9.7 — Techniques of Integration (সমাকলনের কৌশল)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: derivative বের করা যন্ত্রের মতো — নিয়ম প্রয়োগ করলেই হয়। কিন্তু integral (সমাকল) বের করা শিল্প: প্রতিটা নতুন function-এর জন্য একটা চতুর কৌশল দরকার। এই অধ্যায়ে পাঁচটা মহাশক্তিশালী কৌশল লাইন-ধরে-ধরে শিখব — (১) integration by parts (খণ্ডে খণ্ডে সমাকলন), যা product rule-এর উল্টো, আর \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) সূত্রটা আমরা নিজে হাতে product rule থেকে বের করব; (২) trigonometric integrals (ত্রিকোণমিতিক সমাকল), সাইন-কোসাইন-সেকেন্ট-ট্যানজেন্টের যেকোনো গুণফল; (৩) trigonometric substitutions (ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন), বর্গমূল \(\sqrt{a^2-x^2}\) সরানোর সেরা চাল; (৪) partial fractions (আংশিক ভগ্নাংশ), যেকোনো rational function-কে সহজ টুকরোয় ভাঙা; আর (৫) improper integrals (অপ্রকৃত সমাকল), যেখানে সীমা বা function অসীমে চলে যায় তবু ক্ষেত্রফল সসীম হতে পারে। Strang-এর Chapter 7-এর পাঁচটা section এখানে একদম বেসিক থেকে, প্রতিটা derivation ও উদাহরণ খুলে খুলে।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

আগের অধ্যায়গুলোতে আমরা দেখেছি অন্তরীকরণ (differentiation) হলো একটা যান্ত্রিক প্রক্রিয়া — power rule, product rule, chain rule জানলে যেকোনো "সুন্দর" function-এর derivative বের করা যায়, প্রায় চোখ বুজে। কিন্তু তার উল্টো কাজ — antiderivative (আদি-অন্তরজ) বা integral বের করা — মোটেও যান্ত্রিক নয়। এটা অনেকটা ধাঁধা মেলানোর মতো: "কোন function-কে অন্তরীকরণ করলে এই জিনিসটা পাব?"

উদাহরণ দিয়ে বুঝি। \(\int x\cos x\,dx\) — এটা দেখতে সরল, কিন্তু substitution খাটে না, power rule খাটে না। আবার \(\int \sqrt{1-x^2}\,dx\) — বৃত্তের নিচের ক্ষেত্রফল, অথচ সরাসরি কোনো সূত্র নেই। কিংবা \(\displaystyle\int \frac{-4x+16}{(x-2)(x+2)\,x}\,dx\) — একটা জটিল ভগ্নাংশ, যার উত্তরে হঠাৎ logarithm এসে পড়ে।

এই অধ্যায় ঠিক এই সমস্যাগুলোরই সমাধান। মূল বার্তা: কঠিন integral-কে সরাসরি সমাধান না করে, একটা কৌশল দিয়ে সহজ integral-এ রূপান্তর করাই আসল খেলা। by parts একটা কঠিন integral-কে সহজটার সঙ্গে অদলবদল করে; substitution বর্গমূল সরায়; partial fractions এক টুকরো জিনিসকে অনেক সহজ টুকরোয় ভাঙে। প্রতিবারই লক্ষ্য এক — সমস্যাটাকে চেনা রূপে নিয়ে আসা।

এগুলো শুধু পরীক্ষার কৌশল নয়। by parts আসলে বলবিদ্যার (mechanics) "virtual work" নীতির গণিত; trig-integral \(\int \sin px\cos qx\,dx=0\) সত্যটা পুরো Fourier series ও signal processing-এর ভিত্তি; improper integral \(\int_0^\infty x^n e^{-x}dx=n!\) থেকে জন্ম নেয় gamma function। কৌশলগুলো শিখলে ক্যালকুলাসের অর্ধেক প্রয়োগ-জগৎ খুলে যায়।

মূল স্বজ্ঞা

Integral বের করার কোনো একক নিয়ম নেই — আছে একটা টুলবক্স। কাজ হলো integrand (যাকে সমাকলন করছি) দেখে ঠিক করা কোন যন্ত্রটা লাগবে: গুণফল (যেমন \(x\,e^x\)) দেখলে by parts; বর্গমূল \(\sqrt{a^2\pm x^2}\) দেখলে trig substitution; ভগ্নাংশ \(P(x)/Q(x)\) দেখলে partial fractions; সাইন-কোসাইনের ঘাত দেখলে trig identity; সীমায় \(\infty\) দেখলে improper integral-এর limit। integrand-এর আকারই বলে দেয় কোন চাবি লাগবে।

২. মূল ধারণা (Core idea)

পাঁচটা কৌশল একে একে দেখি — প্রতিটার পেছনের ধারণা, তারপর derivation।

২.১ Integration by Parts (খণ্ডে খণ্ডে সমাকলন)

Substitution আসে chain rule থেকে। by parts আসে product rule থেকে। দুটো function \(u(x)\) ও \(v(x)\)-এর গুণফলের derivative-এর নিয়মটা মনে করি:

\[\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big) = u(x)\,\frac{dv}{dx} + v(x)\,\frac{du}{dx}.\]

এখন দুই পাশে সমাকলন করি \(x\)-এর সাপেক্ষে। বাঁ পাশে, derivative-এর integral আবার মূল function ফিরিয়ে দেয়, অর্থাৎ \(\int \frac{d}{dx}(uv)\,dx = uv\)। ডান পাশে দুটো integral:

\[u(x)\,v(x) = \int u\,\frac{dv}{dx}\,dx \;+\; \int v\,\frac{du}{dx}\,dx.\]

দুটো integral-এর একটাকে অন্য পাশে নিয়ে যাই (বিয়োগ চিহ্নসহ):

\[\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = u(x)\,v(x) - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx.\]

differential-এর সংক্ষিপ্ত লেখায় (\(dv=\frac{dv}{dx}\,dx\) এবং \(du=\frac{du}{dx}\,dx\)) এটাই দাঁড়ায় এই অধ্যায়ের প্রথম মহাসূত্রে:

\[\boxed{\;\int u\,dv = uv - \int v\,du\;} \qquad \square\]

এটাই integration by parts (\(u\) আর \(v\) হলো "parts" বা খণ্ড)। মনে রাখার তিনটে জিনিস: (১) একটা বিয়োগ চিহ্ন, (২) "integrated term" \(uv\), আর (৩) নতুন integral \(\int v\,du\)। পুরো লাভটা এই — যদি চতুরভাবে \(u,v\) বাছি, তবে নতুন \(\int v\,du\) পুরোনো \(\int u\,dv\)-এর চেয়ে সহজ হয়ে যায়। কঠিন আর সহজ integral-এর পার্থক্যটা হলো একটা চেনা পদ \(uv\) — এটাই মূল কথা।

নির্দিষ্ট সমাকলে (definite integral) \(uv\) পদটা দুই প্রান্তে বসাই:

\[\int_a^b u\,\frac{dv}{dx}\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b v\,\frac{du}{dx}\,dx.\]

\(u\) ও \(v\) বাছাইয়ের নিয়ম। লক্ষ্য: \(\int v\,du\) যেন \(\int u\,dv\)-এর চেয়ে সহজ হয়। মূলমন্ত্র — \(u\)-কে দাও একটা সুন্দর (সরল) derivative, আর \(dv\)-কে দাও একটা সুন্দর integral। যেমন \(\ln x\)-এর derivative \(1/x\) (সরল হয়), তাই \(\ln x\) যায় \(u\)-তে; \(e^x\)-এর integral আবার \(e^x\) (একই থাকে), তাই \(e^x\) যায় \(dv\)-তে।

একটা কাজের স্মৃতি-সহায়ক হলো LIATE — \(u\) বাছার অগ্রাধিকারক্রম:

ক্রম	ধরন	উদাহরণ
L	Logarithmic (লগারিদমীয়)	\(\ln x\)
I	Inverse trig (বিপরীত ত্রিকোণমিতি)	\(\tan^{-1}x,\ \sin^{-1}x\)
A	Algebraic (বীজগাণিতিক)	\(x,\ x^2\)
T	Trigonometric	\(\sin x,\ \cos x\)
E	Exponential	\(e^x\)

তালিকায় যেটা আগে, সেটাই \(u\); বাকিটা \(dv\)। যেমন \(\int x\,e^x dx\)-এ \(x\) (A) আসে \(e^x\) (E)-এর আগে, তাই \(u=x\), \(dv=e^x dx\)।

চিত্র ৭.১: integration by parts-এর জ্যামিতি। \(\int u\,dv\) আর \(\int v\,du\) ক্ষেত্রফল দুটো মিলে বড় আয়ত \(u(b)v(b)\) আর ছোট আয়ত \(u(a)v(a)\)-এর পার্থক্য পূরণ করে — সূত্র \(\int u\,dv = uv-\int v\,du\)-এর ছবি। (ডানে: delta function যার ক্ষেত্রফল \(1\), \(v(x)\)-কে \(x=0\)-তে গুণ করে।)

by parts শুধু কৌশল নয় — এর গভীর অর্থ আছে। প্রকৌশলে (engineering) একটা ঝুলন্ত দণ্ডে (bar) বলের ভারসাম্য \(\dfrac{dv}{dx}=f(x)\) (যেখানে \(v=-k\,\dfrac{du}{dx}\) হলো Hooke's law-এর অভ্যন্তরীণ বল) — এটাকে সরণ \(u(x)\) দিয়ে গুণ করে সমাকলন করলে by parts আমাদের নিয়ে যায় "external work = internal work" ভারসাম্যে, যা বলবিদ্যার virtual work নীতির ভিত্তি।

চিত্র ৭.২: একটা ঝুলন্ত দণ্ডের ছোট টুকরোয় বলের ভারসাম্য — অভ্যন্তরীণ বলের পার্থক্য বাইরের বল \(f(x)\)-কে সামলায়, অর্থাৎ \(dv/dx=f(x)\); নিচের প্রান্তে \(v=W\) ঝুলন্ত ওজনকে ধরে। by parts এই বল-ভারসাম্যকে কাজ-ভারসাম্যে বদলে দেয়।

২.২ Trigonometric Integrals (ত্রিকোণমিতিক সমাকল)

লক্ষ্য: \(\int \sin^m x\,\cos^n x\,dx\) ধরনের যেকোনো integral। মূল কৌশল দুই ধরনের — একটা substitution (একটা ঘাতকে \(du\) হিসেবে আলাদা করা), আরেকটা trig identity (double-angle সূত্র)।

নিয়ম — \(m\) বা \(n\) বিজোড় (odd) হলে (substitution):

• \(n\) বিজোড় হলে: একটা \(\cos x\,dx\) আলাদা করো (\(=du\) হবে যদি \(u=\sin x\)), বাকি জোড়-ঘাত কোসাইনকে \(\cos^2 x = 1-\sin^2 x\) দিয়ে সাইনে বদলাও।
• \(m\) বিজোড় হলে: একটা \(\sin x\,dx\) আলাদা করো (\(=-du\) হবে যদি \(u=\cos x\)), বাকিটা কোসাইনে বদলাও।

মূল অভেদ (identity) সবসময় \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)।

নিয়ম — \(m,n\) দুটোই জোড় (even) হলে (double-angle): substitution খাটে না, কারণ \(du\) পাওয়া যায় না। তখন ঘাত অর্ধেক করার সূত্র ব্যবহার করি:

\[\cos^2 x = \tfrac12\big(1+\cos 2x\big), \qquad \sin^2 x = \tfrac12\big(1-\cos 2x\big).\]

এদের সরাসরি সমাকলন করা যায়। এই দুটো আর নিচের দুটোই একমাত্র মুখস্থ করার যোগ্য:

\[\int \cos^2 x\,dx = \tfrac12 x + \tfrac14 \sin 2x + C, \qquad \int \sin^2 x\,dx = \tfrac12 x - \tfrac14 \sin 2x + C.\]

কোণ \(px\) ও \(qx\)-এর গুণফল (Fourier-এর হৃদয়)। \(\int_0^{2\pi} \sin px\,\cos qx\,dx\) ধরনের integral গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণগুলোর একটা। গুণফলকে যোগে ভাঙার সূত্র:

\[\sin px\,\cos qx = \tfrac12 \sin(p+q)x + \tfrac12 \sin(p-q)x.\]

সাইনের পূর্ণ পর্যায় (period) জুড়ে integral শূন্য, তাই:

\[\int_0^{2\pi} \sin px\,\cos qx\,dx = 0 \quad (\text{all } p,q). \qquad \square\]

একইভাবে \(\int_0^{2\pi}\sin px\,\sin qx\,dx = 0\) এবং \(\int_0^{2\pi}\cos px\,\cos qx\,dx = 0\) যদি \(p\ne q\); কিন্তু \(p=q\) হলে উত্তর \(\pi\) (পূর্ণবর্গ, ঋণাত্মক ক্ষেত্রফল কাটাকাটি করার নেই)। এই "শূন্য নয়তো \(\pi\)" ধর্মকেই বলে orthogonality (লম্বতা) — Fourier series-এর মেরুদণ্ড।

Secant ও Tangent। ঋণাত্মক ঘাত এলে logarithm আসে। দুটো মূল ফল:

\[\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C, \qquad \int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C.\]

উচ্চ ঘাতের জন্য মূল অভেদ \(1+\tan^2 x = \sec^2 x\) (এটা \(\cos^2+\sin^2=1\)-কে \(\cos^2 x\) দিয়ে ভাগ করলেই পাই)। এই \(\int\sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|\)-এর একটা চমকপ্রদ বাস্তব প্রয়োগ আছে — Mercator projection (মানচিত্র অভিক্ষেপ)। বিষুবরেখা থেকে অক্ষাংশ \(x\)-এ যেতে মানচিত্রে দূরত্ব ঠিক এই integral।

চিত্র ৭.৩: Mercator মানচিত্রে অক্ষাংশ \(x\)-এর ফালিগুলোকে \(\sec x\) দিয়ে টানা হয় — তাই মেরুর কাছে Greenland বিশাল দেখায়। উত্তরে দূরত্ব যোগ করলে \(\int \sec x\,dx = \ln(\sec x+\tan x)\); মেরুতে (যেখানে \(x\to\pi/2\)) দূরত্ব অসীম।

চিত্র (trig-অনুশীলন): দুটো ভিন্ন কম্পাঙ্কের (frequency) sine-এর গুণফল \(\sin px\,\sin qx\)-এর graph — Fourier series-এ এদের সমাকল (\(p\ne q\) হলে শূন্য) চেনার অনুশীলন-চিত্র।

২.৩ Trigonometric Substitutions (ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন)

কাগজ-কলম-মাথা দিয়ে সমাকলনের সবচেয়ে শক্তিশালী হাতিয়ার substitution। এই section-এ সবচেয়ে মূল্যবান প্রতিস্থাপনগুলো — বর্গমূল সরানোর জন্য।

মূল ধারণাটা \(\sqrt{1-x^2}\) দিয়ে দেখি। বসাই \(x=\sin\theta\)। তখন \(\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{\cos^2\theta}=\cos\theta\) (যদি \(\cos\theta>0\)), আর \(dx=\cos\theta\,d\theta\)। বিশ্রী বর্গমূলটা হঠাৎ মসৃণ হয়ে যায়:

\[\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int (\cos\theta)(\cos\theta\,d\theta) = \int \cos^2\theta\,d\theta.\]

সাবধান — \(dx\) বদলে \(\cos\theta\,d\theta\) করা অপরিহার্য; ওটা ভুলে গেলে উত্তর সম্পূর্ণ ভুল হবে (\(dx\ne d\theta\))।

উত্তরে ফিরতে একটা reference triangle (রেফারেন্স ত্রিভুজ) আঁকা সবচেয়ে সহজ পথ — সেখান থেকে \(\theta\) ও তার সব trig-মান সরাসরি \(x\)-এ পড়া যায়।

কিড-চিত্র: \(x=a\sin\theta\) প্রতিস্থাপনের রেফারেন্স ত্রিভুজ। যেহেতু \(\sin\theta = x/a\), একটা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার অতিভুজ \(a\) ও বিপরীত বাহু \(x\); তখন সন্নিহিত বাহু \(\sqrt{a^2-x^2}\), আর \(\cos\theta=\sqrt{a^2-x^2}/a\)। ফলে \(\theta\)-এর উত্তরকে অনায়াসে \(x\)-এ ফেরানো যায়।

তিনটি মূল প্রতিস্থাপন। integrand-এ যে বর্গমূলটা আছে, সেটা দেখেই প্রতিস্থাপন বাছি:

বর্গমূলের রূপ	প্রতিস্থাপন	যা হয়ে যায়	\(dx\)
\(\sqrt{a^2-x^2}\)	\(x=a\sin\theta\)	\(a\cos\theta\)	\(a\cos\theta\,d\theta\)
\(\sqrt{a^2+x^2}\)	\(x=a\tan\theta\)	\(a\sec\theta\)	\(a\sec^2\theta\,d\theta\)
\(\sqrt{x^2-a^2}\)	\(x=a\sec\theta\)	\(a\tan\theta\)	\(a\sec\theta\tan\theta\,d\theta\)

প্রতিটার পেছনে একটাই অভেদ: \(1-\sin^2=\cos^2\), \(1+\tan^2=\sec^2\), \(\sec^2-1=\tan^2\)।

চিত্র ৭.৪: \(\int\sqrt{1-x^2}\,dx\) এবং \(\int\cos^2\theta\,d\theta\) একই ক্ষেত্রফল — \(x\) থেকে \(\theta\)-তে গেলে উচ্চতা ও ভূমি দুটোই বদলায়, কিন্তু ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত (এটাই substitution-এর মূল কথা)। তৃতীয় ছবিটা ভুল, কারণ সেখানে \(dx\ne d\theta\) ধরা হয়েছে।

চিত্র ৭.৫: \(\int\sqrt{1-x^2}\,dx\) আসলে দুটো সরল ক্ষেত্রফলের যোগ — একটা পাই-আকৃতির খণ্ড (wedge) আর একটা ত্রিভুজ। তাই উত্তরে \(\tfrac12 x\sqrt{1-x^2}\) (ত্রিভুজ) আর \(\tfrac12\sin^{-1}x\) (খণ্ড) — দুটোই আসে।

Completing the square (বর্গ পূর্ণ করা)। বর্গমূলে রৈখিক পদ থাকলে (যেমন \(\sqrt{x^2-2x+2}\)), আগে বর্গ পূর্ণ করে রৈখিক পদ সরাই: \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\)। তারপর \(u=x-1\) বসিয়ে \(\sqrt{u^2+1}\) — যা এখন উপরের টেবিলের জন্য তৈরি।

চিত্র (trig-sub অনুশীলন): \(x^2+a^2\) ধরনের রাশির জন্য প্রতিস্থাপন-অনুশীলনের চিত্র — \(x=a\tan\theta\) বসিয়ে ত্রিভুজ থেকে উত্তরকে \(x\)-এ ফেরানোর ধাপ দেখায়।

২.৪ Partial Fractions (আংশিক ভগ্নাংশ)

এই কৌশল rational function \(P(x)/Q(x)\)-এর জন্য (দুটো বহুপদীর অনুপাত)। মূল ধারণাটা খুবই সরল: এক টুকরো জটিল ভগ্নাংশকে কয়েকটা সহজ ভগ্নাংশের যোগফলে ভাঙা, যাদের প্রতিটা সহজে সমাকলনযোগ্য (সাধারণত একেকটা logarithm দেয়)।

যেমন, একটা জটিল ভগ্নাংশ ভেঙে যায় তিনটা সরল টুকরোয়:

\[\frac{-4x+16}{(x-2)(x+2)\,x} = \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x}.\]

ডান পাশের প্রতিটা টুকরো \(\dfrac{A}{x-a}\) আকারের, যার integral \(A\ln|x-a|\)। তাই পুরো integral এক লাইনে দাঁড়ায় \(\ln|x-2| + 3\ln|x+2| - 4\ln|x| + C\)।

কিড-চিত্র: partial fractions-এর পুরো লক্ষ্য — একটা কঠিন ভগ্নাংশ \(P(x)/Q(x)\)-কে সহজ টুকরোয় ভাঙা, যার প্রতিটা একেকটা log দেয়। ডানে "cover-up (ঢেকে-দেওয়া) পদ্ধতি": হরের একটা উৎপাদক \((x-2)\) ঢেকে দিয়ে \(x=2\) বসালেই সেই টুকরোর লব বেরিয়ে আসে।

cover-up (ঢেকে-দেওয়া) পদ্ধতি। সবচেয়ে দ্রুত উপায়। \(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{A}{x-2}+\cdots\)-এ \(A\) পেতে: হরে \((x-2)\) ঢেকে দাও, বাকি অংশে \(x=2\) বসাও। যেমন উপরের উদাহরণে \(A\)-এর জন্য \((x-2)\) ঢেকে \(x=2\) বসাই: \(\dfrac{-4(2)+16}{(2+2)(2)}=\dfrac{8}{8}=1\)। এভাবেই \(A=1\)।

চারটি নিয়ম।

1. \(P\)-এর ঘাত \(Q\)-এর ঘাতের চেয়ে কম হতে হবে। না হলে আগে ভাগ করে ঘাত কমাও (যেমন \(\dfrac{3x^2+2x+7}{x^2+1}=3+\dfrac{2x+4}{x^2+1}\))।
2. উৎপাদক অনুযায়ী টুকরোর রূপ: রৈখিক উৎপাদক \(x-5 \to \dfrac{A}{x-5}\); পুনরাবৃত্ত উৎপাদক \((x-5)^2 \to \dfrac{A}{x-5}+\dfrac{B}{(x-5)^2}\); দ্বিঘাত উৎপাদক \(x^2+1 \to \dfrac{Cx+D}{x^2+1}\) (উপরে রৈখিক পদ)।
3. ধ্রুবক \(A,B,C,\ldots\) বের করো — cover-up বা লব-মিলিয়ে (matching numerators)।
4. প্রতিটা টুকরো আলাদা সমাকলন করে যোগ করো।

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কথা: কখনো দ্বিঘাতের বেশি উঁচুতে যেতে হয় না। যেকোনো হর \(Q\)-কে রৈখিক ও দ্বিঘাত উৎপাদকে ভাঙা যায় — এটাই বীজগণিতের এক গভীর ফল (algebra-র মৌলিক উপপাদ্য থেকে)।

২.৫ Improper Integrals (অপ্রকৃত সমাকল)

"Improper" মানে \(\int_a^b y\,dx\)-এর কোনো অংশ অসীমে চলে যায় — হয় সীমা \(b=\infty\) বা \(a=-\infty\), নয়তো function নিজেই \(y\to\infty\)। ছবির অঞ্চল অসীম দূর ছড়ায়। কিন্তু চমকটা এই: অঞ্চল অসীম হলেও ক্ষেত্রফল সসীম হতে পারে। এই section-এর মূল প্রশ্ন — কখন অপ্রকৃত সমাকলের একটা "ভদ্র" উত্তর আছে (converge করে), আর কখন নেই (diverge করে)।

তিনটা মৌলিক উদাহরণ, তিনটাই সসীম ক্ষেত্রফল:

\[\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = 1, \qquad \int_{-\infty}^0 e^x\,dx = \big[e^x\big]_{-\infty}^0 = 1, \qquad \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = \big[2\sqrt{x}\big]_0^1 = 2.\]

চিত্র ৭.৬: তিনটা অপ্রকৃত সমাকলের ছায়া-অঞ্চল অসীম দূর ছড়ায়, তবু ক্ষেত্রফল সসীম — যথাক্রমে \(1\), \(1\), \(2\)। ডানে যাওয়া লেজ (\(1/x^2\)), বাঁয়ে যাওয়া লেজ (\(e^x\)), আর উপরে যাওয়া চূড়া (\(1/\sqrt x\))।

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা limit দিয়ে — অসীমকে এক ঢোঁকে গেলা নয়, ধীরে ধীরে তার দিকে এগোনো:

\[\int_a^\infty y(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b y(x)\,dx.\]

সীমারেখা \(p=1\)। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পরিবার \(1/x^p\)। ডান দিকে (\(x\to\infty\)):

\[\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{p-1} \ (\text{finite}) \text{ if } p>1; \qquad \int_1^\infty \frac{dx}{x} = \infty \ (\text{infinite, } p=1).\]

উল্টোভাবে, \(x=0\)-তে function চূড়ায় উঠলে সীমারেখা একই \(p=1\), কিন্তু দিক উল্টো:

\[\int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{1-p} \ (\text{finite}) \text{ if } p<1; \qquad \int_0^1 \frac{dx}{x} = \infty \ (p=1).\]

মনে রাখার সহজ ছবি: \(\infty\)-এর দিকে ধীরে নামা function-এর (বড় \(p\)) লেজ পাতলা, ক্ষেত্রফল সসীম; ধীরে ওঠা function-এর (\(x=0\)-তে ছোট \(p\)) চূড়া ভোঁতা, ক্ষেত্রফল সসীম। \(p=1\) ঠিক সীমানায়, আর সে সবসময় diverge-এর পক্ষে।

চিত্র ৭.৭: \(1/x^p\)-এর graph — \(p=1\)-এর দুই পাশে। একই curve দুবার আঁকা! \(x>1\) অঞ্চলে বড় \(p\) ভালো (সসীম), কিন্তু \(0<x<1\) অঞ্চলে ছোট \(p\) ভালো — সীমারেখা একই জায়গায়, কিন্তু কোন পাশ "ভালো" তা উল্টে যায়।

কিড-চিত্র: অসীম অঞ্চল মানেই অসীম ক্ষেত্রফল নয়। বাঁয়ে \(y=1/x^2\) (\(p=2\)) — লেজ পাতলা, \(\int_1^\infty=1\) (converge)। ডানে \(y=1/x\) (\(p=1\)) — লেজ মোটা, \(\int_1^\infty=\infty\) (diverge)। দুটোর আকার প্রায় একই, তবু ভাগ্য আলাদা — \(p=1\) সীমারেখা।

Comparison test (তুলনা পরীক্ষা)। অনেক সময় antiderivative জানা না থাকলেও converge/diverge বলা যায়, একটা সহজ function-এর সঙ্গে তুলনা করে। যদি \(0\le u(x)\le v(x)\) হয়, তবে ছোট function-এর ক্ষেত্রফল বড়টার চেয়ে কম:

\[\int v\,dx < \infty \;\Rightarrow\; \int u\,dx < \infty, \qquad\qquad \int u\,dx = \infty \;\Rightarrow\; \int v\,dx = \infty.\]

স্বজ্ঞা সরল: উপরের function-এর নিচে ঢাকা পড়া ক্ষেত্রফল যদি সসীম হয়, তার ভেতরে বসা ছোট ক্ষেত্রফলও সসীম; আর নিচের function-এর ক্ষেত্রফল অসীম হলে তাকে ঢেকে রাখা বড়টাও অসীম। \(\square\)

চিত্র ৭.৮: comparison test-এর ছবি — জটিল \(u(x)\)-কে সহজ \(v(x)\)-এর সঙ্গে তুলনা করি। \(\int_1^e dx/\ln x\) ওপরে থাকে \(\int_1^e dx/(x\ln x)=\infty\)-এর, তাই সেও diverge; আবার \(\int_0^1 dx/\sqrt{x-x^2}\) নিচে থাকে একটা সসীমের, তাই converge। কিন্তু \(\infty-\infty\ne 0\) — দুই দিকের অসীম ক্ষেত্রফল কাটাকাটি করে না।

দুই সতর্কতা। (১) \(\int_{-\infty}^\infty\) হলে দুই অংশে ভাগ করে প্রত্যেকটা আলাদাভাবে converge করতে হবে; \(\int_{-\infty}^\infty x\,dx\) অসংজ্ঞায়িত যদিও \(\int_{-b}^b x\,dx=0\)। (২) gamma function: \(\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!\) — এখান থেকেই "\(0!=1\)" আর অ-পূর্ণসংখ্যা factorial-এর সংজ্ঞা।

৩. সূত্র ও কৌশল

প্রতিটা কৌশলের সূত্র, আর কখন সেটা ধরব — এক জায়গায়।

কৌশল ১ — Integration by Parts

সূত্র:

\[\int u\,dv = uv - \int v\,du, \qquad \int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du.\]

কখন ধরব: integrand একটা গুণফল, যার একটা অংশের derivative সরল আর অন্যটার integral সহজ। মূল candidate-গুলো: \(x^n e^x\), \(x^n\sin x\), \(x^n\cos x\), \(x^n\ln x\), \(e^x\sin x\), \(e^x\cos x\), আর একা inverse function \(\sin^{-1}x\), \(\tan^{-1}x\), \(\ln x\) (তখন \(dv=dx\))।

\(u\) বাছাই: LIATE ক্রম — Logarithmic > Inverse trig > Algebraic > Trig > Exponential; আগেরটা \(u\)। \(x^2\) থাকলে দুবার by parts লাগে; \(e^x\sin x\)-এ দুবার করে মূল integral ফিরে এলে সেটাকে এক পাশে এনে সমাধান।

কৌশল ২ — Trigonometric Integrals

মূল অভেদ: \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) এবং \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\)।

\(\int \sin^m x\cos^n x\,dx\):

• \(n\) বিজোড় \(\Rightarrow\) \(u=\sin x\) (একটা \(\cos x\,dx=du\) আলাদা করো)।
• \(m\) বিজোড় \(\Rightarrow\) \(u=\cos x\) (একটা \(\sin x\,dx=-du\) আলাদা করো)।
• \(m,n\) দুটোই জোড় \(\Rightarrow\) double-angle: \(\cos^2 x=\tfrac12(1+\cos 2x)\), \(\sin^2 x=\tfrac12(1-\cos 2x)\)।

মুখস্থ: \(\int\cos^2 x\,dx=\tfrac12 x+\tfrac14\sin 2x\), \(\int\sin^2 x\,dx=\tfrac12 x-\tfrac14\sin 2x\), \(\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|\), \(\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|\)।

\(\int\tan^m x\sec^n x\,dx\): \(n\) জোড় \(\Rightarrow u=\tan x\); \(m\) বিজোড় \(\Rightarrow u=\sec x\); সবসময় \(\tan^2 x=\sec^2 x-1\)।

orthogonality: \(\int_0^{2\pi}\sin px\cos qx\,dx=0\) সব \(p,q\); \(\int_0^{2\pi}\sin px\sin qx\,dx\) এবং \(\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,dx\) শূন্য যদি \(p\ne q\), নয়তো \(\pi\)।

কৌশল ৩ — Trigonometric Substitutions

বর্গমূল দেখে প্রতিস্থাপন বাছো:

\[\sqrt{a^2-x^2}\;\Rightarrow\; x=a\sin\theta, \qquad \sqrt{a^2+x^2}\;\Rightarrow\; x=a\tan\theta, \qquad \sqrt{x^2-a^2}\;\Rightarrow\; x=a\sec\theta.\]

তিন ধাপ: (১) \(x\) ও \(dx\) প্রতিস্থাপন করো; (২) নির্দিষ্ট সমাকল হলে সীমাও \(\theta\)-তে বদলাও; (৩) \(\theta\)-integral করে reference triangle দিয়ে উত্তর \(x\)-এ ফেরাও।

রৈখিক পদ থাকলে আগে complete the square: \(x^2+2bx+c=(x+b)^2+(c-b^2)\), তারপর \(u=x+b\)।

কৌশল ৪ — Partial Fractions

\(P(x)/Q(x)\) ভাঙো সহজ টুকরোয়। শর্ত: \(\deg P<\deg Q\) (না হলে আগে ভাগ)।

• রৈখিক \(x-a \;\Rightarrow\; \dfrac{A}{x-a}\), integral \(A\ln|x-a|\)।
• পুনরাবৃত্ত \((x-a)^2 \;\Rightarrow\; \dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}\)।
• দ্বিঘাত \(x^2+bx+c \;\Rightarrow\; \dfrac{Cx+D}{x^2+bx+c}\) (integral-এ \(\ln\) ও \(\tan^{-1}\) আসে)।

ধ্রুবক বের করা: cover-up — হরের একটা উৎপাদক ঢেকে, বাকিতে সেই উৎপাদকের মূল বসাও।

কৌশল ৫ — Improper Integrals ও Comparison Test

সংজ্ঞা: \(\displaystyle\int_a^\infty y\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b y\,dx\) (এবং \(-\infty\)-এর জন্য একইভাবে)। function \(x=c\)-তে অসীম হলে সেই বিন্দু ঘিরেও limit।

\(p\)-পরীক্ষা: \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}\) সসীম \(\Leftrightarrow p>1\); \(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}\) সসীম \(\Leftrightarrow p<1\)। সীমারেখা \(p=1\) সবসময় diverge।

Comparison test: \(0\le u\le v\) হলে — \(\int v<\infty\Rightarrow\int u<\infty\), আর \(\int u=\infty\Rightarrow\int v=\infty\)।

কোন কৌশল কখন — দ্রুত সিদ্ধান্ত-নির্দেশিকা

• গুণফল (\(x\,e^x\), \(x\sin x\), \(\ln x\), \(\tan^{-1}x\)) \(\rightarrow\) by parts
• সাইন/কোসাইন/সেকেন্ট/ট্যানের ঘাত \(\rightarrow\) trig integral (বিজোড় ঘাত হলে substitution, জোড় হলে double-angle)
• বর্গমূল \(\sqrt{a^2\pm x^2}\) বা \(\sqrt{x^2-a^2}\) \(\rightarrow\) trig substitution
• বহুপদীর অনুপাত \(P(x)/Q(x)\) \(\rightarrow\) partial fractions
• সীমায় \(\pm\infty\) বা integrand-এ চূড়া \(\rightarrow\) improper integral (limit নাও; antiderivative না থাকলে comparison test)

৪. উদাহরণ ও Analogy

প্রতিটা কৌশলের একটা করে worked example, লাইন-ধরে।

উদাহরণ ১ (by parts): \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\)।

গুণফল, তাই by parts। LIATE: \(x\) (Algebraic) আসে \(\cos x\) (Trig)-এর আগে, তাই \(u=x\), \(dv=\cos x\,dx\)। তখন \(du=dx\), \(v=\sin x\):

\[\int x\cos x\,dx = uv - \int v\,du = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.\]

যাচাই: \(\dfrac{d}{dx}(x\sin x+\cos x)=\sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\)। ✓ (উল্টো বাছাই \(u=\cos x\), \(dv=x\,dx\) নিলে \(\int \tfrac12 x^2\sin x\,dx\) আসত — আরও কঠিন, কারণ \(x^2\) খারাপ।)

উদাহরণ ২ (by parts দুবার): \(\displaystyle\int x^2 e^x\,dx\)।

\(u=x^2\), \(dv=e^x dx\), তাই \(v=e^x\), \(du=2x\,dx\):

\[\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int e^x(2x\,dx) = x^2 e^x - 2\int x e^x\,dx.\]

নতুন \(\int xe^x\,dx\)-এ আবার by parts (\(u=x\)): \(\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x\)। বসিয়ে:

\[\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - 2\big(xe^x - e^x\big) + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C.\]

উদাহরণ ৩ (trig integral, বিজোড় ঘাত): \(\displaystyle\int \sin^2 x\cos^3 x\,dx\)।

\(\cos\)-এর ঘাত \(3\) বিজোড়, তাই একটা \(\cos x\,dx\) আলাদা রেখে বাকি \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\[\int \sin^2 x\,(1-\sin^2 x)\cos x\,dx.\]

এখন \(u=\sin x\), \(du=\cos x\,dx\): \(\int u^2(1-u^2)\,du = \int(u^2-u^4)\,du = \dfrac{u^3}{3}-\dfrac{u^5}{5}\)। ফেরত:

\[\int \sin^2 x\cos^3 x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C.\]

উদাহরণ ৪ (trig substitution): \(\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\,dx\)।

\(\sqrt{a^2-x^2}\) রূপ (\(a=1\)), তাই \(x=\sin\theta\), \(dx=\cos\theta\,d\theta\), \(\sqrt{1-x^2}=\cos\theta\):

\[\int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta = \tfrac12\theta + \tfrac12\sin\theta\cos\theta.\]

reference triangle: \(\sin\theta=x\), তাই \(\theta=\sin^{-1}x\) আর \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\)। ফেরত:

\[\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \tfrac12\sin^{-1}x + \tfrac12 x\sqrt{1-x^2} + C.\]

(ছবি ৭.৫ অনুযায়ী — একটা খণ্ড \(\tfrac12\sin^{-1}x\) আর একটা ত্রিভুজ \(\tfrac12 x\sqrt{1-x^2}\)।)

উদাহরণ ৫ (partial fractions): \(\displaystyle\int \frac{x+2}{(x-1)(x+3)}\,dx\)।

\(\deg P=1<\deg Q=2\), ঠিক আছে। ভাঙি: \(\dfrac{x+2}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}\)।

cover-up: \((x-1)\) ঢেকে \(x=1\): \(A=\dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac34\)। \((x+3)\) ঢেকে \(x=-3\): \(B=\dfrac{-3+2}{-3-1}=\dfrac{-1}{-4}=\dfrac14\)। তাই

\[\int \frac{x+2}{(x-1)(x+3)}\,dx = \frac34\ln|x-1| + \frac14\ln|x+3| + C.\]

উদাহরণ ৬ (improper): \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}\) ও তুলনা।

সংজ্ঞা: \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1\) — converge। এদিকে \(p=1\) হলে \(\int_1^\infty dx/x=\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty\) — diverge। antiderivative জানা না থাকলেও comparison খাটে: \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^2+4x}\) converge করে, কারণ \(\dfrac{1}{x^2+4x}\le\dfrac{1}{x^2}\) আর \(\int_1^\infty dx/x^2=1<\infty\)।

Analogy — টুলবক্স আর তালার সঙ্গে চাবি মেলানো

কল্পনা করো তোমার হাতে পাঁচটা চাবির একটা গোছা, আর সামনে একেকটা তালা (integral)। অন্তরীকরণ হলো তালা লাগানো — সবসময় একই ভাবে চাপ দিলেই লেগে যায়। কিন্তু সমাকলন হলো তালা খোলা — আগে বুঝতে হবে কোন চাবিটা এই তালার জন্য। তালার গায়ে "গুণফল" লেখা থাকলে by parts চাবি; "বর্গমূল" লেখা থাকলে trig sub চাবি; "ভগ্নাংশ" হলে partial fractions; "সাইন-কোসাইনের ঘাত" হলে trig identity; আর তালাটা যদি অসীম দূর পর্যন্ত লম্বা হয়, তবে improper integral-এর limit-চাবি। প্রথম প্রথম ভুল চাবি ধরবে — কিন্তু integrand-এর আকার চিনতে শিখলে হাত নিজে থেকেই ঠিক চাবিটা তুলে নেবে। এটাই এই অধ্যায়ের আসল দক্ষতা: চাবি বাছাই।

৫. Python-এ করো

sympy symbolic algebra দিয়ে উপরের প্রতিটা কৌশল যাচাই করা যায়। নিচের প্রোগ্রাম by parts, partial fractions ও improper integral — তিনটাই দেখায়।

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')

# ============ (১) Integration by Parts ============
# sympy নিজেই by-parts চিনে নেয়; আমরা শুধু integrand দিই
print("∫ x·cos x dx =", sp.integrate(x*sp.cos(x), x))     # x*sin(x) + cos(x)
print("∫ x²·eˣ dx  =", sp.integrate(x**2*sp.exp(x), x))   # (x² - 2x + 2)·eˣ
print("∫ ln x dx   =", sp.integrate(sp.log(x), x))        # x·log(x) - x
print("∫ arctan x dx =", sp.integrate(sp.atan(x), x))     # x·atan(x) - log(x²+1)/2

# হাতে by-parts যাচাই: ∫ x·eˣ dx  →  u=x, dv=eˣdx  →  v=eˣ, du=dx
u, v = x, sp.exp(x)
by_parts = u*v - sp.integrate(v*sp.diff(u, x), x)         # uv - ∫ v du
print("হাতে by-parts:", sp.simplify(by_parts))           # (x - 1)·eˣ

# ============ (২) Partial Fractions ============
# apart() একটা rational function-কে আংশিক ভগ্নাংশে ভাঙে
r = (-4*x + 16) / ((x - 2)*(x + 2)*x)
print("apart:", sp.apart(r, x))                           # 1/(x-2) + 3/(x+2) - 4/x
print("∫ r dx =", sp.integrate(r, x))                     # log(x-2) + 3·log(x+2) - 4·log(x)

# আরেকটা: cover-up-এর উত্তর মিলিয়ে দেখা
r2 = (x + 2) / ((x - 1)*(x + 3))
print("apart:", sp.apart(r2, x))                          # 3/(4(x-1)) + 1/(4(x+3))

# ============ (৩) Improper Integrals ============
# ∞ লিখতে sp.oo ; converge করলে সংখ্যা, diverge করলে oo বা error
print("∫₁^∞ dx/x²      =", sp.integrate(1/x**2, (x, 1, sp.oo)))   # 1  (converge)
print("∫₁^∞ dx/x       =", sp.integrate(1/x, (x, 1, sp.oo)))     # oo (diverge)
print("∫₀^∞ x·e⁻ˣ dx   =", sp.integrate(x*sp.exp(-x), (x, 0, sp.oo)))  # 1  (= 1!)
print("∫_{-∞}^∞ e^{-x²} =", sp.integrate(sp.exp(-x**2), (x, -sp.oo, sp.oo)))  # sqrt(pi)

# gamma function যাচাই: ∫₀^∞ xⁿ e⁻ˣ dx = n!
for n in range(5):
    val = sp.integrate(x**n*sp.exp(-x), (x, 0, sp.oo))
    print(f"∫₀^∞ x^{n} e⁻ˣ dx = {val}  (আর {n}! = {sp.factorial(n)})")

চালালে দেখবে sympy-র উত্তর হুবহু আমাদের হাতে-করা উত্তরের সঙ্গে মেলে: \(\int x\cos x\,dx = x\sin x+\cos x\), apart ঠিক \(\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x}\) দেয়, আর \(\int_1^\infty dx/x^2=1\) কিন্তু \(\int_1^\infty dx/x\) diverge করে oo ফেরত দেয়। শেষ লুপটা সুন্দরভাবে দেখায় \(\int_0^\infty x^n e^{-x}dx=n!\) — অর্থাৎ improper integral থেকেই gamma function ও factorial জন্মায়।

৬. সাধারণ ভুল

1. by parts-এ \(dx\)/\(v\) গুলিয়ে ফেলা বা বিয়োগ চিহ্ন ভোলা। সূত্র \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) — মাঝের বিয়োগ আর \(uv\) পদ দুটোই লাগবে, বাদ দিলে উত্তর ভুল।
2. by parts-এ উল্টো \(u,v\) বাছাই। \(\int x\cos x\,dx\)-এ \(u=\cos x\) নিলে integral আরও কঠিন হয়। LIATE মেনে \(u\) বাছো — যাতে \(\int v\,du\) সহজ হয়।
3. trig substitution-এ \(dx\) বদলাতে ভুলে যাওয়া। \(x=\sin\theta\) বসালে \(dx\)-কেও \(\cos\theta\,d\theta\) করতে হবে; না করলে (Strang-এর ভাষায়) উত্তর "totally wrong"। \(dx\ne d\theta\)।
4. প্রতিস্থাপনের পর সীমা না বদলানো (নির্দিষ্ট সমাকলে)। \(x\)-এর সীমা \(\theta\)-এর সীমায় বদলাও, নয়তো শেষে সাবধানে \(x\)-এ ফিরে তবেই বসাও — একটা করো, দুটো নয়।
5. partial fractions-এ \(\deg P\ge\deg Q\) রেখেই শুরু করা। আগে ভাগ করে ঘাত নামাতে হবে (যেমন \(\frac{3x^2+2x+7}{x^2+1}=3+\frac{2x+4}{x^2+1}\)), নইলে ভাঙা ভুল হবে।
6. পুনরাবৃত্ত উৎপাদক ভুল লেখা। \((x-1)^2\) হলে শুধু \(\frac{A}{x-1}\) যথেষ্ট নয় — \(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}\) দুটোই লাগে। দ্বিঘাত \(x^2+1\)-এর উপরে ধ্রুবক নয়, রৈখিক \(Cx+D\) বসাও।
7. improper integral limit ছাড়াই "\(\infty\) বসিয়ে" দেওয়া। \(\left[-\frac1x\right]_1^\infty\)-এ \(\frac{1}{\infty}=0\) ঠিক আছে ঠিকই, কিন্তু কঠিন ক্ষেত্রে limit না নিয়ে ভুল হতে পারে — বিশেষত ভেতরে লুকানো আরেকটা অসীম থাকলে।
8. \(\int_{-\infty}^\infty\)-কে প্রতিসাম্যে শূন্য ভাবা। \(\int_{-\infty}^\infty x\,dx\) শূন্য নয়, অসংজ্ঞায়িত — দুই অংশ আলাদা করে প্রত্যেকটা converge করতে হবে। \(\infty-\infty\ne 0\)।
9. \(p=1\) সীমারেখাকে converge ভাবা। \(\int_1^\infty dx/x\) ও \(\int_0^1 dx/x\) দুটোই diverge। \(p=1\) সবসময় diverge-এর পক্ষে।
10. antiderivative জোর করে খোঁজা। \(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\)-এর প্রাথমিক (elementary) antiderivative নেই — তবু comparison test দিয়ে converge বলা যায় (এবং মান \(\tfrac{\sqrt\pi}{2}\))। সিদ্ধান্ত নিতে সবসময় সূত্র লাগে না।

৭. এক্সারসাইজ

1. \(\displaystyle\int x\,e^{2x}\,dx\) (by parts)।
2. \(\displaystyle\int \ln x\,dx\) (by parts, \(dv=dx\))।
3. \(\displaystyle\int x^2\sin x\,dx\) (by parts দুবার)।
4. \(\displaystyle\int \sin^3 x\,dx\) (trig, বিজোড় ঘাত)।
5. \(\displaystyle\int \cos^2 x\,dx\) (double-angle)।
6. \(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}\) (trig substitution)।
7. \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx\) (trig substitution; একে একটা চেনা জ্যামিতিক ক্ষেত্রফলের সঙ্গে মেলাও)।
8. \(\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)(x+1)}\) (partial fractions)।
9. \(\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^3}\) — converge করে? করলে মান কত?
10. \(\displaystyle\int_0^\infty x\,e^{-x}\,dx\) (by parts + improper একসাথে)।

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

\(u=x\), \(dv=e^{2x}dx\), তাই \(du=dx\), \(v=\tfrac12 e^{2x}\):

\[\int x\,e^{2x}\,dx = \tfrac12 x e^{2x} - \int \tfrac12 e^{2x}\,dx = \tfrac12 x e^{2x} - \tfrac14 e^{2x} + C = \tfrac14 e^{2x}(2x-1) + C.\]

যাচাই: \(\tfrac{d}{dx}\big[\tfrac14 e^{2x}(2x-1)\big]=\tfrac14\big[2e^{2x}(2x-1)+2e^{2x}\big]=\tfrac14 e^{2x}(4x)=x e^{2x}\)। ✓

২-নং সমাধান দেখাও

চতুর চাল — \(u=\ln x\), \(dv=dx\), তাই \(v=x\), \(du=\tfrac1x dx\):

\[\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.\]

কঠিন \(\ln x\)-এর integral-কে সহজ \(\int 1\,dx\)-এ অদলবদল করা হলো — এটাই by parts-এর মূল কথা।

৩-নং সমাধান দেখাও

\(u=x^2\), \(dv=\sin x\,dx\), তাই \(v=-\cos x\):

\[\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + \int 2x\cos x\,dx.\]

ভেতরের \(\int x\cos x\,dx = x\sin x+\cos x\) (উদাহরণ ১)। তাই

\[\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2\big(x\sin x + \cos x\big) + C = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.\]

(এটাই সিনেমা Stand and Deliver-এর সেই বিখ্যাত integral!)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(\sin\)-এর ঘাত \(3\) বিজোড়। একটা \(\sin x\,dx\) রেখে বাকি \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\):

\[\int \sin^3 x\,dx = \int (1-\cos^2 x)\sin x\,dx.\]

\(u=\cos x\), \(du=-\sin x\,dx\): \(-\int(1-u^2)\,du = -u+\dfrac{u^3}{3}\)। ফেরত:

\[\int \sin^3 x\,dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C.\]

৫-নং সমাধান দেখাও

\(\cos\)-এর ঘাত \(2\) জোড়, substitution খাটে না। double-angle \(\cos^2 x=\tfrac12(1+\cos 2x)\):

\[\int \cos^2 x\,dx = \int \tfrac12(1+\cos 2x)\,dx = \tfrac12 x + \tfrac12\cdot\tfrac12\sin 2x = \tfrac12 x + \tfrac14\sin 2x + C.\]

(সমতুল্য রূপ \(\tfrac12(x+\sin x\cos x)+C\), যেহেতু \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)।)

৬-নং সমাধান দেখাও

\(\sqrt{9-x^2}\) রূপ, \(a=3\)। বসাই \(x=3\sin\theta\), \(dx=3\cos\theta\,d\theta\), \(\sqrt{9-x^2}=3\cos\theta\):

\[\int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C = \sin^{-1}\!\frac{x}{3} + C.\]

(reference triangle: \(\sin\theta=x/3\), তাই \(\theta=\sin^{-1}(x/3)\)।)

৭-নং সমাধান দেখাও

উদাহরণ ৪ থেকে \(\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\tfrac12\sin^{-1}x+\tfrac12 x\sqrt{1-x^2}\)। সীমা \(0\) থেকে \(1\):

\[\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \Big[\tfrac12\sin^{-1}x + \tfrac12 x\sqrt{1-x^2}\Big]_0^1 = \tfrac12\cdot\frac{\pi}{2} + 0 - 0 = \frac{\pi}{4}.\]

জ্যামিতিকভাবে এটা একক বৃত্তের এক-চতুর্থাংশের ক্ষেত্রফল (\(\tfrac14\pi r^2\) with \(r=1\)) — তাই \(\pi/4\) হওয়া উচিত, আর ঠিক তা-ই হলো। ✓

৮-নং সমাধান দেখাও

\(\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}\)। cover-up: \((x-1)\) ঢেকে \(x=1\): \(A=\dfrac{1}{1+1}=\tfrac12\)। \((x+1)\) ঢেকে \(x=-1\): \(B=\dfrac{1}{-1-1}=-\tfrac12\)। তাই

\[\int \frac{dx}{(x-1)(x+1)} = \tfrac12\ln|x-1| - \tfrac12\ln|x+1| + C = \tfrac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C.\]

৯-নং সমাধান দেখাও

এখানে \(p=3>1\), তাই converge করার কথা। সংজ্ঞা দিয়ে:

\[\int_1^\infty \frac{dx}{x^3} = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(\frac12 - \frac{1}{2b^2}\right) = \frac12.\]

অঞ্চল অসীম দূর ছড়ালেও ক্ষেত্রফল সসীম \(=\tfrac12\)। (সাধারণ সূত্র \(\tfrac{1}{p-1}=\tfrac{1}{3-1}=\tfrac12\)-এর সঙ্গে মেলে।)

১০-নং সমাধান দেখাও

একসাথে by parts আর improper limit। \(u=x\), \(dv=e^{-x}dx\), তাই \(v=-e^{-x}\):

\[\int_0^\infty x e^{-x}\,dx = \Big[-x e^{-x}\Big]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x}\,dx.\]

প্রথম পদ: \(x\to\infty\)-এ \(-xe^{-x}\to 0\) (কারণ \(e^{-x}\) যেকোনো ঘাতকে হারায়), আর \(x=0\)-এ \(0\) — তাই \([\cdots]=0\)। দ্বিতীয় পদ: \(\int_0^\infty e^{-x}dx=\big[-e^{-x}\big]_0^\infty=0-(-1)=1\)। তাই

\[\int_0^\infty x e^{-x}\,dx = 0 + 1 = 1.\]

লক্ষ্য করো এটাই \(\Gamma\)-সূত্র \(\int_0^\infty x^n e^{-x}dx=n!\)-এ \(n=1\): উত্তর \(1!=1\)। ✓

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ে সমাকলনের পাঁচটা মূল কৌশল শিখলাম — একেকটা একেক আকারের integrand-এর চাবি। নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] product rule থেকে by parts সূত্র \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) নিজে বের করতে পারি, আর LIATE দিয়ে \(u\) বাছি।
• [ ] \(x^2 e^x\) বা \(e^x\sin x\)-এর মতো integral-এ দুবার by parts চালাতে পারি (এবং মূল integral ফিরলে এক পাশে এনে সমাধান করি)।
• [ ] \(\int\sin^m x\cos^n x\,dx\)-এ বিজোড় ঘাত হলে substitution, জোড় হলে double-angle বাছি; \(\int\cos^2 x=\tfrac12 x+\tfrac14\sin 2x\) জানি।
• [ ] \(\int\sec x=\ln|\sec x+\tan x|\) ও orthogonality \(\int_0^{2\pi}\sin px\cos qx=0\) চিনি (Fourier-এর ভিত্তি)।
• [ ] বর্গমূল দেখে ঠিক trig substitution (\(a\sin\theta\)/\(a\tan\theta\)/\(a\sec\theta\)) বাছি, \(dx\) বদলাই, reference triangle দিয়ে \(x\)-এ ফিরি।
• [ ] রৈখিক পদ থাকলে আগে complete the square করি।
• [ ] partial fractions-এ \(\deg P<\deg Q\) নিশ্চিত করি, cover-up দিয়ে ধ্রুবক বের করি, পুনরাবৃত্ত ও দ্বিঘাত উৎপাদকের ঠিক রূপ লিখি।
• [ ] improper integral limit দিয়ে সংজ্ঞায়িত করি; \(p\)-পরীক্ষা (\(p=1\) সীমারেখা) ও comparison test প্রয়োগ করি।
• [ ] \(\int_{-\infty}^\infty\)-কে দুই অংশে ভাগ করে প্রত্যেকটা আলাদা যাচাই করি; \(\infty-\infty\ne 0\) মনে রাখি।
• [ ] \(\int_0^\infty x^n e^{-x}dx=n!\) (gamma function) চিনি, আর জানি কিছু integral-এর প্রাথমিক antiderivative নেই তবু converge/diverge বলা যায়।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.8 — Applications of the Integral — সমাকলনের কৌশল হাতে নিয়ে এবার প্রয়োগে নামি: আয়তন (volume), বক্ররেখার দৈর্ঘ্য (arc length), পৃষ্ঠতল (surface area) আর গড়-মান — যেখানে "কী সমাকলন করব" প্রশ্নটা "কীভাবে করব"-এর চেয়েও গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে।