \le T \\[2pt] 1 & t > T \end{cases} \]

Three cars with different bursts of speed all reach f=1; step function has infinite slope

চিত্র ১১: তিনটা গাড়ি (Jeep, Corvette, Maserati) — আলাদা বেগ, কিন্তু সবাই $f = 1$-এ পৌঁছায়, তাই $v$-graph-এর নিচের ক্ষেত্রফল সবারই $1$। আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা $V$, ভিত্তি $T = 1/V$। বেগ যত বাড়ে, ধাপটা তত খাড়া — চরম সীমায় "step function"-এর ঢাল অসীম (একে বলে delta function, তবে এখন এর তত্ত্ব জানার দরকার নেই)।

বাস্তব প্রয়োগ — আয়কর (income tax)। আয়কর piecewise linear। slope-গুলোই হলো tax rate (করহার): $.15,\ .28,\ .31$। এগুলো marginal rate (প্রান্তিক হার) — প্রতিটা অতিরিক্ত ডলারের ওপর কর, অর্থাৎ ওই বিন্দুতে ঢাল। আর মোট কর $f$ হলো ক্ষেত্রফল/দূরত্বের মতো — জমতে থাকে।

Income tax: tax rate is the slope v, total tax is f, brackets end at breakpoints

চিত্র ১২: করহার $= v$ (ঢাল), মোট কর $= f$। tax bracket (করবন্ধনী)-গুলো breakpoint-এ শেষ হয়। কর যেন distance/area (জমে), করহার যেন slope/velocity (জায়গাভেদে বদলায়)।

সর্বোচ্চ bracket-এর সরলরেখার সমীকরণ (point-slope form) — একটা বিন্দু $(49{,}300,\ 11{,}158.50)$ আর ঢাল $.31$ জানলেই:

\[ f(x) = 11{,}158.50 + 0.31\,(x - 49{,}300) \]

২.৩ Instantaneous velocity — এক মুহূর্তের বেগ (1.3)¶

এতক্ষণ বেগ হয় ধ্রুব ছিল, নয় ধাপে-ধাপে বদলাত। এবার আসল calculus — বেগ প্রতি মুহূর্তে মসৃণভাবে বদলায়। দুটো প্রশ্ন, উল্টো দিকে:

প্রশ্ন ১: প্রতি সময়ে বেগ $v(t) = 2t$ হলে দূরত্ব $f(t)$ কী? (integration)
প্রশ্ন ২: দূরত্ব $f(t) = t^2$ হলে বেগ $v(t)$ কী? (differentiation)

$v = 2t$ মানে acceleration (ত্বরণ) ধ্রুব ($= 2$) — গাড়ি সমানভাবে জোরে হচ্ছে। আর $f = t^2$ একটা parabola (পরাবৃত্ত)।

v=2t is a straight line, f=t^2 is a parabola

চিত্র ১৩: বেগ $v = 2t$ রৈখিক (বাঁয়ে), দূরত্ব $f = t^2$ দ্বিঘাত/parabola (ডানে)। গাড়ি যত জোরে চলে, $t^2$-এর graph তত খাড়া হয় — প্রতি সেকেন্ডে বেশি পথ।

সমস্যা: বেগ $=$ দূরত্ব $\div$ সময়, কিন্তু বেগ বদলালে? $t = 10$-এ speedometer ঠিক কত দেখাবে? প্রথমে average velocity (গড় বেগ) বের করি — $t = 10$ থেকে $t = 11$:

\[ v_{\text{ave}} = \frac{f(11) - f(10)}{11 - 10} = \frac{121 - 100}{1} = 21 \]

গাড়ি ওই $1$ সেকেন্ডে $21$ ফুট গেছে। কিন্তু যেহেতু বেগ বাড়ছিল, শুরুতে ($t = 10$-এ) বেগ $21$-এর কম ছিল। ছোট ব্যবধান নিলে আরও ভালো আন্দাজ — $t = 10$ থেকে $10.5$:

\[ v_{\text{ave}} = \frac{f(10.5) - f(10)}{0.5} = \frac{110.25 - 100}{0.5} = 20.5 \]

মূল কৌশল — ব্যবধান ছোট করতে থাকো। $t = 10$ থেকে $t = 10 + h$:

\[ v_{\text{ave}} = \frac{(10 + h)^2 - 10^2}{h} = \frac{100 + 20h + h^2 - 100}{h} = 20 + h \]

$h = 1$ হলে $21$, $h = \tfrac12$ হলে $20.5$, আর $h$ যত শূন্যের কাছে যায়, গড় তত $20$-এর কাছে। তাই $t = 10$-এ তাৎক্ষণিক বেগ $v = 20$ — এটাই curve-এর ঢাল।

সাধারণভাবে যেকোনো $t$-তে:

\[ v_{\text{ave}} = \frac{f(t + h) - f(t)}{h} = \frac{(t + h)^2 - t^2}{h} = \frac{2th + h^2}{h} = 2t + h \]

Kid-friendly figure: parabola f=t^2 with secant lines of slope 6, 5, 4.5 converging to the tangent of slope 4 at point A

চিত্র ১৪: $f = t^2$-এ বিন্দু $A$ ($t = 2$)। $B$ বিন্দুটা $A$-এর দিকে সরে আসছে ($t = 4, 3, 2.5, \dots$), আর secant (ছেদক) রেখার গড় ঢাল $6, 5, 4.5$ ক্রমশ সবুজ tangent (স্পর্শক) রেখার ঢাল $4$-এর দিকে যাচ্ছে। এটাই $v(2) = 2 \times 2 = 4$।

মূল উপপাদ্য 1E

$h$ যখন শূন্যের দিকে যায়, গড় বেগ $2t + h$ যায় তাৎক্ষণিক বেগ $v(t) = 2t$-এর দিকে। এই "average over an interval → velocity at an instant" রূপান্তরই হলো limit — বীজগণিতের পরের ধাপ, calculus-এর আসল শুরু।

প্রশ্ন ১-এর উত্তর (উল্টো দিক)। $v = 2t$ হলে $f = ?$ Fundamental Theorem বলে নতুন কাজ লাগবে না — $v = 2t$-এর নিচের ক্ষেত্রফলই $f$। সেটা একটা ত্রিভুজ, ভিত্তি $t$ ও উচ্চতা $2t$:

\[ \text{area} = \tfrac12 (\text{base})(\text{height}) = \tfrac12 (t)(2t) = t^2 \]

ঠিক $f = t^2$ ফিরে পেলাম।

সাধারণ ত্বরণ। $v = at$ হলে $f = \tfrac12 a t^2$ (লক্ষ করো $\tfrac12$)। বিলম্বে শুরু বা শুরুর বেগ থাকলে ধ্রুব যোগ হয় ($v = at + b$, $f = \tfrac12 a t^2 + bt$):

Delayed velocity and distance; pairs v=at+b and f=(1/2)at^2+bt

চিত্র ১৫: বিলম্বিত বেগ ও দূরত্ব। $a = g$ (অভিকর্ষজ ধ্রুবক) হলে $v = gt$ আর $f = \tfrac12 g t^2$ — পড়ন্ত বস্তুর গতি (Galileo, Pisa-র হেলানো মিনার)। বেগ ভরের ওপর নির্ভর করে না।

Secant থেকে tangent — গভীরে। distance-graph-এ $A$ ও $B$ বিন্দুর মধ্যেকার রেখা হলো secant line (ছেদক), তার ঢাল একটা গড় বেগ। calculus সেই $B$-কে curve ধরে $A$-এর দিকে নামিয়ে আনে:

Secant line between A and B on a curve; two velocity graphs to compare

চিত্র ১৬: বাঁয়ে — সরলরেখার ঢাল (secant, গড় বেগ) বনাম curve-এর ঢাল (tangent, তাৎক্ষণিক বেগ); $B$ যত $A$-এর কাছে আসে, "$f$-এর পরিবর্তন" আর "$t$-এর পরিবর্তন" দুটোই শূন্যের দিকে যায়। ডানে — দুটো বেগ-graph তুলনা (কোন গাড়ি দ্রুত? কোনটার ত্বরণ বেশি?)।

একটা সূক্ষ্ম কিন্তু জরুরি পার্থক্য:

ঢাল বের করা স্থানীয় (local): $A$ বিন্দুতে ঢাল জানতে পুরো ইতিহাস লাগে না, শুধু $A$-এর আশপাশের $f$ জানলেই হয়।
Accumulation global: $t$ পর্যন্ত displacement বা total distance জানতে পুরো velocity history লাগে। Displacement-এ $v$ signedভাবে, distance-এ $|v|$ accumulate হয়।

২.৪ Circular motion — sin ও cos (1.4)¶

এবার সম্পূর্ণ নতুন দূরত্ব ও বেগ — trigonometry-র $\sin$ ও $\cos$। যতটুকু trig লাগবে: একটা সমকোণী ত্রিভুজ, বাহু $\cos t$, $\sin t$, $1$; আর Pythagoras-এর সূত্র:

\[ (\cos t)^2 + (\sin t)^2 = 1 \]

As angle t changes, the graphs show the sides of the right triangle

চিত্র ১৭: কোণ $t$ বদলালে graph-গুলো সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো দেখায়। trigonometry-র সবচেয়ে বড় প্রয়োগ ঘূর্ণন, কম্পন ও দোলনে।

বৃত্তে বল (ball on a circle)। ব্যাসার্ধ $1$-এর বৃত্ত, কেন্দ্র origin, তাই $x^2 + y^2 = 1$। বলের অবস্থান আমরা দিই তার কোণ দিয়ে, আর কোণটাকেই সময়ের সমান ($= t$) রাখি — তাই বল সমান গতিতে ঘোরে (counterclockwise, ঘড়ির উল্টো দিকে)। কোণ radian (রেডিয়ান)-এ মাপা, তাই পুরো বৃত্ত শেষ হয় $t = 2\pi$-তে ($360$ নয়)। বল শুরু করে $x$-অক্ষে; $t$ সময়ে:

\[ x = \cos t, \qquad y = \sin t \]

Circular motion with speed 1, angle t, height sin t, upward velocity cos t

চিত্র ১৮: ব্যাসার্ধ-$1$ বৃত্তে বল, গতি $1$। কোণ $t$, উচ্চতা $\sin t$, ঊর্ধ্বমুখী বেগ $\cos t$। বৃত্তের পরিধি $2\pi r = 2\pi$, আর বল সময় $2\pi$-তে সেই পথ পাড়ি দেয় — তাই গতি ঠিক $1$।

বলের বেগ (velocity of the ball)। বল কোন দিকে যাচ্ছে? সুতোয় বাঁধা বল ছেড়ে দিলে সে tangent (স্পর্শক) বরাবর ছুটে যায়। "velocity triangle"-টা position triangle-এরই মতো, শুধু $90^\circ$ ঘোরানো। কর্ণ (hypotenuse) বৃত্তের স্পর্শক, দৈর্ঘ্য $1$ (গতি)। ফলে:

ঊর্ধ্বমুখী বেগ $= \cos t$ (যখন ঊর্ধ্বমুখী অবস্থান $\sin t$)।
আনুভূমিক বেগ $= -\sin t$ (প্রথমে বল বাঁ দিকে যায়, তাই ঋণচিহ্ন)।

যাচাই: $t = 0$-এ বল সোজা ওপরে ওঠে — উচ্চতা $\sin 0 = 0$, ঊর্ধ্বমুখী বেগ $\cos 0 = 1$। $t = \pi/2$-এ বল শীর্ষে — উচ্চতা $\sin(\pi/2) = 1$, ঊর্ধ্বমুখী বেগ $\cos(\pi/2) = 0$ (এক মুহূর্তের জন্য ওঠা-নামা থেমে যায়)।

Kid-friendly figure: ball on unit circle with height sin t and velocity vector, plus sin t and cos t curves

চিত্র ১৯: বাঁয়ে — একক বৃত্তে বল, উচ্চতা $\sin t$, ভিত্তি $\cos t$, আর স্পর্শক বরাবর বেগ (গতি $1$)। ডানে — $f = \sin t$ (উচ্চতা, লাল) আর $v = \cos t$ (বেগ = ঢাল, সবুজ)। যেখানে $\sin$ শীর্ষে ($t = \pi/2$), সেখানে $\cos = 0$ — বেগ শূন্য।

দোলন — ওপরে-নিচে গতি (harmonic motion)। এবার বৃত্তীয় গতি দিয়ে সরলরৈখিক গতি বুঝি। একটা ভর (mass) স্প্রিং-এ ঝুলে $y = 1$ ও $y = -1$-এর মধ্যে ওঠানামা করে — বলটার ছায়া (shadow)-র মতো, সবসময় বলের সমান উচ্চতায়। একে বলে simple harmonic motion (সরল দোলন গতি) — সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সামনে-পিছে গতি (যেমন $f = vt$ ও $f = \tfrac12 a t^2$ হলো সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এক-মুখী গতি)।

Circular motion of the ball and harmonic motion of the mass (its shadow)

চিত্র ২০: বলের বৃত্তীয় গতি আর ভরের দোলন গতি (ছায়া)। বল সমান গতি $1$-এ ঘোরে, কিন্তু ভরের গতি বদলায় — শীর্ষ/তলায় থামে, মাঝখানে সবচেয়ে দ্রুত ($= 1$)। উচ্চতা $f = \sin t$।

$\sin$ curve-এর ঢাল। ভরের ঊর্ধ্বমুখী বেগ $=$ বলের ঊর্ধ্বমুখী বেগ (তারা সমান উচ্চতায়) $= \cos t$। তাই:

\[ f(t) = \sin t \quad\Longrightarrow\quad v(t) = \cos t \]

শীর্ষ ও তলায় ($t = \pi/2,\ 3\pi/2$) ঢাল শূন্য; $t = 0$-এ ঢাল $1$; $t = \pi$-এ ঢাল $-1$।

v=cos t when f=sin t (red); v=-sin t when f=cos t (black)

চিত্র ২১: লাল — $f = \sin t$-এর ঢাল $v = \cos t$। কালো — $f = \cos t$-এর ঢাল $v = -\sin t$। দুই জোড়া বিখ্যাত function, একে অপরের যমজ। position triangle আর velocity triangle সমকোণে থাকায় $\sin$ ও $\cos$ "out of phase"।

$\cos$ curve-এর ঢাল। একই বল, শুধু ঘড়ি শুরু হয় বৃত্তের শীর্ষে। তখন দূরত্ব $f = \cos t$, আর তার ঢাল:

\[ f(t) = \cos t \quad\Longrightarrow\quad v(t) = -\sin t \]

দ্রুততর বল। বল দ্বিগুণ দ্রুত ঘুরলে (সময় $t$-এ কোণ $2t$): অবস্থান $x = \cos 2t$, $y = \sin 2t$; গতি এখন $2$, তাই velocity triangle দ্বিগুণ বড় — ঊর্ধ্বমুখী বেগ $2\cos 2t$, আনুভূমিক বেগ $-2\sin 2t$ (এই $2$-গুলো খেয়াল করো — সামনে chain rule-এ কাজে লাগবে)।

২.৫ Review of Trigonometry — ত্রিকোণমিতির ঝালাই (1.5)¶

trigonometry (ত্রিকোণমিতি)-র শুরু একটা সমকোণী ত্রিভুজ (right triangle) দিয়ে। মজার কথা — ত্রিভুজের আকার কোনো ব্যাপার নয়, তার কোণ-ই সব। কারণ ত্রিভুজকে বড়-ছোট করলেও বাহুগুলোর পরস্পরের অনুপাত (ratio) বদলায় না। একটা কোণ $\theta$ বেছে নিই, আর তিন বাহু — কাছের বাহু $x$, বিপরীত বাহু $y$, আর hypotenuse (অতিভুজ) $r$ — এদের অনুপাত থেকে trigonometry-র ছয়টা function জন্মায়:

function	মানে	reciprocal (অন্যোন্যক)
$\cos\theta = x/r$	কাছের বাহু / অতিভুজ	$\sec\theta = 1/\cos\theta$
$\sin\theta = y/r$	বিপরীত বাহু / অতিভুজ	$\csc\theta = 1/\sin\theta$
$\tan\theta = y/x$	বিপরীত / কাছের বাহু	$\cot\theta = 1/\tan\theta$

ডান দিকের তিনটা বাঁ দিকের তিনটাকে উল্টে দিলেই পাওয়া যায়। আর tangent হলো sine ভাগ cosine:

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y/r}{x/r} = \frac{y}{x} \]

ত্রিভুজ থেকে বৃত্তে (কেন বৃত্ত?)। ত্রিভুজের একটা বড় সীমাবদ্ধতা — এতে $90^\circ$-র বেশি কোণ ভালোভাবে বসে না ($240^\circ$ কোণ কোনো ত্রিভুজে আঁকা যায় না)। তাই আমরা ত্রিভুজ ছেড়ে circle (বৃত্ত)-এ যাই। ব্যাসার্ধ $r$-এর বৃত্তে কোণ মাপি ধনাত্মক $x$-অক্ষ থেকে (counterclockwise, ঘড়ির উল্টো দিকে)। প্রতিটা কোণ বৃত্তের ওপর একটা বিন্দু দেয়, যার $x, y$ ঋণাত্মকও হতে পারে (কিন্তু $r$ কখনো নয়)। বিন্দুটা ঘুরলে ছয়টা অনুপাত ছয়টা তরঙ্গের মতো graph আঁকে — cosine-এর ঢেউ ঠিক sine-এরই মতো, শুধু $90^\circ$ সরানো।

Trigonometry on a circle comparing 2 sin theta, sin 2theta and tan theta

চিত্র ২৬: বৃত্তে trigonometry — $2\sin\theta$, $\sin 2\theta$ ও $\tan\theta$-এর তুলনা (period যথাক্রমে $2\pi,\ \pi,\ \pi$)। ত্রিভুজে বড় কোণ বসে না বলেই বৃত্ত দিয়ে সব কোণের function সংজ্ঞায়িত করা হয়।

Radian (রেডিয়ান) — কেন degree ছেড়ে দিই। বৃত্তে গেলে degree বাদ, radian চালু। পুরো বৃত্তের পরিধি $2\pi r$; কোণ $\theta$ পর্যন্ত চাপ (arc)-এর দৈর্ঘ্য $r\theta$। অর্থাৎ radian-এ কোণ মানে "ব্যাসার্ধের কত গুণ চাপ পেরোলাম"। ব্যাসার্ধ $1$ হলে একেবারে সহজ — চাপের দৈর্ঘ্যই কোণ। তাই:

\[ 360^\circ = 2\pi \text{ radian}, \qquad 180^\circ = \pi, \qquad 90^\circ = \tfrac{\pi}{2}, \qquad 45^\circ = \tfrac{\pi}{4} \]

ঘড়ির দিকে (clockwise) ঘুরলে কোণ ঋণাত্মক। এতে $x$ বদলায় না, কিন্তু $y$-এর চিহ্ন উল্টে যায়, তাই:

\[ \cos(-\theta) = \cos\theta, \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan\theta \]

মানে cosine even (জোড়), আর sine ও tangent odd (বিজোড়)। আর $2\pi$ যোগ করলে একই বিন্দুতে ফিরি — তাই সব function-এর period (পর্যায়) $2\pi$। আবার $x, y$ কখনো $r$-এর বড় হয় না, তাই মানের সীমা $\lvert\cos\theta\rvert \le 1$, $\lvert\sin\theta\rvert \le 1$, আর $\lvert\sec\theta\rvert \ge 1$, $\lvert\csc\theta\rvert \ge 1$ ($\tan, \cot$ যেকোনো মান নিতে পারে)।

তিনটা মূল identity (Pythagoras থেকে)। সবকিছুর মূলে $x^2 + y^2 = r^2$। একে $r^2$ দিয়ে ভাগ করলে $(x/r)^2 + (y/r)^2 = 1$, অর্থাৎ:

\[ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \]

$x^2$ দিয়ে ভাগ করলে দ্বিতীয়টা, $y^2$ দিয়ে ভাগ করলে তৃতীয়টা:

\[ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta, \qquad \cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta \]

এদের প্রথমটা — $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ — মুখস্থের চেয়েও বেশি, একেবারে হাড়ে গেঁথে রাখতে হবে।

দূরত্ব ও addition formula (কীভাবে $\cos(s-t)$ পাই)। দুই বিন্দুর মধ্যেকার দূরত্বও Pythagoras থেকেই আসে:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Distance between two points and equal chords in two identical circles

চিত্র ২৭: দুই বিন্দুর দূরত্ব, আর দুটো একই বৃত্তে সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা (chord)। একই দূরত্বকে দুইভাবে লিখে trigonometry-র addition formula বেরিয়ে আসে।

একই ব্যাসার্ধের দুটো বৃত্তে এই দূরত্ব-সূত্র খাটিয়ে, $\cos^2 + \sin^2 = 1$ বসিয়ে সরল করলে পাই addition formula:

\[ \cos(s - t) = \cos s \cos t + \sin s \sin t, \qquad \cos(s + t) = \cos s \cos t - \sin s \sin t \]

$s = t$ বসালে double-angle (দ্বিগুণ কোণ) সূত্র, আর complementary angle (পূরক কোণ) $\sin\theta = \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta)$ দিয়ে sine-এর জোড়াও পাই:

\[ \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t, \qquad \sin(s \pm t) = \sin s \cos t \pm \cos s \sin t, \qquad \sin 2t = 2\sin t \cos t \]

এই দশটা সূত্র (তিন identity, $\cos(s\pm t)$, $\sin(s\pm t)$, double-angle, complementary) trigonometry-র মেরুদণ্ড — Chapter 2-এ derivative আর Chapter 5-এ integral-এ কাজে লাগবে। বিশেষ কোণে (special angles) সংখ্যা বসিয়ে সবগুলো যাচাই করা যায়।

Special-angle values checking the ten trigonometric formulas at pi/6 and pi/3

চিত্র ২৮: বিশেষ কোণে ($\tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{3}$) দশটা সূত্রের যাচাই — যেমন $\cos\tfrac{\pi}{6} = \sin\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ আর $\sin\tfrac{\pi}{6} = \cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}$। calculus-এর আসল চমক এর পরের ধাপে — কোণ শূন্যের দিকে গেলে কী হয়, সেই limit-এ।

২.৬ A Thousand Points of Light — হাজার বিন্দুর আলো (1.6)¶

এবার একটা চমকপ্রদ ছবি—আমরা আঁকব $y=\sin n$, যেখানে $n$ শুধু integer $0,1,2,3,\dots$ (radian-এ)। এটা continuous (অবিচ্ছিন্ন) curve $y=\sin x$ থেকে সম্পূর্ণ আলাদা। $\sin x$ একটাই smooth wave; $x=10{,}000$-এ পৌঁছাতে সেটা প্রায় $10{,}000/(2\pi)\approx1591$ বার oscillate করে। কিন্তু curve থেকে শুধু integer input-এর point-গুলো sample করলে সেগুলো যেন $40$-এর বেশি আলাদা sine curve-এর ওপর সাজানো মনে হয়।

Ten thousand points y = sin n appearing to lie on many separate sine curves

চিত্র ২৯: $y = \sin n$-এর হাজার হাজার বিন্দু। যদিও সব বিন্দু একটাই $\sin x$ curve থেকে নেওয়া, চোখে সেগুলো অনেকগুলো আলাদা sine curve-এর মতো লাগে — এটাই sampling-এর ছলনা।

কোন বিন্দুগুলো $(0,0)$-এর কাছে? $\sin n$ শূন্যের কাছে তখনই, যখন $n$ কোনো $\pi$-এর গুণিতকের কাছে। $\sin 1 = 0.84$ ($1$ radian কিন্তু বেশ বড় কোণ!), $\sin 2 = 0.91$, $\sin 3 = 0.14$ — কেউই শূন্যের খুব কাছে নয়। প্রথম যেটা কাছে আসে সেটা $\sin 22$, কারণ $\tfrac{22}{7} \approx \pi$, অর্থাৎ $22 \approx 7\pi$:

\[ \sin 22 = \sin(7\pi - 22) \approx \sin(0.01) \approx 0.01 \]

— শূন্যের একদম গায়ে (সামান্য নিচে), ছবির $(0,0)$-এর ডানে প্রথম বিন্দু। পরেরটা $\sin 44$ ($44 \approx 14\pi$), প্রায় $0.02$। হিসাব করলে দেখা যায় ছবিতে আসলে $44$টা sine curve — $22$টা ওপরে ওঠা, $22$টা নিচে নামা। মাঝের curve-টার বিন্দুগুলো $n = 0, 44, 88, \dots$ (মানে $44N$), আর সেটা শূন্যে ফেরে $n \approx 7810$-এর কাছে (এর period প্রায় $15{,}620$ — আমাদের ছবির বাইরে)।

একই বিন্দু, ভিন্ন scale — আর hexagon (ষড়ভুজ)। প্রথম $1000$ বিন্দু আলাদা করে আঁকলে বেশির ভাগ মানুষ sine curve নয়, hexagon (ষড়ভুজ) দেখে — অথচ এগুলো হুবহু একই বিন্দু! পার্থক্যটা শুধু scale (মাপ)-এর, ঠিক যেমন মানচিত্র zoom in/out করলে ভিন্ন জিনিস চোখে পড়ে। এই ষড়ভুজগুলো আসলে Moiré pattern — দুটো প্রায়-পর্যাবৃত্ত (periodic) নকশা একটার ওপর আরেকটা পড়লে যে হস্তক্ষেপ (interference), তা থেকে।

Fractional-part straight lines overlaid to make a Moire hexagon pattern

চিত্র ৩০: $n / 2\pi$-এর ভগ্নাংশ-অংশ (fractional part) দিয়ে সরলরেখার নকশা, আর তার একটা উল্টানো কপি ওপরে বসালে তৈরি হওয়া Moiré ষড়ভুজ। $\tfrac{44}{7}, \tfrac{25}{4}, \tfrac{19}{3}$ — সবাই $2\pi$-এর কাছাকাছি বলেই এই হস্তক্ষেপ-নকশা।

মূল স্বজ্ঞা — sampling ও aliasing

Continuous (অবিচ্ছিন্ন) curve থেকে discrete point নেওয়াকে sampling বলে। Sample-গুলো মূল curve-এ ছিল না এমন নতুন curve বা pattern (এখানে ৪৪টি sine curve বা hexagon) দেখালে সেই false pattern-কে aliasing বলে। একই কারণে সিনেমায় চলন্ত চাকা উল্টো ঘোরে মনে হয়; digital audio ও image sampling-এও ধারণাটি কেন্দ্রীয়।

৩. মূল সূত্র ও সম্পর্ক¶

পুরো অধ্যায়ের সূত্রগুলো এক জায়গায়:

সম্পর্ক	সূত্র	মানে
velocity = position-এর slope	$v = \dfrac{df}{dt}$	differentiation ($f \to v$)
position change = velocity-র signed area	$f(t)-f(0)=\displaystyle\int_0^t v\,dt$	integration ($v \to f$)
total distance = speed-এর area	$D(t)=\displaystyle\int_0^t	v
ধ্রুব বেগ	$v$ ধ্রুব $\Rightarrow f = vt + C$	সরলরেখা
ধ্রুব ত্বরণ	$v = at \Rightarrow f = \tfrac12 a t^2$	parabola
দোলন (sine)	$f = \sin t \Rightarrow v = \cos t$	harmonic
দোলন (cosine)	$f = \cos t \Rightarrow v = -\sin t$	harmonic
Pythagoras	$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$	অবস্থান ও বেগ, সব $t$-তে

ঢালের ছোট derivation (কেন $f = t^2$-এর ঢাল $2t$)। derivative-এর সংজ্ঞা হলো গড় বেগের limit:

\[ v(t) = \lim_{h \to 0} \frac{f(t + h) - f(t)}{h} \]

$f(t) = t^2$ বসাই:

\[ \frac{(t + h)^2 - t^2}{h} = \frac{t^2 + 2th + h^2 - t^2}{h} = \frac{2th + h^2}{h} = 2t + h \]

$h \to 0$ নিলে $v(t) = 2t$। ✓ (একইভাবে $f = \tfrac12 a t^2$ দিলে $v = at$ পাওয়া যায়।)

উল্টো দিক (integration)। $v = 2t$-এর নিচের ক্ষেত্রফল ($0$ থেকে $t$) একটা ত্রিভুজ:

\[ f(t) = \tfrac12 (t)(2t) = t^2 \]

ধাপে-ধাপে (discrete) রূপ (1B/1C)। curve-এর আগে সংখ্যার জগতে একই সত্য:

\[ \sum_{j=1}^{n} v_j = \sum_{j=1}^{n} \big(f_j - f_{j-1}\big) = f_n - f_0 \]

এটাই Fundamental Theorem of Calculus-এর বীজগাণিতিক ছায়া — "পার্থক্যের যোগফল = শেষ বিয়োগ প্রথম"।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ১ (ধ্রুব বেগ → ক্ষেত্রফল)। $v = 60$ mph, $t = 3$ ঘণ্টা। দূরত্ব $= v$-graph-এর নিচের আয়তক্ষেত্র $= 60 \times 3 = 180$ mile। ঢালের দিক থেকেও: $f = 60t$, ঢাল $60$। ✓

উদাহরণ ২ (সামনে-পিছে → ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল)। $V = 30$, সামনে $t = 0 \to 3$: $f$ ওঠে $3 \times 30 = 90$-তে। পিছে $t = 3 \to 6$: $f$ নামে $0$-তে। মোট ক্ষেত্রফল $= (+90) + (-90) = 0$, তাই $f(6) = 0$। ✓ $f(3) = 90$ (শীর্ষ)।

উদাহরণ ৩ (পার্থক্যের যোগফল)। $f = 0, 2, 6, 7, 4, 9$ → $v = 2, 4, 1, -3, 5$। যোগফল $2 + 4 + 1 - 3 + 5 = 9 = f_{\text{last}} - f_{\text{first}} = 9 - 0$। ✓ মাঝপথে থামলে (তিন পার্থক্য পরে): $2 + 4 + 1 = 7 = f_3$। ✓

উদাহরণ ৪ (তাৎক্ষণিক বেগ)। $f = t^2$, $t = 10$। গড় বেগ $t = 10 \to 10 + h$ হলো $20 + h$। $h = 1 \Rightarrow 21$; $h = 0.5 \Rightarrow 20.5$; $h = 0.001 \Rightarrow 20.001$। limit $= 20 = v(10)$। ✓

উদাহরণ ৫ (পড়ন্ত বস্তু)। $a = g$ হলে $v = gt$, $f = \tfrac12 g t^2$ — Galileo-র বিখ্যাত জোড়া। বেগ ভরের ওপর নির্ভর করে না, তাই পালক আর পাথর (বাতাস না থাকলে) একসাথে পড়ে।

Analogy ১ — speedometer ও odometer। $v$ পড়া মানে "এই মুহূর্তে কত দ্রুত" (তাৎক্ষণিক, ঢাল); $f$ পড়া মানে "মোট কত পথ" (জমা, ক্ষেত্রফল)। একটা থেকে অন্যটা বের করাই calculus।

Analogy ২ — বালতিতে জল ভরা। কল দিয়ে জল পড়ার হার (rate) হলো $v$ (বেগ); বালতিতে জমা মোট জল হলো $f$ (দূরত্ব)। হার বেশি হলে জল দ্রুত জমে (খাড়া ঢাল); কল বন্ধ (হার $0$) হলে জল একই থাকে (সমতল graph)। মোট জল $=$ হার-graph-এর নিচের ক্ষেত্রফল।

Analogy ৩ — ব্যাংক ব্যালেন্স। অ্যাকাউন্টে টাকা $f$; প্রতিদিন জমা/খরচের হার $v$। খরচ (ঋণাত্মক $v$) হলে ব্যালেন্স নামে। মোট পরিবর্তন $=$ সব দৈনিক পরিবর্তনের যোগফল $= f_{\text{last}} - f_{\text{first}}$ — ঠিক 1B।

৫. Python-এ করো¶

numpy আর matplotlib দিয়ে দেখি — position graph থেকে velocity এবং velocity-র signed area থেকে position change। এই উদাহরণে $v=2t\ge0$, তাই displacement ও total distance একই।

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# সময় 0 থেকে 5, ছোট ছোট ধাপে
t = np.linspace(0, 5, 51)      # 51টা বিন্দু
f = t**2                       # position f = t^2 (এখানে monotone)

# --- position থেকে velocity: slope বের করা ---
# np.gradient প্রতিবেশী বিন্দু দিয়ে সংখ্যাগত ঢাল হিসাব করে (df/dt)
v_num = np.gradient(f, t)      # আনুমানিক বেগ
v_true = 2 * t                 # তাত্ত্বিক বেগ v = 2t

print("t=3-এ সংখ্যাগত বেগ  :", round(v_num[t.tolist().index(3.0)], 3))
print("t=3-এ তাত্ত্বিক বেগ :", 2 * 3)   # = 6

# দুটো graph পাশাপাশি আঁকি
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
ax1.plot(t, f, color="tab:blue")                      # distance
ax1.set_title("distance  f = t^2"); ax1.set_xlabel("t")
ax2.plot(t, v_num, "o", ms=3, label="numerical slope")# বিন্দু = সংখ্যাগত
ax2.plot(t, v_true, color="tab:orange", label="v = 2t")# রেখা = তাত্ত্বিক
ax2.set_title("velocity = slope of f"); ax2.set_xlabel("t"); ax2.legend()
plt.tight_layout()
# plt.show()   # নিজের কম্পিউটারে চালালে খুলে দাও

লক্ষ করো, সংখ্যাগত ঢাল প্রায় হুবহু $2t$ — শুধু একদম দুই প্রান্তে সামান্য পার্থক্য (np.gradient প্রান্তে এক পাশের বিন্দু দিয়ে হিসাব করে বলে)।

এবার উল্টো দিক — velocity থেকে position change (signed area জমিয়ে):

import numpy as np

t = np.linspace(0, 5, 51)
dt = t[1] - t[0]               # প্রতিটা ধাপের প্রস্থ
v = 2 * t                      # দেওয়া বেগ v = 2t

# trapezoid rule-এ signed area জমাই (এখানে v>=0, তাই distance-ও একই)
# প্রতিটা ছোট অংশের ক্ষেত্রফল = গড় উচ্চতা × প্রস্থ, তারপর যোগফল জমা
strip = (v[:-1] + v[1:]) / 2 * dt        # প্রতিটা ফালির ক্ষেত্রফল
f_rebuilt = np.concatenate([[0], np.cumsum(strip)])  # f(0)=0 থেকে শুরু

print("পুনর্গঠিত f (শেষ কটি):", np.round(f_rebuilt[-3:], 3))
print("আসল t^2   (শেষ কটি):", np.round((t**2)[-3:], 3))
# দুটো প্রায় সমান → area দিয়ে position ফিরে পেলাম (Fundamental Theorem)

শেষে circular motion — $\sin t$-এর ঢাল সত্যিই $\cos t$ কিনা যাচাই:

import numpy as np

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 400)
slope_of_sin = np.gradient(np.sin(x), x)   # sin-এর সংখ্যাগত ঢাল
gap = np.max(np.abs(slope_of_sin - np.cos(x)))
print("|sin-এর ঢাল − cos|-এর সর্বোচ্চ পার্থক্য:", gap)  # ≈ 0.00004, প্রায় শূন্য

৬. সাধারণ ভুল (Common mistakes)¶

Slope আর value গুলিয়ে ফেলা। Position graph উঁচুতে থাকা মানে velocity বেশি নয়—velocity হলো slope। Flat position graph মানে velocity zero। Odometer-distance graph আলাদা: সেটি nondecreasing এবং তার slope speed $|v|$।
$f(t) - 2$ আর $f(t - 2)$ এক ভাবা। প্রথমটা graph নিচে নামায় (range), দ্বিতীয়টা ডানে সরায় (domain)। একইভাবে $2f(t) \ne f(2t)$।
ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল ভুলে যাওয়া। অক্ষের নিচের ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক গোনা হয়। সামনে-পিছে গতিতে মোট ক্ষেত্রফল শূন্য — নাহলে $f(6) = 0$ মিলবে না।
গড় বেগকেই তাৎক্ষণিক বেগ ভাবা। $\dfrac{f(t+h) - f(t)}{h}$ হলো গড়; তাৎক্ষণিক বেগ পেতে $h \to 0$ limit নিতে হবে। $h = 1$-এর গড় ($21$) আর $t = 10$-এর আসল বেগ ($20$) এক নয়।
$2^j$, $j^2$, $2j$ গুলিয়ে ফেলা। $2j$ রৈখিক, $j^2$ দ্বিঘাত, $2^j$ সূচকীয়। $j = 10$-এ এরা যথাক্রমে $20$, $100$, $1024$ — সূচকীয়টা অনেক দ্রুত বাড়ে।
Degree আর radian মেশানো। calculus-এ কোণ সবসময় radian-এ। পুরো বৃত্ত $2\pi$ (radian), $360$ নয়। $\sin 1$ (radian) $\approx 0.84$, কিন্তু $\sin 1^\circ \approx 0.017$ — সম্পূর্ণ আলাদা।
$\cos$-এর ঢালে ঋণচিহ্ন বাদ। $f = \sin t \Rightarrow v = \cos t$, কিন্তু $f = \cos t \Rightarrow v = -\sin t$ (ঋণচিহ্নসহ)।

৭. এক্সারসাইজ (Exercises)¶

নিজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান খোলো।

ধ্রুব বেগে $f(0) = 0$ থেকে শুরু করে $f(t) = 55t$ হলে বেগ $v = ?$ আর $f(t) = 55t + 1000$ হলে বেগ $v = ?$ ও শুরুর মান $f(0) = ?$
সংখ্যা $f = 1, 5, 12, 7, 10$-এর পার্থক্য $v$ বের করো, তাদের যোগফল বের করো, আর দেখাও যে তা $f_{\text{last}} - f_{\text{first}}$-এর সমান।
নিচের প্রতিটা position graph-এর জন্য সংশ্লিষ্ট velocity graph (slope) আঁকো/বর্ণনা করো।

চিত্র ২২: চারটা distance-graph ($f$ বনাম $t$)। প্রতিটার ঢাল বের করে $v$-graph আঁকো।
নিচের প্রতিটা velocity graph-এর জন্য সংশ্লিষ্ট position graph আঁকো ($f=0$ থেকে শুরু, signed area জমিয়ে)। আলাদাভাবে total-distance graph কেমন হবে বলো।

চিত্র ২৩: চারটা velocity-graph ($v$ বনাম $t$)। প্রতিটার নিচের ক্ষেত্রফল জমিয়ে $f$-graph আঁকো।
নিচের দুটো distance-graph সরলরেখা (simple interest-এর মতো)। প্রতিটার ঢাল (বেগ) বের করো, আর শুরুর ব্যালেন্সের ওপর বছরে সুদের হার বের করো।

চিত্র ২৪: দুটো সরল distance-graph। বাঁয়ে $f: 100 \to 120$, ডানে $f: 80 \to 100$ ($t = 0$ থেকে $2$ পর্যন্ত)।
এই নকশা দিয়ে দেখাও কেন $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$, আর L-আকৃতির প্রতিটা বন্ধনীর (band) ক্ষেত্রফল কেন পরপর বিজোড় সংখ্যা।

চিত্র ২৫: বাঁয়ে নেস্টেড বর্গ (nested squares), ডানে কর্ণের নিচে সিঁড়ি। এই ছবি $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$-এর জ্যামিতিক প্রমাণ।
$f(t) = t^2$ হলে $t = 3$ ও $t = 3 + h$-এর মধ্যে গড় বেগ বের করো, সরল করো, তারপর $h \to 0$ নিয়ে $t = 3$-এ তাৎক্ষণিক বেগ বের করো। এরপর $f(t) = 3t + t^2$-এর বেগ $v(t)$ বের করো।
একক বৃত্তে গতি $1$-এ ঘোরা বলের জন্য: (ক) $t = \pi/2$-এ অবস্থান $(x, y)$ ও বেগের উপাংশ (ঊর্ধ্বমুখী, আনুভূমিক); (খ) বল দ্বিগুণ দ্রুত ঘুরলে (কোণ $2t$) অবস্থান $(\cos 2t, \sin 2t)$ আর ঊর্ধ্বমুখী বেগ $2\cos 2t$ — এই $2$ কোথা থেকে এল ব্যাখ্যা করো।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

ধ্রুব বেগ মানে $f = vt + C$, আর বেগ $=$ ঢাল।

$f(t) = 55t$: ঢাল $55$, তাই $v = 55$। শুরুর মান $f(0) = 0$।
$f(t) = 55t + 1000$: ধ্রুব $1000$ ঢালে কোনো প্রভাব ফেলে না, তাই বেগ এখনও $v = 55$। শুরুর মান $f(0) = 1000$।

শিক্ষা: যোগ করা ধ্রুব graph-কে ওপরে সরায়, কিন্তু ঢাল বদলায় না।

২-নং সমাধান দেখাও

পাশাপাশি বিয়োগ করি: $5 - 1 = 4$, $12 - 5 = 7$, $7 - 12 = -5$, $10 - 7 = 3$।

\[ v = 4,\ 7,\ -5,\ 3 \]

যোগফল: $4 + 7 - 5 + 3 = 9$। আর $f_{\text{last}} - f_{\text{first}} = 10 - 1 = 9$। ✓

মাঝের সংখ্যা ($5, 12, 7$) telescoping-এ কাটাকাটি হয়ে যায় — এটাই 1B।

৩-নং সমাধান দেখাও

নিয়ম: velocity = position graph-এর slope। প্রতিটা linear segment-এর slope constant, তাই $v$-graph piecewise constant।

1a (trapezoid): উঠতি অংশে ঢাল ধনাত্মক ধ্রুব → $v > 0$; সমতল শীর্ষে ঢাল $0$ → $v = 0$; নামতি অংশে ঢাল ঋণাত্মক → $v < 0$। যেমন $f$ $0 \to 60$ ($t: 0 \to 2$) হলে $v = 30$; সমতলে $v = 0$; $60 \to 0$ ($t: 4 \to 6$) হলে $v = -30$।
1b (V-আকৃতি): নামতি অংশে $v < 0$, তলা ছুঁয়ে উঠতি অংশে $v > 0$ — একটা লাফ।
2a: প্রথমে খাড়া ধনাত্মক ঢাল, তারপর কম ধনাত্মক, শেষে ঋণাত্মক (নামা)।
2b (step up): শুরুতে সমতল ($v = 0$), তারপর উঠতি ($v > 0$), তারপর আবার সমতল ($v = 0$)।

মূল কৌশল: সমতল $f$ → $v = 0$; খাড়া $f$ → বড় $|v|$; নিচে-নামা $f$ → ঋণাত্মক $v$।

৪-নং সমাধান দেখাও

নিয়ম: distance $=$ velocity-graph-এর নিচের ক্ষেত্রফল (অক্ষের নিচে ঋণাত্মক)। $f$ শুরু $0$ থেকে, ক্ষেত্রফল জমতে থাকে; ধ্রুব $v$-এর টুকরোতে $f$ সরলরেখা (ঢাল $= v$)।

13a (একটা ঝলক, ধরো $v = 30$, $t: 1 \to 2$): $t < 1$-এ $f = 0$; $t: 1 \to 2$-এ $f$ ঢাল $30$ নিয়ে ওঠে $30$-তে; তারপর সমতল $30$।
13b ($v = -30$ then $0$ then $+30$): $f$ প্রথমে নামে ($-60$ পর্যন্ত $t = 2$-এ), সমতল থাকে, তারপর ওঠে।
14a ($v = -40$ then $+40$): $f$ নামে $-40$-তে ($t = 1$), তারপর ওঠে $0$-তে ($t = 2$) — একটা V।
14b ($v = 40, 0, 20$): $f$ খাড়া ওঠে, সমতল থাকে, তারপর কম ঢালে ওঠে — ক্রমাগত বাড়ে (piecewise linear)।

যাচাই: যেকোনো সময়ে $f =$ ততক্ষণ পর্যন্ত আয়তক্ষেত্রগুলোর যোগফল।

৫-নং সমাধান দেখাও

সরলরেখার ঢাল $= \dfrac{\text{change in } f}{\text{change in } t}$।

বাঁ graph: $f: 100 \to 120$, $t: 0 \to 2$। ঢাল (বেগ) $= \dfrac{120 - 100}{2} = 10$ প্রতি বছর। শুরুর ব্যালেন্স $100$, তাই সুদের হার $= \dfrac{10}{100} = 10\%$ প্রতি বছর।
ডান graph: $f: 80 \to 100$, $t: 0 \to 2$। ঢাল $= \dfrac{100 - 80}{2} = 10$ প্রতি বছর। শুরুর ব্যালেন্স $80$, তাই হার $= \dfrac{10}{80} = 12.5\%$ প্রতি বছর।

মজার: দুটোর ঢাল (বছরে জমা টাকা) একই ($10$), কিন্তু হার আলাদা — কারণ হার নির্ভর করে শুরুর ব্যালেন্সের ওপর।

৬-নং সমাধান দেখাও

নেস্টেড বর্গ (বাঁ ছবি): $1 \times 1$ বর্গের বাইরে L-আকৃতির বন্ধনী যোগ করে $2 \times 2$ বানাই — যোগ হওয়া ক্ষেত্রফল $2^2 - 1^2 = 3$। এরপর $3 \times 3$: যোগ $3^2 - 2^2 = 5$। তারপর $4 \times 4$: যোগ $4^2 - 3^2 = 7$। অর্থাৎ L-বন্ধনীগুলোর ক্ষেত্রফল পরপর বিজোড় সংখ্যা $1, 3, 5, 7$। সব যোগ করলে পুরো $4 \times 4$ বর্গ:

\[ 1 + 3 + 5 + 7 = 4^2 = 16 \]

সিঁড়ি (ডান ছবি): সিঁড়ির ধাপগুলোর ক্ষেত্রফল $1, 3, 5, 7$ (মোট)। কর্ণের নিচের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = 4^2$ — সিঁড়ি আর ত্রিভুজ একই ক্ষেত্রফল ঢাকে। সাধারণভাবে $j$টা ধাপে $\tfrac12 \cdot j \cdot 2j = j^2$।

এটাই Fig 1.7-এর সেই সুন্দর সত্য: বর্গের পার্থক্য = বিজোড় সংখ্যা।

৭-নং সমাধান দেখাও

$f(t) = t^2$, $t = 3$ থেকে $t = 3 + h$:

\[ v_{\text{ave}} = \frac{(3 + h)^2 - 3^2}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \]

$h \to 0$ নিলে তাৎক্ষণিক বেগ $v(3) = 6$ (যা $2t = 2 \times 3 = 6$-এর সাথে মেলে)।

এবার $f(t) = 3t + t^2$:

\[ v_{\text{ave}} = \frac{3(t + h) + (t + h)^2 - 3t - t^2}{h} = \frac{3h + 2th + h^2}{h} = 3 + 2t + h \]

$h \to 0 \Rightarrow v(t) = 3 + 2t$। অর্থাৎ $3t$ অংশটা বেগে ধ্রুব $3$ যোগ করে (শুরুর বেগ), আর $t^2$ অংশটা $2t$ দেয়।

৮-নং সমাধান দেখাও

(ক) $x = \cos t$, $y = \sin t$। $t = \pi/2$-এ:

\[ x = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0, \qquad y = \sin\tfrac{\pi}{2} = 1 \]

বল বৃত্তের শীর্ষে $(0, 1)$। বেগ tangent বরাবর: ঊর্ধ্বমুখী বেগ $= \cos t = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$, আনুভূমিক বেগ $= -\sin t = -\sin\tfrac{\pi}{2} = -1$। অর্থাৎ শীর্ষে বল আর উঠছে না, পুরো বেগ বাঁ দিকে ($-1$)।

(খ) কোণ এখন $2t$, তাই অবস্থান $x = \cos 2t$, $y = \sin 2t$। বল দ্বিগুণ দ্রুত ঘোরে, তাই গতি $= 2$ (velocity triangle দ্বিগুণ বড়)। ফলে ঊর্ধ্বমুখী বেগ $= 2\cos 2t$, আনুভূমিক বেগ $= -2\sin 2t$।

$2$-টা দুই জায়গা থেকে আসে: একটা ভেতরের কোণ $2t$ থেকে ($\cos 2t$), আরেকটা গতি $2$ থেকে (সামনে chain rule হিসেবে ফিরে আসবে — "ভেতরের function-এর ঢাল দিয়ে গুণ")।

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এই অধ্যায়ের পর নিজেকে যাচাই করো:

[ ] $v$ ও $f$-এর সম্পর্ক বলতে পারি: $v = f$-এর ঢাল (derivative), $f = v$-এর ক্ষেত্রফল (integral) — এরা একে অপরের উল্টো।
[ ] ধ্রুব বেগে $f = vt$, আর ঢাল $= \dfrac{\text{change in distance}}{\text{change in time}}$ — বুঝি।
[ ] ঋণাত্মক বেগ graph নামায়, আর অক্ষের নিচের ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক — মনে আছে (সামনে-পিছে গতিতে মোট $0$)।
[ ] Function-এর input/output, domain, range আলাদা করতে পারি; $f(t) - 2$ (নিচে) বনাম $f(t - 2)$ (ডানে) গুলাই না।
[ ] পার্থক্যের যোগফল $= f_{\text{last}} - f_{\text{first}}$ (1B) — telescoping দিয়ে বোঝাতে পারি; জানি বিজোড় সংখ্যার যোগফল $= j^2$।
[ ] গড় বেগ থেকে তাৎক্ষণিক বেগ: $\dfrac{f(t+h) - f(t)}{h}$-এর $h \to 0$ limit; $f = t^2 \Rightarrow v = 2t$ derive করতে পারি।
[ ] ধ্রুব ত্বরণে $v = at$, $f = \tfrac12 a t^2$ — জানি।
[ ] Circular motion: $x = \cos t$, $y = \sin t$; $\sin t$-এর ঢাল $\cos t$, $\cos t$-এর ঢাল $-\sin t$; কোণ radian-এ।
[ ] Python-এ np.gradient দিয়ে velocity, $\int v$ দিয়ে displacement, আর $\int|v|$ দিয়ে total distance বের করতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 9.2 — Derivatives — derivative-এর আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ও নিয়ম।

function	মানে	reciprocal (অন্যোন্যক)
\(\cos\theta = x/r\)	কাছের বাহু / অতিভুজ	\(\sec\theta = 1/\cos\theta\)
\(\sin\theta = y/r\)	বিপরীত বাহু / অতিভুজ	\(\csc\theta = 1/\sin\theta\)
\(\tan\theta = y/x\)	বিপরীত / কাছের বাহু	\(\cot\theta = 1/\tan\theta\)

সম্পর্ক	সূত্র	মানে
velocity = position-এর slope	\(v = \dfrac{df}{dt}\)	differentiation (\(f \to v\))
position change = velocity-র signed area	\(f(t)-f(0)=\displaystyle\int_0^t v\,dt\)	integration (\(v \to f\))
total distance = speed-এর area	$D(t)=\displaystyle\int_0^t	v
ধ্রুব বেগ	\(v\) ধ্রুব \(\Rightarrow f = vt + C\)	সরলরেখা
ধ্রুব ত্বরণ	\(v = at \Rightarrow f = \tfrac12 a t^2\)	parabola
দোলন (sine)	\(f = \sin t \Rightarrow v = \cos t\)	harmonic
দোলন (cosine)	\(f = \cos t \Rightarrow v = -\sin t\)	harmonic
Pythagoras	\(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\)	অবস্থান ও বেগ, সব \(t\)-তে