9.4 — The Chain Rule (চেইন রুল)¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: দুটো অপেক্ষককে পরপর বসিয়ে বানানো composite function (যৌগিক অপেক্ষক) \(f(g(x))\)-এর ডেরিভেটিভ বের করার নিয়ম — chain rule (চেইন রুল)। এটাই নতুন অপেক্ষকের ডেরিভেটিভ বের করার তৃতীয় মৌলিক হাতিয়ার (আগের দুটো: sum rule আর product rule)। এরপর দেখব এই একটিমাত্র নিয়ম থেকেই জন্ম নেয় আরও তিনটি শক্তিশালী কৌশল — implicit differentiation (অবচ্ছেদ্য অন্তরকলন), related rates (সম্পর্কিত হার), এবং inverse function (বিপরীত অপেক্ষক)-এর ডেরিভেটিভ — যেখান থেকে আমরা প্রথমবারের মতো \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\)-এর সঠিক ঢাল পেয়ে যাব।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

আমরা এতক্ষণে দুইভাবে নতুন অপেক্ষকের ডেরিভেটিভ বানাতে শিখেছি। অপেক্ষক যোগ করলে ডেরিভেটিভ আসে sum rule থেকে; অপেক্ষক গুণ করলে product rule থেকে। কিন্তু বাস্তবে ব্যবহৃত প্রায় প্রতিটা অপেক্ষকই আসলে ছোট ছোট অপেক্ষকের চেইন (শৃঙ্খল) — একটাকে আরেকটার ভেতরে বসিয়ে বানানো।

উদাহরণ ধরো \(\sin(x^2)\)। এটা \(\sin x\) আর "বর্গ করা" (\(x^2\)) — এই দুটো অপেক্ষকের সংমিশ্রণ (composition)। প্রথমে \(x\) থেকে বর্গ করে \(x^2\) পাও, তারপর তার sine নাও। আরেকটা: \(\sqrt{x^2+1}\) হলো "\(x^2+1\) বানাও, তারপর বর্গমূল নাও"। এই ভেতরে-ভেতরে বসানো অপেক্ষককে হাত দিয়ে গুণফলে বা যোগফলে ভাঙা যায় না — এদের ডেরিভেটিভের জন্য আলাদা নিয়ম দরকার। সেটাই chain rule।

এই একটা নিয়ম শিখে ফেললে যা যা খুলে যায়:

\(\sin(3x)\), \((x^3+1)^5\), \(\cos(2x+1)\) — যেকোনো "ভেতরে-বাইরে" অপেক্ষকের ঢাল।
Power rule পুরোটাই এর একটা বিশেষ ক্ষেত্র — বর্গমূল, ঘন, ভগ্নাংশ-ঘাত সবকিছুতে।
যে সমীকরণ থেকে \(y\)-কে \(x\) দিয়ে আলাদা করে লেখাই যায় না (যেমন \(y^5+xy=3\)), তারও ঢাল বের হয়ে যায় — implicit differentiation।
একটা রাশির পরিবর্তনের হার থেকে আরেকটার পরিবর্তনের হার — related rates (মই দেয়াল বেয়ে কত দ্রুত নামছে, বেলুন কত দ্রুত দূরে যাচ্ছে)।
বিপরীত অপেক্ষকের ঢাল — আর সেখান থেকে \(\arcsin, \arctan\)-এর ডেরিভেটিভ, যা integral (পরের অধ্যায়) বোঝার চাবিকাঠি।

মূল স্বজ্ঞা

চেইন রুল একটামাত্র বাক্যে ধরা যায়:

বাইরের অপেক্ষকের ডেরিভেটিভ (ভেতরের অপেক্ষকের জায়গায় বসানো) \(\times\) ভেতরের অপেক্ষকের ডেরিভেটিভ।

ক্যালকুলেটরের ভাষায়: \(x\) ইনপুট দাও, "\(g\)" বাটন চাপো (ভেতরের অপেক্ষক), তারপর "\(f\)" বাটন চাপো (বাইরের অপেক্ষক)। ডেরিভেটিভ বের করতে হলে শেষ থেকে শুরুর দিকে প্রতিটা ধাপের ঢাল একে একে গুণ করতে থাকো। Leibniz-এর সুন্দর লেখা \(\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\) যেন নিজেই বলে দেয় কী করতে হবে — \(du\) ওপরে-নিচে "কাটাকাটি" হয়ে যায়।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

২.১ Composition (সংমিশ্রণ) — ভেতরের ও বাইরের অপেক্ষক¶

দুটো অপেক্ষক \(f\) আর \(g\)-কে যোগ বা গুণ না করে পরপর বসানোই হলো composition। প্রথমে \(x\) থেকে \(g(x)\) বের করো, তারপর সেই মানকে \(f\)-এ ঢোকাও:

\[ z(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)). \]

এখানে \(g\) হলো ভেতরের অপেক্ষক (inside function) আর \(f\) হলো বাইরের অপেক্ষক (outside function)। বৃত্তচিহ্ন \(\circ\) সাধারণ গুণ \(fg\) থেকে আলাদা বোঝায়।

উদাহরণ: বর্গ-অপেক্ষক দেয় \(y=g(x)=x^2\); তারপর sine দেয় \(z=f(y)=\sin y=\sin(x^2)\)। যদি \(x=3\) হয়, তবে \(x^2=9\) আর \(\sin(x^2)=\sin 9\)। মাঝখানে একটা "চেইন" — \(x\) থেকে \(y\), \(y\) থেকে \(z\)।

কম্পোজিশন মেশিন

চিত্র ১: যৌগিক অপেক্ষক মানে পরপর বসানো দুটো মেশিন — \(x\) ঢোকে ভেতরের মেশিন \(g\)-তে, বেরোয় \(u=g(x)\); সেটা ঢোকে বাইরের মেশিন \(f\)-এ, বেরোয় \(z=f(g(x))\)। চেইন রুল বলছে দুই মেশিনের "হার" গুণ করো।

ক্রম গুরুত্বপূর্ণ: \(f(g(x))\) আর \(g(f(x))\) এক নয়

\(f(x)=\sin x\) আর \(g(x)=x^2\) ধরো।

\(f(g(x)) = \sin(x^2)\) — আগে বর্গ, পরে sine।
\(g(f(x)) = (\sin x)^2\) — আগে sine, পরে বর্গ। এটাকে লেখা হয় \(\sin^2 x\)।

এই দুটো সম্পূর্ণ আলাদা জিনিস! \(\sin^2 x\) কখনো \(\sin x^2\) লেখা হয় না। \(\sin(x^2)\) আসলে একটা "FM সিগন্যাল" — ঢেউ ওঠানামা করে কিন্তু জায়গাগুলো বদলে যায় (frequency বদলায়); আর \(g(x)\sin x\) ধরনের গুণফল হলো "AM সিগন্যাল" (amplitude বদলায়)।

f(g(x)) বনাম g(f(x))

চিত্র ২ (উৎসের Fig. 4.1): \(f(g(x))\) আর \(g(f(x))\) আলাদা — আগে \(g\) পরে \(f\), নাকি আগে \(f\) পরে \(g\), তার ওপর ফলাফল নির্ভর করে।

দুটো ছোট উদাহরণ যা ধারণা পরিষ্কার করে দেয়:

(উৎসের Example 1) \(g(x)=x^3\) আর \(f(y)=y^4\) হলে যৌগিক অপেক্ষক \(f(g(x))=(x^3)^4=x^{12}\)। কিন্তু সাধারণ গুণফল \(f(x)g(x)=x^4\cdot x^3=x^7\)। মিলিয়ে দেখো — composition কখনো গুণফল নয়।
(উৎসের Example 2, Newton's method) \(F(x)=\tfrac12 x+4\)-কে নিজের সাথে বসালে (iteration) \(F(F(x))=\tfrac12(\tfrac12 x+4)+4=\tfrac14 x+6\)। \(F\)-এর ঢাল \(\tfrac12\); আর \(F(F(x))\)-এর ঢাল \(\tfrac14=\tfrac12\times\tfrac12\)। ডেরিভেটিভগুলো গুণ হয়ে গেল — এটাই চেইন রুলের বীজ।

কিছু বক্ররেখা যেমন \(y^5+xy=3\)-এ \(y\)-কে \(x\) দিয়ে "স্পষ্টভাবে" (\(y=\ldots\)) লেখাই যায় না (Galois প্রমাণ করেছেন পঞ্চম-ঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান-সূত্র নেই)। তবু সমীকরণটাকে যেমন আছে তেমন রেখেই, প্রতিটা পদের \(x\)-ডেরিভেটিভ নিয়ে চেইন রুল খাটিয়ে \(dy/dx\) বের করা যায় — এটাই implicit differentiation।

তার একটা ব্যবহারিক রূপ related rates: একটা রাশির পরিবর্তনের হার \(dg/dt\) জানা থাকলে, \(f\) ও \(g\)-এর সম্পর্ক থেকে \(df/dt\) বের করা।

আয়ত, ছায়া, বেলুন

চিত্র ৩ (উৎসের Fig. 4.3): related rates-এর তিনটি ধ্রুপদী দৃশ্য — বর্ধমান আয়ত (Example 6), রাস্তার বাতির নিচে লম্বা হতে থাকা ছায়া (Example 7), আর ওপরে ওঠা বেলুন (Example 8)।

related rates ছোট চিত্র ১

চিত্র ৪: উৎসের related-rates অনুশীলনী-অংশের সঙ্গের একটি ছোট জ্যামিতিক চিত্র (যেমন ক্র্যাঙ্কশ্যাফট/সমকোণী ত্রিভুজ ধরনের সমস্যা)।

related rates ছোট চিত্র ২

চিত্র ৫: উৎসের related-rates অংশের আরেকটি ছোট চিত্র (আলো/কোণ-সম্পর্কিত সমস্যা — যেমন ক্যামেরা রকেট অনুসরণ করছে)।

২.৩ Inverse function (বিপরীত অপেক্ষক) — যা একটা করে, আরেকটা তা "খুলে ফেলে"¶

চেইন রুলের সবচেয়ে সুন্দর বিশেষ ক্ষেত্র আসে যখন \(f\) আর \(g\) হয় একে অপরের বিপরীত অপেক্ষক। খুব ছোট একটা সমীকরণে ধারণাটা ধরা:

\[ f(g(x)) = x. \]

মানে: \(x\) দিয়ে শুরু করো, \(g\) চালাও পাও \(y=g(x)\); তারপর \(f\) চালালে আবার \(x\)-এ ফিরে আসো। একটা যা করে, বিপরীতটা তা "undo" করে। যদি \(g(5)=3\) হয়, তবে \(f(3)=5\)। লেখা হয় \(f=g^{-1}\) ("g inverse" পড়া হয়) — সাবধান, এটা \(1/g(x)\) নয়।

(উৎসের Example 1) \(g(x)=x-2\) আর \(f(y)=y+2\) — একটা \(2\) বিয়োগ করে, আরেকটা \(2\) যোগ করে ফিরিয়ে আনে।
(উৎসের Example 2, তাপমাত্রা) \(y=g(x)=\tfrac59(x-32)\) (Fahrenheit থেকে Celsius) আর \(x=f(y)=\tfrac95 y+32\)। \(x=32^\circ\text{F}\) (হিমাঙ্ক) দেয় \(y=0^\circ\text{C}\); বিপরীত অপেক্ষক \(y=0\)-কে আবার \(x=32\)-এ ফিরিয়ে নেয়।

Fahrenheit-Celsius বিপরীত

চিত্র ৬ (উৎসের Fig. 4.4): \(^\circ\text{F}\to{}^\circ\text{C}\to{}^\circ\text{F}\) — সবসময় \(g^{-1}(g(x))=x\) এবং \(g(g^{-1}(y))=y\)। \(f=g^{-1}\) হলে \(g=f^{-1}\); সম্পর্কটা পুরোপুরি প্রতিসম।

সব অপেক্ষকের বিপরীত থাকে না। প্রতিটা \(y\)-এর জন্য \(g(x)=y\) সমীকরণ ঠিক একটাই \(x\) দিতে হবে। যদি দুটো ভিন্ন \(x_1,x_2\) একই \(y\) দেয় (\(g(x_1)=g(x_2)\)), তবে \(g^{-1}\) কোনটাতে ফিরবে তা ঠিক করতে পারে না — তাই বিপরীত থাকে না। বিপরীত থাকার শর্ত: অপেক্ষককে ওই অন্তরালে একটানা বাড়তে (increasing) বা একটানা কমতে (decreasing) হবে।

বিপরীত আছে / নেই

চিত্র ৭ (উৎসের Fig. 4.5): বাঁয়ে — প্রতিটা \(y\)-এর জন্য একটাই \(x\), তাই বিপরীত আছে। ডানে — একই \(y\)-এর জন্য দুটো \(x\), তাই বিপরীত অপেক্ষক নেই।

বিপরীত অপেক্ষক = আয়নার প্রতিবিম্ব (\(y=x\) রেখায়)

\(y=g(x)\)-এর লেখচিত্র আর \(x=g^{-1}(y)\)-এর লেখচিত্র আসলে একই বিন্দুজোড়া \((x,y)\)। শুধু ভূমিকা উল্টে যায়। ছবিটাকে \(45^\circ\) রেখা (\(y=x\)) বরাবর প্রতিফলিত করলে একটা থেকে আরেকটা পাওয়া যায়। \(y=3x\) রেখার \((2,6)\) বিন্দু আয়নায় গিয়ে হয় \(x=\tfrac13 y\) রেখার \((6,2)\) বিন্দু।

বিপরীতের আয়না-প্রতিবিম্ব

চিত্র ৮: বিপরীত অপেক্ষক হলো \(y=x\) রেখায় আয়নার প্রতিবিম্ব। এখানে \(y=x^2\) (ঢাল \(4\) বিন্দু \((2,4)\)-এ) আর তার বিপরীত \(y=\sqrt{x}\) (ঢাল \(1/4\) বিন্দু \((4,2)\)-এ) — ঢাল দুটো একে অপরের অন্যোন্যক (reciprocal)। এটাই বিপরীতের ডেরিভেটিভের গোপন সূত্র।

Exponential ও logarithm হলো বিপরীত অপেক্ষকের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জোড়া। \(y=2^x\) একটানা বাড়ে; তার বিপরীত \(x=\log_2 y\)। \(2^0=1\) বলে \(\log_2 1=0\); \(2^1=2\) বলে \(\log_2 2=1\)। এদের ঢালও অন্যোন্যক: \(2^x\) যদি শুরুতে ঢাল \(c\) নিয়ে ওঠে, তবে \(\log_2 y\) শুরু করে ঢাল \(1/c\) দিয়ে। (এদের ডেরিভেটিভ পুরোপুরি Chapter 6-এ; এখানে শুধু ছবি দেখে নেওয়া।)

2^x ও log2

চিত্র ৯ (উৎসের Fig. 4.7): টুকরো-রৈখিক মডেল ও মসৃণ বক্ররেখা — \(y=2^x\) এবং তার বিপরীত \(x=\log_2 y\) (ভিত্তি \(b=2\))। একটা অন্যটার আয়না-প্রতিবিম্ব।

২.৪ Inverse trigonometric functions — sine-কে উল্টে দেওয়া¶

sine একটানা বাড়ে না (বারবার ওঠানামা করে), তাই পুরো \(\sin x\)-এর বিপরীত হয় না। সমাধান: \(x\)-কে শুধু \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) অন্তরালে আটকে দাও — সেখানে sine একটানা বাড়ে, তাই প্রতিটা \(y\) আসে ঠিক একটা কোণ থেকে। সেই সীমিত অংশের বিপরীতই inverse sine:

\[ x=\sin^{-1} y \quad\text{when}\quad y=\sin x \ \text{and}\ |x|\le \tfrac{\pi}{2}. \]

\(\sin^{-1} y\) হলো "যে কোণের sine হলো \(y\)" — ঐতিহাসিকভাবে একে "arc sine" (arcsin) বলা হয়। আবারও মনে রেখো, \(\sin^{-1}\)-এর সাথে \(1/\sin x\)-এর কোনো সম্পর্ক নেই। \(30^\circ=\tfrac{\pi}{6}\) কোণের sine \(\tfrac12\), তাই \(\sin^{-1}\tfrac12=\tfrac{\pi}{6}\)।

sin x ও arcsin

চিত্র ১০ (উৎসের Fig. 4.9): \(\sin x\) ও \(\sin^{-1} y\)-এর লেখচিত্র। মোটা দাগের অংশে (\(-\tfrac{\pi}{2}\le x\le\tfrac{\pi}{2}\)) sine একটানা বাড়ে, তাই সেখানেই বিপরীত সংজ্ঞায়িত। এদের ঢাল যথাক্রমে \(\cos x\) আর \(1/\sqrt{1-y^2}\)।

৩. সংজ্ঞা ও সূত্র¶

৩.১ চেইন রুল ও তার প্রমাণ¶

\(z=\sin(x^2)\)-এর ডেরিভেটিভ কীভাবে বের করব? \(x\)-এর কাছে একটা বিন্দু \(x+\Delta x\) নাও। এতে \(y=x^2\) বদলে হয় \(y+\Delta y=(x+\Delta x)^2\); আর সেই \(\Delta y\) থেকে \(z=f(y)\) বদলে যায় \(\Delta z\)। এ যেন ডমিনো এফেক্ট — \(\Delta x\) থেকে \(\Delta y\), \(\Delta y\) থেকে \(\Delta z\)। মূল কৌশল: \(\dfrac{\Delta z}{\Delta x}\)-কে দুই টুকরো করে লেখা—

\[ \frac{\Delta z}{\Delta x} = \frac{\Delta z}{\Delta y}\cdot\frac{\Delta y}{\Delta x}. \]

এবার \(\Delta x\to 0\) নাও। \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to \dfrac{dy}{dx}\), আর সেই সাথে \(\Delta y\to 0\) হওয়ায় \(\dfrac{\Delta z}{\Delta y}\to \dfrac{dz}{dy}\)। গুণফলের সীমা = সীমার গুণফল, তাই—

4A — Chain Rule (চেইন রুল)

ধরো \(g(x)\)-এর ডেরিভেটিভ আছে \(x\)-এ, এবং \(f(y)\)-এর ডেরিভেটিভ আছে \(y=g(x)\)-এ। তবে \(z=f(g(x))\)-এর ডেরিভেটিভ—

\[ \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\,g'(x). \]

কথায়: \(x\)-এ ঢাল = (\(y\)-তে বসানো বাইরের ডেরিভেটিভ \(df/dy\)) \(\times\) (\(x\)-এ ভেতরের ডেরিভেটিভ \(dg/dx\))।

প্রমাণ (স্কেচ): \(\Delta x\to 0\) হলে

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}\to g'(x), \qquad \frac{\Delta z}{\Delta y}\to f'(y)=f'(g(x)). \]

তাই \(\dfrac{\Delta z}{\Delta x}=\dfrac{\Delta z}{\Delta y}\cdot\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(g(x))\,g'(x)=\dfrac{dz}{dy}\dfrac{dy}{dx}\)। (সূক্ষ্ম ব্যতিক্রম: যদি \(\Delta y\) ঠিক \(0\) হয়ে \(\tfrac{\Delta z}{\Delta y}\) \(\tfrac00\) হয়ে যায়, তখন তার মান \(\tfrac{dz}{dy}\) ধরে নিতে হয়।) \(\square\)

সবচেয়ে বড় ফাঁদ

চেইন রুল বলে না যে \(\sin(x^2)\)-এর ডেরিভেটিভ \((\cos x)(2x)\)। সত্যি যে \(\cos y\) হলো \(\sin y\)-এর ডেরিভেটিভ, কিন্তু সেই \(\cos y\)-কে বসাতে হবে \(y=x^2\)-এ, \(x\)-এ নয়। তাই—

\[ \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \big(\cos x^2\big)\,(2x). \]

চেইন চেনা (decomposition): ভেতরের-বাইরের অপেক্ষক আলাদা করাই আসল কাজ। যত্ন করে করলে সবকিছু লেখা যায়:

\(z(x)\)	ভেতরের অপেক্ষক	বাইরের অপেক্ষক	\(dz/dx\)
\((x^3+1)^5\)	\(u=x^3+1\)	\(z=u^5\)	\(5(x^3+1)^4\cdot 3x^2\)
\((\sin x)^3\)	\(u=\sin x\)	\(z=u^3\)	\(3\sin^2 x\cdot \cos x\)
\((1-x)^2\)	\(u=1-x\)	\(z=u^2\)	\(2(1-x)\cdot(-1)\)

চেইন রুলের সীমা

চিত্র ১১ (উৎসের Fig. 4.2): চেইন রুল \(\dfrac{\Delta z}{\Delta x}=\dfrac{\Delta z}{\Delta y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) সীমায় গিয়ে হয় \(\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\dfrac{dy}{dx}\)।

অক্ষর বদলায়, ধারণা বদলায় না

অনেক সময় বাইরের অপেক্ষকের আউটপুটকে \(y\) বলা হয় আর ভেতরের অপেক্ষককে \(u\) বলা হয়। তখন \(y=\sin u(x)\)-এর ডেরিভেটিভ \(\dfrac{dy}{dx}=\cos u\cdot\dfrac{du}{dx}\)। যে অক্ষরই আসুক, মূলকথা এক: বাইরের ডেরিভেটিভ \(\times\) ভেতরের ডেরিভেটিভ।

৩.২ Power rule চেইন রুলের বিশেষ ক্ষেত্র¶

\(z=f(y)=y^n\) ধরলে \(dz/dy=n y^{n-1}\), তাই চেইন রুলে—

\[ \frac{d}{dx}\,[g(x)]^n = n\,[g(x)]^{\,n-1}\,\frac{dg}{dx}. \]

এটাই power rule! বর্গমূল (\(n=\tfrac12\)) খুব দরকারি। \(y=x^2-1\) ধরলে—

\[ \frac{d}{dx}\sqrt{x^2-1} = \tfrac12 (x^2-1)^{-1/2}\,(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}. \]

৩.৩ দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ¶

\(\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\dfrac{dy}{dx}\) একটা গুণফল, তাই আবার ডেরিভেটিভ নিতে product rule লাগে—

\[ \frac{d^2z}{dx^2} = \frac{dz}{dy}\,\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}. \]

(উৎসের Example 8) \(z=\sin x^2\) হলে \(dz/dx=2x\cos x^2\), আর \(\dfrac{d^2z}{dx^2}=2\cos x^2-4x^2\sin x^2\) — এখানে \(y''=2\) আর \((y')^2=4x^2\)।

৩.৪ Implicit differentiation (অবচ্ছেদ্য অন্তরকলন)¶

4B — Implicit differentiation

\(F(x,y)=0\) আকারের যেকোনো সমীকরণকে \(y\)-এর জন্য না সমাধান করেই, সরাসরি চেইন রুল দিয়ে ডেরিভেটিভ নেওয়া যায়। মূলমন্ত্র: "যেমন আছে, তেমনই ডেরিভেটিভ নাও" — কিন্তু \(y\)-এর প্রতিটা পদে চেইন রুলের \(dy/dx\) গুণফলটা মনে রেখো।

(উৎসের Example 1) \(y^5+xy=3\)-এর প্রতিটা পদের \(x\)-ডেরিভেটিভ নাও (\(y^5\)-এ power rule, \(xy\)-তে product rule, ধ্রুবক \(3\)-এর ডেরিভেটিভ \(0\)):

\[ 5y^4\frac{dy}{dx} + \left(x\frac{dy}{dx}+y\right) = 0 \ \Longrightarrow\ \frac{dy}{dx} = \frac{-y}{5y^4+x}. \]

\(x=2,\ y=1\) বসাও: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-1}{5+2}=-\dfrac17\)।

আরও দুটো (উৎসের Example 2, 3):

\[ \sin y+\sin x=1 \ \Longrightarrow\ \cos y\,\frac{dy}{dx}+\cos x=0, \]

\[ y\sin y=x \ \Longrightarrow\ y\cos y\,\frac{dy}{dx}+\sin y\,\frac{dy}{dx}=1. \]

বৃত্তের স্পর্শক (উৎসের Example 4): \(x^2+y^2=25\)-এ সরাসরি ID—

\[ 2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \ \Longrightarrow\ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}. \]

ব্যাসার্ধের ঢাল \(y/x\); স্পর্শকের ঢাল \(-x/y\) — গুণফল \(\left(-\tfrac{x}{y}\right)\left(\tfrac{y}{x}\right)=-1\), অর্থাৎ স্পর্শক ব্যাসার্ধের লম্ব। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ (quotient rule দিয়ে):

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\,\frac{dy}{dx}}{y^2} = -\frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{x^2+y^2}{y^3} = -\frac{25}{y^3}. \]

এখানে সময় \(t\) চলক। \(dg/dt\) দেওয়া থাকে, চাই \(df/dt\); দরকার \(f\) ও \(g\)-এর একটা সম্পর্ক। চেইন রুল: \(\dfrac{df}{dt}=\dfrac{df}{dg}\cdot\dfrac{dg}{dt}\)।

(উৎসের Example 5, বৃত্ত) ব্যাসার্ধ বাড়ছে \(dr/dt=7\)। পরিধি \(C=2\pi r\), তাই \(\dfrac{dC}{dt}=\dfrac{dC}{dr}\dfrac{dr}{dt}=(2\pi)(7)=14\pi\)। মজার ফল: পৃথিবীর চারপাশে দড়িকে সবখানে \(7\) ফুট উঁচু করতে দৈর্ঘ্য বাড়ে মাত্র \(14\pi\approx 44\) ফুট (দূরত্ব \(24{,}000\) মাইল হলেও!)।
(উৎসের Example 7, ছায়া) \(8\) মিটার উঁচু বাতি থেকে \(2\) মিটার লম্বা মানুষ সরে যাচ্ছে; ছায়া লম্বা হচ্ছে \(ds/dt=\tfrac49\) মি/সে। সদৃশ ত্রিভুজে \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{s}{2}\), অর্থাৎ \(x=3s\), তাই \(\dfrac{dx}{dt}=3\cdot\tfrac49=\tfrac43\) মি/সে।

নিয়ম: আগে ছবি থেকে সম্পর্ক লেখো, তারপর ডেরিভেটিভ নাও, সবশেষে জানা মান বসাও। মান আগে বসিয়ে ফেললে ডেরিভেটিভ ভুল হয়।

৩.৬ বিপরীত অপেক্ষকের ডেরিভেটিভ¶

4C — Derivative of inverse function

\(f(g(x))=x\)-এ দুই পাশের ডেরিভেটিভ নাও। ডান পাশ \(x\)-এর ডেরিভেটিভ \(1\); বাঁ পাশে চেইন রুল দেয় \(f'(g(x))g'(x)=1\)। \(y=g(x),\ x=f(y)\) লিখলে সূত্রটা আরও সুন্দর দেখায়—

\[ \frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=1 \qquad\text{i.e.}\qquad \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\,dy/dx\,}. \]

কথায়: বিপরীত অপেক্ষকের ঢাল আর মূল অপেক্ষকের ঢালের গুণফল \(1\)।

প্রমাণ: \(f(g(x))=x\) হলে দুই পাশ \(x\)-এর সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ নিয়ে \(f'(g(x))\cdot g'(x)=1\)। এখন \(\dfrac{dy}{dx}=g'(x)\) এবং \(\dfrac{dx}{dy}=f'(y)=f'(g(x))\), তাই \(\dfrac{dx}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=1\)। \(\square\)

(উৎসের Example 6) \(y=x^3\)-এর বিপরীত \(x=y^{1/3}\)। দুইভাবে \(dx/dy\):

\[ \text{direct: } \frac{dx}{dy}=\tfrac13 y^{-2/3}, \qquad \text{indirect: } \frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}=\frac{1}{3x^2}=\frac{1}{3y^{2/3}}. \]

দুটোই মেলে। \((dx/dy)(dy/dx)=1\) সাধারণ বীজগণিত নয়, কিন্তু সত্য — কারণ ভগ্নাংশ \(\tfrac{\Delta x}{\Delta y}\cdot\tfrac{\Delta y}{\Delta x}=1\) আর আমরা সীমা নিই।

বিপরীতের আয়না-লেখচিত্র

চিত্র ১২ (উৎসের Fig. 4.6): বিপরীত অপেক্ষকের লেখচিত্র — \(x=\tfrac13 y\) হলো \(y=3x\)-এর \(45^\circ\) রেখায় আয়না-প্রতিবিম্ব। ঢাল \(3\) থেকে \(\tfrac13\)-এ বদলায়।

চেইনের বিপরীত (4D): \(z=h(g(x))\)-এর বিপরীত হলো উল্টো ক্রমে বিপরীতের চেইন—

\[ x=g^{-1}\big(h^{-1}(z)\big), \qquad\text{because}\qquad g^{-1}\big(h^{-1}(h(g(x)))\big)=x. \]

মাঝখানে \(h^{-1}\) আর \(h\) একে অপরকে কাটে, থাকে \(g^{-1}(g(x))=x\)। (উৎসের Example 8) \(z=\sqrt{x-2}\) উল্টাতে: \(z^2=x-2\), তাই \(x=z^2+2\) — আগে বর্গ, পরে \(2\) যোগ (ক্রম উল্টানো যাবে না, \((z+2)^2\) ভুল)।

চেইনের বিপরীত collapse

চিত্র ১৩ (উৎসের Fig. 4.8): চেইন \(g^{-1}(h^{-1}(h(g(x))))=x\) প্রতিটা ধাপে এক-এক (one-to-one); ভেতরের \(h^{-1}h\) কাটাকাটি হয়ে গোটা চেইন গুটিয়ে \(x\)-এ ফেরে।

৩.৭ Inverse trig-এর ডেরিভেটিভ¶

arcsin: \(y=\sin x\) হলে \(\dfrac{dy}{dx}=\cos x\), তাই \(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\cos x}\)। এখন Example থেকে \(\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-y^2}\) (কারণ \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\))। তাই—

\[ \frac{d}{dy}\sin^{-1} y = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}, \qquad \text{or, relabeling} \qquad \frac{d}{dx}\sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \]

arcsin ত্রিভুজ

চিত্র ১৪: "জাদু-ত্রিভুজ" — \(x=\sin^{-1}y\) হলে সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ \(1\), বিপরীত বাহু \(y\), সন্নিহিত বাহু \(\sqrt{1-y^2}\)। তাই \(\sin x=y\), \(\cos x=\sqrt{1-y^2}\), আর \(\dfrac{d}{dy}\sin^{-1}y=\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)।

এখান থেকে একটা নতুন velocity–distance জোড়া: \(v(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\) ও \(f(t)=\sin^{-1} t\)। খেয়াল করো, \(y=1\)-এ ঢাল \(\dfrac{1}{\sqrt{1-1}}=\dfrac10=\infty\) — কারণ সেখানে \(\sin x\)-এর লেখচিত্র অনুভূমিক (ঢাল \(0\)), তাই তার আয়না-প্রতিবিম্ব উল্লম্ব।

arccos: ডোমেইন \([0,\pi]\)-এ \(\cos x\) একটানা কমে, তাই বিপরীত আছে। দ্রুততম পথ একটা সম্পর্ক থেকে—

\[ \sin^{-1} y+\cos^{-1} y=\frac{\pi}{2}. \]

দুই পাশ ডেরিভেটিভ নাও: ডান পাশ ধ্রুবক, ডেরিভেটিভ \(0\); তাই \(\sin^{-1}y\) ও \(\cos^{-1}y\)-এর ডেরিভেটিভ যোগ করলে \(0\) — মানে বিপরীত চিহ্ন:

\[ \frac{d}{dy}\cos^{-1} y = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}. \]

cos x ও arccos

চিত্র ১৫ (উৎসের Fig. 4.10): \(y=\cos x\) ও \(x=\cos^{-1} y\)-এর লেখচিত্র; খেয়াল করো ডোমেইন \(0\le x\le\pi\)। এর ঢাল নিচের দিকে (ঋণাত্মক)।

4E — arctan-এর ডেরিভেটিভ

\(y=\tan x\)-এর ঢাল \(\sec^2 x\)। তাই চেইন রুলে—

\[ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\sec^2 x}=\frac{1}{1+\tan^2 x}=\frac{1}{1+y^2}. \]

অর্থাৎ \(\dfrac{d}{dy}\tan^{-1} y=\dfrac{1}{1+y^2}\)। inverse tangent থাকে খোলা অন্তরাল \(\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)\)-এ; \(\tan x\) যেকোনো মান নিতে পারে বলে \(y\)-এর ওপর কোনো সীমা নেই।

\(\dfrac{1}{1+x^2}\) — এই রাশির ডেরিভেটিভ কার? উত্তর \(\tan^{-1} x\)। integral (পরের অধ্যায়) বুঝতে এটা ভীষণ কাজে লাগবে।

arctan ও arcsec ঢাল

চিত্র ১৬ (উৎসের Fig. 4.11): \(x=\tan^{-1} y\)-এর ঢাল \(\dfrac{1}{1+y^2}\); আর \(x=\sec^{-1} y\)-এর ঢাল \(\dfrac{1}{\lvert y\rvert\sqrt{y^2-1}}\)।

ছয়টি inverse trig ডেরিভেটিভের সারণি — শুধু তিনটি শেখাই যথেষ্ট, বাকি তিনটি কেবল ঋণচিহ্নে আলাদা (প্রতিটা আর তার "cofunction" যোগ করলে \(\tfrac{\pi}{2}\), তাই ডেরিভেটিভ যোগ করলে \(0\)):

অপেক্ষক \(f(y)\)	ইনপুট \(y\)	আউটপুট কোণ \(x\)	ঢাল \(dx/dy\)
\(\sin^{-1} y\)	\(\lvert y\rvert\le 1\)	\(\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)
\(\cos^{-1} y\)	\(\lvert y\rvert\le 1\)	\(\left[0,\pi\right]\)	\(-\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)
\(\tan^{-1} y\)	সব \(y\)	\(\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)\)	\(\dfrac{1}{1+y^2}\)
\(\cot^{-1} y\)	সব \(y\)	\(\left(0,\pi\right)\)	\(-\dfrac{1}{1+y^2}\)
\(\sec^{-1} y\)	\(\lvert y\rvert\ge 1\)	\(\left[0,\pi\right]\)	\(\dfrac{1}{\lvert y\rvert\sqrt{y^2-1}}\)
\(\csc^{-1} y\)	\(\lvert y\rvert\ge 1\)	\(\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\)	\(-\dfrac{1}{\lvert y\rvert\sqrt{y^2-1}}\)

এই সারণির পেছনে আছে তিনটি Pythagorean অভেদ, যা inverse trig-এর সব ঢাল গণনায় লাগে:

\[ \cos^2 x+\sin^2 x=1, \qquad 1+\tan^2 x=\sec^2 x, \qquad 1+\cot^2 x=\csc^2 x. \]

ত্রিকোণমিতিক অভেদ

চিত্র ১৭ (উৎসের Fig. 4.12): তিনটি মৌলিক অভেদ \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\), \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\), \(1+\cot^2 x=\csc^2 x\) — inverse trig ডেরিভেটিভের ভিত্তি।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ৪.১ (\(z=\sin 3x\)): ভেতরে \(y=3x\), বাইরে \(z=\sin y\)। \(\dfrac{dz}{dy}=\cos y=\cos 3x\), \(\dfrac{dy}{dx}=3\), তাই \(\dfrac{dz}{dx}=3\cos 3x\)। ("\(3\)"-এর মানে: \(\sin 3t\) ঢেউ তোলে \(\sin t\)-এর তিনগুণ দ্রুত, তাই বেগে বাড়তি \(3\)।)

উদাহরণ ৪.২ (\(z=(\sin x)^2\)): ভেতরে \(y=\sin x\), বাইরে \(z=y^2\)। \(\dfrac{dz}{dy}=2y\), \(\dfrac{dy}{dx}=\cos x\), তাই \(\dfrac{dz}{dx}=2\sin x\cos x\)।

উদাহরণ ৪.৩ (ত্রি-চেইন, \(z=\sin\sqrt{1-x}\)): তিনটে অপেক্ষক — \(z=\sin y,\ y=\sqrt{u},\ u=1-x\)।

\[ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\big(\cos\sqrt{1-x}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot(-1). \]

উদাহরণ ৪.৪ (বেলুন, উৎসের Example 8): পর্যবেক্ষক \(C\)-থেকে \(100\) মিটার দূরে; বেলুন উঠছে \(dy/dt=3\) মি/সে। \(z^2=y^2+100^2\)। \(y=50\)-এ \(z=\sqrt{50^2+100^2}=50\sqrt5\)।

\[ 2z\frac{dz}{dt}=2y\frac{dy}{dt} \ \Longrightarrow\ \frac{dz}{dt}=\frac{y}{z}\cdot 3=\frac{50}{50\sqrt5}\cdot3=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}\ \text{m/s}. \]

ত্রিভুজ \(BCA\)-এর ক্ষেত্রফল \(A=\tfrac12(100)(y)=50y\), তাই \(\dfrac{dA}{dt}=50\cdot3=150\) মি\(^2\)/সে।

Analogy — গাড়ির পেট্রল (একক গুণ হয়ে যায়)

একটা Buick প্রতি মাইলে \(\tfrac{1}{20}\) গ্যালন পেট্রল খায়, আর তুমি চালাচ্ছ \(60\) মাইল/ঘণ্টা। ঘণ্টায় কত গ্যালন?

\[ \frac{\text{gallon}}{\text{hour}} = \frac{\text{gallon}}{\text{mile}}\times\frac{\text{mile}}{\text{hour}} = \frac{1}{20}\times 60 = 3\ \text{gallon/hour}. \]

"মাইল" ওপরে-নিচে কাটাকাটি হয়ে যায় — ঠিক যেমন চেইন রুলে \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\)-এ \(dx\) কাটে। এটাই চেইন রুলের সবচেয়ে দৈনন্দিন চেহারা।

৫. Python-এ করো¶

sympy দিয়ে যৌগিক, অবচ্ছেদ্য ও বিপরীত অপেক্ষকের ডেরিভেটিভ প্রতীকীভাবে বের করা যায়; আর numpy দিয়ে সংখ্যায় যাচাই করা যায়।

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')

# ---------- ১) যৌগিক অপেক্ষকের ডেরিভেটিভ (chain rule) ----------
z = sp.sin(x**2)                       # z = sin(x^2)
print(sp.diff(z, x))                   # 2*x*cos(x**2)  → (cos x^2)(2x), চেইন রুল

# ত্রি-চেইন: z = sin( sqrt(1 - x) )
z3 = sp.sin(sp.sqrt(1 - x))
print(sp.simplify(sp.diff(z3, x)))     # -cos(sqrt(1 - x)) / (2*sqrt(1 - x))

# ---------- ২) Implicit differentiation: y^5 + x*y = 3 ----------
yx = sp.Function('y')(x)               # y-কে x-এর অপেক্ষক ধরি
F = yx**5 + x*yx - 3
dydx = sp.solve(sp.diff(F, x), sp.Derivative(yx, x))[0]
print(dydx)                            # -y(x)/(x + 5*y(x)**4)
print(dydx.subs({x: 2, yx: 1}))        # -1/7   → (2,1) বিন্দুতে ঢাল

# ---------- ৩) বিপরীত অপেক্ষকের ডেরিভেটিভ: y = x^3 ----------
yp = sp.symbols('y', positive=True)
ginv = yp**sp.Rational(1, 3)           # x = y^(1/3)
print(sp.diff(ginv, yp))               # 1/(3*y**(2/3))
# চেইন রুল যাচাই: (dx/dy)(dy/dx) = 1
dy_dx = sp.diff(x**3, x)               # 3*x**2
print(sp.simplify(dy_dx * (1/dy_dx)))  # 1

# ---------- ৪) inverse trig ডেরিভেটিভ ----------
print(sp.diff(sp.asin(x), x))          # 1/sqrt(1 - x**2)
print(sp.diff(sp.acos(x), x))          # -1/sqrt(1 - x**2)
print(sp.diff(sp.atan(x), x))          # 1/(x**2 + 1)

সংখ্যায় চেইন রুল যাচাই (central-difference দিয়ে সাংখ্যিক ডেরিভেটিভ বনাম সূত্রের মান):

import numpy as np

f = lambda t: np.sin(t**2)             # z = sin(x^2)
x0, h = 0.7, 1e-6
num = (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2*h)  # সাংখ্যিক ডেরিভেটিভ
ana = 2 * x0 * np.cos(x0**2)           # চেইন রুলের বিশ্লেষণাত্মক মান: (cos x^2)(2x)
print(num, ana)                        # 1.235266..  1.235266..  → দুটো প্রায় সমান

আউটপুট মিলে যায় (\(\approx 1.23527\)), অর্থাৎ চেইন রুল সংখ্যাগতভাবেও ঠিক।

৬. সাধারণ ভুল¶

চেইন রুলে যে ভুলগুলো সবচেয়ে বেশি হয়

ভেতরের ডেরিভেটিভ ভুলে যাওয়া। \(\dfrac{d}{dx}\sin(x^2)\) হলো \(2x\cos x^2\), শুধু \(\cos x^2\) নয়। বাড়তি \(2x\) (ভেতরের ডেরিভেটিভ) বাদ পড়ে সবচেয়ে বেশি।
বাইরের ডেরিভেটিভ ভুল জায়গায় বসানো। \(\cos\)-কে বসাতে হবে \(y=x^2\)-এ, \(x\)-এ নয় — তাই \(\cos x^2\), \(\cos x\) নয়।
\(\sin^2 x\) আর \(\sin x^2\) গুলিয়ে ফেলা। এরা আলাদা composition; ক্রম বদলালে ফল বদলায় (\(f(g(x))\ne g(f(x))\))।
composition-কে গুণফল ভাবা। \(f(g(x))\ne f(x)\cdot g(x)\): \(g=x^3, f=y^4\)-এ যৌগিক \(x^{12}\), কিন্তু গুণফল \(x^7\)।
\(f^{-1}\)-কে \(1/f\) ভাবা। \(\sin^{-1} x\) মানে arcsin, কখনোই \(\dfrac{1}{\sin x}\) নয়।
implicit diff-এ \(dy/dx\) বাদ দেওয়া। \(y\)-এর প্রতিটা পদে চেইন রুলের গুণনীয়ক \(\dfrac{dy}{dx}\) থাকতেই হবে; \(y^5\)-এর ডেরিভেটিভ \(5y^4\cdot\dfrac{dy}{dx}\), শুধু \(5y^4\) নয়।
related rates-এ মান আগে বসানো। আগে ডেরিভেটিভ নাও, তারপর সংখ্যা বসাও। \(\tan\theta=\tfrac{y}{100}\)-এ \(y=50\) আগে বসালে \(\tfrac{50}{100}\) ধ্রুবক হয়ে ডেরিভেটিভ \(0\) — সম্পূর্ণ ভুল।
দ্বিতীয় ডেরিভেটিভে অন্যোন্যক ধরা। \(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{dy/dx}\) ঠিক, কিন্তু \(\dfrac{d^2x}{dy^2}\ne\dfrac{1}{d^2y/dx^2}\) — এই "সরল" ধারণা ভুল।

৭. এক্সারসাইজ¶

সহজ থেকে কঠিনের দিকে সাজানো ৯টি সমস্যা। নিজে চেষ্টা করে তারপর সমাধান খোলো।

(সহজ) \(z=(x^2-3)^3\)-এ ভেতরের ও বাইরের অপেক্ষক চিনে \(\dfrac{dz}{dx}\) বের করো।
(সহজ) \(\dfrac{dz}{dx}\) লেখো: (ক) \(z=\sin(17x)\), (খ) \(z=\cos(x^3)\)।
(সহজ→মাঝারি) \(z=\sqrt{x^2+1}\)-এর \(\dfrac{dz}{dx}\) (power rule + chain)।
(মাঝারি) ত্রি-চেইন: \(z=\sin\sqrt{x+1}\)-এর \(\dfrac{dz}{dx}\)।
(মাঝারি) \(z=\sin(x^2)\)-এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ \(\dfrac{d^2z}{dx^2}\)।
(মাঝারি) Implicit: \(y^5+xy=3\) বক্ররেখায় \((2,1)\) বিন্দুতে \(\dfrac{dy}{dx}\)।
(মাঝারি) Implicit + স্পর্শক: বৃত্ত \(x^2+y^2=25\)-এ \((3,4)\) বিন্দুতে ঢাল ও স্পর্শক-রেখার সমীকরণ।
(মাঝারি→কঠিন) Related rates (মই): দেয়ালে হেলানো \(10\)-ফুট মইয়ের নিচ \(\dfrac{dx}{dt}=2\) ফুট/সে হারে সরছে। যখন ওপরের মাথা \(y=6\) ফুট উঁচুতে, মাথা কত দ্রুত নিচে নামছে?
(কঠিন) বিপরীত ও inverse trig: (ক) \(y=x^3\)-এর \(\dfrac{dx}{dy}\) দুইভাবে বের করে \((dx/dy)(dy/dx)=1\) যাচাই; (খ) \(\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}(2x)\); (গ) \(z=(\sin^{-1}x)^2\)-এর \(\dfrac{dz}{dx}\)।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

ভেতরে \(u=x^2-3\), বাইরে \(z=u^3\)। বাইরের ডেরিভেটিভ \(3u^2\), ভেতরের ডেরিভেটিভ \(2x\)। তাই

\[ \frac{dz}{dx}=3(x^2-3)^2\cdot 2x = 6x\,(x^2-3)^2. \]

২-নং সমাধান দেখাও

দুটোতেই "ভেতরের ডেরিভেটিভ" গুণ করতে ভুলো না।

\[ \text{(a)}\ \ \frac{d}{dx}\sin(17x)=17\cos(17x). \]

\[ \text{(b)}\ \ \frac{d}{dx}\cos(x^3)=-\sin(x^3)\cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3). \]

৩-নং সমাধান দেখাও

\(z=(x^2+1)^{1/2}\) ধরো; ভেতরে \(u=x^2+1\), বাইরে \(u^{1/2}\)।

\[ \frac{dz}{dx}=\tfrac12 (x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]

৪-নং সমাধান দেখাও

তিনটে স্তর: \(z=\sin y,\ y=\sqrt{u},\ u=x+1\)। প্রতিটার ডেরিভেটিভ গুণ করো (\(u\)-এর ডেরিভেটিভ \(1\)):

\[ \frac{dz}{dx}=\big(\cos\sqrt{x+1}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot 1 = \frac{\cos\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}}. \]

৫-নং সমাধান দেখাও

প্রথম ডেরিভেটিভ \(\dfrac{dz}{dx}=2x\cos(x^2)\) — এটা একটা গুণফল (\(2x\) আর \(\cos x^2\)), তাই আবার ডেরিভেটিভে product rule + chain rule দুটোই লাগে:

\[ \frac{d^2z}{dx^2}=2\cos(x^2) + 2x\cdot\big(-\sin(x^2)\cdot 2x\big) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2). \]

৬-নং সমাধান দেখাও

প্রতিটা পদের \(x\)-ডেরিভেটিভ (\(y^5\)-এ power+chain, \(xy\)-তে product, \(3\)-এর ডেরিভেটিভ \(0\)):

\[ 5y^4\frac{dy}{dx} + x\frac{dy}{dx} + y = 0 \ \Longrightarrow\ \frac{dy}{dx}=\frac{-y}{5y^4+x}. \]

\(x=2,\ y=1\) বসাও:

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{-1}{5(1)+2}=-\frac{1}{7}. \]

৭-নং সমাধান দেখাও

Implicit differentiation:

\[ 2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \ \Longrightarrow\ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}. \]

\((3,4)\)-এ ঢাল \(-\dfrac34\)। স্পর্শক-রেখা point-slope আকারে:

\[ y-4=-\frac{3}{4}(x-3). \]

(যাচাই: ব্যাসার্ধের ঢাল \(\tfrac{4}{3}\); স্পর্শকের ঢাল \(-\tfrac34\); গুণফল \(-1\), অর্থাৎ লম্ব।)

৮-নং সমাধান দেখাও

মইয়ের সম্পর্ক \(x^2+y^2=10^2=100\)। \(t\)-এর সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ:

\[ 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \ \Longrightarrow\ \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\cdot\frac{dx}{dt}. \]

\(y=6\) হলে \(x=\sqrt{100-36}=8\)। \(\dfrac{dx}{dt}=2\) বসাও:

\[ \frac{dy}{dt}=-\frac{8}{6}\cdot 2=-\frac{8}{3}\approx -2.67\ \text{ft/s}. \]

ঋণচিহ্ন মানে মাথা নিচে নামছে, প্রায় \(2.67\) ফুট/সে হারে।

৯-নং সমাধান দেখাও

(ক) \(y=x^3\), বিপরীত \(x=y^{1/3}\)।

\[ \text{direct: } \frac{dx}{dy}=\tfrac13 y^{-2/3}, \qquad \text{indirect: } \frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}=\frac{1}{3x^2}=\frac{1}{3y^{2/3}}. \]

দুটো মেলে; আর \(\dfrac{dx}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{3x^2}\cdot 3x^2=1\)। \(\checkmark\)

(খ) ভেতরে \(u=2x\); \(\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}(2x)=\dfrac{1}{1+(2x)^2}\cdot 2=\dfrac{2}{1+4x^2}\)।

(গ) ভেতরে \(u=\sin^{-1}x\), বাইরে \(u^2\):

\[ \frac{dz}{dx}=2\sin^{-1}x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}. \]

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

Chain rule: \(\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))\,g'(x)\) — বাইরের ডেরিভেটিভ (\(y=g(x)\)-এ বসানো) \(\times\) ভেতরের ডেরিভেটিভ।
Power rule: \(\dfrac{d}{dx}[g(x)]^n=n[g(x)]^{n-1}g'(x)\) — চেইন রুলের বিশেষ ক্ষেত্র।
Implicit differentiation: \(F(x,y)=0\)-এ প্রতিটা পদ ডেরিভেটিভ নাও, \(y\)-এর পদে \(dy/dx\) গুণনীয়ক রাখো, তারপর \(dy/dx\)-এর জন্য সমাধান।
Related rates: সম্পর্ক লেখো → ডেরিভেটিভ নাও → মান বসাও (এই ক্রমেই)।
Inverse derivative: \(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{dy/dx}\); লেখচিত্র \(y=x\) রেখায় আয়না-প্রতিবিম্ব।
Inverse trig: \(\dfrac{d}{dx}\sin^{-1}x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), \(\dfrac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), \(\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x=\dfrac{1}{1+x^2}\)।

নিজে যাচাই করো:

[ ] যেকোনো \(f(g(x))\)-এ ভেতরের ও বাইরের অপেক্ষক আলাদা করে চিনতে পারি।
[ ] "বাইরের ডেরিভেটিভ \(\times\) ভেতরের ডেরিভেটিভ" নিয়মে ঢাল বের করতে পারি, ভেতরের ডেরিভেটিভ ভুলি না।
[ ] বাইরের ডেরিভেটিভকে \(y=g(x)\)-এ বসাই, \(x\)-এ নয় (\(\cos x^2\), \(\cos x\) নয়)।
[ ] ত্রি-চেইন ও power rule (বর্গমূল সহ) প্রয়োগ করতে পারি।
[ ] যৌগিক অপেক্ষকের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভে product rule আনতে হয় — জানি।
[ ] Implicit differentiation দিয়ে \(y\)-কে আলাদা না করেও \(dy/dx\) বের করতে পারি।
[ ] Related rates-এ আগে সম্পর্ক-ডেরিভেটিভ, পরে মান — এই ক্রম মানি।
[ ] \(\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{dy/dx}\) এবং বিপরীত = আয়না-প্রতিবিম্ব — বুঝি।
[ ] \(\arcsin,\arccos,\arctan\)-এর ডেরিভেটিভ ও তাদের ত্রিভুজ-প্রমাণ মনে আছে।
[ ] \(f^{-1}\ne 1/f\) — গুলিয়ে ফেলি না।

➡️ পরের অধ্যায়: 9.5 — Integrals — ডেরিভেটিভের উল্টো প্রক্রিয়া integral; এখানে পাওয়া \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ও \(\dfrac{1}{1+x^2}\)-এর মতো রাশির antiderivative হিসেবেই \(\arcsin\) ও \(\arctan\) আবার ফিরে আসবে।