9.8 — Applications of the Integral (সমাকলের প্রয়োগ)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: সমাকল (integral) মানে "টুকরো করো, যোগ করো, সীমা নাও" — এই একটাই যন্ত্র দিয়ে আমরা এবার বাস্তব জগতের ছয়টা বড় রাশি মাপব। প্রথমে দুই curve-এর মাঝের ক্ষেত্রফল (area) আর ঘন বস্তুর আয়তন (volume) — ফালি (slice) ও খোল (shell) দুই পদ্ধতিতে; বিশেষভাবে volume of revolution (আবর্তন-আয়তন) যেখানে disk method (\(\pi y^2\)) আর shell method (\(2\pi x h\)) একই উত্তর দেয়। তারপর বক্ররেখার arc length (চাপ-দৈর্ঘ্য) \(\int\sqrt{1+(y')^2}\,dx\), আবর্তন-তলের surface area (তল-ক্ষেত্রফল) \(\int 2\pi r\,ds\), probability density (সম্ভাবনা ঘনত্ব) দিয়ে গড় ও ভেদাঙ্ক, moment (ভ্রামক) দিয়ে ভরকেন্দ্র ও জড়তার ভ্রামক, আর সবশেষে work (কাজ) \(\int F\,dx\) দিয়ে শক্তি, সংরক্ষণ ও তরল-চাপ। Strang-এর Chapter 8-এর ছয়টা section এখানে একদম বেসিক থেকে, প্রতিটা সূত্র লাইন-ধরে-ধরে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়গুলোয় আমরা derivative (অন্তরজ) শিখেছি — "কত দ্রুত বদলাচ্ছে", আর integral (সমাকল) শিখেছি — antiderivative আর "বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল"। কিন্তু integral-এর আসল শক্তি বোঝা যায় তখনই, যখন দেখি একই একটা ধারণা দিয়ে কত ভিন্ন-ভিন্ন জিনিস মাপা যায়।

মূল কৌশলটা প্রতিবার একই — Strang একে বলেন রুটি ওজন করা: একটা পাউরুটির ওজন জানতে চাইলে আমরা রুটিটাকে পাতলা স্লাইসে কাটি, প্রতিটা স্লাইসের ওজন যোগ করি। স্লাইস যত পাতলা, যোগফল তত নিখুঁত। সীমায় (স্লাইস-বেধ \(\to 0\)) এই যোগফলই হয়ে যায় integral। যাই মাপি না কেন — ক্ষেত্রফল, আয়তন, দৈর্ঘ্য, ভর, কাজ — কাজটা সবসময় তিন ধাপে:

\[\text{(1) take small pieces} \;\longrightarrow\; \text{(2) add up the piece amounts} \;\longrightarrow\; \text{(3) take the limit, the sum} \to \int.\]

দ্বিতীয় ধাপটাই আসল ম্যাজিক: discrete যোগফল \(\sum\) থেকে continuous integral \(\int\)-এ যাওয়া। এই একই ধাপ ফিরে ফিরে আসবে — সম্ভাবনায় \(\sum p_n \to \int p(x)\,dx\), ভরে \(\sum m_n \to \int \rho\,dx\), কাজে \(\sum F\,\Delta x \to \int F\,dx\)। Strang নিজেই বলেন, "গণিত একই মূল ধারণায় বারবার হাতুড়ি পেটায়!" — তাই একবার কৌশলটা ধরলে ছয়টা প্রয়োগই একসঙ্গে খুলে যায়।

আসল কঠিন কাজটা কিন্তু integral হিসাব করা নয় — আসল কাজ হলো সঠিক integral-টা দাঁড় করানো: কোন রাশিকে \(dx\) দিয়ে গুণ করব, সীমা কী হবে, ফালি অনুভূমিক না উল্লম্ব হবে। ছবি আঁকা এখানে বিলাসিতা নয়, বাধ্যতামূলক।

মূল স্বজ্ঞা

যেকোনো "মোট পরিমাণ" (area, volume, length, mass, work) মাপার রেসিপি একটাই: বস্তুটাকে এমন পাতলা টুকরোয় কাটো যেখানে প্রতিটা টুকরোর ভেতরে রাশিটা প্রায় ধ্রুবক। এক টুকরোর অবদান লেখো "(ধ্রুব মান) \(\times\) (টুকরোর মাপ \(dx\))"। তারপর \(\int\) বসিয়ে সব টুকরো যোগ করো। পুরো অধ্যায়ে আমরা শুধু বদলাই — টুকরোটা কী (strip / disk / shell / band / layer) আর ধ্রুব মানটা কী (উচ্চতা / ক্ষেত্রফল / পরিধি / ঘনত্ব / বল)।

২. মূল ধারণা (Core idea)

২.১ Areas ও Volumes by Slices (ফালি করে ক্ষেত্রফল ও আয়তন)

দুই curve-এর মাঝের ক্ষেত্রফল। উপরের curve \(y=v(x)\) আর নিচের curve \(y=w(x)\)-এর মাঝে একটা উল্লম্ব strip (ফালি)-এর উচ্চতা "উপর বিয়োগ নিচ" \(=v(x)-w(x)\), প্রস্থ \(dx\)। সব strip যোগ করলে:

\[\text{area between two curves} = \int_a^b \big[\,v(x)-w(x)\,\big]\,dx.\]

চিত্র ৮.১: দুই curve-এর মাঝের ক্ষেত্রফল \(=\int(v-w)\,dx\)। উদাহরণ ২-এর ক্ষেত্রফলটা \(x\ge 0\) থেকে শুরু হয় (বৃত্ত ও \(45^\circ\) রেখার মাঝের পীঠ-আকৃতি অংশ)।

সীমা কোথায়? যেখানে দুই curve মেলে, অর্থাৎ \(v(x)=w(x)\) সমাধান করে। যেমন \(y=6x\) আর \(y=3x^2\) মেলে \(6x=3x^2 \Rightarrow x=0,2\); ক্ষেত্রফল \(\int_0^2(6x-3x^2)\,dx=\big[3x^2-x^3\big]_0^2=4\)।

উল্লম্ব বনাম অনুভূমিক ফালি। একটা অঞ্চল কাটার একাধিক উপায় আছে — উল্লম্ব ফালি দেয় \(x\)-integral, অনুভূমিক ফালি দেয় \(y\)-integral। কখনো একটা অনেক সহজ। যেমন একটা একক parallelogram-এর ক্ষেত্রফল উল্লম্ব ফালিতে তিনটা আলাদা integral লাগে, কিন্তু অনুভূমিক ফালিতে (দৈর্ঘ্য \(1\), বেধ \(dy\)) মাত্র \(\int_0^1 dy=1\)।

চিত্র ৮.২: উল্লম্ব ফালি (\(x\)-integral) বনাম অনুভূমিক ফালি (\(y\)-integral) — একই ক্ষেত্রফল, দুই ভিন্ন integral। \(y=\ln x\)-এর নিচের ক্ষেত্রফল \(y\)-integral-এ সহজ।

ফালি করে আয়তন। এবার ত্রিমাত্রিক ঘন বস্তু। প্রতিটা ফালির বেধ \(dx\), আর strip-এর উচ্চতার বদলে এখন আছে cross-section (প্রস্থচ্ছেদ)-এর ক্ষেত্রফল \(A(x)\)। এক ফালির আয়তন \(dV=A(x)\,dx\), তাই

\[\text{volume} = \int A(x)\,dx.\]

চিত্র ৮.৩: প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A(x)\); আয়তন \(=\int A(x)\,dx\)। silindar-এ সব ফালি একরকম (\(A\) ধ্রুব, আয়তন \(=Ah\)); pyramid-এ \(A\) কমে \(6\) থেকে \(0\)-তে।

pyramid বা cone-এ একটা বিখ্যাত \(\tfrac13\) factor আসে। কেন? Base থেকে \(x\) উপরে গেলে বাহুগুলো রৈখিকভাবে ছোট হয় — \(3(1-x/h)\) ও \(4(1-x/h)\) — তাই ক্ষেত্রফল দ্বিঘাতে কমে: \(A=6(1-x/h)^2\)। integrate করলে \(x^2\) থেকে \(\tfrac13 x^3\) আসে, এখান থেকেই \(\tfrac13\):

\[\int_0^h 6\Big(1-\tfrac{x}{h}\Big)^2 dx = 2h \quad\Rightarrow\quad V_{\text{cone}}=\tfrac13\pi r^2 h.\]

অর্ধ-গোলক (half-sphere) দুইভাবে কাটা যায় — উল্লম্ব ফালিতে semicircle (key: \(x^2+r^2=R^2\)), অনুভূমিক ফালিতে পূর্ণ circle (key: \(y^2+r^2=R^2\))। দুটোই দেয় \(V=\tfrac23\pi R^3\)।

চিত্র ৮.৪: অর্ধ-গোলক উল্লম্বভাবে (semicircle ফালি) বা অনুভূমিকভাবে (পূর্ণ circle ফালি) কাটা। ডানে washer (চাকতি-ফুটো), ক্ষেত্রফল \(\pi f^2-\pi g^2\)।

Solids of revolution (আবর্তন-ঘন)। একটা curve \(y=f(x)\)-কে অক্ষের চারপাশে ঘোরালে যে ঘন বস্তু হয়। এর মজা — প্রতিটা প্রস্থচ্ছেদ একটা circle। \(x\)-অক্ষে ঘোরালে disk-এর ব্যাসার্ধ \(y\), ক্ষেত্রফল \(A=\pi y^2=\pi[f(x)]^2\):

\[V = \int_a^b \pi\,[f(x)]^2\,dx \qquad (\text{rotate about } x\text{-axis, disk method}).\]

\(y\)-অক্ষে ঘোরালে ফালি অনুভূমিক, ক্ষেত্রফল \(\pi x^2\), তাই \(V=\int \pi x^2\,dy\)। ভেতরে ফুটো থাকলে ফালিটা disk নয়, washer — বাইরের ব্যাসার্ধ \(f\), ভেতরের \(g\):

\[\text{washer area} = \pi f^2 - \pi g^2 \quad(\text{note: this is not } \pi(f-g)^2\text{!}).\]

চিত্র ৮.৫: \(y=\sqrt{x}\) ঘুরিয়ে "হেডলাইট"; ভেতরে \(y=1\) ঘুরিয়ে ফুটো (washer); আর অক্ষ থেকে সরানো একটা circle ঘুরিয়ে torus (ডোনাট)।

কিড-চিত্র: বাঁয়ে disk method — অক্ষের লম্বভাবে ফালি, প্রতিটা ফালি একটা চাকতি (pancake), \(dV=\pi y^2\,dx\)। ডানে shell method — অক্ষের সমান্তরালে কাটা, প্রতিটা টুকরো একটা পাতলা নলাকার খোল, \(dV=2\pi x\,h\,dx\)। একই ঘন বস্তু, দুই ভিন্ন কাটাকাটি, একই আয়তন।

Volumes by cylindrical shells (নলাকার খোলে আয়তন)। এবার কাটি অক্ষের সমান্তরালে — প্রতিটা টুকরো একটা পাতলা silindrik খোল (shell)। ভেতরের ব্যাসার্ধ \(x\), বাইরের \(x+dx\), উচ্চতা \(h\)। খোলের আয়তন \(=\) বাইরের silindar \(-\) ভেতরের silindar:

\[\pi(x+dx)^2 h - \pi x^2 h = \pi\big(2x\,dx + (dx)^2\big)h \approx 2\pi x h\,dx.\]

\((dx)^2\) পদটা তুচ্ছ (নিচে ৩ নং অংশে প্রমাণ)। তাই

\[V = \int 2\pi x\,h\,dx \qquad (\text{shell method}).\]

চিত্র ৮.৬: cone, ফুটো-গোলক (bored sphere), ও paraboloid-এর ভেতরে \(2\pi x h\,dx\) আয়তনের খোল। cone-এ খোলের উচ্চতা \(h=b-bx/r\) রৈখিকভাবে কমে।

কোনটা — ফালি না খোল? সাধারণ নিয়ম: \(x\)-অক্ষে ঘোরালে ফালি (disk), \(y\)-অক্ষে ঘোরালে খোল (shell) — তখন \(y=f(x)\) সরাসরি disk-এর ব্যাসার্ধ বা shell-এর উচ্চতা দেয়, \(f^{-1}\) বের করতে হয় না।

চিত্র ৮.৭: \(x\)-অক্ষে ফালি আর \(y\)-অক্ষে খোল — সুবিধাজনক। উল্টো করলে \(f^{-1}(y)\) লাগে, প্রায়ই integrate করা কঠিন বা অসম্ভব।

চিত্র (অনুশীলন-সহায়ক): curve-দিয়ে-ঘেরা অঞ্চল ঘুরিয়ে আয়তন বের করার এক্সারসাইজ-চিত্র (Strang §8.1 প্রব. ২১–২৮)।

চিত্র (অনুশীলন-সহায়ক): ঘোরানো অঞ্চল থেকে তৈরি ঘন বস্তুর আয়তন — একটা "typical slice" আঁকার অনুশীলন।

২.২ Length of a Plane Curve (সমতল বক্ররেখার চাপ-দৈর্ঘ্য)

curve \(y=f(x)\) কতটা লম্বা? স্বজ্ঞা: মসৃণ curve-এর ছোট টুকরো প্রায় সোজা। সোজা টুকরোর দৈর্ঘ্য Pythagoras দিয়ে জানি। একটা ছোট right triangle-এ আড়াআড়ি \(\Delta x\), উপরে \(\Delta y\), কর্ণ \(\Delta s\):

\[(\Delta s)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2.\]

চিত্র ৮.৮: ছোট সোজা টুকরোর দৈর্ঘ্য \(\Delta s\); এটা curve-এর ছোট বাঁকা টুকরোর খুব কাছাকাছি।

চিত্র ৮.৮ (অপর অংশ): অতিসূক্ষ্ম টুকরোয় \((ds)^2=(dx)^2+(dy)^2\); ভেতরে \(dy\approx(dy/dx)\,dx\)।

triangle-এর ভেতরে \(\Delta y \approx (dy/dx)\,\Delta x\) (secant ঢাল \(\approx\) tangent ঢাল)। বসিয়ে \(\Delta x\) বের করে আনি:

\[\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (dy/dx)^2(\Delta x)^2} = \sqrt{1+(dy/dx)^2}\;\Delta x.\]

সব টুকরো যোগ করে সীমা নিলে arc length (চাপ-দৈর্ঘ্য):

\[\boxed{\;L = \int ds = \int_a^b \sqrt{1+\Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)^2}\,dx\;}\]

কিড-চিত্র: বাঁকা curve-কে ছোট ছোট সোজা টুকরোয় ভাঙি (কমলা)। প্রতিটা টুকরো একটা সমকোণী ত্রিভুজ — আনুভূমিক বাহু \(dx\) (সবুজ), উল্লম্ব \(dy\) (লাল), কর্ণ \(ds\) (বেগুনি)। সব \(ds\) যোগ করলেই মোট দৈর্ঘ্য: \(ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx\)।

উদাহরণ \(y=x^{3/2}\), \(dy/dx=\tfrac32 x^{1/2}\): \(L=\int_0^4\sqrt{1+\tfrac94 x}\,dx=\tfrac{8}{27}(10^{3/2}-1)\approx 9.07\)। square root-এর কারণে বেশিরভাগ arc-length integral বন্ধরূপে (closed form) করা যায় না — সংখ্যাগতভাবে করতে হয়।

চিত্র ৮.৯: প্রথম-চতুর্থাংশ বৃত্ত \(y=\sqrt{1-x^2}\)-এর দৈর্ঘ্য \(\int_0^1 dx/\sqrt{1-x^2}=\pi/2\) (পূর্ণ পরিধি \(2\pi\)-এর এক-চতুর্থাংশ)।

চিত্র ৮.৯ (parametric): বৃত্ত \(x=\cos t,\,y=\sin t\); ellipse \(x=\cos t,\,y=\sqrt2\,\sin t\)। parametric রূপে ঢালের অসীমতা এড়ানো যায়, তাই সংখ্যাগত integration সহজ হয়।

Parametric রূপ। যখন \(x=x(t)\) ও \(y=y(t)\) (যেমন \(x=\cos t,\ y=\sin t\) একটা বৃত্ত), তখন \(\Delta x\approx(dx/dt)\Delta t\), \(\Delta y\approx(dy/dt)\Delta t\), তাই

\[L = \int \sqrt{\Big(\dfrac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\dfrac{dy}{dt}\Big)^2}\;dt.\]

parameter \(t\)-এর একটা বাড়তি সুবিধা: path নিজের উপর বন্ধ হতে বা কেটে যেতে পারে — বৃত্তের চারপাশে পুরো ঘুরে আসা যায়। আর "speed (দ্রুতি)" \(ds/dt=\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\)।

২.৩ Area of a Surface of Revolution (আবর্তন-তলের ক্ষেত্রফল)

§8.1-এ curve ঘুরিয়ে পাওয়া ঘন বস্তুর আয়তন মেপেছি; এবার তার তল-ক্ষেত্রফল (surface area)। কৌশল: ছোট সোজা টুকরো (দৈর্ঘ্য \(\Delta s\)) ঘোরালে একটা পাতলা band (বেল্ট) তৈরি হয় — এটা একটা cone-এর ফালি। band-এর ক্ষেত্রফল \(=\) পাশের দৈর্ঘ্য \(\Delta s\) \(\times\) মধ্য-পরিধি \(2\pi r\):

\[\text{band area} = 2\pi r\,\Delta s = 2\pi r\sqrt{1+(dy/dx)^2}\;\Delta x.\]

চিত্র ৮.১০: সোজা টুকরো (দৈর্ঘ্য \(\Delta s\), \(\Delta x\) নয়) ঘোরালে একটা band। কেন্দ্র একটা \(2\pi r\) পরিধির বৃত্তে ঘোরে। \(y\)-অক্ষে ঘোরালে \(r=x\), \(x\)-অক্ষে ঘোরালে \(r=y\)।

এখান থেকে দুই সূত্র — কোন অক্ষে ঘোরাচ্ছি তার উপর \(r\) নির্ভর করে:

\[S = \int_a^b 2\pi y\sqrt{1+(y')^2}\,dx \quad(x\text{-axis, }r=y), \qquad S = \int_a^b 2\pi x\sqrt{1+(y')^2}\,dx \quad(y\text{-axis, }r=x).\]

উদাহরণ: অর্ধবৃত্ত \(y=\sqrt{R^2-x^2}\)-কে \(x\)-অক্ষে ঘোরালে গোলক, তল-ক্ষেত্রফল \(\int_{-R}^{R} 2\pi R\,dx = 4\pi R^2\) (জানা উত্তর!)। parametric রূপে \(S=\int 2\pi y(t)\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt\)।

চিত্র (অনুশীলন-সহায়ক): band-কে সমতলে মেলে ধরে ক্ষেত্রফল \(2\pi r\,\Delta s\) প্রমাণের চিত্র (Strang §8.3 প্রব. ১১–১৩)।

চিত্র (অনুশীলন-সহায়ক): বাতির বেস, বাল্‌ব বা তরমুজ — আবর্তন-তলের ক্ষেত্রফল বের করার এক্সারসাইজ।

২.৪ Probability ও Calculus (সম্ভাবনা ও ক্যালকুলাস)

Discrete probability-তে possible outcome countable এবং \(\sum p_n=1\)। Continuous model-এ lifetime, exact measured height বা waiting time interval-এর যেকোনো value নিতে পারে; তখন একটি exact value-র probability \(0\) এবং probability density \(p(x)\) ব্যবহার করি। SAT score নিজে integer-valued discrete variable, যদিও বড় sample-এ histogram-কে continuous normal curve দিয়ে approximate করা হতে পারে।

\[\text{Prob}\{a \le X \le b\} = \int_a^b p(x)\,dx, \qquad p(x)\ge 0, \qquad \int_{-\infty}^{\infty} p(x)\,dx = 1.\]

মোটামুটিভাবে \(p(x)\,dx\) হলো \(x\) ও \(x+dx\)-এর মাঝে পড়ার সম্ভাবনা। এখানে অসীম সীমা স্বাভাবিক ও সমস্যাহীন।

চিত্র ৮.১১: বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা যোগ হয়ে \(\sum p_n=1\); সন্তত ঘনত্ব integrate হয়ে \(\int p(x)\,dx=1\)। exponential density \(p(x)=e^{-x}\)-এ \(x=1\) পর্যন্ত ক্ষেত্রফল দেখানো।

কয়েকটা গুরুত্বপূর্ণ মডেল: Poisson \(p_n=\dfrac{\mu^n}{n!}e^{-\mu}\) (এলোমেলো ঘটনা — quiz-এ ভুল, flight-এ no-show); exponential \(p(x)=ae^{-ax}\) (অপেক্ষার সময় — VCR-এর আয়ু); আর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ normal / Gaussian (স্বাভাবিক) distribution:

\[p(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}.\]

চিত্র ৮.১২: normal distribution-এর বিখ্যাত ঘণ্টা-আকৃতি (bell curve) ও তার cumulative density \(F(x)=\int_{-\infty}^x p\)। \(\mu\pm\sigma\)-এর মাঝে \(68\%\), \(\mu\pm 2\sigma\)-এর মাঝে \(95\%\) ফলাফল।

Mean (গড়) ও variance (ভেদাঙ্ক)। outcome \(\times\) probability যোগ করে গড়; আর গড় থেকে দূরত্বের বর্গের গড় হলো ভেদাঙ্ক:

\[\mu = \int x\,p(x)\,dx, \qquad \sigma^2 = \int (x-\mu)^2\,p(x)\,dx, \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}\ (\text{standard deviation}).\]

Model	Mean \(\mu\)	Variance \(\sigma^2\)	প্রয়োগ
yes-no: \(p_1=p,\ p_0=1-p\)	\(p\)	\(p(1-p)\)	হ্যাঁ-না জরিপ
Poisson \(p_n=\mu^n e^{-\mu}/n!\)	\(\mu\)	\(\mu\)	এলোমেলো ঘটনা
Exponential \(p(x)=ae^{-ax}\)	\(1/a\)	\(1/a^2\)	অপেক্ষার সময়
Normal \(\tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}\)	\(\mu\)	\(\sigma^2\)	গড়ের চারপাশে ছড়ানো

আর সবার উপরে Central Limit Theorem (কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য): \(N\)-বার পরীক্ষার গড় \(\bar X\)-এর distribution — মূল distribution যাই হোক — normal-এর দিকে যায়, গড় \(\mu\) আর variance \(\sigma^2/N\)। তাই জরিপের ভুলের মার্জিন সবসময় \(\approx 1/\sqrt N\)।

২.৫ Masses ও Moments (ভর ও ভ্রামক)

আবার সেই একই গল্প — কিছু বিন্দু-ভর দিয়ে শুরু, তারপর ভর ছড়ানো (continuous)। নতুন ধারণা moment (ভ্রামক): ভরকে অক্ষ থেকে দূরত্ব দিয়ে গুণ।

\[M = \sum m_n \ (\text{total mass}), \qquad M_y = \sum m_n x_n \ (\text{moment about } y\text{-axis}), \qquad \bar x = \frac{\sum m_n x_n}{\sum m_n} = \frac{M_y}{M}.\]

\(\bar x\) হলো center of mass (ভরকেন্দ্র) বা ভারসাম্য-বিন্দু — সিসো (seesaw) যেখানে ভারসাম্য পায়।

চিত্র ৮.১৩: ভরকেন্দ্র \(\bar x=\) (মোট ভ্রামক)/(মোট ভর) \(=\) গড় দূরত্ব। ভর \(1,3,2\) থাকলে \(x=1,3,7\)-এ, ভ্রামক \(1+9+14=24\), মোট ভর \(6\), তাই \(\bar x=24/6=4\)।

কিড-চিত্র: তিনটা ভর (\(1,3,2\)) একটা সিসোয় বসানো \(x=1,3,7\) বিন্দুতে। fulcrum (ঠেকনা) ঠিক \(\bar x=4\)-এ রাখলে সিসো ভারসাম্য পায়। সূত্র: \(\bar x=\dfrac{\sum m_n x_n}{\sum m_n}=\dfrac{1(1)+3(3)+2(7)}{1+3+2}=\dfrac{24}{6}=4\)।

Continuous রূপ। ভর ছড়ানো হলে density (ঘনত্ব) \(\rho(x)=dm/dx\)। integrate করে ফিরে পাই:

\[M = \int \rho(x)\,dx, \qquad M_y = \int x\,\rho(x)\,dx, \qquad \bar x = \frac{\int x\,\rho(x)\,dx}{\int \rho(x)\,dx}.\]

লক্ষ করো — §8.4-এর সঙ্গে হুবহু মিল! ভর \(\int\rho\,dx\) \(\leftrightarrow\) মোট সম্ভাবনা \(\int p\,dx\); ভ্রামক \(\int x\rho\,dx\) \(\leftrightarrow\) গড় \(\int xp\,dx\); জড়তার ভ্রামক \(\int(x-\bar x)^2\rho\,dx\) \(\leftrightarrow\) ভেদাঙ্ক। একই গণিত!

সমতল পাত (দুই মাত্রা)। \(\rho=1\) ধরে একটা পাতলা পাত (thin plate)-কে strip-এ কাটি। তখন ভর \(=\) ক্ষেত্রফল, আর দুই ভ্রামক:

\[M_y = \int x\,(\text{height of vertical strip})\,dx, \qquad M_x = \int y\,(\text{length of horizontal strip})\,dy.\]

\((\bar x,\bar y)\) হলো centroid (কেন্দ্রক) — \(\rho=1\) হলে এটাই ভরকেন্দ্র।

চিত্র ৮.১৪: পাতকে strip-এ কেটে ভর, ভ্রামক ও centroid হিসাব। এক উল্লম্ব strip-এর সব বিন্দু \(y\)-অক্ষ থেকে একই দূরত্ব \(x\)-এ — তাই ভ্রামক \(x\times\)(strip ক্ষেত্রফল)।

Moment of inertia (জড়তার ভ্রামক)। এবার ভরকে দূরত্বের বর্গ দিয়ে গুণ:

\[I_y = \int x^2 \rho\,dx, \qquad I_x = \int y^2 \rho\,dx, \qquad I_0 = I_x + I_y \ (\text{because } x^2+y^2=r^2).\]

ঘূর্ণনের গতিশক্তি \(\tfrac12 I_0\omega^2\) (এখানে \(\omega\) কৌণিক বেগ, \(v=r\omega\))। এজন্যই স্কেটার হাত গুটিয়ে \(I_0\) কমায় আর দ্রুত ঘোরে।

চিত্র ৮.১৫: রড ও প্রপেলারের জড়তার ভ্রামক। রডের প্রান্তে \(I=\tfrac13 L^3\), কেন্দ্রে \(I=\tfrac{1}{12}L^3\) (কেন্দ্রে ঘোরানো সহজ)। গড়ানো বল silindar-কে হারায়।

গড়ানোর দৌড়ে চাবি হলো অনুপাত \(J=I/mr^2\): শক্তি-সংরক্ষণ থেকে \(v^2=\dfrac{2gh}{1+J}\) — ছোট \(J\) মানে বেশি বেগ। ফাঁপা silindar-এর \(J=1\) (সব ভর ব্যাসার্ধ \(r\)-এ), তাই সবার শেষে আসে।

চিত্র (অনুশীলন-সহায়ক): সমতল অঞ্চলের centroid ও জড়তার ভ্রামক বের করার এক্সারসাইজ-চিত্র (Strang §8.5)।

চিত্র (অনুশীলন-সহায়ক): গড়ানো বস্তুর পরীক্ষা — solid/hollow silindar ও বল ঢাল বেয়ে নামার ক্রম নির্ণয়।

২.৬ Force, Work, ও Energy (বল, কাজ ও শক্তি)

Work force-এর displacement-দিকের component accumulate করে। Constant vector force-এ \(W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=|\mathbf F|\,|\Delta\mathbf r|\cos\theta\)। এক dimension-এ signed force \(F(x)\) হলে

\[W = F\,\Delta x \ (\text{constant force}), \qquad W = \int F(x)\,dx \ (\text{variable force}).\]

Spring-এর restoring force \(F_{\mathrm{spring}}=-kx\)। ধীরে stretch করতে external agent-কে বিপরীত \(F_{\mathrm{ext}}=+kx\) দিতে হয়, তাই external work

\[W = \int_0^x kx\,dx = \tfrac12 kx^2.\]

কিড-চিত্র: stretch করার external force \(F_{\mathrm{ext}}=kx\)। তার work \(W_{\mathrm{ext}}=\int_0^x kx\,dx=\tfrac12kx^2\)। একই motion-এ spring-এর work \(-\tfrac12kx^2\)।

চিত্র ৮.১৬: টানা স্প্রিং; ২০ ফুট উপরে তোলা সুটকেস; ভর \(m\)-এর চাঁদ (মহাকর্ষ); দোলায়মান স্প্রিং। প্রতিটাই বল-বনাম-দূরত্বের গল্প।

Potential energy \(V\)। Conservative force-এর sign convention

\[F_{\mathrm{cons}}(x)=-\frac{dV}{dx},\qquad W_{\mathrm{cons},a\to b}=\int_a^bF_{\mathrm{cons}}(x)\,dx=V(a)-V(b)=-\Delta V.\]

ধীরে conservative force-এর বিরুদ্ধে সরালে external work \(W_{\mathrm{ext}}=+\Delta V\)। Radial outward coordinate-এ gravity \(F_r=-GMm/r^2\) এবং \(V(r)=-GMm/r\)।

Kinetic energy (গতিশক্তি) ও সংরক্ষণ। সুটকেস পড়লে স্থিতিশক্তি \(\to\) গতিশক্তি \(\tfrac12 mv^2\)। Newton-এর \(F=m\,dv/dt\) integrate করে দেখা যায় মোট শক্তি ধ্রুব:

\[\tfrac12 mv^2 + V = \text{constant} \qquad (\text{law of conservation of energy}).\]

Pressure ও hydrostatic force (তরল-চাপ)। গভীরতা \(h\)-এ জলের চাপ \(p=wh\) (\(w=\) ওজন-ঘনত্ব \(\approx 9800\ \text{N/m}^3\))। ভিত্তিতে বল \(F=whA\)। কিন্তু পাশের দেয়ালে \(h\) বদলায় — অনুভূমিক strip-এ কাটি, গভীরতা \(h\)-এ দৈর্ঘ্য \(l(h)\):

\[\text{total side force} = \int w\,h\,l(h)\,dh, \qquad \text{work to pump water} = \int w\,h\,A(h)\,dh.\]

চিত্র ৮.১৭: জলের ট্যাঙ্ক ও বাঁধ। পাশের strip-এর দৈর্ঘ্য \(l(h)\); একটা স্তরের ক্ষেত্রফল \(A(h)\)। পাশে চাপ থেকে বল \(\int whl\,dh\); জল তুলে ফেলার কাজ \(\int whA\,dh\)।

৩. সূত্র ও উপপাদ্য

এই অংশে মূল সূত্রগুলো একসঙ্গে, প্রতিটার derivation (উদ্ভব) লাইন-ধরে। প্রতিটা derivation শেষ হয় \(\square\)-তে।

সূত্র ৮.১ — Volume of Revolution: Disk, Washer, ও Shell

curve \(y=f(x)\) ঘোরালে আবর্তন-ঘন। তিন সূত্র:

\[V_{\text{disk}} = \int_a^b \pi\,[f(x)]^2\,dx, \qquad V_{\text{washer}} = \int_a^b \pi\big(f^2-g^2\big)\,dx, \qquad V_{\text{shell}} = \int 2\pi x\,h(x)\,dx.\]

Disk-এর উদ্ভব: \(x\)-অক্ষে ঘোরালে \(x\)-বিন্দুর strip (উচ্চতা \(y\)) একটা চাকতিতে (disk) পরিণত হয়। চাকতির ব্যাসার্ধ \(y=f(x)\), তাই ক্ষেত্রফল \(A=\pi y^2\)। বেধ \(dx\), আয়তন \(dV=\pi y^2\,dx\)। সব চাকতি যোগ করে \(V=\int_a^b \pi[f(x)]^2\,dx\)।

Washer-এর উদ্ভব: ভেতরে ফুটো থাকলে চাকতির বদলে আংটি (washer) — বাইরের ব্যাসার্ধ \(f\), ভেতরের \(g\)। ক্ষেত্রফল \(=\) বড় চাকতি \(-\) ছোট চাকতি \(=\pi f^2-\pi g^2\) (কখনোই \(\pi(f-g)^2\) নয়)।

Shell-এর উদ্ভব: ভেতরের ব্যাসার্ধ \(x\), বাইরের \(x+dx\), উচ্চতা \(h\) — এমন একটা খোল। এর আয়তন দুই silindar-এর বিয়োগ:

\[dV = \pi(x+dx)^2 h - \pi x^2 h = \pi h\big(x^2 + 2x\,dx + (dx)^2 - x^2\big) = \pi h\big(2x\,dx + (dx)^2\big).\]

\((dx)^2\) পদটা কেন বাদ? খোলের সংখ্যা \(\sim 1/dx\)-এর মতো বাড়ে, তাই \((dx)^2\)-জাতীয় পদের যোগফল \(\sim dx \to 0\)। শুধু রৈখিক পদ \(2\pi x h\,dx\) টেকে:

\[V_{\text{shell}} = \int 2\pi x\,h(x)\,dx. \qquad \square\]

সূত্র ৮.২ — Arc Length (চাপ-দৈর্ঘ্য)

\(y=f(x)\)-এর \(x=a\) থেকে \(x=b\) পর্যন্ত দৈর্ঘ্য:

\[L = \int_a^b \sqrt{1+\Big(\frac{dy}{dx}\Big)^2}\,dx, \qquad \text{parametric: } \ L = \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt.\]

উদ্ভব: curve-কে \(n\) টুকরোয় ভাঙি; প্রতিটা টুকরো একটা সোজা কর্ণ, দৈর্ঘ্য \(\Delta s_i=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}\)। Mean Value Theorem (মধ্যমান উপপাদ্য) বলে প্রতিটা টুকরোয় এমন একটা বিন্দু \(c_i\) আছে যেখানে secant ঢাল \(=\) tangent ঢাল, অর্থাৎ \(\Delta y_i = f'(c_i)\,\Delta x_i\)। বসাই:

\[\Delta s_i = \sqrt{(\Delta x_i)^2 + [f'(c_i)]^2(\Delta x_i)^2} = \sqrt{1+[f'(c_i)]^2}\;\Delta x_i.\]

যোগফল \(\sum_i \sqrt{1+[f'(c_i)]^2}\,\Delta x_i\) একটা Riemann sum; \(n\to\infty\), \(\Delta x_{\max}\to 0\) নিলে এটা integral-এ পরিণত হয়:

\[L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx.\]

parametric রূপে \(\Delta x\approx (dx/dt)\Delta t\), \(\Delta y\approx(dy/dt)\Delta t\) বসিয়ে \(\Delta t\) বের করলেই \(t\)-integral। \(\square\)

সূত্র ৮.৩ — Surface Area of Revolution (আবর্তন-তলের ক্ষেত্রফল)

\[S = \int 2\pi y\sqrt{1+(y')^2}\,dx \quad (x\text{-axis}), \qquad S = \int 2\pi x\sqrt{1+(y')^2}\,dx \quad (y\text{-axis}).\]

band-এর ক্ষেত্রফলের উদ্ভব: একটা cone-কে ঢাল-উচ্চতা \(s\) বরাবর কেটে সমতলে মেলে ধরলে একটা বৃত্তের টুকরো (sector) পাওয়া যায়, কোণ \(\theta=2\pi R/s\)। তার ক্ষেত্রফল \(\tfrac{\theta}{2\pi}\cdot\pi s^2=\pi R s\)। দুই cone-এর বিয়োগে একটা band (frustum), ব্যাসার্ধ \(R\) ও \(R_1\), ঢাল-উচ্চতা \(\Delta s=s-s_1\):

\[\text{band} = \pi R s - \pi R_1 s_1.\]

similar triangle-এ \(R/s=R_1/s_1\), অর্থাৎ \(Rs_1=R_1 s\)। মধ্য-ব্যাসার্ধ \(r=\tfrac12(R+R_1)\) ধরে বীজগণিত করলে \(\pi R s-\pi R_1 s_1 = 2\pi r\,\Delta s\) দাঁড়ায়। এই band-ই \(y=f(x)\) ঘোরানোর ছোট টুকরো; \(r\) হলো আবর্তন-ব্যাসার্ধ (\(x\)-অক্ষে \(r=y\), \(y\)-অক্ষে \(r=x\)), আর \(\Delta s=\sqrt{1+(y')^2}\,\Delta x\)। যোগ করে সীমা নিলেই \(S=\int 2\pi r\,ds\)। \(\square\)

সূত্র ৮.৪ — Probability: Density, Mean, Variance

density \(p(x)\ge 0\), \(\int_{-\infty}^{\infty}p(x)\,dx=1\)। গড় ও ভেদাঙ্ক:

\[\mu = \int_{-\infty}^{\infty} x\,p(x)\,dx, \qquad \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2\,p(x)\,dx.\]

ভেদাঙ্কের সংক্ষিপ্ত রূপ (\(\sigma^2=\int x^2 p\,dx-\mu^2\))-এর উদ্ভব: বর্গ খুলে তিন পদে ভাগ করি —

\[\sigma^2 = \int (x^2 - 2\mu x + \mu^2)\,p\,dx = \int x^2 p\,dx - 2\mu\underbrace{\int x\,p\,dx}_{=\,\mu} + \mu^2\underbrace{\int p\,dx}_{=\,1}.\]

মাঝের পদ \(-2\mu\cdot\mu=-2\mu^2\), শেষ পদ \(+\mu^2\), যোগ করলে \(-\mu^2\)। তাই \(\sigma^2=\int x^2 p\,dx - \mu^2\)। \(\square\)

Exponential-এর গড় (\(\mu=1/a\)): \(p(x)=ae^{-ax}\), \(x\ge 0\)। integration by parts (খণ্ড-খণ্ড সমাকল)-এ \(\int_0^\infty x\,ae^{-ax}\,dx=\big[-xe^{-ax}-\tfrac1a e^{-ax}\big]_0^\infty=\tfrac1a\)। \(\square\)

সূত্র ৮.৫ — Center of Mass ও Moment of Inertia (ভরকেন্দ্র ও জড়তার ভ্রামক)

\[\bar x = \frac{\int x\,\rho\,dx}{\int \rho\,dx}, \qquad I_y = \int x^2\,\rho\,dx, \qquad I_0 = I_x + I_y.\]

ভরকেন্দ্রে ভ্রামক শূন্য — এই ধর্মের প্রমাণ: নতুন অক্ষ \(\bar x\)-এ সরালে প্রতিটা দূরত্ব হয় \(x_n-\bar x\)। নতুন ভ্রামক:

\[\sum m_n(x_n-\bar x) = \sum m_n x_n - \bar x\sum m_n = M_y - \bar x\,M.\]

কিন্তু সংজ্ঞা থেকে \(\bar x=M_y/M\), তাই \(\bar x\,M=M_y\), ফলে যোগফল \(=M_y-M_y=0\)। অর্থাৎ ভরকেন্দ্রের সাপেক্ষে সিসো ঠিক ভারসাম্য পায়। \(\square\)

\(I_0=I_x+I_y\)-এর প্রমাণ: প্রতিটা বিন্দুর জন্য \(r_n^2=x_n^2+y_n^2\) (Pythagoras)। তাই \(I_0=\sum r_n^2 m_n=\sum(x_n^2+y_n^2)m_n=\sum x_n^2 m_n+\sum y_n^2 m_n=I_y+I_x\)। \(\square\)

রডের জড়তার ভ্রামক: \(\rho=1\), প্রান্ত থেকে \(I_{\text{end}}=\int_0^L x^2\,dx=\tfrac13 L^3\); কেন্দ্র থেকে \(I_{\text{center}}=\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx=\tfrac{1}{12}L^3\)। কেন্দ্র ছোট — তাই কেন্দ্রে ঘোরানো সহজ।

সূত্র ৮.৬ — Work, Energy, ও Conservation (কাজ, শক্তি ও সংরক্ষণ)

\[W_{\mathrm{cons}}=\int_a^bF(x)\,dx=-[V(b)-V(a)],\qquad F=-\frac{dV}{dx},\qquad \tfrac12mv^2+V=\text{constant}.\]

শক্তি-সংরক্ষণের উদ্ভব: Newton-এর \(F=m\,dv/dt\)-কে chain rule দিয়ে \(x\)-এর সাপেক্ষে লিখি:

\[F = m\frac{dv}{dt} = m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = m v\frac{dv}{dx}.\]

দুই পাশে \(\int_a^b\cdots dx\) নিই। বাঁ পাশ কাজ \(\int_a^b F\,dx\)। ডান পাশে \(\int_a^b mv\,\dfrac{dv}{dx}\,dx=\int mv\,dv=\tfrac12 mv^2\big|_a^b\):

\[\int_a^b F\,dx = \tfrac12 mv^2(b) - \tfrac12 mv^2(a). \tag{i}\]

আবার \(F=-dV/dx\) ধরে (restoring force): \(\int_a^b F\,dx = -\big[V(b)-V(a)\big]\). \(\tag{ii}\)

(i) \(=\) (ii) মিলিয়ে \(\tfrac12 mv^2(b)+V(b)=\tfrac12 mv^2(a)+V(a)\) — অর্থাৎ গতিশক্তি \(+\) স্থিতিশক্তি সর্বত্র সমান। \(\square\)

Spring: \(F_{\mathrm{spring}}=-kx\) এবং \(V=\tfrac12kx^2\)। তাই \(0\to x\)-এ spring-এর work \(-\tfrac12kx^2\); quasi-static external work \(+\tfrac12kx^2\)।

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১ (disk method): \(y=\sqrt{x}\)-কে \(x\)-অক্ষে \(0\) থেকে \(2\) পর্যন্ত ঘোরানো "হেডলাইট"-এর আয়তন।

ব্যাসার্ধ \(y=\sqrt{x}\), ক্ষেত্রফল \(A=\pi(\sqrt x)^2=\pi x\)। তাই

\[V = \int_0^2 \pi x\,dx = \pi\Big[\tfrac12 x^2\Big]_0^2 = 2\pi.\]

উদাহরণ ২ (washer): একই হেডলাইটের কেন্দ্রে ব্যাসার্ধ \(1\)-এর ফুটো।

\(\sqrt x=1\) হয় \(x=1\)-এ, তাই ফুটো শুরু \(x=1\) থেকে। বাইরের ব্যাসার্ধ \(f=\sqrt x\), ভেতরের \(g=1\)। washer ক্ষেত্রফল \(\pi(x-1)\):

\[V = \int_1^2 \pi(x-1)\,dx = \pi\Big[\tfrac12 x^2 - x\Big]_1^2 = \pi\big[(2-2)-(\tfrac12-1)\big] = \tfrac{\pi}{2}.\]

উদাহরণ ৩ (shell): \(y=x^2\)-কে \(y\)-অক্ষে ঘুরিয়ে বাটি (paraboloid), \(x=0\) থেকে \(\sqrt2\)।

খোলের ব্যাসার্ধ \(x\), উচ্চতা \(h=2-x^2\) (উপরে \(y=2\) পর্যন্ত):

\[V = \int_0^{\sqrt2} 2\pi x(2-x^2)\,dx = 2\pi\Big[x^2 - \tfrac{x^4}{4}\Big]_0^{\sqrt2} = 2\pi\big(2 - 1\big) = 2\pi.\]

(লক্ষ করো — উদাহরণ ১-এর হেডলাইট আর এই বাটি একই ঘন বস্তু, শুধু disk বনাম shell — একই উত্তর \(2\pi\)!)

উদাহরণ ৪ (arc length): \(y=x^{3/2}\)-এর \(0\) থেকে \(4\) পর্যন্ত দৈর্ঘ্য।

\(dy/dx=\tfrac32 x^{1/2}\), তাই \((dy/dx)^2=\tfrac94 x\)। substitution \(u=1+\tfrac94 x\), \(du=\tfrac94\,dx\):

\[L = \int_0^4 \sqrt{1+\tfrac94 x}\,dx = \tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{2}{3}\Big(1+\tfrac94 x\Big)^{3/2}\Big|_0^4 = \tfrac{8}{27}\big(10^{3/2}-1\big) \approx 9.07.\]

সোজা রেখায় \((0,0)\) থেকে \((4,8)\)-এর দূরত্ব \(\sqrt{80}\approx 8.94\) — curve সামান্য বেশি, যুক্তিসঙ্গত।

উদাহরণ ৫ (mean via probability): VCR-এর গড় আয়ু।

density \(p(x)=\tfrac14 e^{-x/4}\), \(x\ge 0\)। খণ্ড-খণ্ড সমাকলে:

\[\mu = \int_0^\infty x\cdot\tfrac14 e^{-x/4}\,dx = \big[-x e^{-x/4} - 4e^{-x/4}\big]_0^\infty = 0-(-4) = 4 \text{ years}.\]

উদাহরণ ৬ (work): বাঁধের উপর মোট বল।

trapezoid বাঁধ, গভীরতা \(h=0\)-তে দৈর্ঘ্য \(60\), \(h=20\)-তে \(50\), তাই \(l=60-\tfrac12 h\)। ওজন-ঘনত্ব \(w\):

\[F = \int_0^{20} w\,h\Big(60-\tfrac12 h\Big)\,dh = w\Big[30h^2 - \tfrac16 h^3\Big]_0^{20} = w\big(12000 - \tfrac{8000}{6}\big) \approx 10667\,w.\]

Analogy — সব প্রয়োগ একই "রুটি-স্লাইস" রেসিপি

ভাবো তুমি একটা অদ্ভুত পাউরুটির ওজন মাপছ। আয়তন মাপতে হলে প্রতিটা স্লাইসের ক্ষেত্রফল \(A(x)\) যোগ করো। রুটিটা যদি ঘোরানো (আবর্তন-ঘন) হয়, প্রতিটা স্লাইস একটা গোল চাকতি (\(\pi y^2\)) — না-হয় খোসা ছাড়ানোর মতো নলাকার খোল (\(2\pi x h\))। রুটির উপরের কিনারার দৈর্ঘ্য চাইলে ছোট কর্ণ \(ds\) যোগ করো; খোসার ক্ষেত্রফল চাইলে প্রতিটা বেল্ট \(2\pi r\,ds\) যোগ করো। রুটির ভেতরে কিশমিশ কোথায় জমেছে (ভরকেন্দ্র) জানতে ভর \(\times\) দূরত্ব যোগ করো। রুটি সেঁকতে কত শক্তি লাগল — বল \(\times\) দূরত্ব যোগ করো। প্রতিবার একই তিন ধাপ: টুকরো করো \(\to\) যোগ করো \(\to\) \(\int\)। রাশি বদলায়, রেসিপি বদলায় না।

৫. Python-এ করো

নিচের প্রোগ্রামগুলো integral-গুলো সংখ্যাগতভাবে যাচাই করে — Riemann sum দিয়ে আয়তন, ছোট segment যোগ করে arc length, আর matplotlib-এ একটা 3D আবর্তন-তল।

import numpy as np

# ---------- (i) আবর্তন-আয়তন সংখ্যাগতভাবে (disk method) ----------
# y = sqrt(x) কে x-অক্ষে 0 থেকে 2 পর্যন্ত ঘোরালে আয়তন = integral of pi*y^2 dx
# সঠিক উত্তর 2*pi (উদাহরণ ১)

f = lambda x: np.sqrt(x)          # যে curve ঘোরাচ্ছি
a, b, N = 0.0, 2.0, 100_000
x = np.linspace(a, b, N)
dx = (b - a) / (N - 1)
A = np.pi * f(x)**2               # প্রতিটা disk-এর ক্ষেত্রফল pi*y^2
V_num = np.sum(A) * dx            # Riemann sum: সব disk যোগ (আয়তন)
print("disk method সংখ্যাগত আয়তন :", round(V_num, 6))
print("সঠিক মান 2*pi              :", round(2*np.pi, 6))

# ---------- (ii) arc length সংখ্যাগতভাবে (ছোট segment যোগ) ----------
# y = x^(3/2), 0 থেকে 4;  সঠিক উত্তর (8/27)*(10^1.5 - 1) ~ 9.073
xs = np.linspace(0, 4, 200_000)
ys = xs**1.5
ds = np.sqrt(np.diff(xs)**2 + np.diff(ys)**2)   # প্রতিটা ds = sqrt(dx^2 + dy^2)
L_num = np.sum(ds)                              # সব কর্ণ যোগ = মোট দৈর্ঘ্য
L_exact = (8/27) * (10**1.5 - 1)
print("arc length সংখ্যাগত :", round(L_num, 5))
print("arc length সঠিক     :", round(L_exact, 5))

import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use("Agg")                 # ফাইলে সেভ করার জন্য (স্ক্রিন লাগবে না)
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------- (iii) matplotlib 3D: y = sqrt(x) ঘুরিয়ে আবর্তন-তল ----------
x = np.linspace(0, 2, 60)             # অক্ষ বরাবর
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 60)   # ঘোরানোর কোণ
X, T = np.meshgrid(x, theta)
R = np.sqrt(X)                        # ব্যাসার্ধ = y = sqrt(x)
Y = R * np.cos(T)                     # ঘোরানোয় y, z স্থানাঙ্ক
Z = R * np.sin(T)

fig = plt.figure(figsize=(7, 5))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap="viridis", alpha=0.9, edgecolor="none")
ax.set_title("Surface of revolution: y = sqrt(x) around x-axis")
ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("y"); ax.set_zlabel("z")
plt.tight_layout()
plt.savefig("revolution_surface.png", dpi=150)   # ছবি সেভ হবে
print("3D আবর্তন-তল সেভ হলো: revolution_surface.png")

প্রথম প্রোগ্রাম চালালে দেখবে সংখ্যাগত আয়তন \(6.2832\ldots \approx 2\pi\) আর arc length \(9.073\ldots\) — দুটোই বিশ্লেষণী উত্তরের সঙ্গে মেলে, প্রমাণ করে integral আসলেই "অসংখ্য ছোট টুকরোর যোগফল"। দ্বিতীয়টা \(y=\sqrt x\) ঘুরিয়ে সেই "হেডলাইট"-আকৃতির আবর্তন-তল এঁকে দেখায়।

৬. সাধারণ ভুল

1. washer-এ \(\pi(f-g)^2\) লেখা। সঠিক ক্ষেত্রফল \(\pi f^2-\pi g^2\) (বড় চাকতি বিয়োগ ছোট চাকতি), কখনোই \(\pi(f-g)^2\) নয় — এরা সমান নয়।
2. disk আর shell গুলিয়ে ফেলা। \(x\)-অক্ষে ঘোরালে ফালি লম্ব (disk, \(\pi y^2\,dx\)); \(y\)-অক্ষে ঘোরালে সমান্তরাল খোল (\(2\pi x h\,dx\))। ভুল অক্ষে ভুল সূত্র বসালে \(f^{-1}(y)\) লেগে যায়।
3. arc length-এ \(\sqrt{1+(y')^2}\) ভুলে শুধু \(\int dy\) বা \(\int\sqrt{1+y'}\,dx\) নেওয়া। বর্গটা জরুরি: \(\sqrt{1+(dy/dx)^2}\), ভেতরে ঢালের বর্গ।
4. surface area-তে ব্যাসার্ধ \(r\) ভুল নেওয়া। \(x\)-অক্ষে ঘোরালে \(r=y\), \(y\)-অক্ষে ঘোরালে \(r=x\) — কোন অক্ষ, তার উপর নির্ভর করে। \(\Delta s\) (arc, \(\Delta x\) নয়) ব্যবহার করতে ভুলো না।
5. সীমা (limits) ভুল বসানো। intersection বিন্দু না বের করে অন্ধভাবে integrate করা। আগে \(v(x)=w(x)\) সমাধান করো; ছবি আঁকো — কোন strip কোথায়।
6. probability density-কে সম্ভাবনা ভাবা। \(p(x)\) নিজে সম্ভাবনা নয় (\(1\)-এর বেশি হতে পারে); সম্ভাবনা হলো \(\int_a^b p\,dx\) (ক্ষেত্রফল)। এক বিন্দুতে সম্ভাবনা \(0\)।
7. variance-এ \(\int x^2 p\,dx\)-কেই \(\sigma^2\) ভাবা। সঠিক \(\sigma^2=\int x^2 p\,dx-\mu^2\) — শেষে \(\mu^2\) বিয়োগ করতে হবে।
8. moment-এ \(x\) ও \(y\) উল্টানো। \(y\)-অক্ষের সাপেক্ষে ভ্রামক \(M_y=\int x\,\rho\) (দূরত্ব \(x\)!), আর \(M_x=\int y\,\rho\)। যে অক্ষ থেকে দূরত্ব মাপছি, সেই স্থানাঙ্ক গুণ হয়।
9. spring-এর কাজ \(W=kx\cdot x\) ভাবা। বল পরিবর্তনশীল, তাই \(W=\int_0^x kx\,dx=\tfrac12 kx^2\) — ঠিক অর্ধেক (গড় বল \(\tfrac12 kx\))।
10. conservation-এ চিহ্ন গুলিয়ে ফেলা। restoring force \(F=-dV/dx\); স্থিতিশক্তি বাড়লে গতিশক্তি কমে — \(\tfrac12 mv^2+V\) ধ্রুব, যোগফল, বিয়োগ নয়।

৭. এক্সারসাইজ

1. \(y=6x\) ও \(y=3x^2\) curve-দুটোর মাঝের ক্ষেত্রফল বের করো (intersection সীমা নিজে বের করো)।
2. \(y=x^2\)-কে \(x\)-অক্ষে \(x=0\) থেকে \(x=2\) পর্যন্ত ঘুরিয়ে disk method-এ আয়তন বের করো।
3. একই \(y=x^2\) (\(0\le x\le 2\))-কে এবার \(y\)-অক্ষে ঘুরিয়ে shell method-এ আয়তন বের করো।
4. সরলরেখা \(y=2x\)-এর \(x=0\) থেকে \(x=4\) পর্যন্ত arc length বের করো (উত্তর \(\sqrt{80}\)-এর সঙ্গে মেলাও)।
5. \(y=\sqrt{R^2-x^2}\) অর্ধবৃত্তকে \(x\)-অক্ষে ঘুরিয়ে গোলকের surface area \(4\pi R^2\) প্রমাণ করো।
6. exponential density \(p(x)=e^{-x}\) (\(x\ge 0\))-এ \(\text{Prob}\{X\ge 2\}\) বের করো।
7. exponential density \(p(x)=e^{-x}\)-এর গড় \(\mu\) খণ্ড-খণ্ড সমাকলে বের করো।
8. ভর \(1,3,2\) যথাক্রমে \(x=0,2,5\)-এ থাকলে ভরকেন্দ্র \(\bar x\) বের করো।
9. একটা স্প্রিং \(20\) পাউন্ড বলে \(1\) ফুট টানলে \(k\) কত? আর \(1\) ফুট টানতে কত কাজ (\(W=\tfrac12 kx^2\))?
10. ঘনত্ব \(\rho=1\) ধরে \(x=0\) থেকে \(x=L\) রডের প্রান্তের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক \(I=\int_0^L x^2\,dx\) বের করো।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

intersection: \(6x=3x^2 \Rightarrow 3x(2-x)=0 \Rightarrow x=0,2\)। এই ব্যবধানে \(6x\ge 3x^2\) (উপরের curve সরলরেখা)। ক্ষেত্রফল:

\[\int_0^2 (6x-3x^2)\,dx = \big[3x^2 - x^3\big]_0^2 = (12-8)-0 = 4.\]

২-নং সমাধান দেখাও

disk-এর ব্যাসার্ধ \(y=x^2\), ক্ষেত্রফল \(\pi(x^2)^2=\pi x^4\):

\[V = \int_0^2 \pi x^4\,dx = \pi\Big[\tfrac{x^5}{5}\Big]_0^2 = \frac{32\pi}{5}.\]

৩-নং সমাধান দেখাও

\(y\)-অক্ষে shell: ব্যাসার্ধ \(x\), উচ্চতা \(y=x^2\):

\[V = \int_0^2 2\pi x\cdot x^2\,dx = 2\pi\int_0^2 x^3\,dx = 2\pi\Big[\tfrac{x^4}{4}\Big]_0^2 = 2\pi\cdot 4 = 8\pi.\]

(এটা #২-এর \(\tfrac{32\pi}{5}\) থেকে আলাদা — কারণ ঘোরানোর অক্ষ ভিন্ন, ঘন বস্তুও ভিন্ন।)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(dy/dx=2\), তাই \(\sqrt{1+2^2}=\sqrt5\) ধ্রুবক:

\[L = \int_0^4 \sqrt5\,dx = 4\sqrt5 = \sqrt{16\cdot 5} = \sqrt{80}.\]

ঠিক যেমন \((0,0)\) থেকে \((4,8)\)-এর সরলরৈখিক দূরত্ব \(\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}\) — সরলরেখার arc length সরল দূরত্বই।

৫-নং সমাধান দেখাও

\(y=\sqrt{R^2-x^2}\), \(dy/dx=-x/\sqrt{R^2-x^2}\)। তাই

\[1+(y')^2 = 1+\frac{x^2}{R^2-x^2} = \frac{R^2}{R^2-x^2}, \qquad \sqrt{1+(y')^2} = \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}.\]

surface area:

\[S = \int_{-R}^{R} 2\pi y\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx = \int_{-R}^{R} 2\pi\sqrt{R^2-x^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}\,dx = \int_{-R}^{R} 2\pi R\,dx = 2\pi R\cdot 2R = 4\pi R^2.\]

(\(y=\sqrt{R^2-x^2}\) আর \(\sqrt{R^2-x^2}\) কাটাকাটি হয়ে integrand ধ্রুব \(2\pi R\) হয়ে যায় — এটাই "basketball-এর সব স্লাইসের cover সমান" ধর্ম।)

৬-নং সমাধান দেখাও

\[\text{Prob}\{X\ge 2\} = \int_2^\infty e^{-x}\,dx = \big[-e^{-x}\big]_2^\infty = 0-(-e^{-2}) = e^{-2} \approx 0.135.\]

৭-নং সমাধান দেখাও

\(\mu=\int_0^\infty x\,e^{-x}\,dx\)। খণ্ড-খণ্ড সমাকল (\(u=x\), \(dv=e^{-x}dx\), তাই \(du=dx\), \(v=-e^{-x}\)):

\[\mu = \big[-x e^{-x}\big]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x}\,dx = 0 + \big[-e^{-x}\big]_0^\infty = 0 + 1 = 1.\]

(মিলে যায় টেবিলের সঙ্গে: exponential-এ \(a=1\) হলে \(\mu=1/a=1\)।)

৮-নং সমাধান দেখাও

\[\bar x = \frac{\sum m_n x_n}{\sum m_n} = \frac{1(0)+3(2)+2(5)}{1+3+2} = \frac{0+6+10}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2.67.\]

৯-নং সমাধান দেখাও

\(k = F/x = 20/1 = 20\) পাউন্ড/ফুট (elastic constant)।

\[W = \tfrac12 kx^2 = \tfrac12 (20)(1)^2 = 10 \text{ foot-pound}.\]

(খেয়াল করো \(W\ne kx\cdot x=20\); ঠিক অর্ধেক, কারণ বল \(0\) থেকে \(20\)-এ রৈখিকভাবে বাড়ে।)

১০-নং সমাধান দেখাও

\[I_{\text{end}} = \int_0^L x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^L = \frac{L^3}{3}.\]

তুলনায় কেন্দ্রের সাপেক্ষে \(I_{\text{center}}=\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx=\tfrac{L^3}{12}\) — চার ভাগের এক ভাগ, তাই কেন্দ্রে ঘোরানো অনেক সহজ।

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ে integral-এর ছয়টা বড় প্রয়োগ দেখলাম — সব এক সুতোয় গাঁথা "টুকরো করো, যোগ করো, \(\int\) নাও" রেসিপি দিয়ে। নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] দুই curve-এর মাঝের ক্ষেত্রফল \(\int(v-w)\,dx\) লিখতে ও intersection সীমা বের করতে পারি।
• [ ] ফালি করে আয়তন \(\int A(x)\,dx\) বুঝি; cone/pyramid-এর \(\tfrac13\) factor কোথা থেকে আসে জানি।
• [ ] disk (\(\pi y^2\)), washer (\(\pi f^2-\pi g^2\)), ও shell (\(2\pi x h\)) — তিন সূত্র আলাদা করতে পারি, আর জানি কোন অক্ষে কোনটা সুবিধাজনক।
• [ ] arc length \(\int\sqrt{1+(y')^2}\,dx\) ও parametric রূপ \(\int\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt\) লিখতে পারি।
• [ ] surface area \(\int 2\pi r\,ds\) বুঝি; \(x\)-অক্ষে \(r=y\), \(y\)-অক্ষে \(r=x\)।
• [ ] probability density \(p(x)\), \(\int p=1\), গড় \(\mu=\int xp\), ভেদাঙ্ক \(\sigma^2=\int x^2 p-\mu^2\) জানি; Poisson/exponential/normal চিনি।
• [ ] ভরকেন্দ্র \(\bar x=\int x\rho/\int\rho\), centroid, ও জড়তার ভ্রামক \(I=\int x^2\rho\) বের করতে পারি; \(I_0=I_x+I_y\) জানি।
• [ ] Work \(W=\int\mathbf F\cdot d\mathbf r\); conservative force \(\mathbf F=-\nabla V\); force-এর work \(=-\Delta V\), external quasi-static work \(=+\Delta V\)—sign আলাদা করতে পারি।
• [ ] শক্তি-সংরক্ষণ \(\tfrac12 mv^2+V=\) ধ্রুবক এবং তার Newton-থেকে-উদ্ভব বুঝি।
• [ ] তরল-চাপ \(p=wh\), পাশে বল \(\int whl\,dh\), পাম্প করার কাজ \(\int whA\,dh\) দাঁড় করাতে পারি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.9 — Polar Coordinates ও Complex Numbers — এতদিন সব ছিল \((x,y)\) কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে; এবার দেখব কোণ-ও-দূরত্বের polar coordinate (মেরু স্থানাঙ্ক) \((r,\theta)\) কীভাবে বৃত্ত, সর্পিল ও গোলাপ-আকৃতি curve-কে সহজ করে, আর \(i=\sqrt{-1}\) দিয়ে complex number (জটিল সংখ্যা) কীভাবে ক্যালকুলাসকে সম্পূর্ণ করে।