9.2 — Derivatives (অন্তরজ)¶

এই অধ্যায়ে কী শিখব: derivative (অন্তরজ)-এর মূল ধারণা — গড় বেগ (average velocity) থেকে তাৎক্ষণিক বেগ (instantaneous velocity), অর্থাৎ curve-এর কোনো বিন্দুতে ঢাল (slope)। limit (সীমা)-এর সংজ্ঞা দিয়ে $\dfrac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ লাইন-ধরে-ধরে; $x^n$-এর power rule (ঘাত-সূত্র) $nx^{n-1}$; polynomial ও linearity; tangent line (স্পর্শক রেখা) ও normal line; secant line (ছেদক রেখা) কীভাবে tangent-এ পরিণত হয়; $\sin x$ ও $\cos x$-এর derivative; product rule, quotient rule, reciprocal rule ও power rule (derivation সহ); second derivative (দ্বিতীয় অন্তরজ) ও concavity (উত্তলতা); limit-এর $\varepsilon$–$\delta$ সংজ্ঞা ও squeeze theorem; আর সবশেষে continuity (ধারাবাহিকতা) — কখন function অবিচ্ছিন্ন, কখন differentiable।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

১. কেন শিখব? (Motivation)¶

আগের অধ্যায়ে (9.1) আমরা দেখেছি: গাড়ি চললে distance (দূরত্ব) $f(t)$ আর velocity (বেগ) $v(t)$ — এই দুটো জিনিস জোড়ায় জোড়ায় আসে। বেগ ধ্রুব হলে গল্পটা সহজ: দূরত্ব সরলরেখায় বাড়ে, ঢাল-ই বেগ। কিন্তু বাস্তবে বেগ বদলায় — গাড়ি ত্বরান্বিত হয়, বল ওপরে উঠে থেমে নিচে নামে, দাম ওঠে-নামে। তখন distance-এর graph আর সরলরেখা নয়, একটা বাঁকানো curve। প্রশ্ন হলো: বাঁকানো curve-এর একটা বিন্দুতে "ঢাল" মানে কী? সেই মুহূর্তের বেগ কত?

এই প্রশ্নের উত্তরই derivative (অন্তরজ)। এটা calculus-এর প্রথম মহাস্তম্ভ (দ্বিতীয়টা integral)। derivative হলো একটা function থেকে আরেকটা function তৈরির যন্ত্র: $f(x)$ থেকে $f'(x)$ — যেটা প্রতিটা বিন্দুতে $f$-এর তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার (rate of change) বলে দেয়।

কেন এটা এত গুরুত্বপূর্ণ, তিনটা কারণ:

১) "কত দ্রুত বদলাচ্ছে" — বিজ্ঞানের কেন্দ্রীয় প্রশ্ন। পদার্থবিজ্ঞানে বেগ হলো দূরত্বের derivative, ত্বরণ (acceleration) হলো বেগের derivative। অর্থনীতিতে "marginal cost (প্রান্তিক ব্যয়)" হলো মোট ব্যয়ের derivative — পরের একটা গাড়ি বানাতে বাড়তি কত খরচ। জীববিজ্ঞানে বৃদ্ধির হার derivative। যেকোনো জায়গায় "হার (rate)" শুনলেই সেটা derivative।

২) বাঁকানো জিনিসকে সোজা করে দেখা। যেকোনো মসৃণ curve-কে খুব ছোট এলাকায় দেখলে সেটা প্রায় সরলরেখা — মাইক্রোস্কোপে zoom করলে বাঁক মিলিয়ে যায়। সেই সরলরেখাই tangent line, তার ঢালই derivative। এই "স্থানীয়ভাবে সরলরেখা" ধারণাই সব approximation, optimization আর সংখ্যাসূচক পদ্ধতির (যেমন Newton's method) ভিত্তি।

৩) সব rule একবারেই সবার জন্য। $x^n$, $\sin x$, $\cos x$ — কয়েকটা মৌলিক function-এর derivative একবার বের করে ফেললে, product/quotient/power rule দিয়ে এদের যেকোনো সংমিশ্রণের derivative মুহূর্তে পাওয়া যায়। এই অধ্যায় সেই টুলবক্সটাই গড়ে তোলে — যা দিয়ে মানবজাতির প্রায় সব derivative হিসাব করা হয়েছে।

মূল স্বজ্ঞা

derivative = ঢাল = তাৎক্ষণিক হার। $f'(x)$ বলে দেয় $x$ বিন্দুতে $f$ কত খাড়াভাবে উঠছে বা নামছে।
গড় থেকে তাৎক্ষণিক। $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ (দুই বিন্দুর মধ্যে গড় ঢাল, secant-এর ঢাল) নাও, তারপর $\Delta x\to0$ করো — যা পাও সেটাই $\dfrac{df}{dx}$ (tangent-এর ঢাল)।
আগে ভাগ করো, পরে $\Delta x=0$ বসাও। ভাগ করার আগেই $\Delta x=0$ বসালে $\tfrac{0}{0}$ — অর্থহীন। এটাই limit-এর মূল কৌশল।
positive ঢাল = function বাড়ছে; negative ঢাল = কমছে; শূন্য ঢাল = সমতল (চূড়া বা তলা)।
কোণ (corner) বা লাফ (jump) থাকলে derivative থাকে না — সেখানে "সরল ঢাল" এক নয়, বাঁ ও ডান দিক আলাদা।
Power rule মন্ত্র: $x^n$-এর ঢাল $nx^{n-1}$ — "ঘাতটা সামনে নামাও, তারপর ঘাত এক কমাও"।

২. মূল ধারণা (Core idea)¶

derivative কী: গড় বেগ থেকে তাৎক্ষণিক বেগ¶

ধরো একটা function $f(t)$ — সময় $t$-এ দূরত্ব। $t$ থেকে সময় একটু এগোলো, নতুন সময় $t+\Delta t$ (এখানে $\Delta t$ মানে "delta t", একটা ছোট সময়-ধাপ — $\Delta$ গুণ $t$ নয়)। নতুন দূরত্ব $f(t+\Delta t)$। বিয়োগ করলে দূরত্বের পরিবর্তন পাই, যাকে লিখি $\Delta f$:

\[\Delta f = f(t+\Delta t) - f(t).\]

তাহলে average velocity (গড় বেগ) = দূরত্বের পরিবর্তন ভাগ সময়ের পরিবর্তন:

\[\frac{\Delta f}{\Delta t} = \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}.\]

এটা graph-এ "distance up ভাগ distance across" — অর্থাৎ দুই বিন্দুর মধ্যে সরলরেখার ঢাল। এখন মূল খেলাটা: $\Delta t$-কে শূন্যের দিকে ছোট করতে থাকো। গড় বেগ যদি একটা নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে এগোয়, সেই সীমাই (limit) হলো তাৎক্ষণিক বেগ, অর্থাৎ derivative:

\[\frac{df}{dt} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta f}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}.\]

এই সুন্দর $\dfrac{df}{dt}$ চিহ্নটা Leibniz-এর আবিষ্কার — $\dfrac{\Delta f}{\Delta t}$ যখন $\dfrac{df}{dt}$-তে পৌঁছায় তার নিখুঁত ইঙ্গিত। মনে রেখো: $\dfrac{df}{dt}$ একটা একক চিহ্ন ($d$ আর $\Delta$ কাটাকুটি করা যায় না); এটা $\dfrac{\Delta f}{\Delta t}$-এর limit। বাম দিকে তাৎক্ষণিক বেগ (instantaneous), ডান দিকে গড় বেগ (average) — $\Delta t$ ও $\Delta f$ দুটোই শূন্যে সংকুচিত হলে ওরা মেলে।

Secant lines shrinking into the tangent line on the parabola y equals x squared

চিত্র ১: (নিজের আঁকা) $f(x)=x^2$-এ $(1,1)$ বিন্দুতে ছেদক (secant) রেখাগুলো — $\Delta x=2,\,1.2,\,0.6$-এ ঢাল যথাক্রমে $4,\,3.2,\,2.6$ — ছোট $\Delta x$-এ লাল স্পর্শক (tangent) রেখায় মিশে যাচ্ছে, ঢাল $2+\Delta x\to2$। এটাই derivative-এর হৃদয়: secant → tangent।

$f(t)=t^2$: প্রথম উদাহরণ লাইন-ধরে-ধরে¶

সবচেয়ে বিখ্যাত উদাহরণ। $f(t)=t^2$ হলে তাৎক্ষণিক বেগ কত? সংজ্ঞা মেনে ধাপে ধাপে:

\[\frac{\Delta f}{\Delta t} = \frac{(t+\Delta t)^2 - t^2}{\Delta t} = \frac{t^2 + 2t\,\Delta t + (\Delta t)^2 - t^2}{\Delta t} = \frac{2t\,\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 2t + \Delta t.\]

খেয়াল করো: এই সব ধাপ $\Delta t$ শূন্য হওয়ার আগে করা হলো। যদি খুব তাড়াতাড়ি $\Delta t=0$ বসাতাম, পেতাম $\tfrac{0}{0}$ — অর্থহীন। সাফল্য এলো $(t+\Delta t)^2$ খুলে, $t^2$ বিয়োগ করে, তারপর $\Delta t$ দিয়ে ভাগ করে। ভাগ হয়ে গেলে তখনই $\Delta t\to0$ নিতে পারি:

\[\frac{df}{dt} = \lim_{\Delta t\to0}(2t+\Delta t) = 2t.\]

তাহলে $t^2$-এর derivative $2t$ — যা 9.1-এ চোখে দেখা বেগের সঙ্গে মেলে। $\square$

নোটেশন পড়া (কীভাবে উচ্চারণ করব)¶

derivative-এর অনেক প্রতিশব্দ ও চিহ্ন আছে, এগুলো পড়তে জানা জরুরি:

চিহ্ন	পড়া	মানে
$f(t)$	"f of t"	$t$ সময়ে function $f$-এর মান
$\Delta t$	"delta t"	সময়-ধাপ (সামনে বা পেছনে)
$\Delta f$	"delta f"	পরিবর্তন $f(t+\Delta t)-f(t)$
$\Delta f / \Delta t$	"delta f over delta t"	গড় বেগ (average velocity)
$f'(t)$	"f prime of t"	$t$ বিন্দুতে derivative-এর মান
$df/dt$	"d f d t"	$f'$-এরই আরেক রূপ (তাৎক্ষণিক বেগ)
$\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}$	"limit as delta t goes to zero"	যে প্রক্রিয়া $\Delta f/\Delta t$ থেকে $df/dt$ বানায়

এখানে $\Delta t$ একটা অশূন্য (সাধারণত ছোট) সময়; আর $dt$ একটা অসীম-সূক্ষ্ম (infinitesimal, আরও ছোট) সময়ের ইঙ্গিত। কাজে অসুবিধা হলে $df/dt$-এর বদলে $f'$ বা $v$ লিখলেই চলে।

দুটো জিনিস নোটেশন আড়ালে রাখে: (১) $\Delta t$ ঋণাত্মকও হতে পারে — $t$-এর আগের ব্যবধানে গড় নিলেও একই limit আসা উচিত; (২) derivative নাও থাকতে পারে — সামনে ও পেছনে থেকে limit এক না হলে $f'(t)$ সংজ্ঞায়িত নয়।

সরল উদাহরণ ও derivative কখন থাকে না¶

উদাহরণ (ধ্রুব বেগ): $f=Vt$ হলে $\Delta f = V\,\Delta t$, তাই $\dfrac{\Delta f}{\Delta t}=V$ সবসময়, limit-ও $V$। $2t$-এর derivative $2$।

উদাহরণ (হঠাৎ থেমে যাওয়া): ধরো $t=3$ পর্যন্ত $f(t)=2t$, তারপর গাড়ি থেমে $f(t)=6$ স্থির। $t>3$-এ graph সমতল, $f(t+\Delta t)=f(t)$, তাই $\Delta f=0$ এবং

\[f'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{0}{\Delta t}=0.\]

কিন্তু ঠিক $t=3$ মুহূর্তে derivative নেই! সেখানে বেগ হঠাৎ $2$ থেকে $0$-তে পড়ে। $\Delta f/\Delta t$ নির্ভর করে $\Delta t$ ধনাত্মক না ঋণাত্মক তার ওপর: আগে থেকে এলে গড় বেগ $2$, পরে থেকে এলে $0$ — দুই দিক মেলে না। graph-এ কোণ (corner) থাকলে বেগের graph-এ লাফ (jump) থাকে।

f of t equals 2t then flat, its derivative is 2 then 0 and undefined at t equals 3

চিত্র ২: derivative $2$ তারপর $0$; $t=3$-এ কোণ বলে সেখানে derivative নেই — বেগ হঠাৎ $2$ থেকে $0$-তে লাফ দেয় (step function)।

Left panel f of t equals t squared with points at t and t plus delta t; right panel a corner graph

চিত্র ৩: (বাঁয়ে) $f(t)=t^2$ curve-এ $t$ ও $t+\Delta t$ বিন্দু — এই দুই বিন্দুর secant-ই $\Delta f/\Delta t$ দেয়; (ডানে) কোণওয়ালা function — কোণের বিন্দুতে বাঁ ও ডান ঢাল আলাদা, তাই derivative নেই।

$1/t$-এর derivative: একটা ঋণাত্মক ঢাল¶

এবার সম্পূর্ণ ভিন্ন একটা ঢাল — "demand function (চাহিদা অপেক্ষক)" $f(t)=1/t$ (দাম $t$ বেশি হলে চাহিদা $1/t$ কম)। derivative বের করি:

\[\Delta f = \frac{1}{t+\Delta t}-\frac{1}{t} = \frac{t-(t+\Delta t)}{t(t+\Delta t)} = \frac{-\Delta t}{t(t+\Delta t)}.\]

$\Delta t$ দিয়ে ভাগ করে $\Delta t\to0$ নিই:

\[\frac{\Delta f}{\Delta t} = \frac{-1}{t(t+\Delta t)} \;\longrightarrow\; \frac{df}{dt}=-\frac{1}{t^2}.\]

প্রথম লাইন বীজগণিত (common denominator $t(t+\Delta t)$), দ্বিতীয় লাইন calculus। ভাগ করার আগে $\Delta t=0$ বসানো যেত না। $\square$

সংখ্যায় যাচাই: $t=2$ থেকে $t+\Delta t=3$ হলে চাহিদা $\tfrac12$ থেকে $\tfrac13$-এ নামে, $\Delta f=-\tfrac16$ — মেলে $-\tfrac{1}{(2)(3)}$-এর সঙ্গে। $\Delta t\to0$ করলে ঢাল $-\tfrac{1}{(2)(2)}=-\tfrac14$। এই derivative ঋণাত্মক, কারণ $1/t$ কমছে।

মনে রাখো: বাড়া-কমা ও ঢালের চিহ্ন

বাড়ন্ত (increasing) $f(t)$-এর ঢাল ধনাত্মক।
কমন্ত (decreasing) $f(t)$-এর ঢাল ঋণাত্মক।

ছোট $t$-এ $-1/t^2$ খুব বড় ঋণাত্মক — দাম সামান্য বাড়লেই চাহিদা প্রচণ্ড কমে।

The function 1 over t is decreasing so its slope is negative

চিত্র ৪: $1/t$ নিচের দিকে নামছে, তাই ঢাল ঋণাত্মক। গড় ঢাল $-\tfrac16$, প্রকৃত (tangent) ঢাল $-\tfrac14$।

The derivative of 1 over t is minus 1 over t squared, and slope of 1 over x is minus 1 over x squared

চিত্র ৫: $1/t$-এর derivative $-1/t^2$; একইভাবে $1/x$-এর ঢাল $-1/x^2$। অক্ষরটা $t$ না $x$ তাতে কিছু আসে-যায় না — ধারণাটাই আসল।

$x$ আর $y$: স্বাধীন ও অধীন চলক¶

$t$ নিয়ে কোনো পবিত্রতা নেই — অন্য অক্ষরও চলে, বিশেষত $x$। রাশি সময়ের বদলে অবস্থানের ওপর নির্ভর করতে পারে (পশ্চিমে গেলে উচ্চতা বদলায়, বাহু বদলালে বর্গের ক্ষেত্রফল বদলায়)। তাই প্রায়ই লিখি $y=f(x)$ — $x$ আড়াআড়ি, $y$ ওপরে। এখানে $x$ independent variable (স্বাধীন চলক) — যে-কোনো মান নিতে পারে; $y$ dependent variable (অধীন চলক) — $x$-এর ওপর নির্ভর করে। derivative হয় $\dfrac{dy}{dx}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=y'(x)$। এটাই function-এর "rate of change (পরিবর্তনের হার)"।

দুটো ছোট প্রশ্ন-উত্তর মনে গেঁথে নাও: (১) $y(x)$-এর সঙ্গে $1$ যোগ করলে ঢালের কী হয়? কিছুই না — graph ওপরে ওঠে, ঢাল একই। (২) $y=x^2$ বললে ও তার derivative $2x$ বললে — কড়া নোটেশন $y(x)=x^2,\ y'(x)=2x$ চাইলেও, সবাই বুঝলে শিথিলভাবে "$x^2$-এর derivative $2x$" বলা যায়।

square rule: একটু আগাম কিন্তু দারুণ¶

একটা চমৎকার আগাম উদাহরণ। যদি $u(x)$-এর ঢাল $du/dx$ জানা থাকে, তবে $f(x)=\big(u(x)\big)^2$-এর ঢাল কত? সাবধান: $u^2$-এর derivative $(du/dx)^2$ নয় — ঢালকে বর্গ করি না। সংজ্ঞা থেকে শুরু করি, আর $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ ব্যবহার করি:

\[\Delta f = \big(u(x+\Delta x)\big)^2 - \big(u(x)\big)^2 = \big[u(x+\Delta x)+u(x)\big]\,\big[u(x+\Delta x)-u(x)\big].\]

$\Delta x$ দিয়ে ভাগ করে $\Delta x\to0$: প্রথম বন্ধনী $\to 2u(x)$, দ্বিতীয় ভাগফল $\to du/dx$। তাই

\[\frac{d}{dx}\big(u(x)\big)^2 = 2u(x)\,\frac{du}{dx}.\]

এটাই square rule। এর থেকে নতুন derivative: $u=x^2$ নিলে $x^4$-এর ঢাল $2(x^2)(2x)=4x^3$; $u=\sin x$ নিলে $\sin^2x$-এর ঢাল $2\sin x\cos x$। $\square$

Powers and Polynomials: $x^n$-এর derivative¶

এবার $x^3, x^4, \dots, x^n$-এর সাধারণ সূত্র। $x^3$ দিয়ে শুরু:

\[\Delta f=(x+h)^3-x^3=(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3.\]

(এখানে $\Delta x$-কে সংক্ষেপে $h$ লিখলাম।) $h$ দিয়ে ভাগ করে $h\to0$:

\[\frac{\Delta f}{h}=3x^2+3xh+h^2 \;\longrightarrow\; \frac{df}{dx}=3x^2.\]

মূল ধাপ: $(x+h)^3$ চারটা পদ দেয় — কিন্তু $x^3$ বিয়োগের পরে, আর $h\to0$ limit-এ, শুধু ঠিক একটা $h$-ওয়ালা পদটাই টেকে ($3x^2h$)। সাধারণ $x^n$-এও তাই। binomial theorem (দ্বিপদী উপপাদ্য):

\[(x+h)^n = x^n + n x^{n-1}h + \big(\text{terms with } h^2, h^3, \dots\big) + h^n.\]

কেন $nx^{n-1}h$? $(x+h)$ গুণফলে $n$টা বন্ধনী; ঠিক একটা বন্ধনী থেকে $h$ আর বাকিগুলো থেকে $x$ নিলে $x^{n-1}h$ হয় — আর $h$ নেওয়ার জায়গা $n$টা, তাই $nx^{n-1}h$। এবার:

\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\big(\text{terms with }h\big) \;\longrightarrow\; \frac{df}{dx}=nx^{n-1}.\]

$h^2, h^3, \dots$-ওয়ালা পদগুলোতে $h$ দিয়ে ভাগ করার পরেও অন্তত একটা $h$ থাকে, তাই $h\to0$-তে সব মিলিয়ে যায়। $\square$

সূত্র: Power Rule (ঘাত-সূত্র)

$n=1,2,3,4,\dots$-এর জন্য

\[\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}.\]

"ঘাতটা সামনে নামাও, তারপর ঘাত এক কমাও।" এই সূত্র পরে ঋণাত্মক ও ভগ্নাংশ ঘাতেও খাটবে (যেমন $x^{-1}$-এর ঢাল $-x^{-2}$, $\sqrt x=x^{1/2}$-এর ঢাল $\tfrac12 x^{-1/2}$)।

binomial সহগ ১, ৪, ৬, ৪, ১ (n=4) আসে Pascal's triangle (প্যাসকেলের ত্রিভুজ) থেকে; "$n$ choose $j$" $=\dfrac{n!}{j!\,(n-j)!}$, যেখানে $n! = n(n-1)\cdots(1)$ ($5!=120$)।

Left the difference of x plus h squared and x squared shown as delta f; right delta f over h equals 2x plus h a straight line

চিত্র ৬: $x^2$-এর difference quotient। (বাঁয়ে) $(x+h)^2$ ও $x^2$-এর ফাঁক $\Delta f$, ছোট কোণে $h^2$; (ডানে) $\Delta f/h=2x+h$ একটা সরলরেখা — $h\to0$ করলে ঢাল $2x$।

এখন একটা অসীম তালিকা তৈরি:

$f$	$x$	$x^2$	$x^3$	$x^4$	$x^5$
$f'$	$1$	$2x$	$3x^2$	$4x^3$	$5x^4$

আর এটা পূর্ণসংখ্যা ছাড়িয়েও যায়: $1/x=x^{-1}$-এর ঢাল $-x^{-2}$; $1/x^2=x^{-2}$-এর ঢাল $-2x^{-3}$; $\sqrt x=x^{1/2}$-এর ঢাল $\tfrac12 x^{-1/2}$; এমনকি $x^{2.2}$-এর ঢাল $2.2\,x^{1.2}$।

The slope of x squared is 2x, read off at several points

চিত্র ৭: (নিজের আঁকা) বাঁয়ে $x^2$ curve-এ কয়েকটা বিন্দুতে tangent-এর ঢাল ($-2,\,2,\,4$); ডানে সেই ঢালগুলোই মিলে যায় $f'(x)=2x$ সরলরেখায়। ঢাল নিজেই একটা function।

Linearity: যোগ ও ধ্রুব-গুণ¶

polynomial-এর derivative নিতে দুটো সহজ নিয়ম লাগে:

সূত্র: Linearity (রৈখিকতা)

ধ্রুব-গুণ: $c\,f(x)$-এর derivative $c\,f'(x)$।
যোগ: $f(x)+g(x)$-এর derivative $f'(x)+g'(x)$।

একসাথে: $\dfrac{d}{dx}\big(a\,u(x)+b\,v(x)\big)=a\,\dfrac{du}{dx}+b\,\dfrac{dv}{dx}$।

কারণ সরল: $f$-কে $c$ দিয়ে গুণ করলে $\Delta f$-ও $c$ গুণ হয়, তাই সব $\Delta f/h$-তে $c$ থাকে — limit-ও $c f'$। যোগের বেলায় $\Delta(f+g)=\Delta f+\Delta g$, ভাগ করে limit নিলে $f'+g'$ (যোগফলের limit = limit-এর যোগফল)। এখন যেকোনো polynomial-এর derivative পারি: $9+2x-x^5$-এর ঢাল $2-5x^4$। খেয়াল করো, ধ্রুব $9$-এর derivative শূন্য — ধ্রুব শুধু graph ওপর-নিচ সরায়, ঢাল বদলায় না।

Differential equation-এর আগাম ঝলক: derivative উল্টো করা যায়। $dy/dx=3x^2$ দিলে $y=x^3+C$ (যেকোনো ধ্রুব $C$) — কারণ ধ্রুবের derivative শূন্য, তাই $C$ ফেরত পাওয়া যায় না। এই "ঢাল থেকে function ফেরানো"-ই integral calculus (Chapter 5), আর function ও তার ঢাল একসাথে মেশানো সমীকরণই differential equation।

অর্থনীতিতে: marginal ও elasticity¶

"marginal (প্রান্তিক)" মানেই derivative নাও। $y(x)=$ $x$ টন ইস্পাত বানানোর খরচ হলে, $\Delta y/\Delta x$ প্রতি বাড়তি টনের গড় খরচ; $\Delta x\to0$-তে marginal cost $dy/dx$। একক নির্বিশেষে তুলনার জন্য elasticity (স্থিতিস্থাপকতা) — আপেক্ষিক পরিবর্তনের অনুপাত:

\[E(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y/y}{\Delta x/x}=\frac{dy/dx}{y/x}=\frac{\text{marginal}}{\text{average}}.\]

$y=cx^n$ হলে $E=n$ (ধ্রুব elasticity) — এজন্যই ঘাত-function অর্থনীতিতে এত কাজে লাগে।

Marginal cost exceeds average cost, with constant elasticity curves

চিত্র ৮: marginal (প্রান্তিক) খরচ average (গড়)-কে ছাড়িয়ে যায়; ধ্রুব elasticity $E=-1$ থেকে "perfectly elastic" ও "perfectly inelastic" পর্যন্ত।

Slope ও Tangent Line (স্পর্শক রেখা)¶

এবার জ্যামিতিকে বীজগণিতে বদলাই। $y=f(x)$ curve-এর $x=a$ বিন্দুতে উচ্চতা $f(a)$, ঢাল $m=f'(a)$। সেই বিন্দু দিয়ে ওই ঢালে যাওয়া সরলরেখাই tangent line (স্পর্শক রেখা)। সরলরেখার রূপ $y=mx+b$: এখানে $m$ ঢাল ($dy/dx=m$), আর $b$ ঠিক করে রেখাটা প্রয়োজনীয় বিন্দু দিয়ে যায়।

উদাহরণ: $y=x^4-x^2+3$, $x=a=1$-এ উচ্চতা $3$, ঢাল $dy/dx=4x^3-2x$, তাই $x=1$-এ ঢাল $4-2=2$। tangent line-এর সমীকরণ:

\[y-3 = 2(x-1).\]

এই point-slope form (বিন্দু-ঢাল রূপ) সবচেয়ে সুবিধাজনক — $x=a$ বসালেই $x-a=0$, তাই $y=f(a)$ ঠিকঠাক আসে।

সূত্র: Tangent ও Normal Line

$x=a$ বিন্দুতে ঢাল $m=f'(a)$ হলে tangent line:

\[y-f(a) = m\,(x-a).\]

এর লম্ব normal line (অভিলম্ব রেখা)-এর ঢাল $-1/m$ (লম্ব রেখাদের ঢালের গুণফল $-1$):

\[y-f(a) = -\frac{1}{m}\,(x-a).\]

Tangent line has the same slope as the curve, clearer after zoom

চিত্র ৯: tangent line curve-এর সঙ্গে একই ঢাল $2$ রাখে — zoom করলে curve ও রেখা প্রায় মিলে যায়।

Tangent line and normal line with point slope form, plus roller coaster and catching a car

চিত্র ১০: tangent line $y-y_0=m(x-x_0)$ ও তার লম্ব normal line $y-y_0=-\tfrac1m(x-x_0)$ — আলোকরশ্মি ও আগুনের রেখা normal দিকে চলে; roller-coaster থেকে নামা ও সামনের গাড়ি ধরার প্রয়োগ।

Secant Line (ছেদক রেখা) → Tangent Line¶

এক বিন্দুর tangent-এর বদলে দুই বিন্দুর রেখা নাও — secant line (ছেদক রেখা)। $x=a$ ($y=f(a)$) আর $x=c$ ($y=f(c)$) — দুই বিন্দুর মধ্যে ঢাল:

\[m=\frac{f(c)-f(a)}{c-a},\qquad \text{two-point form: } \; y-f(a)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\,(x-a).\]

মূল ব্যাপার: দ্বিতীয় বিন্দু $c$-কে প্রথম বিন্দু $a$-এর দিকে আনো। secant-এর ঢাল $\Delta y/\Delta x$ tangent-এর ঢাল $dy/dx$-এ পৌঁছায়। এটাই differential calculus-এর মৌলিক ধারণা, আরেক রূপে লেখা:

\[f'(a)=\lim_{c\to a}\frac{f(c)-f(a)}{c-a}.\]

এখানে $c-a$-ই $\Delta x$, আর $f(c)-f(a)$-ই $\Delta f$।

Secant lines approach the tangent line as their slopes approach the derivative

চিত্র ১১: $c$ যখন $a$-এর দিকে আসে, secant-গুলোর ঢাল $\Delta f/\Delta x$ tangent-এর ঢাল $df/dx$-এ পৌঁছায়। সব রেখা $x=a,\,y=f(a)$ দিয়ে যায়; সীমাই tangent।

উদাহরণ ($\sin x$, $x=0$): secant-এর ঢাল $\dfrac{\sin c}{c}$, tangent-এর সমীকরণ $y=1\cdot x$। $c\to0$-তে $\dfrac{\sin c}{c}\to1$ (এটা $\tfrac00$ নয়, বরং $1$) — যা $x=0$-তে $dy/dx$।

Applications of the tangent line to a parabolic reflector and the curve two over x

চিত্র ১২: tangent line-এর প্রয়োগ। (বাঁয়ে) parabola $y=x^2$-এ উল্লম্ব রশ্মি $P=(a,a^2)$-তে পড়ে focus $F$-এ প্রতিফলিত হয়; (ডানে) $y=2/x$ curve-এ একটা বিশেষ রশ্মি অনুভূমিকভাবে প্রতিফলিত।

$\sin x$ ও $\cos x$-এর derivative¶

$y=\sin x$-এর derivative $\cos x$ — সুন্দর ও গুরুত্বপূর্ণ। সংজ্ঞা থেকে:

\[\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.\]

trigonometry-র যোগ-সূত্র লাগে: $\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$। বসিয়ে ভাগ ভেঙে দিই:

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}=\sin x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)+\cos x\left(\frac{\sin h}{h}\right).\]

এখন দুটো মূল limit লাগে (একটা $0$, একটা $1$):

\[\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0 \qquad\text{and}\qquad \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.\]

তাই $\dfrac{dy}{dx}=(\sin x)(0)+(\cos x)(1)=\cos x$। $\square$

A small angle triangle showing sin h close to zero and cos h close to one

চিত্র ১৩: খুব ছোট কোণ $h$-এ $\sin h$-এর বাহু প্রায় শূন্য, $\cos h$-এর বাহু প্রায় $1$। $\sin h/h$-ই sine-curve-এর শুরুর ঢাল দেয়।

The graph of sin of x plus h sits beside sin x, and delta f over delta x is close to cos x

চিত্র ১৪: (কালো) $\sin x$ আর (লাল) সামান্য সরানো $\sin(x+\Delta x)$ — উচ্চতার পার্থক্য $\Delta f$। $\Delta x$ দিয়ে ভাগ করলে $\Delta f/\Delta x$ প্রায় $\cos x$।

কেন $\dfrac{\sin h}{h}\to1$ (squeeze/চিমটি): ছোট ধনাত্মক $h$-এ জ্যামিতি বলে $\sin h< h<\tan h$। সব ভাগ $\sin h$ দিয়ে (বা সাজিয়ে) পাই

\[\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1.\]

$h\to0$-তে $\cos h\to1$, তাই মাঝের $\dfrac{\sin h}{h}$ দুই পাশ থেকে চিমটিতে ধরা পড়ে $1$-এ। ($\sin$ বিজোড় function বলে ঋণাত্মক $h$-এও একই।)

sin h over h squeezed between cos h and 1, and tan h over h decreasing to 1

চিত্র ১৫: $\dfrac{\sin h}{h}$ $\cos h$ ও $1$-এর মাঝে চিমটে ধরা — তাই limit $1$; $\dfrac{\tan h}{h}$ ওপর থেকে $1$-এ নামে।

The straight chord is shorter than the circular arc, giving sin h less than h; areas give h less than tan h

চিত্র ১৬: (বাঁয়ে) সরল জ্যা $PQ=2\sin h$ বৃত্তচাপ $2h$-এর চেয়ে ছোট, তাই $\sin h<h$; (ডানে) ক্ষেত্রফল তুলনা দেয় $h<\tan h$। ব্যাসার্ধ $1$ হলে চাপ-দৈর্ঘ্য = কোণ।

কেন $\dfrac{\cos h-1}{h}\to0$: $(1-\cos h)(1+\cos h)=1-\cos^2h=\sin^2h\le h^2$। $h$ ও $(1+\cos h)$ দিয়ে ভাগ করে

\[0\le \frac{1-\cos h}{h}\le \frac{h}{1+\cos h}\;\longrightarrow\;0.\]

আরেকটা চিমটি — ডান পাশ $h\to0$-তে শূন্য। (এটাও দেখায় $1-\cos h\approx\tfrac12h^2$।) $\square$

$\cos x$-এর derivative $-\sin x$। একই যোগ-সূত্র $\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h$ দিয়ে:

\[\frac{dy}{dx}=(\cos x)(0)-(\sin x)(1)=-\sin x.\]

The derivative of sin x is cos x, biggest slope where sin rises fastest

চিত্র ১৭: (নিজের আঁকা) $\sin x$ যেখানে সবচেয়ে খাড়া ($x=0$) সেখানে তার ঢাল $\cos x$ সর্বোচ্চ ($=1$); $\sin x$ যেখানে সমতল (চূড়া, $x=\pi/2$) সেখানে ঢাল $0$। তাই $\sin$-এর derivative $\cos$।

Second Derivative (দ্বিতীয় অন্তরজ) ও Concavity¶

derivative-এর derivative-ই second derivative — চিহ্ন $f''$, $y''$, বা $\dfrac{d^2y}{dx^2}$। এটা বলে ঢাল কত দ্রুত বদলাচ্ছে। দূরত্ব-বেগ গল্পে $f''$ = ত্বরণ (acceleration)। উদাহরণ: $y=x^3$-এর $y'=3x^2$, $y''=6x$।

\[y''>0 \Rightarrow y' \text{ increasing} \Rightarrow y \text{ bends up (concave up)},\]

\[y''<0 \Rightarrow y' \text{ decreasing} \Rightarrow y \text{ bends down (concave down)}.\]

sine-cosine-এর অসাধারণ ধর্ম: $y''=-y$। $y=\sin t$ হলে $y'=\cos t$, $y''=-\sin t=-y$ — "ত্বরণ = ঋণাত্মক দূরত্ব"। এটাই simple harmonic motion (সরল দোলন)-এর differential equation $\dfrac{d^2y}{dt^2}=-y$, যার সব সমাধান $A\sin t+B\cos t$ (স্প্রিং, দোলনা, বিকল্প স্রোত — সব দোলন এখান থেকেই)।

y increases where y prime is positive, and y bends up where y double prime is positive

চিত্র ১৮: $y'$ ধনাত্মক হলে $y$ বাড়ে; $y''$ ধনাত্মক হলে $y$ ওপরে বাঁকে (concave up)। sine-curve ওঠার সময়ও $y''<0$ (concave down)।

Product, Quotient ও Power Rule¶

$x+\sin x$, $x\sin x$, $1/\sin x$, $x/\sin x$, $\sin^n x$ — এদের derivative-এর জন্য পাঁচটা নিয়ম, যা সব function-এ খাটে।

Sum/Linearity (আগেই দেখেছি): $(au+bv)'=au'+bv'$।

Product Rule (গুণফল-সূত্র) — এই section-এর চাবি। $u,v$-এর derivative জানা থাকলে $uv$-এর derivative দুই পদে:

সূত্র: Product Rule

\[\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u\,\frac{dv}{dx}+v\,\frac{du}{dx}.\]

সাবধান: $(uv)'$ কখনোই $u'v'$ নয়। যেমন $x^5=x^3\cdot x^2$-এর ঢাল $5x^4$, কিন্তু $3x^2\cdot2x=6x^3$ — ভুল।

প্রমাণ (ক্ষেত্রফল-ছবি): একটা $u\times v$ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $uv$। $u\to u+\Delta u$, $v\to v+\Delta v$ হলে ক্ষেত্রফল বাড়ে দুটো ফালি $u\,\Delta v$ ও $v\,\Delta u$, আর একটা ক্ষুদ্র কোণা $\Delta u\,\Delta v$। বীজগণিতে:

\[u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)=u(x+h)\big[v(x+h)-v(x)\big]+v(x)\big[u(x+h)-u(x)\big].\]

$h$ দিয়ে ভাগ করে $h\to0$: বাঁ পাশ $(uv)'$, ডান পাশ $u\,\dfrac{dv}{dx}+v\,\dfrac{du}{dx}$ (কোণা-পদ শূন্যে মেলায়)। $\square$

Change in length is delta u plus delta v; change in area is u delta v plus v delta u plus delta u delta v

চিত্র ১৯: দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন $\Delta u+\Delta v$; ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন $u\,\Delta v+v\,\Delta u+\Delta u\,\Delta v$ — শেষ ক্ষুদ্র কোণা $\Delta u\,\Delta v$ শূন্যে মিলিয়ে যায়।

Why the product rule has two terms, shown as two strips plus a tiny vanishing corner

চিত্র ২০: (নিজের আঁকা) $(uv)'=u\,v'+v\,u'$ কেন — আয়তক্ষেত্র $uv$-এর বৃদ্ধি = দুটো ফালি ($u\,\Delta v$ সবুজ, $v\,\Delta u$ কমলা) যোগ একটা ক্ষুদ্র লাল কোণা ($\Delta u\,\Delta v$), যেটা $h\to0$-তে হারিয়ে যায়।

Reciprocal Rule (বিপরীত-সূত্র): $v\cdot\dfrac1v=1$, দুই পাশে derivative নিয়ে product rule খাটাই: $v\cdot\left(\dfrac1v\right)'+\dfrac1v\cdot v'=0$, তাই

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{v}\right)=-\frac{dv/dx}{v^2}.\]

এর থেকে $x^{-n}$-এর ঢাল $-nx^{-n-1}$ — একই ঘাত-প্যাটার্ন ঋণাত্মক ঘাতেও! আর $\sec x=1/\cos x$, $\csc x=1/\sin x$-এর derivative:

\[\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x,\qquad \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x.\]

Reciprocal rule from delta v over v squared

চিত্র ২১: reciprocal rule আসে $-\Delta v/v^2$ থেকে — $1/v$-এর পরিবর্তন।

Quotient Rule (ভাগফল-সূত্র): $u/v=u\cdot\dfrac1v$, product ও reciprocal মিলিয়ে:

সূত্র: Quotient Rule

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{v\,\dfrac{du}{dx}-u\,\dfrac{dv}{dx}}{v^2}.\]

হরে $v^2$ — এটা মুখস্থ রাখতেই হয়। ($v=1$ হলে $du/dx$; $u=1$ হলে reciprocal rule।)

Quotient rule from v du minus u dv over v squared

চিত্র ২২: quotient rule আসে $\dfrac{v\,\Delta u-u\,\Delta v}{v^2}$ থেকে — হরের $v(v+\Delta v)$-ই $v^2$ দেয়।

গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ ($\tan x$): $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, quotient rule ও $\cos^2x+\sin^2x=1$:

\[\frac{d}{dx}\tan x=\frac{\cos x\,(\cos x)-\sin x\,(-\sin x)}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x.\]

Power Rule ($u$-এর ঘাত): $x$-এর ঘাত থেকে $u(x)$-এর ঘাতে যাই — একটা বাড়তি $du/dx$ গুণ:

সূত্র: Power Rule (function-এর ঘাত)

\[\frac{d}{dx}\big(u(x)\big)^n = n\,\big(u(x)\big)^{n-1}\,\frac{du}{dx}.\]

যেমন $\dfrac{d}{dx}(\sin x)^n=n(\sin x)^{n-1}\cos x$; $\dfrac{d}{dx}(x^2+1)^8=8(x^2+1)^7(2x)$।

প্রমাণ (mathematical induction): $n=1$-এ $du/dx$ (ঠিক)। ধরে নিই $n$-এ ঠিক; তবে $u^{n+1}=u^n\cdot u$-তে product rule:

\[\frac{d}{dx}(u^{n+1})=u^n\frac{du}{dx}+u\left(nu^{n-1}\frac{du}{dx}\right)=(n+1)u^n\frac{du}{dx}.\]

তাই সব ধনাত্মক ঘাতে সত্য; ঋণাত্মক ঘাত reciprocal rule থেকে। $\square$

The power rule for a cube, with three thin slabs of volume approximately 3 u squared delta u

চিত্র ২৩: ঘন (cube)-এর জন্য power rule — বাহু $u$ থেকে $u+\Delta u$ হলে আয়তন-বৃদ্ধি প্রায় $3u^2\Delta u$ (তিনটা পাতলা ফালি); এটাই $(u^3)'=3u^2u'$-এর ছবি।

ভগ্নাংশ ঘাত। $u=x^{p/q}$ ধরে $u^q=x^p$; দুই পাশে power rule নিয়ে সাজালে $\dfrac{du}{dx}=nx^{n-1}$ ($n=p/q$)। যেমন $x^{1/3}$-এর ঢাল $\tfrac13x^{-2/3}$ — $x=0$-তে অসীম ঢাল, $x=\infty$-তে শূন্য।

$Infinite slope of a fractional power versus zero slope, difference between n less than 1 and n greater than 1$

চিত্র ২৪: $0<n<1$ হলে $x^n$-এর ঢাল $x=0$-তে অসীম; $n>1$ হলে ঢাল $0$ — এই পার্থক্যই graph-এর আকার ঠিক করে।

সব নিয়ম একসাথে ($u'=du/dx$):

নিয়ম	সূত্র
Linearity	$(au+bv)'=au'+bv'$
Product	$(uv)'=uv'+vu'$
Reciprocal	$(1/v)'=-v'/v^2$
Quotient	$(u/v)'=(vu'-uv')/v^2$
Power	$(u^n)'=nu^{n-1}u'$

আর ছয়টা ত্রিকোণমিতিক function-এর derivative: $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\tan x)'=\sec^2x$, $(\cot x)'=-\csc^2x$, $(\sec x)'=\sec x\tan x$, $(\csc x)'=-\csc x\cot x$।

Limit (সীমা): কড়া সংজ্ঞা¶

এতক্ষণ "limit" স্বজ্ঞায় ব্যবহার করেছি; এবার সংজ্ঞা। limit শুধু $\Delta y/\Delta x$-এর নয় — অনেক রকম। ধনাত্মক সংখ্যার একটা sequence $a_1,a_2,a_3,\dots$ কখন শূন্যের দিকে যায়? সঠিক সংজ্ঞা:

যেকোনো ছোট সংখ্যা ভাবো — sequence-টা শেষমেশ তার নিচে নেমে নিচেই থাকে।

"শেষমেশ" শব্দটা জরুরি: প্রথম দশ লক্ষ পদ যা-ই হোক, একসময় সব পদকে ওই ছোট সংখ্যার নিচে নামতে হবে এবং থাকতে হবে। এই "ছোট সংখ্যা"-র জন্য গ্রিক অক্ষর $\varepsilon$ (epsilon) — একটা "স্বেচ্ছ-ছোট ধনাত্মক সংখ্যা" (tolerance/সহনসীমা)। কড়া বাক্য:

\[a_n\to0 \iff \text{for every } \varepsilon>0 \text{ there exists } N \text{ such that } |a_n|<\varepsilon \text{ whenever } n>N.\]

আর $L$-এ পৌঁছানো মানে $|a_n-L|\to0$:

\[\lim_{n\to\infty}a_n=L \iff \text{for every } \varepsilon>0 \text{ there exists } N \text{ such that } |a_n-L|<\varepsilon \text{ whenever } n>N.\]

অর্থাৎ $L$-এর চারপাশে যেকোনো সরু ফালির বাইরে কেবল সসীম-সংখ্যক পদ থাকে।

Convergence means only a finite number of terms are outside any strip around L

চিত্র ২৫: convergence-এর মানে — $L$-এর চারপাশে যেকোনো ফালির বাইরে কেবল সসীম-সংখ্যক পদ থাকে।

Sequences converging to zero, to one, and diverging to infinity

চিত্র ২৬: $a_n\to0$, $a_n\to1$, আর $a_n\to\infty$ (যদিও পরপর পদের ব্যবধান $a_{n+1}-a_n\to0$ — যেমন harmonic series)।

Function-এর limit ($x\to a$): sequence-এর বদলে এখন $f(x)$-এর অবিচ্ছিন্ন মান, $x$ একটা বিন্দু $a$-এর দিকে যায় (কিন্তু $a$ ছোঁয় না)। স্বজ্ঞা: "$x$ যদি $a$-এর কাছে থাকে, তবে $f(x)$ $L$-এর কাছে থাকবে।" কড়া $\varepsilon$–$\delta$ সংজ্ঞা:

সংজ্ঞা: limit ($\varepsilon$–$\delta$)

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$ মানে: প্রতিটি $\varepsilon>0$-র জন্য এমন $\delta>0$ আছে যাতে

\[0<|x-a|<\delta \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\varepsilon.\]

এখানে $\delta$ = input সহনসীমা, $\varepsilon$ = output সহনসীমা। Socrates $\varepsilon$ বাছে (box-এর উচ্চতা), Plato $\delta$ দিয়ে জবাব দেয় (box-এর প্রস্থ) যাতে graph পাশ দিয়ে বেরোয়।

উদাহরণ: $\displaystyle\lim_{x\to2}5x=10$ প্রমাণ। $|5x-10|=5|x-2|$, তাই $\delta=\varepsilon/5$ নিলে $|x-2|<\delta$ হলে $|5x-10|<\varepsilon$। $\square$

Socrates chooses box height 2 epsilon, then Plato chooses width 2 delta so the graph exits the sides

চিত্র ২৭: Socrates উচ্চতা $2\varepsilon$ বাছে, তারপর Plato প্রস্থ $2\delta$ বাছে যাতে graph box-এর পাশ দিয়ে বেরোয় — তবেই $|f(x)-L|<\varepsilon$।

Limit-এর নিয়ম: $a_n\to L$, $b_n\to M$ হলে $a_n+b_n\to L+M$, $a_n b_n\to LM$, $a_n/b_n\to L/M$ ($M\ne0$)। function-এও একই। আর অতি-দরকারি:

সূত্র: Squeeze Theorem (চিমটি উপপাদ্য)

$a$-এর কাছে যদি $f(x)\le g(x)\le h(x)$ এবং $f(x)\to L$, $h(x)\to L$, তবে $g(x)\to L$-ও।

(এই উপপাদ্যই $\dfrac{\sin h}{h}\to1$ প্রমাণ করেছিল।)

Continuity (ধারাবাহিকতা)¶

limit-এ $x$ শুধু $a$-এর দিকে যেত, $a$ ছুঁত না — তাই $f(a)$ উপেক্ষিত ছিল। continuity (ধারাবাহিকতা)-তে সেই $f(a)$-ই মুখ্য। তিনটা শর্ত:

সংজ্ঞা: Continuity (ধারাবাহিকতা)

$f$ $x=a$-তে continuous যদি —

$f(a)$ সংজ্ঞায়িত (function $a$-তে আছে),
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ অস্তিত্বশীল (একে $L$ বলি),
আর সেই limit $=f(a)$।

সংক্ষেপে: $f(x)\to f(a)$ যখন $x\to a$। প্রতিটি সংজ্ঞায়িত বিন্দুতে এটা ঘটলে $f$ একটা continuous function।

চারটা অ-continuous উদাহরণ ($x=0$-তে): (১) removable (অপসারণযোগ্য) — শুধু $f(0)$-এর মান ভুল, ঠিক করলেই চলে; (২) step function — $0$ থেকে $1$-এ লাফ (jump), বাঁ-limit $0$, ডান-limit $1$, দুই-পাশের limit নেই; (৩) $1/x^2$ — $x\to0$-তে অসীম (pole/মেরু); (৪) $\sin(1/x)$ — অসীম দোলন।

Four types of discontinuity at x equals zero

চিত্র ২৮: $x=0$-তে চার ধরনের discontinuity — removable (অপসারণযোগ্য), jump (লাফ/step), pole (অসীম মেরু $1/x^2$), আর অসীম দোলন ($\sin(1/x)$)।

Continuous বনাম continuable: $(\sin x)/x$-কে $f(0)=1$ দিলে সব $x$-এ continuous করা যায় — একে বলি continuable (সম্প্রসারণযোগ্য)। $\sqrt x$-ও তাই। কিন্তু $1/x$ বা $\tan x$ continuable নয় (মেরু সরানো যায় না)। উদাহরণ: polynomial, $\sin x$, $\cos x$ সব জায়গায় continuous; $|x|$ continuous (কিন্তু ঢালে লাফ); rational function $P(x)/Q(x)$ continuous যেখানে $Q\ne0$।

Differentiable ⟹ Continuous (কিন্তু উল্টোটা নয়):

সূত্র: derivative থাকলে continuity বাধ্যতামূলক

যে বিন্দুতে $f$-এর derivative আছে, সেখানে $f$ অবশ্যই continuous। কিন্তু $f$ continuous হয়েও derivative নাও থাকতে পারে।

প্রমাণ: $\Delta f=(\Delta x)\cdot\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$-এর limit $=(0)\cdot\dfrac{df}{dx}=0$, তাই $f(x+\Delta x)-f(x)\to0$ — অর্থাৎ continuous। $\square$

উল্টো দিক মিথ্যা: $|x|$ $x=0$-তে continuous কিন্তু derivative নেই (ঢালে লাফ); $x^{1/3}$ continuous কিন্তু $x=0$-তে ঢাল অসীম। continuity মানে "$\Delta f\to0$" (হয়তো ধীরে), derivative মানে "$\Delta f$ $\Delta x$-এর মতোই দ্রুত শূন্যে যায়" — শেষটা কড়া শর্ত।

দুটো মূল ধর্ম (বন্ধ ব্যবধানে): বন্ধ ব্যবধান $[a,b]$-তে continuous $f$-এর — (১) Extreme Value Property: সর্বোচ্চ মান $M$ ও সর্বনিম্ন মান $m$ কোথাও ঠিকঠাক পৌঁছায়; (২) Intermediate Value Property: $f(a)$ ও $f(b)$-এর মাঝের যেকোনো মান $F$-এর জন্য এমন বিন্দু $c$ আছে যেখানে $f(c)=F$। এই দুই ধর্ম Chapter 3-এর max-min ও Newton's method-এর ভিত্তি।

৩. সংজ্ঞা ও সূত্র (Definitions & Rules)¶

সংজ্ঞা: derivative (অন্তরজ)

function $f$-এর $x$ বিন্দুতে derivative হলো গড় পরিবর্তনের হারের limit:

\[f'(x)=\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},\]

যদি এই limit অস্তিত্বশীল হয় (সামনে ও পেছন — দুই দিক থেকেই একই মান)। জ্যামিতিকভাবে এটা $\big(x,f(x)\big)$ বিন্দুতে tangent line-এর ঢাল।

সূত্র: মৌলিক derivative তালিকা

\[\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\quad(\text{any real } n),\qquad \frac{d}{dx}(c)=0,\]

\[\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x.\]

সূত্র: Power Rule-এর derivation (সারসংক্ষেপ)

$(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+(h^2 \text{ and higher powers})$। তাই

\[\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+(\text{terms with }h)\xrightarrow{\,h\to0\,}nx^{n-1}.\qquad\square\]

সূত্র: Product Rule ও তার derivation

\[\big(uv\big)'=u\,v'+v\,u'.\]

$u(x+h)v(x+h)-uv=u(x+h)\big[v(x+h)-v\big]+v\big[u(x+h)-u\big]$; $h$ দিয়ে ভাগ করে $h\to0$ নিলে $u v'+v u'$। $\square$

সূত্র: Reciprocal ও Quotient Rule-এর derivation

$v\cdot\dfrac1v=1$-এ derivative: $v\left(\dfrac1v\right)'+\dfrac{v'}{v}=0\Rightarrow\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$। এবার $\dfrac{u}{v}=u\cdot\dfrac1v$-তে product rule:

\[\left(\frac{u}{v}\right)'=u'\cdot\frac1v+u\cdot\left(-\frac{v'}{v^2}\right)=\frac{vu'-uv'}{v^2}.\qquad\square\]

সূত্র: $\sin x$-এর derivative-এর derivation

\[\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\,\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\,\frac{\sin h}{h}.\]

$\dfrac{\cos h-1}{h}\to0$ ও $\dfrac{\sin h}{h}\to1$ (দুটোই squeeze theorem থেকে), তাই $(\sin x)'=\cos x$। $\square$

সংজ্ঞা: continuity ও differentiability

Continuous at $x$: $f(x+\Delta x)-f(x)\to0$ যখন $\Delta x\to0$।
Differentiable at $x$: $\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\to f'(x)$ যখন $\Delta x\to0$।

Differentiable হলে অবশ্যই continuous; উল্টোটা সবসময় নয়।

৪. উদাহরণ ও Analogy¶

উদাহরণ ১ ($x^n$ — power rule): $f(x)=x^7$। সরাসরি সূত্র: $f'(x)=7x^{6}$। আর $f''(x)=7\cdot6\,x^5=42x^5$। ঋণাত্মক ঘাত: $g(x)=x^{-3}=1/x^3$, তাই $g'(x)=-3x^{-4}=-3/x^4$।

উদাহরণ ২ (polynomial — linearity): $f(x)=6x^3+\tfrac12x^2-9$।

\[f'(x)=6\cdot3x^2+\tfrac12\cdot2x-0=18x^2+x.\]

ধ্রুব $-9$ হারিয়ে গেল (ঢালে ধ্রুবের প্রভাব নেই)।

উদাহরণ ৩ ($\sqrt x$ — ভগ্নাংশ ঘাত): $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$।

\[f'(x)=\tfrac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}.\]

$x=25$-এ ঢাল $\dfrac{1}{2\cdot5}=\dfrac{1}{10}$।

উদাহরণ ৪ ($\sin x$, tangent line): $y=\sin x$-এর $x=0$-তে ঢাল $\cos0=1$, বিন্দু $(0,0)$। tangent line $y=x$। এজন্যই ছোট কোণে $\sin x\approx x$ (রেডিয়ানে)।

উদাহরণ ৫ (product rule): $f(x)=x\sin x$। $u=x$ ($u'=1$), $v=\sin x$ ($v'=\cos x$):

\[f'(x)=x\cos x+\sin x\cdot1=x\cos x+\sin x.\]

উদাহরণ ৬ (quotient rule): $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$। $u=\sin x$, $v=x$:

\[f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.\]

উদাহরণ ৭ (power rule, function-এর ঘাত): $f(x)=(x^2+1)^8$। ভেতরের $u=x^2+1$, $u'=2x$:

\[f'(x)=8(x^2+1)^7\cdot2x=16x(x^2+1)^7.\]

উদাহরণ ৮ (secant → tangent সংখ্যায়): $f(x)=x^2$, $x=1$-এ। $\Delta x=0.1$: $\dfrac{f(1.1)-f(1)}{0.1}=\dfrac{1.21-1}{0.1}=2.1$। $\Delta x=0.01$: $2.01$। $\Delta x=0.001$: $2.001$। স্পষ্ট limit $2=f'(1)$।

Analogy: গাড়ির স্পিডোমিটার

derivative = স্পিডোমিটারের কাঁটা। ওডোমিটার (দূরত্ব) $f(t)$ শুধু বলে মোট কত পথ গেছ — অতীতের গড়। কিন্তু স্পিডোমিটার বলে এই মুহূর্তে কত জোরে চলছ — সেটাই তাৎক্ষণিক derivative $f'(t)$।

গড় বেগ ($\Delta f/\Delta t$) = দুই মাইলফলকের দূরত্ব ভাগ সময়। স্পিডোমিটার (তাৎক্ষণিক) = সেই দুই মাইলফলককে একসাথে ঠেসে ($\Delta t\to0$) আনার সীমা।

positive derivative = সামনে এগোচ্ছ; negative = পিছোচ্ছ (reverse); zero = থেমে আছ।
second derivative = অ্যাক্সিলারেটর/ব্রেক: বেগ কত দ্রুত বদলাচ্ছে (ত্বরণ)। $y''=-y$ মানে "যত দূরে সরবে তত জোরে টেনে ফেরানো হবে" — দোলনার মতো।
কোণ (corner) = আকস্মিক ঝাঁকুনি: সেখানে স্পিডোমিটার একটা নির্দিষ্ট মান দেখায় না (বাঁ-ডান আলাদা) — derivative নেই।

৫. Python-এ করো¶

দুইভাবে derivative বের করে মিলিয়ে দেখব: symbolic (sympy দিয়ে হুবহু সূত্র) আর numerical (numpy দিয়ে limit-সংজ্ঞার finite difference)। তারপর $f$ ও $f'$ একসাথে আঁকব।

(sympy না থাকলে bash-এ: pip install sympy --break-system-packages)

import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------- ১) sympy দিয়ে symbolic derivative (হুবহু সূত্র) ----------
x = sp.symbols('x')
f_expr = x**3 - 2*x + sp.sin(x)          # যেকোনো function নাও
f_prime = sp.diff(f_expr, x)             # অন্তরজ বের করো
print("f(x)  =", f_expr)                 # x**3 - 2*x + sin(x)
print("f'(x) =", f_prime)                # 3*x**2 - 2 + cos(x)

# power rule যাচাই: d/dx x^n = n x^(n-1)
n = sp.symbols('n')
print("d/dx x^n =", sp.diff(x**n, x))    # n*x**(n - 1)

# product rule যাচাই: d/dx (x·sin x)
print("d/dx (x sin x) =", sp.diff(x*sp.sin(x), x))   # x*cos(x) + sin(x)

# ---------- ২) numpy দিয়ে numerical derivative (finite difference) ----------
# limit সংজ্ঞা:  f'(x) ≈ [f(x+h) − f(x)] / h   (ছোট h)
f  = sp.lambdify(x, f_expr,  'numpy')    # sympy expression → দ্রুত সংখ্যা-function
fp = sp.lambdify(x, f_prime, 'numpy')

def num_deriv(func, x0, h=1e-6):
    # forward difference — Δf/Δx
    return (func(x0 + h) - func(x0)) / h

def num_deriv_centered(func, x0, h=1e-5):
    # centered difference — বেশি নিখুঁত: [f(x+h) − f(x−h)] / (2h)
    return (func(x0 + h) - func(x0 - h)) / (2*h)

x0 = 1.3
print("\nx0 =", x0)
print("সংখ্যাসূচক (forward) :", num_deriv(f, x0))
print("সংখ্যাসূচক (centered):", num_deriv_centered(f, x0))
print("সঠিক (sympy)        :", float(fp(x0)))

# ---------- ৩) secant ঢাল → tangent ঢাল (Δx ছোট হলে limit) ----------
print("\nΔx ছোট করলে Δf/Δx কীভাবে f'(x0)-তে পৌঁছায়:")
for h in [1.0, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001]:
    print(f"  Δx={h:<6} Δf/Δx = {num_deriv(f, x0, h):.6f}")
print("  → সীমা (সঠিক f') =", float(fp(x0)))

# ---------- ৪) f ও f' একসাথে আঁকো ----------
xs = np.linspace(-3, 3, 400)
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(xs, f(xs),  lw=2.5, label="f(x)")
plt.plot(xs, fp(xs), '--', lw=2, label="f'(x) — ঢাল")
plt.axhline(0, color='k', lw=0.6); plt.axvline(0, color='k', lw=0.6)
plt.title("function ও তার অন্তরজ (derivative)")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("y")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

কী দেখলাম: symbolic derivative ($3x^2-2+\cos x$) আর numerical finite difference প্রায় হুবহু মেলে — এটাই limit-সংজ্ঞার সংখ্যাসূচক রূপ। $\Delta x$ ছোট করতে করতে $\Delta f/\Delta x$ ঠিক $f'(x_0)$-তে পৌঁছায় (secant → tangent)। আর plot-এ দেখা যায়: $f$ যেখানে বাড়ছে সেখানে $f'>0$, চূড়া/তলায় $f'=0$, কমার জায়গায় $f'<0$।

সতর্কতা: $h$ খুব ছোট নিলেও সমস্যা

finite difference-এ $h$ ছোট করলে নিখুঁততা বাড়ে — কিন্তু $h$ অতি-ছোট ($10^{-12}$) নিলে floating-point round-off বেড়ে ফল খারাপ হয়। তাই forward difference-এ $h\approx10^{-6}$ আর centered difference-এ $h\approx10^{-5}$ ভালো আপস। centered difference বেশি নিখুঁত কারণ তার ত্রুটি $h^2$-এর সমানুপাতিক (forward-এর $h$-এর তুলনায়)।

৬. সাধারণ ভুল¶

$\Delta x=0$ খুব তাড়াতাড়ি বসানো। ভাগ করার আগে $\Delta x=0$ বসালে $\tfrac00$ — অর্থহীন। আগে বীজগণিতে $\Delta x$ কাটো (common factor), তারপর limit নাও।
$(uv)'=u'v'$ ভাবা। গুণফলের derivative $u'v'$ নয়, বরং $uv'+vu'$ — দুই পদ। যেমন $(x\cdot x)'=x^2$-এর ঢাল $2x$, কিন্তু $1\cdot1=1$ ভুল।
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'}{v'}$ ভাবা। ভাগফলের derivative $\dfrac{u'}{v'}$ নয়, বরং $\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$। হরের $v^2$ ভুললে চলবে না, আর লবের ক্রম ($vu'-uv'$, উল্টো নয়) মনে রাখো।
$(u^2)'=(u')^2$ ভাবা। square rule বলে $(u^2)'=2u\,u'$ — ঢালকে বর্গ করা হয় না। যেমন $(\sin^2x)'=2\sin x\cos x$, $(\cos x)^2$ নয়।
ধ্রুবের derivative ভুলে যাওয়া। যেকোনো ধ্রুবের derivative $0$ (graph শুধু ওপর-নিচ সরে, ঢাল বদলায় না)। তাই $f$ ও $f+7$-এর derivative একই।
কোণ বা লাফে derivative আছে ধরে নেওয়া। $|x|$ বা step function-এর কোণ/লাফের বিন্দুতে derivative নেই (বাঁ ও ডান ঢাল আলাদা)। continuous হলেই differentiable — এটা ভুল।
ডিগ্রিতে $\sin$-এর derivative $\cos$ ভাবা। $(\sin x)'=\cos x$ শুধু রেডিয়ানে সত্য। ডিগ্রিতে হলে একটা $\pi/180$ গুণক আসে, কারণ $\dfrac{\sin h}{h}\to1$ কেবল রেডিয়ানে।
$\tfrac00$ মানেই "সীমা নেই" ভাবা। $\dfrac{\sin h}{h}$ বা $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ আকারে $\tfrac00$ দেখালেও সীমা থাকতে পারে ($1$, বা $f'$)। $\tfrac00$ শুধু বলে "আরও কাজ বাকি" — উপর ও নিচ কে দ্রুত শূন্যে যায় সেটাই আসল।
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$-কে $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2$ ভাবা। second derivative মানে derivative-এর derivative, ঢালের বর্গ নয়। $y=5x+3$-এর $y''=0$, কিন্তু $(y')^2=25$।
$dy/dx$-এ $d$ কাটাকুটি করা। $\dfrac{dy}{dx}$ একটা একক চিহ্ন (limit), সাধারণ ভগ্নাংশ নয় — $d$ বা $\Delta$ কাটা যায় না।

৭. এক্সারসাইজ¶

সহজ থেকে কঠিন — ১০টা। কলম-কাগজে চেষ্টা করো, তারপর নিচের সমাধান মেলাও।

Power rule দিয়ে derivative বের করো: (ক) $x^6$ (খ) $x^{-2}$ (গ) $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$।
Linearity দিয়ে: $f(x)=3x^2+7x+5$-এর $f'(x)$ কত? তারপর $f''(x)$?
limit-সংজ্ঞা সরাসরি ব্যবহার করে $f(x)=x^2$-এর derivative বের করো (ধাপে ধাপে $\Delta x$ কাটো)।
$y=x^3-2$ curve-এর $x=2$ বিন্দুতে tangent line-এর সমীকরণ লেখো (point-slope form)।
Product rule: $f(x)=x^2\sin x$-এর $f'(x)$ কত?
Quotient rule: $f(x)=\dfrac{x}{\cos x}$-এর $f'(x)$ কত?
Power rule (function-এর ঘাত): $f(x)=(3x+1)^5$-এর $f'(x)$ কত?
limit-সংজ্ঞা দিয়ে দেখাও $f(x)=1/x$-এর derivative $-1/x^2$।
$\dfrac{\sin h}{h}\to1$ ব্যবহার করে বের করো: $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\sin 5h}{h}$।
Continuity: $f(x)=\begin{cases}cx & x\le1\\ x+2 & x>1\end{cases}$ — $c$-এর কোন মানে $f$ $x=1$-তে continuous? সেই $c$-তে কি $f$ differentiable?

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)¶

১-নং সমাধান দেখাও

Power rule $\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$:

(ক) $\dfrac{d}{dx}x^6=6x^{5}$।
(খ) $\dfrac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}$।
(গ) $\dfrac{d}{dx}x^{1/3}=\tfrac13x^{1/3-1}=\tfrac13x^{-2/3}=\dfrac{1}{3\,x^{2/3}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$।

২-নং সমাধান দেখাও

Linearity (প্রতি পদ আলাদা, ধ্রুব $\to0$):

\[f'(x)=3\cdot2x+7\cdot1+0=6x+7.\]

আবার derivative নিলে:

\[f''(x)=6.\]

(দ্বিতীয় derivative ধ্রুব — কারণ $f$ একটা quadratic, তার ঢাল রৈখিক, ঢালের ঢাল ধ্রুব।)

৩-নং সমাধান দেখাও

সংজ্ঞা: $\dfrac{df}{dx}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}$। লব খুলি:

\[(x+\Delta x)^2-x^2=x^2+2x\,\Delta x+(\Delta x)^2-x^2=2x\,\Delta x+(\Delta x)^2.\]

$\Delta x$ দিয়ে ভাগ (এখন করা যায়, কারণ $\Delta x\ne0$):

\[\frac{2x\,\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=2x+\Delta x.\]

এবার $\Delta x\to0$:

\[\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}(2x+\Delta x)=2x.\qquad\square\]

৪-নং সমাধান দেখাও

$y=x^3-2$। ঢাল $\dfrac{dy}{dx}=3x^2$, তাই $x=2$-এ ঢাল $m=3\cdot4=12$। উচ্চতা $y=2^3-2=6$, বিন্দু $(2,6)$। Point-slope form:

\[y-6=12(x-2),\]

যা সরল করে $y=12x-18$।

৫-নং সমাধান দেখাও

Product rule $(uv)'=uv'+vu'$ দিয়ে, $u=x^2$ ($u'=2x$), $v=\sin x$ ($v'=\cos x$):

\[f'(x)=x^2\cos x+\sin x\cdot2x=x^2\cos x+2x\sin x.\]

৬-নং সমাধান দেখাও

Quotient rule $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$ দিয়ে, $u=x$ ($u'=1$), $v=\cos x$ ($v'=-\sin x$):

\[f'(x)=\frac{\cos x\cdot1-x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}=\frac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}.\]

৭-নং সমাধান দেখাও

Power rule (function-এর ঘাত) $(u^n)'=nu^{n-1}u'$ দিয়ে, $u=3x+1$ ($u'=3$), $n=5$:

\[f'(x)=5(3x+1)^{4}\cdot3=15(3x+1)^4.\]

(বাড়তি $u'=3$ গুণটা ভুললে চলবে না — এটাই chain-rule-এর বীজ, যা 9.4-এ পুরোপুরি আসবে।)

৮-নং সমাধান দেখাও

$f(x)=\dfrac1x$। সংজ্ঞা:

\[\Delta f=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac1x=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=\frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}.\]

$\Delta x$ দিয়ে ভাগ:

\[\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{-1}{x(x+\Delta x)}.\]

এবার $\Delta x\to0$:

\[\frac{df}{dx}=\frac{-1}{x\cdot x}=-\frac{1}{x^2}.\qquad\square\]

৯-নং সমাধান দেখাও

লব-হরকে $5$ দিয়ে সাজাই যাতে $\dfrac{\sin(\,\cdot\,)}{(\,\cdot\,)}$ রূপ আসে:

\[\frac{\sin 5h}{h}=5\cdot\frac{\sin 5h}{5h}.\]

$h\to0$ হলে $5h\to0$, তাই $\dfrac{\sin 5h}{5h}\to1$। অতএব

\[\lim_{h\to0}\frac{\sin 5h}{h}=5\cdot1=5.\]

১০-নং সমাধান দেখাও

Continuity ($x=1$-তে): বাঁ-দিক ($x\le1$) দেয় $f(1)=c\cdot1=c$; ডান-দিকের limit ($x\to1^+$) দেয় $1+2=3$। মিলতে হবে:

\[c=3.\]

তাই $c=3$-এ $f$ continuous।

Differentiable? বাঁ-দিকের ঢাল $\dfrac{d}{dx}(cx)=c=3$; ডান-দিকের ঢাল $\dfrac{d}{dx}(x+2)=1$। $3\ne1$ — দুই দিকের ঢাল আলাদা, তাই $x=1$-তে একটা কোণ (corner) আছে। function continuous হলেও differentiable নয়। (এটাই "continuous ⟹ differentiable নয়"-এর উদাহরণ।)

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist¶

এক-নজরে:

derivative = tangent-এর ঢাল = তাৎক্ষণিক হার, সংজ্ঞা $\dfrac{df}{dx}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$। কৌশল: আগে $\Delta x$ কাটো, পরে $\Delta x\to0$।
Power rule: $x^n\to nx^{n-1}$ (ঋণাত্মক ও ভগ্নাংশ ঘাতেও)। Linearity: পদে পদে, ধ্রুব-গুণ বাইরে, ধ্রুবের derivative $0$।
Tangent line: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$; normal ঢাল $-1/f'(a)$। secant → tangent ($c\to a$)।
Trig: $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\tan x)'=\sec^2x$ — মূল দুই limit $\tfrac{\sin h}{h}\to1$, $\tfrac{\cos h-1}{h}\to0$ (squeeze) থেকে।
পাঁচ নিয়ম: product $uv'+vu'$, reciprocal $-v'/v^2$, quotient $\tfrac{vu'-uv'}{v^2}$, power $nu^{n-1}u'$।
Second derivative = ঢালের ঢাল = ত্বরণ; $y''>0$ concave up, $y''<0$ concave down; $y''=-y$ দোলন।
Limit ($\varepsilon$–$\delta$), squeeze theorem, continuity (তিন শর্ত), differentiable ⟹ continuous (উল্টোটা নয়)।

Checklist — নিজেকে যাচাই করো:

[ ] limit-সংজ্ঞা থেকে $x^2$ ও $1/x$-এর derivative ধাপে ধাপে বের করতে পারি।
[ ] Power rule যেকোনো ঘাতে (পূর্ণ/ঋণাত্মক/ভগ্নাংশ) প্রয়োগ করতে পারি।
[ ] polynomial-এর derivative ও second derivative বের করতে পারি (linearity + ধ্রুব $\to0$)।
[ ] tangent ও normal line-এর সমীকরণ লিখতে পারি।
[ ] secant-এর ঢাল কীভাবে tangent-এর ঢালে পৌঁছায় ব্যাখ্যা করতে পারি।
[ ] $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$-এর derivative জানি ও $\tfrac{\sin h}{h}\to1$-এর squeeze-প্রমাণ বলতে পারি।
[ ] product, quotient, reciprocal ও power rule সঠিকভাবে প্রয়োগ করতে পারি (সাধারণ ভুলগুলো এড়িয়ে)।
[ ] second derivative ও concavity-র সম্পর্ক বুঝি।
[ ] limit-এর $\varepsilon$–$\delta$ ধারণা ও squeeze theorem বলতে পারি।
[ ] continuity-র তিন শর্ত ও "differentiable ⟹ continuous" (কিন্তু উল্টো নয়) বুঝি।
[ ] Python-এ sympy (symbolic) ও numpy (finite difference) দিয়ে derivative মিলিয়ে দেখতে পারি।

➡️ পরের অধ্যায়: 9.3 — Applications of the Derivative — max–min, graph, Newton's method।