9.11 — Vectors ও Matrices (ভেক্টর ও ম্যাট্রিক্স)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: এতদিন calculus ছিল এক-চলকের গল্প — একটা \(x\), একটা \(f(x)\), একটা সরলরেখা বা curve। এই অধ্যায়ে আমরা এক লাফে বহু-মাত্রায় (multi-dimensional) ঢুকব, যেখানে একটা বিন্দু বা দিক বোঝাতে একটার বেশি সংখ্যা লাগে। শিখব: vector (ভেক্টর) কী, কীভাবে যোগ করা যায় ও scalar দিয়ে গুণ করা যায়; dot product (ডট গুণন) দিয়ে দৈর্ঘ্য–কোণ–লম্বতা মাপা; plane (সমতল)-এর সমীকরণ ও এক ভেক্টরকে আরেকটার উপর projection (প্রক্ষেপণ); cross product (ক্রস গুণন) ও determinant (নির্ণায়ক) দিয়ে ক্ষেত্রফল–আয়তন; তারপর matrix (ম্যাট্রিক্স) দিয়ে রৈখিক সমীকরণ \(Au=d\) লেখা ও সমাধান — Cramer's Rule, inverse matrix (বিপরীত ম্যাট্রিক্স), আর Gaussian elimination সহ। এটাই linear algebra (রৈখিক বীজগণিত)-এর দরজা, যেখানে calculus আর বীজগণিত হাত মেলায়। Strang-এর Chapter 11-এর পাঁচটা section (11.1–11.5) এখানে একদম বেসিক থেকে, লাইন ধরে ধরে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

বইয়ের শুরুতে সব কিছু ছিল এক সংখ্যায়: অবস্থান \(x\), সময় \(t\), বেগ \(v\)। কিন্তু বাস্তব দুনিয়া তো এক-মাত্রিক নয়। একটা উড়োজাহাজের বেগের (velocity) শুধু মান (কত জোরে) নয়, একটা দিকও (direction) আছে (উত্তর-পূর্ব দিকে)। একটা বলের (force) মান আছে, দিক আছে, আর সেটা যেকোনো বিন্দুতে কাজ করতে পারে। এই "মান + দিক" জিনিসটাই vector (ভেক্টর)। মজার ব্যাপার — বেগ বা বল কোনো অক্ষ (axis) বা মূলবিন্দুর (origin) সাথে বাঁধা নয়; পদার্থবিজ্ঞান তাই "coordinate-free" ভাষায় চলে।

আবার কিছু জিনিস অক্ষের সাথে বাঁধা: পাঁচটা শেয়ারের দাম একসাথে একটা ভেক্টর \((p_1,p_2,p_3,p_4,p_5)\), যার প্রতিটা component-এর আলাদা মানে আছে। তাই ভেক্টর দুই মুখেই কাজে লাগে — বিশুদ্ধ জ্যামিতিতে (অক্ষ ছাড়া) আর সংখ্যা-হিসাবে (অক্ষ সহ)।

কিন্তু কেন calculus বইয়ে? কারণ তিনটা:

1. জ্যামিতি = বীজগণিত। René Descartes দেখিয়েছিলেন — একটা বিন্দুকে সংখ্যা \((x,y,z)\) দিয়ে লিখলে জ্যামিতির প্রতিটা প্রশ্ন (দূরত্ব, কোণ, লম্বতা, ক্ষেত্রফল) বীজগণিতের হিসাব হয়ে যায়। ভেক্টর সেই সেতু।
2. সমতল ও রেখা = calculus-এর ভিত্তি। Calculus শুরু হয় সরলরেখা দিয়ে (\(y=mx+b\)); ত্রিমাত্রায় সরলরেখার সমতুল্য হলো সমতল। Chapter 13-এ যখন "slope" হয়ে যাবে "partial derivative", তখন এই সমতলই হবে বাঁকা তলের স্পর্শক-সমতল।
3. রৈখিক সমীকরণ সমাধান = অরৈখিক সমীকরণ সমাধানের চাবি। Differential calculus-এর কেন্দ্রীয় ভাবনাটাই হলো "বিন্দুর কাছে সব কিছুকে রৈখিক করে ফেলা (linearize)"। আর রৈখিক সমীকরণ solve করে matrix। তাই matrix ছাড়া বহু-চলকের calculus অচল।

মূল স্বজ্ঞা

একটা vector মানে একটা তীর — দৈর্ঘ্য (মান) আর দিক। দুটো vector নিয়ে দুই রকম "গুণ" করা যায়, আর দুটোরই আলাদা মানে:

• dot product \(A\cdot B\) একটা সংখ্যা — মাপে দুটো তীর কতটা একই দিকে (\(\cos\theta\))। সমকোণে শূন্য।
• cross product \(A\times B\) একটা নতুন vector — মাপে দুটো তীর কতটা ছড়িয়ে আছে (ক্ষেত্রফল, \(\sin\theta\)), আর নতুন দিকটা দুটোরই লম্ব।

আর একটা matrix হলো একটা যন্ত্র: এটা vector \(u\)-কে নিয়ে গিয়ে \(d\) বানায় (\(Au=d\))। এর inverse \(A^{-1}\) হলো উল্টো যন্ত্র — \(d\) থেকে \(u\)-তে ফিরিয়ে আনে (\(u=A^{-1}d\))। ঠিক যেমন function আর inverse function।

২. মূল ধারণা (Core idea)

২.১ Vectors ও Dot Products (ভেক্টর ও ডট গুণন)

ভেক্টর কী? সমতলের প্রতিটা বিন্দু দুটো সংখ্যায় বর্ণিত — আড়াআড়ি \(x\), উপরে \(y\)। মূলবিন্দু \((0,0)\) থেকে \((x,y)\) বিন্দু পর্যন্ত যে সরলরেখাটা, সেটাই vector \(\mathbf v\)। এর একটা দিক আছে (মূলবিন্দু থেকে বিন্দুর দিকে, উল্টো দিকে নয়)। ছবিতে ভেক্টর একটা তীর; বীজগণিতে এটা তার দুটো component (উপাংশ) দিয়ে লেখা — column vector-এ \(x\) উপরে, \(y\) নিচে:

\[\mathbf v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \qquad (x, y \text{ are } \mathbf v\text{'s components})\]

লক্ষ করো \(\mathbf v\) মোটা (boldface) হরফে, কিন্তু component \(x,y\) সরু হরফে। উল্টো দিকের ভেক্টর \(-\mathbf v\) চিহ্ন বদলায়, আর \(\mathbf v\) ও \(-\mathbf v\) যোগ করলে zero vector (শূন্য ভেক্টর) — যা সংখ্যা \(0\) থেকে আলাদা, এটাও মোটা হরফে:

\[-\mathbf v = \begin{bmatrix} -x \\ -y \end{bmatrix}, \qquad \mathbf v + (-\mathbf v) = \begin{bmatrix} x-x \\ y-y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf 0.\]

যোগ ও scalar গুণ। যোগ-বিয়োগ \(x\) ও \(y\)-তে আলাদাভাবে হয় (component-by-component):

\[\mathbf v + \mathbf w = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}.\]

এই যোগটা ছবিতে দেখানো যায় দু'ভাবে — head-to-tail (মাথা-লেজ): \(\mathbf w\)-এর লেজ বসাও \(\mathbf v\)-এর মাথায়, তখন \(\mathbf v\)-এর লেজ থেকে \(\mathbf w\)-এর মাথা পর্যন্ত তীরটাই \(\mathbf v+\mathbf w\)। অথবা parallelogram (সামান্তরিক): \(\mathbf v\) ও \(\mathbf w\) দুটো বাহু, কর্ণটাই যোগফল। scalar দিয়ে গুণ করলে দৈর্ঘ্য বদলায় দিক নয়: \(2\mathbf v\) দ্বিগুণ লম্বা, \(-\mathbf v\) উল্টো মুখে।

কিড-চিত্র: বামে — \(\mathbf v\) ও \(\mathbf w\) যোগ। \(\mathbf w\)-কে মূলবিন্দু থেকে সরিয়ে \(\mathbf v\)-এর মাথায় বসালেও (নীল ড্যাশ) দৈর্ঘ্য-দিক অপরিবর্তিত; কর্ণ \(\mathbf v+\mathbf w\) সামান্তরিকের কর্ণ। ডানে — \(2\mathbf v\) একই দিকে দ্বিগুণ, \(-\mathbf v\) উল্টো দিকে সমান দৈর্ঘ্য।

চিত্র ১১.৩: \(\mathbf v+\mathbf w\)-এর জন্য সামান্তরিক, \(2\mathbf v\)-এর জন্য প্রসারণ, \(-\mathbf v\)-তে চিহ্ন উল্টানো (Strang)।

অক্ষ ছাড়া ভেক্টর। head-to-tail যোগে আমরা \(\mathbf w\)-কে মূলবিন্দু থেকে সরিয়ে নিলাম — দৈর্ঘ্য ও দিক একই রইল, শুধু শুরুর বিন্দু বদলাল। তাই একই ভেক্টর। এতে বোঝা যায়: ভেক্টরকে মূলবিন্দু বা \(x,y\) অক্ষ ছাড়াই সংজ্ঞায়িত করা যায়। অক্ষের কাজ শুধু component (আলাদা দূরত্ব \(x,y\)) দেওয়া — যা হিসাবের জন্য দরকার, কিন্তু head-to-tail যোগ বা \(2\mathbf v+3\mathbf w\)-এর মতো linear combination-এর জন্য দরকার নেই।

উদাহরণ (জ্যামিতি) — চার মধ্যবিন্দু সামান্তরিক বানায়

মহাকাশে যেকোনো চার-বাহুর চিত্রের চারটে বাহুর মধ্যবিন্দু (midpoint) যোগ করলে সেগুলো এক সমতলে থাকে — শুধু তাই নয়, একটা সামান্তরিক বানায়! বাহুগুলোকে ভেক্টর \(A,B,C,D\) ধরি। প্রথম দুই বাহুর মাঝ-সংযোগ \(V=\tfrac12 A+\tfrac12 B\), শেষ দুইয়ের \(W=\tfrac12 C+\tfrac12 D\)। head-to-tail যোগে \(A+B\) পৌঁছায় একই বিন্দুতে যেখানে \(C+D\) পৌঁছায়, তাই \(A+B=C+D\), ফলে \(V=W\) — সামান্তরিক প্রমাণিত। অক্ষের নাম না নিয়েই পুরো প্রমাণ!

চিত্র ১১.৪: চার মধ্যবিন্দু সামান্তরিক বানায় (\(V=W\)); ত্রিভুজের তিন মধ্যমা এক বিন্দু \(P\)-তে মেলে (Strang)।

একটা চিকিৎসা-প্রয়োগ (heart vector)। একটা electrocardiogram (ECG) আসলে হৃৎপিণ্ডের দেয়ালের অজস্র ছোট voltage-ভেক্টরের যোগফল \(\mathbf V\) মাপে। দুটো রোগ এই যোগফল বদলে দেয়: (১) infarction — পেশির অংশ মরে গেলে কিছু ছোট ভেক্টর হারিয়ে যায়, তাই \(\mathbf V\) মরা অংশ থেকে সরে যায়; (২) hypertrophy — দেয়াল অতিরিক্ত মোটা হলে কিছু ভেক্টর বড় হয়, তাই \(\mathbf V\) মোটা অংশের দিকে ঝোঁকে। যন্ত্রটা এই যোগফলকে বারোটা দিকে "project" করে সমস্যা শনাক্ত করে।

চিত্র ১১.৫: depolarization-এর মুহূর্তে \(\mathbf V\) হলো অনেক ছোট voltage-ভেক্টরের যোগফল (Strang)।

চিত্র ১১.৬: \(\mathbf V\)-এর পরিবর্তন মরা পেশি ও অতিরিক্ত-খাটা পেশি চিহ্নিত করে (Strang)।

Coordinate vector, দৈর্ঘ্য ও unit vector। হিসাবের জন্য অক্ষ চাই। অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর সমতলে \(\mathbf i,\mathbf j\), মহাকাশে \(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\):

\[\mathbf i = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf k = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.\]

এদের combination-ই সব ভেক্টর: \(\mathbf v = 3\mathbf i+\mathbf j=(3,1)\), আর \(\mathbf V=\mathbf i+2\mathbf j-2\mathbf k=(1,2,-2)\)। component-ই বিন্দুর স্থানাঙ্ক (মূলবিন্দু থেকে বিন্দু পর্যন্ত ভেক্টর)। দৈর্ঘ্য আসে সমকোণী ত্রিভুজ (Pythagoras) থেকে — উল্লম্ব দণ্ড \(\vert\cdot\vert\) দিয়ে লেখা:

\[\vert\mathbf v\vert = \sqrt{v_1^2+v_2^2}, \qquad \vert\mathbf V\vert = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]

যেমন \(\vert(3,1)\vert=\sqrt{10}\) আর \(\vert(1,2,-2)\vert=\sqrt{1+4+4}=3\)। Unit vector হলো দৈর্ঘ্য-এক ভেক্টর; যেকোনো ভেক্টরকে তার দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলেই পাওয়া যায়: \(\mathbf u=\mathbf v/\vert\mathbf v\vert\)। "দৈর্ঘ্য গুণ দিক = ভেক্টর।" সমতলে unit vector শুধু কোণে নির্ভর করে: \(\mathbf u=(\cos\theta,\sin\theta)\), কারণ \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)। মহাকাশে component-গুলো direction cosine: \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)।

চিত্র ১১.৭: স্থানাঙ্ক-ভেক্টর \(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\); লম্ব ভেক্টরের \(\mathbf v\cdot\mathbf w=(6)(1)+(-2)(3)=0\) (Strang)।

Dot product — দুটো সংজ্ঞা, একই সংখ্যা। ভেক্টর যোগ করা যায়, scalar দিয়ে গুণ করা যায় — কিন্তু দুটো ভেক্টরকে "গুণ" করলে? মূল উত্তর: করা যায় না। তবে একটা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ক্রিয়া দুটো ভেক্টর থেকে একটা সংখ্যা বানায়, মাঝে একটা ডট দিয়ে লেখা \(\mathbf v\cdot\mathbf w\) — তাই নাম dot product (ডট গুণন)।

• সংজ্ঞা ১ (জ্যামিতিক): \(\mathbf v\cdot\mathbf w=\vert\mathbf v\vert\,\vert\mathbf w\vert\cos\theta\), যেখানে \(\theta\) দুই ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ।
• সংজ্ঞা ২ (স্থানাঙ্ক): \(\mathbf v\cdot\mathbf w=v_1w_1+v_2w_2\) (মহাকাশে \(+v_3w_3\))।

প্রথমটা coordinate-free, দ্বিতীয়টা সহজ হিসাব (কোনো বর্গমূল নেই)। উদাহরণ: \(\mathbf v=(3,0)\) (দৈর্ঘ্য \(3\)), \(\mathbf w=(2,2)\) (দৈর্ঘ্য \(\sqrt8\)), কোণ \(45^\circ\)। সংজ্ঞা ১: \((3)(\sqrt8)(1/\sqrt2)=6\); সংজ্ঞা ২: \((3)(2)+(0)(2)=6\) — মিলে গেল।

লম্বতা ও মৌলিক ধর্ম। যদি ভেক্টর দুটো লম্ব (perpendicular) হয়, \(\theta=90^\circ\), \(\cos\theta=0\), তাই \(\mathbf v\cdot\mathbf w=0\) — এটাই dot product-এর সবচেয়ে দরকারি কথা। আবার \(\mathbf V=\mathbf W\) হলে কোণ শূন্য, \(\cos\theta=1\), তাই \(\mathbf V\cdot\mathbf V=\vert\mathbf V\vert^2\) (নিজের সাথে dot = দৈর্ঘ্যের বর্গ)। তিনটা সরল ধর্ম:

\[\mathbf V\cdot\mathbf W=\mathbf W\cdot\mathbf V, \qquad (c\mathbf V)\cdot\mathbf W=c(\mathbf V\cdot\mathbf W), \qquad (\mathbf U+\mathbf V)\cdot\mathbf W=\mathbf U\cdot\mathbf W+\mathbf V\cdot\mathbf W.\]

কোণ বের করার সবচেয়ে ভালো উপায় dot product:

\[\cos\theta=\frac{\mathbf V\cdot\mathbf W}{\vert\mathbf V\vert\,\vert\mathbf W\vert}.\]

যেহেতু \(\vert\cos\theta\vert\le 1\), পাওয়া যায় গণিতের এক ভিত্তি-অসমতা — Cauchy–Schwarz inequality: \(\vert\mathbf V\cdot\mathbf W\vert\le \vert\mathbf V\vert\,\vert\mathbf W\vert\)। এর থেকেই আসে triangle inequality \(\vert\mathbf V+\mathbf W\vert\le\vert\mathbf V\vert+\vert\mathbf W\vert\) (ত্রিভুজের এক বাহু বাকি দুইয়ের যোগফলের চেয়ে ছোট)।

চিত্র ১১.৮: \(\vert\mathbf V-\mathbf W\vert^2\) দু'ভাবে হিসাব করে (স্থানাঙ্ক ও cosine-সূত্র) dot product-এর দুই সংজ্ঞা এক প্রমাণিত হয় (Strang)।

চিত্র (11.1 অনুশীলনী): একক বৃত্তে অবস্থান-ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}\) ও বেগ-ভেক্টর \(\overrightarrow{PQ}\) — বৃত্তে চলমান বিন্দুর বেগ সবসময় ব্যাসার্ধের লম্ব, তাই এদের dot product শূন্য (Strang, Problem 29)।

২.২ Planes ও Projections (সমতল ও প্রক্ষেপণ)

সমতলের সমীকরণ। সমতলে একটা রেখা নির্ধারিত হয় এক বিন্দু \((x_0,y_0)\) আর ঢাল \(m\) দিয়ে। ত্রিমাত্রায় plane-এর orientation বোঝাতে nonzero normal vector \(\mathbf N\) ব্যবহার করি। একটি plane-এর সব normal vector একই 1-dimensional normal subspace-এ থাকে: \(\mathbf N\) ও \(-\mathbf N\) বিপরীত orientation, আর যেকোনো nonzero scalar multiple একই plane-কে normal করে। তাই “মাত্র একটা vector” নয়, “একটি normal line/direction up to scale” বলা ঠিক।

\(\mathbf N=(a,b,c)\) ধরি, আর \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) একটা জানা বিন্দু। সমতলের আরেক বিন্দু \(P=(x,y,z)\); তখন \(P_0\) থেকে \(P\) পর্যন্ত ভেক্টর \((x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0)\) সমতলেই আছে, তাই \(\mathbf N\)-এর সাথে এর dot product শূন্য:

\[a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0, \qquad \text{i.e.}\qquad \mathbf N\cdot\mathbf P=d,\;\; ax+by+cz=d.\]

এখানে \(d=ax_0+by_0+cz_0\)। একই \(\mathbf N\) কিন্তু ভিন্ন \(d\) মানে সমান্তরাল সমতল; \(d=0\) মানে মূলবিন্দু-গামী সমতল। উদাহরণ: \(P_0=(1,2,3)\), \(\mathbf N=(1,1,1)\) দিলে \((x-1)+(y-2)+(z-3)=0\), অর্থাৎ \(x+y+z=6\)। লক্ষ করো — সমীকরণের সহগ থেকেই \(\mathbf N=(1,1,1)\) চেনা যায়।

চিত্র ১১.৯: সমতলের অভিলম্ব-ভেক্টর \(\mathbf N\); সমান্তরাল সমতলের \(\mathbf N\) একই, শুধু \(d\) ভিন্ন (Strang)।

দুই সমতলের মধ্যবর্তী কোণ = তাদের normal-দের মধ্যবর্তী কোণ, তাই \(\cos\theta=\vert\mathbf N_1\cdot\mathbf N_2\vert/(\vert\mathbf N_1\vert\,\vert\mathbf N_2\vert)\)। যেমন \(x-y+3z=0\) আর \(3y+z=0\) লম্ব, কারণ \((1,-1,3)\cdot(0,3,1)=0-3+3=0\)। মহাকাশে একটা রেখা দুটো সমীকরণ চায় (দুই সমতলের ছেদ) বা একটা parameter \(t\) সহ ভেক্টর-সমীকরণ \(P=P_0+t\mathbf V\) — এটা Chapter 12-এর বিষয়।

চিত্র ১১.১০: দুই সমতলের কোণ = অভিলম্বের কোণ; মহাকাশে \(P_0\) ও \(Q\) দিয়ে যাওয়া রেখা (Strang)।

একটা ভেক্টরের projection। \(\mathbf B\)-কে আরেক ভেক্টর \(\mathbf A\)-এর উপর প্রক্ষেপ করা মানে — \(\mathbf B\)-এর যে অংশটা \(\mathbf A\) বরাবর, সেটা বের করা (নাম \(\mathbf P\))। বাকি অংশ \(\mathbf B-\mathbf P\) থাকে \(\mathbf A\)-এর লম্ব। ছবিতে কর্ণ \(\vert\mathbf B\vert\), তাই projection-এর দৈর্ঘ্য \(\vert\mathbf B\vert\cos\theta\)। কিন্তু cosine হিসাব না করেই dot product কাজ সেরে দেয়, কারণ \(\vert\mathbf A\vert\,\vert\mathbf B\vert\cos\theta=\mathbf A\cdot\mathbf B\):

\[\text{length } \vert\mathbf P\vert=\vert\mathbf B\vert\cos\theta=\frac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\vert\mathbf A\vert}.\]

ভেক্টর \(\mathbf P\) পেতে এই দৈর্ঘ্যকে \(\mathbf A\)-এর unit vector \(\mathbf A/\vert\mathbf A\vert\) দিয়ে গুণ করি:

\[\mathbf P=\Big(\frac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\vert\mathbf A\vert}\Big)\frac{\mathbf A}{\vert\mathbf A\vert}=\frac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\vert\mathbf A\vert^2}\,\mathbf A.\]

খেয়াল করো — \(\mathbf A\) দ্বিগুণ করলে \(\mathbf P\) বদলায় না (দৈর্ঘ্য কাটাকাটি), কিন্তু \(\mathbf B\) দ্বিগুণ করলে \(\mathbf P\) দ্বিগুণ। আর \(\mathbf A\perp\mathbf B\) হলে \(\mathbf P=\mathbf 0\)।

কিড-চিত্র: \(\mathbf B\)-এর projection \(\mathbf P\) (সবুজ) থাকে \(\mathbf A\) বরাবর, আর \(\mathbf B-\mathbf P\) (কমলা ড্যাশ) থাকে \(\mathbf A\)-এর লম্ব (সমকোণ চিহ্ন)। \(\mathbf P\) ও \(\mathbf B-\mathbf P\) যোগ করলে ফিরে পাই \(\mathbf B\); Pythagoras: \(\vert\mathbf P\vert^2+\vert\mathbf B-\mathbf P\vert^2=\vert\mathbf B\vert^2\)।

চিত্র ১১.১১: বায়ুবেগ \(\mathbf V\), বল \(\mathbf F\) ও সাধারণ ভেক্টর \(\mathbf B\)-এর \(\mathbf A\) বরাবর projection (Strang)। বাতাসের \(\mathbf A\)-বরাবর অংশ tail-wind, লম্ব অংশ cross-wind।

সমতল থেকে দূরত্ব। মূলবিন্দু থেকে সমতল \(ax+by+cz=d\)-এর সবচেয়ে কাছের বিন্দু হবে \(\mathbf N\) বরাবর: \(\mathbf P=t\mathbf N\)। এটা সমতলে থাকতে হলে \(\mathbf N\cdot(t\mathbf N)=d\), অর্থাৎ \(t\vert\mathbf N\vert^2=d\), তাই \(t=d/\vert\mathbf N\vert^2\)। ফলে

\[\mathbf P=\frac{d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c), \qquad \text{distance}=\vert\mathbf P\vert=\frac{\vert d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.\]

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু \(Q=(x_1,y_1,z_1)\) থেকে দূরত্ব \(=\vert d-\mathbf Q\cdot\mathbf N\vert/\vert\mathbf N\vert=\vert d-ax_1-by_1-cz_1\vert/\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)। বিন্দুটা সমতলে থাকলে এই দূরত্ব শূন্য।

চিত্র ১১.১২: সবচেয়ে কাছের বিন্দু \(\mathbf P\) পর্যন্ত ভেক্টর হলো \(t\mathbf N\); দূরত্ব \(\vert d\vert/\vert\mathbf N\vert\) (Strang)।

heart vector-এর projection (ECG)। ECG-তে ডান হাত–বাম হাত–বাম পা যুক্ত করে বড় "Einthoven triangle" পাওয়া যায়, প্রায় সমবাহু, তাই projection-গুলো \(60^\circ,120^\circ\) কোণে। heart vector \(\mathbf V\)-কে ত্রিভুজের বাহুতে (lead-এ) project করা হয়। মজার তথ্য: হাত-পায়ের যে গ্রাফগুলো, তাদের মধ্যে মাত্র দুটো স্বাধীন — সমতলে \(\mathbf V\)-এর দুটো component, দুটো projection জানলেই বাকিগুলো হিসাব করা যায়। lead-ভেক্টরগুলো ত্রিভুজ বানায় বলে \(\mathbf L_I-\mathbf L_{II}+\mathbf L_{III}=0\), আর projection-এর \(V_I-V_{II}+V_{III}=0\)।

চিত্র (heart vector, Fig A): প্রতিটা lead বরাবর চলমান heart-ভেক্টরের component-ই ECG-গ্রাফে দেখা যায় (Strang, CIBA/Netter)।

চিত্র (heart vector, Fig B): heart-ভেক্টর QRS লুপে ঘোরে; তার projection-গুলোই ECG-তে স্পাইক (Strang, Fig B)।

২.৩ Cross Products ও Determinants (ক্রস গুণন ও নির্ণায়ক)

Cross product কী? dot product ছিল সংখ্যা; cross product \(\mathbf A\times\mathbf B\) একটা ভেক্টর (শুধু ত্রিমাত্রায় সংজ্ঞায়িত)। এর দৈর্ঘ্য \(\vert\mathbf A\vert\,\vert\mathbf B\vert\,\vert\sin\theta\vert\), আর দিক \(\mathbf A\) ও \(\mathbf B\) উভয়ের লম্ব। dot product পুরস্কার দেয় সমান্তরাল হলে (\(\cos0=1\)); cross product সবচেয়ে বড় লম্ব হলে (\(\sin\tfrac\pi2=1\))। সুন্দর পরিচয়:

\[\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert^2+\vert\mathbf A\cdot\mathbf B\vert^2=\vert\mathbf A\vert^2\vert\mathbf B\vert^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\vert\mathbf A\vert^2\vert\mathbf B\vert^2.\]

\(\mathbf A\times\mathbf A=\mathbf 0\) (শূন্য ভেক্টর), আর সমান্তরাল ভেক্টরের \(\mathbf A\times\mathbf B=\mathbf 0\)। লম্ব ভেক্টরের \(\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert=\vert\mathbf A\vert\,\vert\mathbf B\vert\) = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

দুই প্রয়োগ: (১) \(\mathbf A,\mathbf B\) বাহুর সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert\) (base \(\times\) height \(=\vert\mathbf A\vert\cdot\vert\mathbf B\vert\vert\sin\theta\vert\)), ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অর্ধেক। (২) পদার্থবিজ্ঞানে torque (টর্ক) \(\mathbf T=\mathbf R\times\mathbf F\) — বল \(\mathbf F\) যখন অবস্থান-ভেক্টর \(\mathbf R\)-এর লম্ব, তখন সবচেয়ে বেশি ঘূর্ণন।

চিত্র ১১.১৩: ক্ষেত্রফল \(\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert\) ও ভ্রামক (moment) \(\vert\mathbf R\times\mathbf F\vert\) — cross product পৃষ্ঠার লম্বে (Strang)।

দিক — right-hand rule (ডান-হাত নিয়ম)। \(\mathbf A\times\mathbf B\) ওপরে না নিচে? আঙুলগুলো \(\mathbf A\) থেকে \(\mathbf B\)-এর দিকে গোটালে বুড়ো আঙুল যেদিকে দেখায়, সেটাই \(\mathbf A\times\mathbf B\)-এর দিক। এতে \(\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k\) (আঙুল \(\mathbf i\) থেকে \(\mathbf j\), বুড়ো আঙুল \(\mathbf k\))। উল্টো করলে \(\mathbf j\times\mathbf i=-\mathbf k\) — অর্থাৎ cross product anticommutative: \(\mathbf B\times\mathbf A=-(\mathbf A\times\mathbf B)\)। এটা William Rowan Hamilton-এর যুগান্তকারী আবিষ্কার; সংখ্যায় \(AB=BA\), কিন্তু এখানে উল্টো। চক্রীয় (cyclic) ক্রমে ধনাত্মক: \(\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k\), \(\mathbf j\times\mathbf k=\mathbf i\), \(\mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j\)।

চিত্র ১১.১৪: \(\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k=-(\mathbf j\times\mathbf i)\), \(\mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j\), \(\mathbf j\times\mathbf k=\mathbf i\) — ডান-হাত নিয়ম, স্ক্রু দেয়ালে ঢোকা-বেরোনো (Strang)।

কিড-চিত্র: \(\mathbf A\) ও \(\mathbf B\) যে সমতল বানায় (ধূসর সামান্তরিক, ক্ষেত্রফল \(=\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert\)), \(\mathbf A\times\mathbf B\) তার লম্বে উপরে ওঠে (ডান-হাত নিয়ম)। বাঁকা তীর \(\mathbf A\to\mathbf B\) ঘূর্ণন, বুড়ো আঙুল উপরে।

সূত্র। নয়টা ছোট cross product-এ ভেঙে (\(\mathbf i\times\mathbf i=\mathbf 0\) ইত্যাদি বাদ দিয়ে) পাওয়া যায় বর্গমূল-মুক্ত সূত্র:

\[\mathbf A\times\mathbf B=(a_2b_3-a_3b_2)\,\mathbf i+(a_3b_1-a_1b_3)\,\mathbf j+(a_1b_2-a_2b_1)\,\mathbf k.\]

\(\mathbf i\)-component-এ index \(2,3\); \(\mathbf j\)-তে \(3,1\); \(\mathbf k\)-তে \(1,2\) — চক্রীয় প্যাটার্ন। যাচাই: এটা \(\mathbf A\)-এর লম্ব, কারণ \(\mathbf A\cdot(\mathbf A\times\mathbf B)=a_1(a_2b_3-a_3b_2)+a_2(a_3b_1-a_1b_3)+a_3(a_1b_2-a_2b_1)=0\)।

Determinant (নির্ণায়ক)। সমতলের দুই ভেক্টর \(\mathbf A,\mathbf B\)-এর সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(a_1b_2-a_2b_1\) (চিহ্ন সহ)। চারটা সংখ্যাকে বর্গ ম্যাট্রিক্সে সাজিয়ে, এই সংখ্যাটাকে বলি \(2\times2\) determinant:

\[\text{matrix}=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}, \qquad \det=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1.\]

ম্যাট্রিক্স চারটা সংখ্যার array (bracket), কিন্তু determinant একটা সংখ্যা (উল্লম্ব দণ্ড)। ত্রিমাত্রায় সামান্তরিক হয়ে যায় box (parallelepiped)। তিন প্রান্ত-ভেক্টর \(\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C\)-এর box-এর আয়তন হলো triple scalar product-এর মান:

\[\text{volume}=\vert\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)\vert.\]

\(\mathbf B\times\mathbf C\) হলো base-এর ক্ষেত্রফল-ভেক্টর (সোজা উপরে), আর \(\mathbf A\)-এর উল্লম্ব উচ্চতা \(\vert\mathbf A\vert\cos\theta\) — গুণ করলে আয়তন। এটা একটা সংখ্যা, ভেক্টর নয়; আর \(\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C\) একই সমতলে থাকলে (box চ্যাপ্টা) শূন্য। এই triple product-ই \(3\times3\) determinant:

\[\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1.\]

ছয়টা পদ: ডানে-নিচে যাওয়া (cyclic index \(123,231,312\)) ধনাত্মক, উল্টো (anticyclic \(132,213,321\)) ঋণাত্মক। ঋণাত্মক determinant মানে শুধু "left-handed triple" — আয়তন হলো পরম মান।

চিত্র ১১.১৫: ত্রিভুজ \(PQR\)-এর ক্ষেত্রফল \(\tfrac12\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert\); box-এর আয়তন \(\vert\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)\vert\) (Strang)।

Cross product = determinant. \(3\times3\) determinant প্রথম সারি বরাবর "expand" করলে তিনটা \(2\times2\) determinant পাওয়া যায় (মাঝেরটায় বিয়োগ চিহ্ন)। এই কৌশলেই \(\mathbf A\times\mathbf B\)-কে determinant হিসেবে লেখা যায়, প্রথম সারিতে \(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\):

\[\mathbf A\times\mathbf B=\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}=\mathbf i\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}-\mathbf j\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}+\mathbf k\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}.\]

\(\mathbf j\)-এর সামনের বিয়োগ চিহ্নটাই সবচেয়ে বেশি ভুল হয় — মনে রাখতে হবে।

২.৪ Matrices ও Linear Equations (ম্যাট্রিক্স ও রৈখিক সমীকরণ)

এবার জ্যামিতি থেকে বীজগণিতে। দুটো রেখার সমীকরণ একসাথে solve করা মানে তাদের ছেদবিন্দু খোঁজা। রেখার ভালো রূপ \(ax+by=d\) (উল্লম্ব রেখা \(x=5\)-ও ধরে)। দুই সমীকরণ:

\[a_1x+b_1y=d_1, \qquad a_2x+b_2y=d_2.\]

তিনভাবে দেখা। Strang-এর বিনিয়োগ-উদাহরণ: 5000 ডলার বিনিয়োগ করে বছরে 400 ডলার সুদ চাই, একটা account দেয় \(5\%\), আরেকটা \(10\%\)। \(x\) টাকা \(5\%\)-এ, \(y\) টাকা \(10\%\)-এ:

• সারি (rows) দিয়ে — দুটো আলাদা সমীকরণ: \(x+y=5000\) এবং \(0.05x+0.10y=400\)।
• স্তম্ভ (columns) দিয়ে — এক ভেক্টর-সমীকরণ:

\[x\begin{bmatrix} 1 \\ 0.05 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} 1 \\ 0.10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5000 \\ 400 \end{bmatrix}.\]

• ম্যাট্রিক্স দিয়ে — matrix গুণ vector:

\[A\mathbf u=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0.05 & 0.10 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5000 \\ 400 \end{bmatrix}=\mathbf d.\]

এখানে \(A\) = coefficient matrix (সহগ ম্যাট্রিক্স), \(\mathbf u\) = অজানা ভেক্টর, \(\mathbf d\) = জানা ডান-পক্ষ। matrix-vector গুণ দুই ভাবে দেখা যায় — প্রতিটা সারি একটা dot product, অথবা স্তম্ভগুলোর combination:

\[A\mathbf u=\begin{bmatrix} a_1x+b_1y \\ a_2x+b_2y \end{bmatrix}=x\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}.\]

সমাধান \(x=2000,\,y=3000\) — সারি-ছবিতে ছেদবিন্দু, স্তম্ভ-ছবিতে সঠিক combination।

চিত্র ১১.১৬: \(A\mathbf u=\mathbf d\)-এর প্রতিটা সারি একটা রেখা (row picture), প্রতিটা স্তম্ভ একটা ভেক্টর (column picture) (Strang)।

চিত্র ১১.১৭: singular (সমান্তরাল রেখা, সমাধান নেই) ও nonsingular (\(x=y=1\)) — সারি ও স্তম্ভ দুই ছবিতেই (Strang)।

কিড-চিত্র: \(x+2y=3\) ও \(x-y=0\)। বামে (row picture) — দুই রেখা মেলে সমাধান \((1,1)\)-তে। ডানে (column picture) — স্তম্ভ-ভেক্টর \(\mathbf a=(1,1)\) ও \(\mathbf b=(2,-1)\), আর \(1\cdot\mathbf a+1\cdot\mathbf b=\mathbf d=(3,0)\)।

Singular case (অনন্য সমাধান নেই)। রেখা দুটো সমান্তরাল হলে (\(2x+y=0,\,2x+y=1\)) কখনো মেলে না — সমাধান নেই। একই রেখা হলে (\(2x+y=0,\,4x+2y=0\)) অসংখ্য সমাধান। স্তম্ভ-ছবিতে তখন দুই স্তম্ভ একই রেখায়, কোনো combination \(\mathbf d\) বানাতে পারে না (যদি না \(\mathbf d\) ওই রেখায় থাকে)।

Determinant ও Cramer's Rule। \(x\) সরাতে প্রথম সমীকরণকে \(a_2\), দ্বিতীয়টাকে \(a_1\) দিয়ে গুণ করে বিয়োগ করি — \(x\) উবে যায়:

\[(a_1b_2-a_2b_1)\,y=a_1d_2-a_2d_1.\]

একইভাবে \(y\) সরালে \((a_1b_2-a_2b_1)\,x=b_2d_1-b_1d_2\)। বন্ধনীর ভেতরেই \(2\times2\) determinant! তাই সমাধান determinant-এর অনুপাত — Cramer's Rule:

\[x=\frac{\begin{vmatrix} d_1 & b_1 \\ d_2 & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}, \qquad y=\frac{\begin{vmatrix} a_1 & d_1 \\ a_2 & d_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}.\]

হর \(\det A\) শূন্য হলে (singular case) ভাগ করা যায় না — তখনই রেখা সমান্তরাল, এক স্তম্ভ আরেকটার গুণিতক।

Inverse matrix (বিপরীত ম্যাট্রিক্স)। \(A^{-1}\) ("A inverse") হলো সেই ম্যাট্রিক্স যা \(\mathbf d\) থেকে \(\mathbf u\)-তে ফেরায়: \(A\mathbf u=\mathbf d\Rightarrow\mathbf u=A^{-1}\mathbf d\) (যদি inverse থাকে)। \(2\times2\)-এর জন্য, \(D=\det A=ad-bc\) ধরে:

\[A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \qquad A^{-1}=\frac{1}{D}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.\]

কোণা-দুটো (\(a,d\)) জায়গা বদলায়, অন্য দুটো (\(b,c\)) চিহ্ন বদলায়। \(D=0\) হলে inverse নেই।

Matrix গুণ matrix। একটা vector আসলে এক-স্তম্ভের matrix; বেশি স্তম্ভ থাকলে গুণটা পাশাপাশি matrix-vector গুণে ভাঙে। ফল = dot product-এর matrix (প্রথমটার সারি, দ্বিতীয়টার স্তম্ভ):

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8 \\ 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}.\]

\(A^{-1}\) গুণ \(A\) দিলে identity matrix (একক ম্যাট্রিক্স) \(I\) — কর্ণে \(1\), বাকি \(0\); সংখ্যা \(1\)-এর মতো কাজ করে (\(I\mathbf u=\mathbf u\))। তাই \(A\mathbf u=\mathbf d\)-এর দুই পাশে \(A^{-1}\) গুণ করলে বাম পাশে \(A^{-1}A\mathbf u=I\mathbf u=\mathbf u\), ফলে \(\mathbf u=A^{-1}\mathbf d\)।

চিত্র ১১.১৮: rotation matrix \(\mathbf v\)-কে সামনে ঘুরিয়ে \(A\mathbf v\) বানায়; \(A^{-1}\) পিছনে ঘুরিয়ে \(\mathbf d\)-কে \(A^{-1}\mathbf d\)-তে ফেরায় (Strang)।

একটা সুন্দর উদাহরণ rotation matrix — প্রতিটা ভেক্টরকে কোণ \(\theta\) ঘোরায়:

\[A=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}, \qquad \det A=1, \qquad A^{-1}=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\;(=\; -\theta\text{ rotation}).\]

Projection = least squares (ন্যূনতম বর্গ)। একটা সত্যিকারের প্রয়োগ: তিন-মাত্রিক \(\mathbf d\)-কে \(\mathbf a,\mathbf b\) ভেক্টরের সমতলে project করা \(\mathbf p=x\mathbf a+y\mathbf b\)। error \(\mathbf d-\mathbf p\) থাকে সমতলের লম্ব, তাই \(\mathbf a,\mathbf b\) উভয়ের লম্ব — এই থেকে দুটো normal equations:

\[(\mathbf a\cdot\mathbf a)x+(\mathbf a\cdot\mathbf b)y=\mathbf a\cdot\mathbf d, \qquad (\mathbf b\cdot\mathbf a)x+(\mathbf b\cdot\mathbf b)y=\mathbf b\cdot\mathbf d.\]

একই সমস্যা তিন বিন্দুকে সরলরেখা দিয়ে "সবচেয়ে ভালো" fit করা (least squares)। এটা আসলে একটা calculus সমস্যা — বর্গের যোগফল \(E(x,y)\)-কে ন্যূনতম করা (Chapter 13, partial derivative)।

চিত্র ১১.১৯: \(\mathbf d\)-কে সমতলে project করা = তিন বিন্দুতে সবচেয়ে কাছের সরলরেখা fit করা; দুই ছবিতেই একই সহগ (Strang)।

২.৫ Linear Algebra (রৈখিক বীজগণিত)

এবার দুই থেকে তিন মাত্রায়: তিন অজানা \(x,y,z\), তিন সমীকরণ। এটাই আসল linear algebra — formula (determinant) আর algorithm (elimination)-এর সন্ধিস্থল। পাঁচটা জিনিস একসাথে: (১) row picture — তিন সমতলের ছেদ, (২) column picture — স্তম্ভের combination, (৩) determinant ও Cramer's Rule, (৪) matrix গুণ ও \(A^{-1}\), (৫) Gaussian elimination।

Row picture — তিন সমতল। প্রতিটা সমীকরণ \(ax+by+cz=d\) একটা সমতল। প্রথম দুই সমতলের ছেদ একটা রেখা; সেই রেখা তৃতীয় সমতলকে যেখানে কাটে, সেটাই সমাধান-বিন্দু।

চিত্র ১১.২০: প্রথম সমতল, দ্বিতীয় সমতল, তাদের ছেদ-রেখা তৃতীয় সমতলকে সমাধান-বিন্দুতে কাটে (Strang)।

Column picture — স্তম্ভের combination। একই সমীকরণ ভেক্টর-রূপে \(x\mathbf a+y\mathbf b+z\mathbf c=\mathbf d\) — অর্থাৎ ম্যাট্রিক্সের তিন স্তম্ভকে কোন \(x,y,z\) দিয়ে মেশালে \(\mathbf d\) পাওয়া যায়।

চিত্র ১১.২১: স্তম্ভ মিশে \(\mathbf d\) বানায়; singular case-এ স্তম্ভ মিশে শূন্য বানায় (একই সমতলে থাকে) (Strang)।

Determinant ও \(3\times3\) inverse। \(\det A=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\) = box-এর আয়তন। \(\det A\ne0\) হলেই সমাধান অনন্য, আর \(A^{-1}\) থাকে। \(3\times3\) inverse-এর নিট রূপ স্তম্ভের cross product দিয়ে: \(A^{-1}\)-এর সারিগুলো \(\mathbf b\times\mathbf c\), \(\mathbf c\times\mathbf a\), \(\mathbf a\times\mathbf b\) (প্রতিটা \(D\) দিয়ে ভাগ)। গুরুত্বপূর্ণ: \(A^{-1}\)-এর প্রথম সারি \(A\)-এর প্রথম স্তম্ভ ব্যবহার করে না — একটা সারির জন্য সংশ্লিষ্ট স্তম্ভ "কেটে" দিয়ে \(2\times2\) determinant (cofactor) নাও, sign-matrix লাগাও, \(D\) দিয়ে ভাগ করো।

Cramer's Rule (\(3\times3\))। \(\mathbf d\) পালা করে \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\) স্তম্ভ প্রতিস্থাপন করে:

\[x=\frac{\vert\mathbf d\;\mathbf b\;\mathbf c\vert}{\vert\mathbf a\;\mathbf b\;\mathbf c\vert}, \qquad y=\frac{\vert\mathbf a\;\mathbf d\;\mathbf c\vert}{\vert\mathbf a\;\mathbf b\;\mathbf c\vert}, \qquad z=\frac{\vert\mathbf a\;\mathbf b\;\mathbf d\vert}{\vert\mathbf a\;\mathbf b\;\mathbf c\vert}.\]

Singular case। কোনো এন্ট্রি বদলে \(D=0\) হলে box চ্যাপ্টা, matrix singular, \(A^{-1}\) নেই। row-ছবিতে তখন প্রথম দুই সমতলের ছেদ-রেখা তৃতীয় সমতলের সমান্তরাল হয়ে ওপরে থেকে যায় — তিন সমতল "সুড়ঙ্গ" বানায়, এক বিন্দুতে মেলে না। column-ছবিতে তিন স্তম্ভ একই সমতলে; \(\mathbf d\) ওই সমতলে না থাকলে সমাধান নেই। \(D=0\) হলে \(A\mathbf u=\mathbf d\)-এর হয় সমাধান নেই, নয়তো অসংখ্য।

চিত্র ১১.২২: singular ক্ষেত্রে row picture — তিন সমতল "সুড়ঙ্গ" বানায়, কোনো ছেদবিন্দু নেই, সমাধান নেই (Strang)।

Gaussian elimination (গাউসীয় অপনয়ন)। সংখ্যা দিয়ে কাজ করলে determinant নয়, elimination-ই দ্রুত ও নিরাপদ। নিয়ম: উপরের (pivot) সমীকরণের গুণিতক নিচের সমীকরণ থেকে বিয়োগ করে pivot-এর নিচে শূন্য বানাও। ক্রম: সমীকরণ ১ দিয়ে ২ ও ৩ থেকে \(x\) সরাও, তারপর নতুন সমীকরণ ২ দিয়ে ৩ থেকে \(y\) সরাও — শেষে ত্রিভুজাকার (triangular) সিস্টেম, যা back substitution (পশ্চাৎ প্রতিস্থাপন) দিয়ে দ্রুত সমাধান হয়। singular হলে elimination-ও ভেঙে পড়ে, একটা অসম্ভব সমীকরণে (যেমন \(0=-2\)) পৌঁছে জানিয়ে দেয় সমাধান নেই।

চিত্র (11.5 অনুশীলনী): determinant দিয়ে invertibility যাচাই — \(2\times2\) ম্যাট্রিক্স invertible যদি \(\det\ne0\) (Strang, Problem 39)।

৩. সংজ্ঞা ও সূত্র

নিচে অধ্যায়ের সব মূল সংজ্ঞা ও সূত্র এক জায়গায় (দ্রুত রেফারেন্সের জন্য)।

ভেক্টর ও dot product

• দৈর্ঘ্য: \(\vert\mathbf v\vert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\); unit vector: \(\mathbf u=\mathbf v/\vert\mathbf v\vert\)।
• dot product: \(\mathbf v\cdot\mathbf w=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3=\vert\mathbf v\vert\,\vert\mathbf w\vert\cos\theta\)।
• লম্ব \(\iff \mathbf v\cdot\mathbf w=0\); সমান্তরাল \(\iff\) একটা আরেকটার scalar গুণিতক; \(\mathbf v\cdot\mathbf v=\vert\mathbf v\vert^2\)।
• কোণ: \(\cos\theta=\dfrac{\mathbf v\cdot\mathbf w}{\vert\mathbf v\vert\,\vert\mathbf w\vert}\); Cauchy–Schwarz: \(\vert\mathbf v\cdot\mathbf w\vert\le\vert\mathbf v\vert\,\vert\mathbf w\vert\)।

সমতল ও projection

• সমতল: \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\), অর্থাৎ \(ax+by+cz=d\), normal \(\mathbf N=(a,b,c)\)।
• \(\mathbf B\)-এর \(\mathbf A\)-বরাবর projection: \(\mathbf P=\dfrac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\vert\mathbf A\vert^2}\,\mathbf A\), দৈর্ঘ্য \(\dfrac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\vert\mathbf A\vert}\)।
• সমতল থেকে দূরত্ব: মূলবিন্দু থেকে \(\dfrac{\vert d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\); বিন্দু \(Q\) থেকে \(\dfrac{\vert d-\mathbf N\cdot\mathbf Q\vert}{\vert\mathbf N\vert}\)।

cross product ও determinant

• cross product: \(\mathbf A\times\mathbf B=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1)\), দৈর্ঘ্য \(\vert\mathbf A\vert\,\vert\mathbf B\vert\,\vert\sin\theta\vert\)।
• \(\mathbf B\times\mathbf A=-(\mathbf A\times\mathbf B)\); \(\mathbf A\times\mathbf A=\mathbf 0\); সামান্তরিক ক্ষেত্রফল \(=\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert\), ত্রিভুজ \(=\tfrac12\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert\)।
• \(2\times2\) det: \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc\); আয়তন: \(\vert\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)\vert=\vert 3\times3 \text{ det}\vert\)।

matrix ও রৈখিক সমীকরণ

• সিস্টেম: \(A\mathbf u=\mathbf d\); matrix-vector গুণ = সারি-dot product = স্তম্ভের combination।
• \(2\times2\) inverse: \(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\); সমাধান \(\mathbf u=A^{-1}\mathbf d\)।
• Cramer's Rule: \(x=\vert\mathbf d\,\mathbf b\,\mathbf c\vert/\vert\mathbf a\,\mathbf b\,\mathbf c\vert\) ইত্যাদি; singular যখন \(\det A=0\) (সমাধান নেই বা অসংখ্য)।
• Elimination: pivot-এর নিচে শূন্য বানিয়ে triangular সিস্টেম, তারপর back substitution।

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১ (dot product ও কোণ)। \(\mathbf V=(1,2,2)\), \(\mathbf W=(2,3,6)\)। তখন \(\mathbf V\cdot\mathbf W=(1)(2)+(2)(3)+(2)(6)=2+6+12=20\); \(\vert\mathbf V\vert=\sqrt{1+4+4}=3\), \(\vert\mathbf W\vert=\sqrt{4+9+36}=7\)। তাই \(\cos\theta=\dfrac{20}{21}\) — কোণ ছোট, ভেক্টর দুটো প্রায় একই দিকে।

উদাহরণ ২ (projection)। \(\mathbf B=(1,2)\)-কে \(\mathbf A=(3,1)\)-এর উপর project করি। \(\mathbf A\cdot\mathbf B=3+2=5\), \(\vert\mathbf A\vert^2=10\), তাই

\[\mathbf P=\frac{5}{10}(3,1)=\Big(\tfrac32,\tfrac12\Big), \qquad \mathbf B-\mathbf P=\Big(-\tfrac12,\tfrac32\Big).\]

যাচাই লম্বতা: \(\mathbf P\cdot(\mathbf B-\mathbf P)=\tfrac32(-\tfrac12)+\tfrac12(\tfrac32)=-\tfrac34+\tfrac34=0\)। ✓

উদাহরণ ৩ (নিকটতম বিন্দু ও দূরত্ব)। সমতল \(2x+2y+z=9\), \(\mathbf N=(2,2,1)\), \(\vert\mathbf N\vert=3\)। মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \(\dfrac{\vert 9\vert}{3}=3\), নিকটতম বিন্দু \(\mathbf P=\dfrac{9}{9}(2,2,1)=(2,2,1)\) (যাচাই: \(4+4+1=9\) ✓)।

উদাহরণ ৪ (cross product ও ক্ষেত্রফল)। \(\mathbf A=\mathbf i+2\mathbf j+3\mathbf k\), \(\mathbf B=4\mathbf i+5\mathbf j+6\mathbf k\)।

\[\mathbf A\times\mathbf B=\big((2)(6)-(3)(5),\,(3)(4)-(1)(6),\,(1)(5)-(2)(4)\big)=(-3,\,6,\,-3).\]

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert=\sqrt{9+36+9}=\sqrt{54}=3\sqrt6\)।

উদাহরণ ৫ (তল ও ত্রিভুজ)। \(P=(1,0,0),Q=(0,1,0),R=(0,0,1)\)। তলে দুই ভেক্টর \(\mathbf A=Q-P=(-1,1,0)\), \(\mathbf B=R-P=(-1,0,1)\)। normal \(\mathbf N=\mathbf A\times\mathbf B=(1,1,1)\), তাই সমতল \(x+y+z=1\)। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\tfrac12\vert\mathbf N\vert=\tfrac{\sqrt3}{2}\)।

উদাহরণ ৬ (\(2\times2\) det ও Cramer)। বিনিয়োগ-সমস্যা \(x+y=5000,\;0.05x+0.10y=400\)। \(\det A=\begin{vmatrix}1&1\\0.05&0.10\end{vmatrix}=0.10-0.05=0.05\)।

\[x=\frac{\begin{vmatrix}5000&1\\400&0.10\end{vmatrix}}{0.05}=\frac{500-400}{0.05}=\frac{100}{0.05}=2000, \qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&5000\\0.05&400\end{vmatrix}}{0.05}=\frac{400-250}{0.05}=3000.\]

Inverse দিয়েও: \(A^{-1}=\dfrac{1}{0.05}\begin{bmatrix}0.10&-1\\-0.05&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-20\\-1&20\end{bmatrix}\), আর \(A^{-1}\mathbf d=(2\cdot5000-20\cdot400,\;-5000+20\cdot400)=(2000,3000)\)। ✓

উদাহরণ ৭ (\(3\times3\) elimination)। সিস্টেম:

\[x+y+z=1, \qquad 2x+5y+3z=7, \qquad 4x+7y+6z=11.\]

সমীকরণ ১-এর \(2\) গুণ সমীকরণ ২ থেকে, \(4\) গুণ সমীকরণ ৩ থেকে বিয়োগ:

\[x+y+z=1, \qquad 3y+z=5, \qquad 3y+2z=7.\]

এবার নতুন সমীকরণ ২ সমীকরণ ৩ থেকে বিয়োগ: \(z=2\)। back substitution: \(3y+2=5\Rightarrow y=1\); \(x+1+2=1\Rightarrow x=-2\)। সমাধান \((x,y,z)=(-2,1,2)\) (তিন সমীকরণেই মিলে যায়)। pivot-গুলো \(1,3,1\), গুণফল \(=\det A=3\)।

উদাহরণ ৮ (least squares)। \(\mathbf a=(1,1,1),\mathbf b=(1,2,3),\mathbf d=(0,5,4)\)। normal equations: \(\mathbf a\cdot\mathbf a=3,\mathbf a\cdot\mathbf b=6,\mathbf b\cdot\mathbf b=14,\mathbf a\cdot\mathbf d=9,\mathbf b\cdot\mathbf d=22\), তাই

\[3x+6y=9, \qquad 6x+14y=22 \;\Rightarrow\; x=-1,\;y=2.\]

projection \(\mathbf p=-\mathbf a+2\mathbf b=(1,3,5)\), error \(\mathbf d-\mathbf p=(-1,2,-1)\) — যা \(\mathbf a,\mathbf b\) উভয়ের লম্ব (\(-1+2-1=0\), \(-1+4-3=0\))। সবচেয়ে কাছের রেখা \(f=-1+2t\)।

Analogy — দুই গুণ, দুই মানে

দুটো তীর নিয়ে ভাবো। dot product যেন জিজ্ঞেস করে "তোমরা কতটা একমত?" — একই দিকে হলে বড় ধনাত্মক, বিপরীতে বড় ঋণাত্মক, সমকোণে শূন্য (একটা সংখ্যা, "মিল")। cross product জিজ্ঞেস করে "তোমরা মিলে কতটা জায়গা ঢাকো?" — সমান্তরালে শূন্য (কোনো ক্ষেত্রফল নয়), সমকোণে সর্বোচ্চ, আর উত্তরটা একটা নতুন তীর যা তোমাদের সমতল থেকে খাড়া উঠে যায় (একটা ভেক্টর, "বিস্তার")। আর matrix যেন একটা ফাংশন-যন্ত্র: \(\mathbf u\) ঢোকাও, \(\mathbf d\) বেরোয়; \(A^{-1}\) সেই যন্ত্রের "undo" বোতাম।

৫. Python-এ করো

NumPy দিয়ে এই অধ্যায়ের সব হিসাব কয়েক লাইনে করা যায়। (মন্তব্য বাংলায়।)

import numpy as np

# --- ভেক্টর, দৈর্ঘ্য, dot product, কোণ ---
v = np.array([1, 2, 2])
w = np.array([2, 3, 6])

dot = np.dot(v, w)             # ডট গুণন = 1*2 + 2*3 + 2*6 = 20
len_v = np.linalg.norm(v)      # দৈর্ঘ্য |v| = 3.0
len_w = np.linalg.norm(w)      # দৈর্ঘ্য |w| = 7.0
cos_theta = dot / (len_v * len_w)     # cos θ = 20/21
theta_deg = np.degrees(np.arccos(cos_theta))  # কোণ ডিগ্রিতে
print("v·w =", dot, "| |v|=", len_v, "| cosθ =", cos_theta, "| θ =", theta_deg)

# --- projection: B-কে A-এর উপর প্রক্ষেপ ---
A = np.array([3, 1])
B = np.array([1, 2])
P = (np.dot(A, B) / np.dot(A, A)) * A   # P = (A·B / |A|^2) A = (1.5, 0.5)
perp = B - P                            # লম্ব অংশ = (-0.5, 1.5)
print("projection P =", P, "| লম্বতা যাচাই P·(B-P) =", np.dot(P, perp))  # ≈ 0

# --- cross product ও সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ---
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
cross = np.cross(a, b)                   # ক্রস গুণন = (-3, 6, -3)
area = np.linalg.norm(cross)             # সামান্তরিক ক্ষেত্রফল = 3√6 ≈ 7.348
print("a×b =", cross, "| ক্ষেত্রফল =", area)

# --- 2x2 নির্ণায়ক ও রৈখিক সমীকরণ (বিনিয়োগ সমস্যা) ---
A2 = np.array([[1.0, 1.0],
               [0.05, 0.10]])
d2 = np.array([5000.0, 400.0])
detA = np.linalg.det(A2)                 # det = 0.05
u = np.linalg.solve(A2, d2)              # সমাধান u = (2000, 3000)
Ainv = np.linalg.inv(A2)                 # বিপরীত ম্যাট্রিক্স
print("det =", round(detA, 4), "| u =", u)
print("A⁻¹ =\n", Ainv)

# --- 3x3 সিস্টেম: elimination-এর কাজটাই solve করে ---
A3 = np.array([[1, 1, 1],
               [2, 5, 3],
               [4, 7, 6]], dtype=float)
d3 = np.array([1, 7, 11], dtype=float)
print("det(A3) =", round(np.linalg.det(A3), 6))  # = 3
print("সমাধান (x,y,z) =", np.linalg.solve(A3, d3))  # (-2, 1, 2)

# --- matrix গুণ matrix ---
M = np.array([[1, 2], [3, 4]])
N = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print("M @ N =\n", M @ N)                # [[19,22],[43,50]]

সতর্কতা

np.dot(v, w) দুটো ১-D array-তে scalar dot product দেয়, কিন্তু দুটো ২-D array-তে দেয় matrix গুণ। matrix গুণের জন্য পরিষ্কার @ অপারেটর ব্যবহার করাই ভালো। আর np.linalg.solve(A, d) কখনো inverse হিসাব করে না — ভেতরে elimination চালায়, তাই দ্রুত ও নির্ভুল; বড় সিস্টেমে inv(A) @ d-এর বদলে সবসময় solve ব্যবহার করো।

৬. সাধারণ ভুল

যেসব ভুল বারবার হয়

• dot ও cross গুলিয়ে ফেলা। dot product একটা সংখ্যা (\(\cos\theta\), "মিল"); cross product একটা ভেক্টর (\(\sin\theta\), "ক্ষেত্রফল/লম্ব দিক")। v·w লম্বতে শূন্য; v×w সমান্তরালে শূন্য।
• cross product-এর \(\mathbf j\)-চিহ্ন। determinant-রূপে \(\mathbf A\times\mathbf B\)-এর মাঝের পদ বিয়োগ — \(\mathbf j\)-component হলো \(a_3b_1-a_1b_3\) (উল্টো ক্রম!), \(a_1b_3-a_3b_1\) নয়।
• cross product-কে commutative ভাবা। \(\mathbf A\times\mathbf B=-(\mathbf B\times\mathbf A)\), সমান নয়। matrix গুণও commutative নয়: \(AB\ne BA\) সাধারণত।
• normal ভেক্টর ভুল পড়া। \(ax+by+cz=d\)-এ normal \(\mathbf N=(a,b,c)\) — ডান পক্ষের \(d\) নয়। \(d\) শুধু সমতল কোথায় বসেছে ঠিক করে।
• projection-এ ভাগ ভুল। \(\mathbf P=\dfrac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\vert\mathbf A\vert^2}\mathbf A\) — হর \(\vert\mathbf A\vert^2\) (যার উপর project করছি), \(\vert\mathbf B\vert^2\) নয়। ভেক্টর-রূপে \(\vert\mathbf A\vert^2\), দৈর্ঘ্য-রূপে \(\vert\mathbf A\vert\)।
• \(2\times2\) inverse-এর চিহ্ন-প্যাটার্ন। \(\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\) — কর্ণের \(a,d\) জায়গা বদলায়, বাকি \(b,c\) চিহ্ন বদলায়। উল্টে ফেলা সহজ ভুল।
• singular case-এ ভাগ। \(\det A=0\) হলে Cramer's Rule বা inverse চলে না (শূন্য দিয়ে ভাগ)। তখন সমাধান নেই অথবা অসংখ্য — elimination সেটা "\(0=\) কোনো সংখ্যা" দিয়ে ধরিয়ে দেয়।
• zero vector আর zero number। \(\mathbf A\times\mathbf A=\mathbf 0\) (ভেক্টর), কিন্তু \(\mathbf A\cdot\mathbf A=\vert\mathbf A\vert^2\) (সংখ্যা)। দুটো \(\mathbf 0\) আলাদা।
• বিভিন্ন মাত্রার ভেক্টর যোগ। \((3,1)+(1,2,-2)\) অর্থহীন — এরা ভিন্ন মাত্রায় বাস করে।

৭. এক্সারসাইজ

1. \(\mathbf v=(3,4)\)-এর দৈর্ঘ্য \(\vert\mathbf v\vert\) ও একই দিকের unit vector বের করো।

2. \(\mathbf V=(1,1,1)\) ও \(\mathbf W=(1,-1,-1)\)-এর \(\mathbf V\cdot\mathbf W\) বের করো। এরা কি লম্ব? কোণটা সূক্ষ্ম না স্থূল?

3. \(\mathbf B=(1,2)\)-এর \(\mathbf A=(3,1)\)-বরাবর projection \(\mathbf P\) ও তার দৈর্ঘ্য \(\vert\mathbf P\vert\) বের করো।

4. \(P_0=(1,2,3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(\mathbf N=(2,-1,2)\)-এর লম্ব — এমন সমতলের সমীকরণ লেখো।

5. মূলবিন্দু থেকে সমতল \(x+2y+2z=6\)-এর দূরত্ব ও নিকটতম বিন্দু বের করো।

6. \(\mathbf A=(1,2,3)\) ও \(\mathbf B=(4,5,6)\)-এর \(\mathbf A\times\mathbf B\) এবং \(\mathbf A,\mathbf B\)-বাহুর সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের করো।

7. \(\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}\) determinant এবং \(A=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}\)-এর inverse \(A^{-1}\) বের করো।

8. Cramer's Rule দিয়ে সমাধান করো: \(x+2y=3,\;x-y=0\)।

9. \(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) matrix গুণটা করো। ডান দিকের ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করলে কী ঘটল?

10. Elimination ও back substitution দিয়ে সমাধান করো: \(x+y+z=6,\;\;2x+3y+z=11,\;\;x+y+2z=9\)।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(\vert\mathbf v\vert=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\) (ধ্রুপদী \(3\)–\(4\)–\(5\) ত্রিভুজ)। unit vector \(\mathbf u=\mathbf v/\vert\mathbf v\vert=\big(\tfrac35,\tfrac45\big)=(0.6,\,0.8)\)। যাচাই: \(0.6^2+0.8^2=0.36+0.64=1\)। ✓

২-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf V\cdot\mathbf W=(1)(1)+(1)(-1)+(1)(-1)=1-1-1=-1\)। শূন্য নয়, তাই লম্ব নয়। \(\vert\mathbf V\vert=\vert\mathbf W\vert=\sqrt3\), তাই \(\cos\theta=\dfrac{-1}{3}<0\) — কোণ স্থূল (obtuse, \(90^\circ\)-এর বেশি), প্রায় \(109.5^\circ\)।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf A\cdot\mathbf B=(3)(1)+(1)(2)=5\), \(\vert\mathbf A\vert^2=3^2+1^2=10\)। তাই $\(\mathbf P=\frac{5}{10}(3,1)=\Big(\tfrac32,\tfrac12\Big), \qquad \vert\mathbf P\vert=\sqrt{\tfrac94+\tfrac14}=\sqrt{\tfrac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx1.58.\)$ (বিকল্পে \(\vert\mathbf P\vert=\dfrac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\vert\mathbf A\vert}=\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) — একই উত্তর।)

৪-নং সমাধান দেখাও

Point-normal রূপ: \(2(x-1)-1(y-2)+2(z-3)=0\), অর্থাৎ \(2x-y+2z-2+2-6=0\), তাই $\(2x-y+2z=6.\)$ যাচাই: \(P_0=(1,2,3)\) বসাও — \(2-2+6=6\)। ✓ সহগ থেকেই \(\mathbf N=(2,-1,2)\) চেনা যায়।

৫-নং সমাধান দেখাও

\(\mathbf N=(1,2,2)\), \(\vert\mathbf N\vert=\sqrt{1+4+4}=3\), \(d=6\)। দূরত্ব \(=\dfrac{\vert6\vert}{3}=2\)। নিকটতম বিন্দু $\(\mathbf P=\frac{d}{\vert\mathbf N\vert^2}\mathbf N=\frac{6}{9}(1,2,2)=\Big(\tfrac23,\tfrac43,\tfrac43\Big).\)$ যাচাই: \(\tfrac23+2\cdot\tfrac43+2\cdot\tfrac43=\tfrac23+\tfrac83+\tfrac83=\tfrac{18}{3}=6\)। ✓ আর \(\vert\mathbf P\vert=\tfrac13\sqrt{1+4+4}=\tfrac13\cdot3=2\) — দূরত্বের সাথে মিলল।

৬-নং সমাধান দেখাও

$\(\mathbf A\times\mathbf B=\big((2)(6)-(3)(5),\;(3)(4)-(1)(6),\;(1)(5)-(2)(4)\big)=(12-15,\;12-6,\;5-8)=(-3,6,-3).\)$ ক্ষেত্রফল \(=\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{9+36+9}=\sqrt{54}=3\sqrt6\approx7.35\)।

৭-নং সমাধান দেখাও

\(\det=\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}=(2)(3)-(1)(4)=6-4=2\)। যেহেতু \(D=2\ne0\), inverse আছে: $\(A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}3&-1\\-4&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.5&-0.5\\-2&1\end{bmatrix}.\)$ যাচাই: \(A^{-1}A=\begin{bmatrix}1.5&-0.5\\-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3-2&1.5-1.5\\-4+4&-2+3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\)। ✓

৮-নং সমাধান দেখাও

\(A=\begin{bmatrix}1&2\\1&-1\end{bmatrix}\), \(\det A=(1)(-1)-(2)(1)=-3\)। $\(x=\frac{\begin{vmatrix}3&2\\0&-1\end{vmatrix}}{-3}=\frac{-3-0}{-3}=1, \qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&3\\1&0\end{vmatrix}}{-3}=\frac{0-3}{-3}=1.\)$ সমাধান \((x,y)=(1,1)\)। যাচাই: \(1+2(1)=3\) ✓, \(1-1=0\) ✓। (এটাই কিড-চিত্রের দুই রেখার ছেদবিন্দু।)

৯-নং সমাধান দেখাও

$\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot0+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot0\\ 3\cdot0+4\cdot1 & 3\cdot1+4\cdot0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}.\)$ ডান দিকের \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) হলো permutation matrix — এটা প্রতিটা সারির দুটো স্তম্ভ অদল-বদল করে দিল (স্তম্ভ ১ ও ২ পাল্টে গেছে)।

১০-নং সমাধান দেখাও

সমীকরণ ১-এর \(2\) গুণ সমীকরণ ২ থেকে, \(1\) গুণ সমীকরণ ৩ থেকে বিয়োগ: $\(x+y+z=6, \qquad y-z=-1, \qquad z=3.\)$ (২ নং: \(2x+3y+z-2(x+y+z)=y-z\), ডান পক্ষ \(11-12=-1\); ৩ নং: \(x+y+2z-(x+y+z)=z\), ডান পক্ষ \(9-6=3\).) back substitution: \(z=3\); \(y-3=-1\Rightarrow y=2\); \(x+2+3=6\Rightarrow x=1\)। সমাধান \((x,y,z)=(1,2,3)\)। তিন সমীকরণেই যাচাই: \(1+2+3=6\) ✓, \(2+6+3=11\) ✓, \(1+2+6=9\) ✓।

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ে এক-চলকের calculus থেকে বহু-মাত্রায় ঢুকলাম। Dot product দৈর্ঘ্য, কোণ ও orthogonality দেয়। Cross product area-vector ও perpendicular direction দেয়; volume পেতে তৃতীয় vector-সহ scalar triple product \(|\mathbf A\cdot(\mathbf B\times\mathbf C)|\) লাগে। Matrix linear equation \(A\mathbf u=\mathbf d\) লেখে ও solve করতে সাহায্য করে।

• [x] ভেক্টর: component, দৈর্ঘ্য \(\vert\mathbf v\vert\), unit vector, head-to-tail ও parallelogram যোগ, scalar গুণ।
• [x] dot product: \(\mathbf v\cdot\mathbf w=v_1w_1+\cdots=\vert\mathbf v\vert\vert\mathbf w\vert\cos\theta\); লম্ব \(\iff\) শূন্য; কোণ ও Cauchy–Schwarz।
• [x] সমতল: \(ax+by+cz=d\), normal \(\mathbf N=(a,b,c)\); দুই সমতলের কোণ = normal-দের কোণ।
• [x] projection: \(\mathbf P=\dfrac{\mathbf A\cdot\mathbf B}{\vert\mathbf A\vert^2}\mathbf A\); সমতল থেকে দূরত্ব \(\vert d\vert/\vert\mathbf N\vert\)।
• [x] cross product: সূত্র ও determinant-রূপ; anticommutative; ক্ষেত্রফল \(\vert\mathbf A\times\mathbf B\vert\)।
• [x] determinant: \(2\times2\) (\(ad-bc\)), \(3\times3\) (triple product = আয়তন); \(\det=0\Rightarrow\) singular।
• [x] matrix: \(A\mathbf u=\mathbf d\); সারি=dot, স্তম্ভ=combination; matrix গুণ; identity \(I\); inverse \(A^{-1}\)।
• [x] সমাধান: Cramer's Rule, \(\mathbf u=A^{-1}\mathbf d\), ও Gaussian elimination + back substitution।
• [x] singular: \(\det A=0\) হলে সমাধান নেই বা অসংখ্য (সমান্তরাল রেখা / একই সমতলে স্তম্ভ)।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.12 — Motion along a Curve — এই অধ্যায়ের ভেক্টর হাতিয়ার নিয়ে এবার বাঁকা পথ ধরে গতির গল্প: অবস্থান-ভেক্টর \(\mathbf R(t)\), তার derivative বেগ \(\mathbf v(t)\) ও ত্বরণ \(\mathbf a(t)\), এবং গ্রহ-উপগ্রহের কক্ষপথ পর্যন্ত।