9.9 — Polar Coordinates ও Complex Numbers (পোলার স্থানাঙ্ক ও জটিল সংখ্যা)

এই অধ্যায়ে কী শিখব: এতদিন প্রতিটা বিন্দুকে \(x,y\) দিয়ে চিনেছি। এবার শিখব দ্বিতীয় এক ভাষা — polar coordinates (পোলার স্থানাঙ্ক) \(r,\theta\) — যেখানে বিন্দুকে চেনানো হয় "কতদূর" (\(r\)) আর "কোন দিকে" (\(\theta\)) দিয়ে। সেতুবন্ধন \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\) লাইন-ধরে-ধরে; উল্টো দিকে \(r=\sqrt{x^2+y^2},\ \tan\theta=y/x\)। তারপর polar equation \(r=F(\theta)\) থেকে জন্ম নেওয়া সুন্দর সব curve — circle \(r=\cos\theta\), cardioid (কার্ডিওয়েড / হৃদয়-রেখা) \(r=1+\cos\theta\), rose (গোলাপ-রেখা) \(r=\cos 2\theta\), limaçon, spiral (সর্পিল), আর conic section-দের চমৎকার polar রূপ \(r=A/(1+e\cos\theta)\)। এরপর এই curve-দের ওপর calculus: wedge (কীলক)-এর ধারণা দিয়ে ক্ষেত্রফল \(\frac12\int r^2\,d\theta\), ঢাল \(dy/dx=(dy/d\theta)/(dx/d\theta)\), আর দৈর্ঘ্য \(\int\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta\)। শেষ অংশে complex number (জটিল সংখ্যা) \(x+iy\) — যেখানে \(i^2=-1\) — তার যোগ-গুণ-ভাগ, complex conjugate (জটিল অনুবন্ধী), modulus (মডুলাস) \(r\), complex plane, আর সব সৌন্দর্যের মুকুট Euler's formula \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) এবং De Moivre's formula \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\) — যা দিয়ে আমরা \(1\)-এর ঘনমূল বের করব আর differential equation সমাধান করব।

উৎস (source): Calculus — Gilbert Strang (MIT)।

---

১. কেন শিখব? (Motivation)

কল্পনা করো তুমি একজন flight controller (উড়ান-নিয়ন্ত্রক), radar-এর পর্দায় হঠাৎ একটা প্লেন ভেসে উঠল। তুমি কীভাবে তার অবস্থান বলবে? "\(x\) বরাবর ৩৭ কিলোমিটার, \(y\) বরাবর ২৮ কিলোমিটার" — এভাবে কেউ বলে না। তুমি বলবে: "কোন দিকে" (একটা কোণ) আর "কতদূর" (একটা দূরত্ব)। এই দুটো সংখ্যা — দিক \(\theta\) আর দূরত্ব \(r\) — ই হলো ওই বিন্দুর polar coordinates। এটাই মানুষের সবচেয়ে স্বাভাবিক অবস্থান-বর্ণনা: origin থেকে সোজা তাকাও, কত ঘুরতে হবে আর কত হাঁটতে হবে।

কেন এই নতুন ভাষা এত দরকারি, তিনটে কারণ:

১) বৃত্ত ও ঘূর্ণন যেখানে, polar সেখানে রাজা। \(xy\)-জগতে বৃত্তের সমীকরণ \(y=\pm\sqrt{1-x^2}\) — কুৎসিত, ভাঙা, দুই টুকরো। polar-এ সেই একই বৃত্ত মাত্র \(r=1\) — কোণ \(\theta\) সমীকরণে আসেই না! গ্রহের কক্ষপথ, ঘূর্ণায়মান যন্ত্র, তরঙ্গ, antenna-র বিকিরণ — যেখানেই কেন্দ্র থেকে ঘোরার গল্প, সেখানেই polar coordinates জিনিসটাকে সরল করে দেয়।

২) নতুন এক চিড়িয়াখানা ভরা সুন্দর curve। একটামাত্র নিয়ম \(r=F(\theta)\) থেকে জন্ম নেয় হৃদয়-আকৃতির cardioid, পাপড়ি-মেলা rose, শামুক-আকৃতির limaçon, অসীমে ছুটে যাওয়া spiral। এদের \(xy\)-সমীকরণ প্রায়ই ভয়ংকর (cardioid-এর সমীকরণ ষষ্ঠ ঘাতের!), অথচ polar-এ এক লাইন। এই curve-রা কেবল সুন্দর নয় — মঙ্গলগ্রহকে পৃথিবী থেকে দেখলে সে আকাশে একটা limaçon আঁকে, আর তোমার হৃদপিণ্ডের বৈদ্যুতিক ভেক্টর প্রায় একটা cardioid আঁকে।

৩) Complex number আর polar coordinate আসলে একই মুদ্রার দুই পিঠ। এটাই অধ্যায়ের গোপন রত্ন। \(x^2+1=0\)-এর কোনো বাস্তব সমাধান নেই, তাই মানুষ একটা নতুন সংখ্যা \(i\) (যেখানে \(i^2=-1\)) মেনে নিল। তখনই প্রতিটা \(n\)-ঘাতের বহুপদীর ঠিক \(n\)টা মূল পাওয়া গেল। আশ্চর্যের ব্যাপার: জটিল সংখ্যা \(x+iy\)-কে complex plane-এ বসালে তার \(r\) আর \(\theta\) ঠিক polar coordinates! গুণ করলে কোণ যোগ হয়, বর্গ করলে কোণ দ্বিগুণ হয় — আর সব এসে মেশে Euler's formula \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)-তে, যাকে গণিতের সবচেয়ে সুন্দর সূত্র বলা হয়।

মূল স্বজ্ঞা

• polar = দিক + দূরত্ব। \(\theta\) বলে কোন দিকে, \(r\) বলে কতদূর। সেতু: \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\)।
• \(r\) হলো origin থেকে দূরত্ব, আর \(r\)-ই complex number-এর modulus \(\lvert x+iy\rvert=\sqrt{x^2+y^2}\) — একই জিনিস।
• একটা বিন্দুর অনেক নাম। \(\theta\)-তে \(2\pi\) যোগ করলে একই বিন্দু; \(\theta\)-তে \(\pi\) যোগ আর \(r\)-এর চিহ্ন উল্টে দিলেও একই বিন্দু। তাই polar coordinate অনন্য নয়।
• polar curve মানে \(r=F(\theta)\) — একটা নিয়ম, কোণ ঘোরাও আর সেই দূরত্বে বিন্দু বসাও।
• ক্ষেত্রফল = কীলকের যোগফল। সরু wedge প্রায় একটা pie-এর টুকরো, তার ক্ষেত্রফল \(\frac12 r^2\,d\theta\)।
• Euler-মন্ত্র: \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) — একক-বৃত্তের ওপর \(\theta\) কোণের বিন্দু। গুণ করা মানে কোণ যোগ করা।

---

২. মূল ধারণা (Core idea)

২.১ Polar coordinates: দিক আর দূরত্ব দিয়ে বিন্দু চেনা (9.1)

এতদিন বিন্দুকে চিনিয়েছি তার rectangular coordinates (আয়তকার স্থানাঙ্ক) \(x,y\) দিয়ে — ডানে কত, ওপরে কত। polar coordinates-এ আমরা দুটো ভিন্ন সংখ্যা দিই: একটা কোণ \(\theta\) (horizontal অক্ষ থেকে মাপা) আর একটা ধনাত্মক দূরত্ব \(r\) (origin থেকে বিন্দু পর্যন্ত)। উড়ান-নিয়ন্ত্রক ডিগ্রি পছন্দ করেন, গণিতবিদ radian; আমরা radian ব্যবহার করব।

চিত্র ১: Figure 9.1 (Strang) — polar coordinates \(r,\theta\) আর rectangular coordinates \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)। ডান-কোণী ত্রিভুজের অতিভুজ \(r\), কোণ \(\theta\), ভূমি \(x\), উচ্চতা \(y\)।

এই অধ্যায়ের সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত দুটো সূত্র সরাসরি ওই ডান-কোণী ত্রিভুজ থেকে আসে। অতিভুজ \(r\), কোণ \(\theta\); তাহলে ত্রিকোণমিতির সংজ্ঞা মতেই ভূমি \(x=r\cos\theta\) আর উচ্চতা \(y=r\sin\theta\):

\[x = r\cos\theta \qquad\text{and}\qquad y = r\sin\theta.\]

চিত্র ২: (নিজের আঁকা) সেই ত্রিভুজটাই বড় করে — নীল অতিভুজ \(r\), সবুজ ভূমি \(x=r\cos\theta\), লাল উচ্চতা \(y=r\sin\theta\), কমলা কোণ \(\theta\)। এই এক ছবিতেই polar\(\leftrightarrow\)Cartesian-এর গোটা সেতু।

এক দিকে যাওয়া (polar → Cartesian) খুব সহজ। যেমন \(r=2,\ \theta=\pi/6\) বিন্দুর জন্য:

\[x = 2\cos\frac{\pi}{6} = 2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3, \qquad y = 2\sin\frac{\pi}{6} = 2\cdot\frac12 = 1.\]

তাই polar \((2,\pi/6)\) মানে Cartesian \((\sqrt3,\,1)\)।

উল্টো দিকে যাওয়া (Cartesian → polar) একটু কম সুন্দর। Pythagoras থেকে সবসময় \(x^2+y^2=r^2\), তাই

\[r=\sqrt{x^2+y^2} \qquad\text{and}\qquad \tan\theta=\frac{y}{x}, \qquad \theta \approx \tan^{-1}\frac{y}{x}.\]

উপরের উদাহরণে \((\sqrt3)^2+(1)^2=3+1=4=2^2\) — মিলে যায়। কিন্তু "\(\approx\)" (প্রায়) লিখতে হলো, কারণ \(\tan^{-1}\) পুরো গল্প বলে না। কেন? দুটো কারণ:

• \(\theta\)-তে \(2\pi\) যোগ-বিয়োগ করলে একই দিক। \(-\pi/4\) (মানে \(-45^\circ\)) আর \(7\pi/4\) (মানে \(315^\circ\)) — একই দিক নির্দেশ করে, একই বিন্দু।
• \(\theta\)-তে \(\pi\) (মানে \(180^\circ\)) যোগ করলে \(\tan\theta\) বদলায় না। বিন্দু \((1,-1)\) আর বিন্দু \((-1,1)\) — দুটোরই \(\tan\theta=-1\), কিন্তু এরা সম্পূর্ণ বিপরীত দিকে! তাই \(\tan^{-1}\)-এর ফল দেখে quadrant (চতুর্ভাগ) মিলিয়ে নিতে হয়: \(x<0\) হলে \(\tan^{-1}\)-এর সঙ্গে \(\pi\) যোগ করো।

আরও একটা মোচড়: negative \(r\)। বিন্দুর অবস্থান বলার সময় আমরা সবসময় \(r\ge 0\) রাখব। কিন্তু graph আঁকার সময় \(r<0\) মানা হয়: negative \(r\) বিন্দুটাকে \(\theta\)-দিক বরাবর পেছনে নিয়ে যায় (অর্থাৎ \(\theta+\pi\) দিকে সমান দূরত্ব)। ছোট্ট নিয়ম মনে রাখো: \((r,\theta)\) আর \((-r,\theta+\pi)\) সবসময় একই বিন্দু।

২.২ Polar equations ও graphs: \(r=F(\theta)\) থেকে জন্ম নেওয়া curve (9.2)

Chapters 1–8-এর ভিত্তি ছিল \(y=f(x)\)। এই অধ্যায়ের চাবিকাঠি \(r=F(\theta)\) — polar coordinate দুটোর মধ্যে একটা সম্পর্ক। এই সমীকরণ মেনে চলা সব বিন্দু মিলে একটা polar graph তৈরি করে।

সবচেয়ে সরল আর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ polar equation হলো \(r=1\): কোণ \(\theta\) সমীকরণে নেই-ই, তাই সব দিকে দূরত্ব \(1\) — এটা origin-কেন্দ্রিক unit circle (একক বৃত্ত)। এর সঙ্গে জোড়া হলো \(\theta=\text{constant}\), যা origin থেকে বেরোনো একটা রশ্মি (রেখা)। মজার কথা: বৃত্তগুলো রশ্মিগুলোর সঙ্গে সবসময় লম্ব — একে বলে orthogonal coordinates (লম্ব-স্থানাঙ্ক)।

এবার একটু চমকপ্রদ একটা উদাহরণ: \(r=\cos\theta\) একটা বৃত্ত দেয় — কিন্তু origin-কেন্দ্রিক নয়, সরানো বৃত্ত। কেন? \(\theta=0,30^\circ,60^\circ,\dots\)-এ \(r=\cos\theta\) দূরত্বে বিন্দু বসিয়ে জোড়া দিলে দেখা যায় ব্যাসার্ধ \(\tfrac12\), কেন্দ্র \((\tfrac12,0)\)-তে একটা বৃত্ত। প্রমাণটা §৩-এ করব (\(r\) দিয়ে গুণ করার কৌশলে)। একটা সতর্কতা: \(\theta=0\) থেকে \(\pi\) পর্যন্তই পুরো বৃত্ত পাওয়া যায়; \(\theta\) যখন \(\pi/2\) পেরোয় তখন \(\cos\theta\) ঋণাত্মক হয়ে বিন্দু পেছনে চলে যায়, আর \(\theta\)-কে \(2\pi\) পর্যন্ত টানলে বৃত্তটা দুবার আঁকা হয়ে যায় — এই তথ্যটা ক্ষেত্রফল হিসাবে ভীষণ জরুরি হবে।

চিত্র ৩: Figure 9.2 (Strang) — বৃত্ত \(r=\cos\theta\) (কেন্দ্র \((\tfrac12,0)\), ব্যাসার্ধ \(\tfrac12\)), আর \(x,y\)-তে রূপান্তর; পাশে বৃত্ত \(r=\sin\theta\)।

আরও কিছু সুন্দর polar curve, যাদের §৪-এ বিশদে দেখব:

• Four-petal rose (চার-পাপড়ি গোলাপ) \(r=\cos 2\theta\) — চারটে পাপড়ি, তিন রকম প্রতিসাম্য।
• Spiral of Archimedes (আর্কিমিদিসের সর্পিল) \(r=\theta\) — periodic নয়, প্রতি পাকে \(2\pi\) করে বাইরে সরে যায়।
• Cardioid \(r=1+\cos\theta\) — হৃদয়-আকৃতি, origin-এ একটা cusp (তীক্ষ্ণ কোণ)।
• Limaçon \(r=1+b\cos\theta\) — \(b\) বাড়লে টোল পড়ে, তারপর ভেতরে একটা loop গজায়।

চিত্র ৪: Strang, page 427 — parametric সমীকরণ থেকে আঁকা একটা মসৃণ curve (hypocycloid ধরনের)। একই বিন্দুকে \(r,\theta\) বা parameter \(t\) — দুভাবেই বর্ণনা করা যায়; graph এক থাকে।

আর গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ curve-রা — ellipse, parabola, hyperbola — polar-এ এক সূত্রে ধরা দেয়: \(r=A/(1+e\cos\theta)\), যেখানে \(e\) হলো eccentricity (উৎকেন্দ্রিকতা)। এই একটা সূত্রেই সূর্যকে focus-এ রেখে সব গ্রহের কক্ষপথ ধরা পড়ে — §৪-এ দেখব।

২.৩ Polar curve-এর slope, length, area: এবার calculus (9.3)

আগের দুটো ভাগে কোনো calculus ছিল না — শুধু স্থানাঙ্ক আর graph। এবার সেই curve-দের ওপর তিনটে ধ্রুপদী প্রশ্ন: ভেতরের ক্ষেত্রফল (integral calculus), একটা বিন্দুতে ঢাল (differential calculus), আর curve-এর দৈর্ঘ্য।

মূল ধারণাটা ক্ষেত্রফলের, আর সেটা লুকিয়ে আছে wedge (কীলক)-এ। \(\theta\) আর \(\theta+d\theta\) কোণের মাঝে curve-এর ভেতরের সরু টুকরোটা প্রায় একটা ত্রিভুজ — আসলে একটা circular sector (বৃত্তকলা), খুব সরু কোণ \(d\theta\)-তে কাটা এক টুকরো pie। পুরো বৃত্তের (\(2\pi\) কোণ, \(\pi r^2\) ক্ষেত্রফল) ভগ্নাংশ হিসেবে এই টুকরোর ক্ষেত্রফল:

\[\text{wedge area} = \frac{d\theta}{2\pi}\cdot \pi r^2 = \frac12 r^2\,d\theta.\]

এই ছোট্ট \(\frac12 r^2\,d\theta\)-ই পুরো ক্ষেত্রফল-সূত্রের বীজ — সব wedge যোগ করে \(d\theta\to 0\) নিলে integral।

চিত্র ৫: Figure 9.6 (Strang) — একটা সরু wedge-এর ক্ষেত্রফল (প্রায় একটা pie-এর টুকরো), একটা বৃত্ত, আর দুই বৃত্তের ছেদ। ভেতরের প্রকৃত ব্যাসার্ধ \(F(\theta)\) একটু বদলায়, কিন্তু সরু কোণে সেই পরিবর্তন নগণ্য।

দৈর্ঘ্যের ধারণাও ছবি থেকেই আসে: একটা ছোট্ট arc-এর দৈর্ঘ্য \(ds\)-এর দুটো লম্ব উপাদান — ব্যাসার্ধ বরাবর \(dr\) আর কোণ বরাবর \(r\,d\theta\) — মিলে Pythagoras: \((ds)^2=(dr)^2+(r\,d\theta)^2\)।

চিত্র ৬: Figure 9.7 (Strang) — ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্য-উপাদানের ত্রিভুজ: \((ds)^2=(dr)^2+(r\,d\theta)^2\)। ব্যাসার্ধ-দিকের ধাপ \(dr\) আর কোণ-দিকের ধাপ \(r\,d\theta\) পরস্পর লম্ব।

ঢালের জন্য একটা সাবধানবাণী: polar curve-এর ঢাল কিন্তু \(dF/d\theta\) নয়। ঢাল বের করতে হয় \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)-তে ফিরে গিয়ে chain rule দিয়ে: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\)। এই তিনটে সূত্রের পূর্ণ derivation §৩-এ।

২.৪ Complex numbers: \(i^2=-1\) থেকে Euler পর্যন্ত (9.4)

বাস্তব সংখ্যা calculus-এর বেশিরভাগ কাজে যথেষ্ট। কিন্তু বহুপদীর মূল (root) খুঁজতে গেলেই সমস্যা: \(x^2+4=0\) বা \(x^3-1=0\)-এর সব সমাধান বাস্তব নয়। \(-4\)-এর দুটো বর্গমূল, \(1\)-এর তিনটে ঘনমূল দরকার। degree \(n\)-এর প্রতিটা বহুপদীর ঠিক \(n\)টা মূল পেতে হলে complex number অনিবার্য।

শুরু imaginary number \(i\) দিয়ে: সবাই জানে \(x^2=-1\)-এর কোনো বাস্তব সমাধান নেই (বাস্তব সংখ্যার বর্গ কখনো ঋণাত্মক হয় না)। তাই পৃথিবী একটা সমাধান মেনে নিল, নাম দিল \(i\) (তড়িৎ-প্রকৌশলীরা বলেন \(j\))। নিয়ম একটাই নতুন: যেখানেই \(i^2\), সেখানেই \(-1\) বসাও। তাহলে \(i\times i=i^2=-1\), অর্থাৎ \(-i\)-ও \(-1\)-এর বর্গমূল — \(x^2+1=0\)-এর দুটো সমাধান \(i\) আর \(-i\)।

একটা complex number হলো একটা বাস্তব আর একটা বিশুদ্ধ-কাল্পনিক অংশের যোগফল, যেমন \(1+3i\)। এর complex conjugate \(1-3i\); আর \(x+iy\)-এর modulus \(r=\lvert x+iy\rvert=\sqrt{x^2+y^2}\)। যোগে অংশ দুটো আলাদা থাকে, গুণে \(i^2=-1\) ব্যবহার হয় — বিশদ §৩-এ।

আসল জাদু: প্রতিটা complex number \(x+iy\)-কে complex plane-এ একটা বিন্দু হিসেবে বসানো যায় — \(x\) ইউনিট real axis বরাবর, \(y\) ইউনিট imaginary axis বরাবর। তখন তার \(r\) আর \(\theta\) ঠিক polar coordinates! আর গুণ করলে কোণ যোগ হয়, বর্গ করলে কোণ দ্বিগুণ — এটাই polar আর complex-এর মিলনস্থল।

চিত্র ৭: Figure 9.8 (Strang) — complex plane-এ \(x,y,r,\theta\)। বাঁয়ে যোগ-বিয়োগ (rectangular \(x,y\) দিয়ে সহজ), ডানে গুণ-ভাগ-বর্গ (polar \(r,\theta\) দিয়ে সহজ)। conjugate \(x-iy\) হলো real axis-এর ওপর প্রতিবিম্ব।

এই দুই ধারার সংগমেই দাঁড়িয়ে আছে অধ্যায়ের শীর্ষ-রত্ন Euler's formula \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) (§৩-এ series থেকে প্রমাণ করব), আর তার শক্তিশালী উত্তরসূরি De Moivre's formula। এদের দিয়ে \(1\)-এর ঘনমূল বের করব (§৪), আর শেষে differential equation সমাধান করব — যেখানে polar coordinate আর complex number দুই-ই একসঙ্গে কাজে লাগবে (§৪, §৫)।

---

৩. সংজ্ঞা ও সূত্র

এই ভাগে চারটে সেকশনের মূল সংজ্ঞা ও সূত্র একজায়গায়, প্রতিটা derivation লাইন-ধরে।

৩.১ Polar \(\leftrightarrow\) Cartesian রূপান্তর

সংজ্ঞা: polar ও rectangular স্থানাঙ্ক

বিন্দু \(P\)-এর polar coordinates \((r,\theta)\): \(r=\) origin থেকে দূরত্ব (\(r\ge 0\)), \(\theta=\) ধনাত্মক \(x\)-অক্ষ থেকে মাপা কোণ। সেতু-সূত্র:

\[x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.\]

উল্টো সূত্র:

\[r = \sqrt{x^2+y^2}, \qquad \tan\theta = \frac{y}{x} \quad(x\ne 0).\]

\(\theta\) বের করতে quadrant মেলাও: \(x>0\) হলে \(\theta=\tan^{-1}(y/x)\); \(x<0\) হলে \(\theta=\tan^{-1}(y/x)+\pi\)।

অ-অনন্যতা (non-uniqueness): একই বিন্দুর অনেক polar নাম — \((r,\theta),\ (r,\theta+2\pi),\ (-r,\theta+\pi)\) সব একই বিন্দু। বিন্দুর অবস্থান বলতে \(r\ge0\) রাখি; graph আঁকতে \(r<0\) চলে।

৩.২ বৃত্ত \(r=\cos\theta\): \(r\) দিয়ে গুণ করার কৌশল

কেন \(r=\cos\theta\) একটা বৃত্ত? সবচেয়ে সরাসরি পদ্ধতি — দুই পাশে \(r\) দিয়ে গুণ করে \(x,y\)-তে রূপান্তর:

\[r=\cos\theta \;\Longrightarrow\; r^2 = r\cos\theta \;\Longrightarrow\; x^2+y^2 = x.\]

মাঝের ধাপে \(r^2=x^2+y^2\) আর \(r\cos\theta=x\) বসিয়েছি। ডান পাশের \(x^2+y^2=x\)-কে বর্গ-পূরণ (completing the square) করি:

\[x^2 - x + y^2 = 0 \;\Longrightarrow\; \left(x-\tfrac12\right)^2 + y^2 = \left(\tfrac12\right)^2.\]

এটা কেন্দ্র \((\tfrac12,0)\), ব্যাসার্ধ \(\tfrac12\)-এর বৃত্ত। \(\square\)

আরেক দৃষ্টিতে (parametric): \(x\) আর \(y\)-কে আলাদাভাবে \(\theta\)-এর ফাংশন লিখি:

\[x = r\cos\theta = \cos^2\theta, \qquad y = r\sin\theta = \sin\theta\cos\theta.\]

এগুলো polar নয়, parametric equation — parameter \(\theta\)। বর্গ করে যোগ করলে আবার \(x^2+y^2=x\) ফিরে পাওয়া যায়।

৩.৩ Polar curve-এর ক্ষেত্রফল: \(\frac12\int r^2\,d\theta\)

সূত্র 9B: polar ক্ষেত্রফল

\(r=F(\theta)\) curve-এর ভেতরের ক্ষেত্রফল সব wedge \(\frac12 r^2\,d\theta\)-এর সীমা:

\[\text{area} = \int \frac12 r^2\,d\theta = \int \frac12\,[F(\theta)]^2\,d\theta.\]

সতর্কতা ১ — দুবার ঘোরা: বৃত্ত \(r=\cos\theta\) (ব্যাসার্ধ \(\tfrac12\))-এর ক্ষেত্রফল। ভুল করে \(0\) থেকে \(2\pi\) integral করলে:

\[\int_0^{2\pi}\frac12\cos^2\theta\,d\theta = \frac12\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin\theta\cos\theta}{2}\right]_0^{2\pi} = \frac{\pi}{2}.\]

এটা ভুল! সঠিক ক্ষেত্রফল \(\pi(\tfrac12)^2=\pi/4\)। কারণ \(\theta\) \(0\to 2\pi\)-তে বৃত্তটা দুবার আঁকা হয়। ঠিক উত্তর পেতে \(0\) থেকে \(\pi\):

\[\int_0^{\pi}\frac12\cos^2\theta\,d\theta = \frac12\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin\theta\cos\theta}{2}\right]_0^{\pi} = \frac12\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}. \qquad\checkmark\]

সতর্কতা ২ — কাটা wedge: দুই curve \(r_1\) (বাইরে) আর \(r_2\) (ভেতরে)-এর মাঝের ক্ষেত্রফল প্রতি wedge-এ \(\frac12(r_1^2-r_2^2)\) — অর্থাৎ বর্গের বিয়োগ, \(\frac12(r_1-r_2)^2\) নয়।

\[\text{area between} = \int \frac12\left(r_1^2 - r_2^2\right)d\theta.\]

৩.৪ Polar curve-এর ঢাল ও দৈর্ঘ্য

ঢাল। \(x=F(\theta)\cos\theta,\ y=F(\theta)\sin\theta\) ধরে chain rule:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{F'(\theta)\sin\theta + F(\theta)\cos\theta}{F'(\theta)\cos\theta - F(\theta)\sin\theta}.\]

এই কৌশলের সৌন্দর্য: \(\theta\)-কে বিলোপ করে \(y\)-কে \(x\)-এর ফাংশন বানানোর ঝক্কি লাগে না — \(x,y\) দুটোকেই \(\theta\)-এর ফাংশন রেখে দিই।

দৈর্ঘ্য। সবসময়ের শুরু \(ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\)। product rule-এ \(dx,dy\) বের করে, বর্গ করে যোগ করলে (\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) ব্যবহার করে) সরল হয়ে যায়:

\[ds = \sqrt{[F'(\theta)]^2 + [F(\theta)]^2}\;d\theta = \sqrt{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 + r^2}\;d\theta.\]

মোট চাপ-দৈর্ঘ্য (arc length) \(=\int ds\)।

৩.৫ Complex number-এর গণিত

সংজ্ঞা 9C: complex number, conjugate, modulus

complex number \(z=x+iy\): real part \(x\), imaginary part \(y\), যেখানে \(i^2=-1\)। complex conjugate \(\bar z = x-iy\) (imaginary অংশের চিহ্ন উল্টানো)। গুণফল \(z\bar z = (x+iy)(x-iy) = x^2+y^2 = r^2\) — সবসময় বাস্তব। modulus (absolute value) \(r=\lvert z\rvert = \sqrt{x^2+y^2}\)।

যোগ অংশ আলাদা রাখে; গুণ FOIL করে \(i^2=-1\) বসায়:

\[(1+3i)+(1+3i) = 2+6i, \qquad (1+3i)(1+3i) = 1+3i+3i+9i^2 = -8+6i.\]

conjugate-এর সঙ্গে যোগ বা গুণ করলে উত্তর বাস্তব:

\[(1+3i)+(1-3i) = 2, \qquad (1+3i)(1-3i) = 1 - 9i^2 = 10.\]

এই তথ্যই ভাগের চাবিকাঠি — হর-কে বাস্তব বানাতে conjugate দিয়ে গুণ:

\[\frac{1}{1+3i} = \frac{1}{1+3i}\cdot\frac{1-3i}{1-3i} = \frac{1-3i}{10}, \qquad \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}.\]

৩.৬ Polar রূপ, De Moivre ও Euler's formula

complex plane-এ \(z=x+iy\)-এর \(r,\theta\) ঠিক polar coordinates, তাই

\[x+iy = r\cos\theta + i\,r\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta).\]

সূত্র 9D: গুণ মানে কোণ যোগ

complex number গুণ করলে modulus গুণ হয়, কোণ যোগ হয়; বর্গ করলে modulus বর্গ, কোণ দ্বিগুণ:

\[\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^2 = r^2(\cos 2\theta + i\sin 2\theta).\]

কেন কোণ দ্বিগুণ? \(r^2\) বার করে সরাসরি গুণ করি:

\[(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta+i\sin\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta = \cos 2\theta + i\sin 2\theta,\]

কারণ ডান পাশ ঠিক double-angle সূত্র। \(n\) ঘাতে গেলে পাই De Moivre's formula:

\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.\]

এবার শীর্ষবিন্দু — Euler's formula:

\[\boxed{\,e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\,}\]

Series থেকে প্রমাণ। \(e^x\)-এর series-এ \(x\to i\theta\) বসাই। মনে রাখো \(i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\dots\):

\[e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \cdots\]

এবার বাস্তব আর কাল্পনিক অংশ আলাদা করি:

\[e^{i\theta} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{=\,\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{=\,\sin\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. \qquad\square\]

Euler থেকে তিনটে অমর ফল সঙ্গে সঙ্গে বেরোয়:

\[e^{i\theta}e^{i\phi} = e^{i(\theta+\phi)} \quad(\text{angle addition}), \qquad e^{2\pi i} = 1, \qquad e^{i\pi} = -1.\]

শেষটা — \(e^{i\pi}+1=0\) — পাঁচটা মৌলিক ধ্রুবক \(e,i,\pi,1,0\)-কে এক সুতোয় গাঁথে। আর প্রতিটা complex number-এর তৃতীয় (সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত) রূপ:

\[x+iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}.\]

চিত্র ৮: (নিজের আঁকা) বাঁয়ে — Euler's formula: একক-বৃত্তে \(\theta\) কোণের বিন্দু \(e^{i\theta}\), তার real অভিক্ষেপ \(\cos\theta\) (লাল) আর imaginary অভিক্ষেপ \(\sin\theta\) (সবুজ)। ডানে — \(x^3=1\)-এর তিনটে ঘনমূল, একক-বৃত্তে \(120^\circ\) ব্যবধানে সমদূরত্বে, একটা সমবাহু ত্রিভুজ গড়ে।

---

৪. উদাহরণ ও Analogy

উদাহরণ ১ — Cardioid \(r=1+\cos\theta\): হৃদয়-রেখা

\(30^\circ\) ব্যবধানে \(r=1+\cos\theta\) বসিয়ে জোড়া দাও। \(\cos\theta\) কখনো \(-1\)-এর নিচে যায় না, তাই \(r\) কখনো ঋণাত্মক নয়। ফলে origin-এ একটা cusp সহ একটা হৃদয়-আকৃতি — নাম cardioid (গ্রিক kardia = হৃদয়)। মজার তথ্য: তোমার হৃদপিণ্ডের বৈদ্যুতিক ভেক্টর প্রায় একটা cardioid আঁকে (electrocardiogram)।

চিত্র ৯: Figure 9.4 (Strang) — cardioid \(r=1+\cos\theta\)। origin-এ cusp, ডান দিকে \(\theta=0\)-তে \(r=2\) (সবচেয়ে দূর)।

উদাহরণ ২ — Limaçon \(r=1+b\cos\theta\) ও মঙ্গলগ্রহ

\(r=1+b\cos\theta\)-এ \(b\) বাড়ালে cardioid (\(b=1\)) থেকে ভেতরে একটা loop গজায় (\(b>1\))। Limaçon ফরাসি শব্দ, মানে শামুক। বিস্ময়কর প্রয়োগ: পৃথিবী থেকে দেখা মঙ্গলগ্রহ। দুই গ্রহই সূর্যকে ঘেরে; মঙ্গল প্রায় দেড় গুণ দূরে, কক্ষপথ শেষ করে দুই পৃথিবী-বছরে। পৃথিবীর সাপেক্ষে মঙ্গলের অবস্থান বিয়োগ করলে সমীকরণ দাঁড়ায় \(r=3-4\cos t\) ধরনের — একটা loop-ওয়ালা limaçon। তাই আকাশে মঙ্গল একটা লুপ আঁকে (retrograde motion)।

চিত্র ১০: Figure 9.4 (Strang) — নানা limaçon \(r=1+b\cos\theta\): \(b\) বাড়লে টোল, তারপর ভেতরে loop; ডানে পৃথিবী থেকে দেখা মঙ্গলের loop-পথ।

উদাহরণ ৩ — Conic sections: \(r=A/(1+e\cos\theta)\)

এক সূত্রে তিন conic — eccentricity \(e\) ঠিক করে দেয় কোনটা:

\(e\)-এর মান	curve	চেনার উপায়
\(e=0\)	circle (বৃত্ত)	\(r=A\) ধ্রুবক
\(0<e<1\)	ellipse (উপবৃত্ত)	বদ্ধ, ডিম্বাকৃতি
\(e=1\)	parabola (পরাবৃত্ত)	খোলা, এক দিকে অসীম
\(e>1\)	hyperbola (পরাবৃত্ত-জোড়া)	দুই শাখা

\(e=1\) ধরে দেখি: \(r=1/(1+\cos\theta)\) মানে \(r+r\cos\theta=1\), অর্থাৎ \(r=1-x\)। দুই পাশ বর্গ করি:

\[x^2+y^2 = (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 \;\Longrightarrow\; y^2 = 1 - 2x.\]

\(x^2\) কাটাকাটি — বাকি থাকে parabola \(y^2=1-2x\)। focus origin-এ। এই polar রূপই সূর্য-গ্রহ ব্যবস্থার সঙ্গে নিখুঁত মেলে: সূর্য থাকে focus-এ, কেন্দ্রে নয়।

চিত্র ১১: Figure 9.5 (Strang) — \(r=1/(1+e\cos\theta)\): \(e=\tfrac12\)-এ ellipse, \(e=1\)-এ parabola, \(e=2\)-এ hyperbola। প্রতিটার directrix রেখা \(d\) দেখানো; সব বিন্দুতে \(\lvert PF\rvert = e\,\lvert Pd\rvert\)।

উদাহরণ ৪ — Cardioid-এর সর্বোচ্চ বিন্দু ও ঢাল (calculus প্রয়োগ)

cardioid \(r=1+\cos\theta\)-এর সবচেয়ে উঁচু বিন্দু কোথায়? \(y=(1+\cos\theta)\sin\theta\)-এর derivative শূন্য বসাই:

\[\frac{dy}{d\theta} = (1+\cos\theta)\cos\theta + (-\sin\theta)\sin\theta = \cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos\theta + \cos 2\theta = 0.\]

এটা \(\theta=60^\circ\)-এ শূন্য (\(\cos 60^\circ=\tfrac12,\ \cos120^\circ=-\tfrac12\))। উচ্চতা \(y=(1+\tfrac12)(\tfrac{\sqrt3}{2})=\tfrac{3\sqrt3}{4}\)।

\(\theta=\pi/4\)-এ ঢাল: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\) হিসাব করলে \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{1+\sqrt2}\)।

উদাহরণ ৫ — Cardioid-এর দৈর্ঘ্য ঠিক \(8\)

symmetry-তে \(0\) থেকে \(\pi\) integral-এর দ্বিগুণ। \(dr/d\theta=-\sin\theta\):

\[\text{length} = 2\int_0^{\pi}\sqrt{(-\sin\theta)^2 + (1+\cos\theta)^2}\;d\theta = 2\int_0^{\pi}\sqrt{2+2\cos\theta}\;d\theta.\]

মূল-চিহ্নের ভেতরে \(2+2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac{\theta}{2}\) বসাই:

\[= 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta = 4\left[2\sin\frac{\theta}{2}\right]_0^{\pi} = 4\cdot 2\cdot 1 = 8. \qquad\square\]

উদাহরণ ৬ — \(1\)-এর ঘনমূল (complex root)

\(x^3=1\)-এর তিন মূল। polar-এ \(x=re^{i\theta}\) ধরলে \(r^3e^{3i\theta}=1\), তাই \(r=1\) আর \(3\theta = 2\pi, 4\pi, 6\pi\), অর্থাৎ \(\theta=\tfrac{2\pi}{3}, \tfrac{4\pi}{3}, 2\pi\):

\[x = e^{2\pi i/3},\quad e^{4\pi i/3},\quad 1.\]

তিনটে মূল একক-বৃত্তে \(120^\circ\) ব্যবধানে সমদূরত্বে (চিত্র ৮-এর ডান দিক)। সাধারণভাবে, \(1\)-এর \(n\)টা মূল \(e^{2\pi ik/n}\ (k=0,1,\dots,n-1)\) — সবাই একক-বৃত্তে \(2\pi/n\) ব্যবধানে।

Analogy — ঘড়ির কাঁটা। complex number-কে ঘড়ির কাঁটা ভাবো: \(r\) কাঁটার দৈর্ঘ্য, \(\theta\) কাঁটার কোণ। গুণ করা মানে দুই কাঁটার দৈর্ঘ্য গুণ আর কোণ যোগ — অর্থাৎ ঘোরানো। \(i\) দিয়ে গুণ মানে ঠিক \(90^\circ\) ঘোরানো (দৈর্ঘ্য একই)। তাই \(i\) দিয়ে চারবার গুণ = \(360^\circ\) = আবার শুরুর জায়গায় (\(i^4=1\))। \(n\)-তম মূল বের করা মানে \(360^\circ\)-কে সমান \(n\) ভাগে ভাগ করা — তাই মূলগুলো সবসময় বৃত্তে সমদূরত্বে বসে।

উদাহরণ ৭ — Differential equation: polar+complex একসঙ্গে

মূল কৌশল: \(y=e^{ct}\) বসাও, \(c\)-এর জন্য সমাধান করো (প্রতিটা derivative একটা \(c\) আনে)। \(\dfrac{d^2y}{dt^2}=-4y\) ধরি:

\[c^2 e^{ct} = -4e^{ct} \;\Longrightarrow\; c^2 = -4 \;\Longrightarrow\; c = \pm 2i.\]

তাই \(y=e^{2it}=\cos 2t + i\sin 2t\)। বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ আলাদা করলে দুটো বাস্তব সমাধান: \(\cos 2t\) আর \(\sin 2t\) — বিশুদ্ধ দোলন।

আরও চমকপ্রদ \(\dfrac{d^3y}{dt^3}=y\): এখানে \(c^3=1\), অর্থাৎ \(1\)-এর ঘনমূল। \(c=1\) দেয় \(y=e^t\)। জটিল মূল \(c=-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}\) দেয়

\[y = e^{ct} = e^{-t/2}\,e^{i\sqrt3\,t/2} = e^{-t/2}\left(\cos\frac{\sqrt3\,t}{2} + i\sin\frac{\sqrt3\,t}{2}\right).\]

\(e^{-t/2}\) ব্যাসার্ধ ছোট করে (spiral in), \(e^{i\sqrt3 t/2}\) একক-বৃত্ত ঘোরায় — তাই \(y\) শূন্যের দিকে সর্পিলাকারে ঢোকে। এটাই (\(r\cos\theta,\ r\sin\theta\)) — polar coordinate আর complex number-এর যুগ্ম-প্রয়োগের চূড়ান্ত রূপ।

চিত্র ১২: Figure 9.10 (Strang) — complex plane-এ সমাধানের পথ: \(y''=-4y\) (বৃত্তে দোলন), \(y'''=y\) (শূন্যে সর্পিলাকারে), \(y''''=y\)। বাস্তব অংশ ঋণাত্মক হলে সমাধান শূন্যের দিকে গোটায়।

উদাহরণ ৮ — \(1\)-এর আটটা মূল (\(w=e^{i\pi/4}\))

\(w=e^{i\pi/4}=\tfrac{1}{\sqrt2}+\tfrac{i}{\sqrt2}\), \(r^2=\tfrac12+\tfrac12=1\)। কেবল কোণ দেখো:

\[w^2 = e^{i\pi/2} = i, \qquad w^4 = e^{i\pi} = -1, \qquad w^8 = e^{2\pi i} = 1.\]

\(w\)-এর আটটা ঘাত মিলে \(1\)-এর আটটা মূল — একক-বৃত্তে \(45^\circ\) ব্যবধানে।

চিত্র ১৩: Figure 9.9 (Strang) — \(w=e^{i\pi/4}\)-এর আটটা ঘাত (১-এর আটটা মূল, \(45^\circ\) ব্যবধানে), আর পাশে \(1\)-এর তিনটে ঘনমূল (\(120^\circ\) ব্যবধানে)।

---

৫. Python-এ করো

দুটো ছোট স্ক্রিপ্ট: প্রথমটা matplotlib-এ polar plot (cardioid ও rose), দ্বিতীয়টা numpy-তে complex arithmetic, Euler যাচাই আর \(1\)-এর মূল।

# --- Polar plot: cardioid r = 1 + cos(theta) ও rose r = cos(2*theta) ---
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)   # কোণ ০ থেকে ২π, ১০০০ ধাপে
r_cardioid = 1 + np.cos(theta)          # cardioid-এর নিয়ম r = F(theta)
r_rose     = np.cos(2*theta)            # চার-পাপড়ি গোলাপ

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, subplot_kw={'projection': 'polar'},
                               figsize=(10, 5))

ax1.plot(theta, r_cardioid, color='crimson', lw=2)   # polar অক্ষে সরাসরি (theta, r)
ax1.set_title("Cardioid: r = 1 + cos θ")

ax2.plot(theta, r_rose, color='green', lw=2)
ax2.set_title("Rose: r = cos 2θ (4 petals)")

plt.tight_layout()
plt.savefig("polar_curves.png", dpi=150)   # ছবি সেভ করি
print("polar plot saved")

# --- Complex numbers: numpy-তে গণিত, Euler যাচাই, ১-এর মূল ---
import numpy as np

z = 1 + 3j          # Python-এ কাল্পনিক একক 'j' (i-এর বদলে)
w = 5 - 1j

print("যোগফল      :", z + w)              # (6+2j)
print("গুণফল      :", z * w)              # (8+14j)  -- FOIL, i^2 = -1
print("conjugate  :", np.conj(z))         # (1-3j)
print("modulus r  :", abs(z))             # sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(10)
print("কোণ theta  :", np.angle(z))        # radian-এ কোণ

# Euler যাচাই: e^{i*theta} == cos(theta) + i*sin(theta) ?
theta = np.pi/4
lhs = np.exp(1j*theta)                     # বাঁ পাশ  e^{i theta}
rhs = np.cos(theta) + 1j*np.sin(theta)     # ডান পাশ
print("Euler মেলে?:", np.allclose(lhs, rhs))   # True

# বিখ্যাত পরিচয়: e^{i*pi} + 1 = 0  (প্রায় শূন্য, floating-point ত্রুটি বাদে)
print("e^{i*pi}+1 :", np.exp(1j*np.pi) + 1)    # ~ 0

# ১-এর n-তম মূল: e^{2*pi*i*k/n},  k = 0..n-1
n = 3
roots = np.exp(2j*np.pi*np.arange(n)/n)   # তিনটে ঘনমূল
for k, root in enumerate(roots):
    print(f"root {k}: {root:.3f},  root^3 = {root**3:.3f}")  # প্রতিটার ঘন = 1

দ্বিতীয় স্ক্রিপ্টের আউটপুটে দেখবে প্রতিটা ঘনমূলের ঘন করলেই \(1\) ফিরে আসছে, আর Euler মেলে?: True — অর্থাৎ \(e^{i\theta}\) আর \(\cos\theta+i\sin\theta\) সংখ্যায় হুবহু এক।

---

৬. সাধারণ ভুল

এই ফাঁদগুলো এড়িয়ে চলো

• দুবার ঘোরা / multiple loop। \(r=\cos\theta\)-এর ক্ষেত্রফল \(0\to 2\pi\) নিলে দ্বিগুণ ভুল আসে — বৃত্তটা দুবার আঁকা হয়। সঠিক range (\(0\to\pi\)) খুঁজে তবেই integral করো।
• \(\theta=\tan^{-1}(y/x)\)-এর quadrant। ক্যালকুলেটরের \(\tan^{-1}\) শুধু \((-\pi/2,\pi/2)\) দেয়। \(x<0\) হলে \(\pi\) যোগ করো, নইলে বিপরীত দিকের ভুল বিন্দু পাবে। মনে রাখো \((1,-1)\) আর \((-1,1)\) দুটোরই \(\tan\theta=-1\)।
• কাটা wedge-এ ভুল সূত্র। দুই curve-এর মাঝের ক্ষেত্রফল \(\frac12(r_1^2-r_2^2)\) — বর্গের বিয়োগ। \(\frac12(r_1-r_2)^2\) লেখা মস্ত ভুল।
• \(dF/d\theta\)-কে ঢাল ভাবা। polar curve-এর ঢাল \(dF/d\theta\) নয়; ঢাল \(=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\), যেখানে \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)।
• \(i^2\) ভুলে যাওয়া। গুণে FOIL করার সময় \(i^2=-1\) বসাতে ভুলো না: \((1+3i)^2 = 1+6i+9i^2 = -8+6i\), ভুল করে \(1+6i+9=10+6i\) নয়।
• De Moivre সরাসরি লাগানো। \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\) শুধু ওই বিশেষ রূপেই খাটে। \(a+bi\) থাকলে আগে \(re^{i\theta}\)-তে রূপান্তর করো।
• radian বনাম degree। \(e^{i\theta}\), series, ক্ষেত্রফল, দৈর্ঘ্য — সব জায়গায় \(\theta\) radian-এ। degree বসালে সব ভুল।
• এক বর্গমূল ধরে বসে থাকা। \(-4\)-এর বর্গমূল দুটো (\(2i\) ও \(-2i\)), \(1\)-এর ঘনমূল তিনটে। degree \(n\)-এর সমীকরণে \(n\)টা মূল খোঁজো।

---

৭. এক্সারসাইজ

1. polar \((r,\theta)=\left(2,\tfrac{2\pi}{3}\right)\)-কে Cartesian \((x,y)\)-তে রূপান্তর করো।
2. Cartesian \((x,y)=(-1,1)\)-কে polar \((r,\theta)\)-তে রূপান্তর করো, যেখানে \(r\ge0\) ও \(0\le\theta<2\pi\)।
3. \(r=4\cos\theta\)-কে \(xy\)-সমীকরণে রূপান্তর করে বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ বের করো।
4. rose \(r=\cos 2\theta\)-এর একটা পাপড়ির ভেতরের ক্ষেত্রফল বের করো।
5. cardioid \(r=1+\cos\theta\) আর বৃত্ত \(r=1\)-এর মাঝের ক্ষেত্রফল বের করো।
6. বৃত্ত \(r=\cos\theta\)-এর দৈর্ঘ্য বের করো (integral দিয়ে যাচাই করো)।
7. হিসাব করো \((1+3i)(5-i)\) আর \(\dfrac{1}{2+i}\)।
8. \(1+i\sqrt3\)-কে polar/Euler রূপ \(re^{i\theta}\)-তে লেখো, তারপর De Moivre দিয়ে \((1+i\sqrt3)^3\) বের করো।
9. \(\dfrac{d^2y}{dt^2}=-9y\) সমীকরণে \(y=e^{ct}\) বসিয়ে \(c\) বের করো, তারপর দুটো বাস্তব সমাধান লেখো।

---

৮. সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

১-নং সমাধান দেখাও

সেতু-সূত্র \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)। এখানে \(r=2,\ \theta=\tfrac{2\pi}{3}=120^\circ\):

\[x = 2\cos\frac{2\pi}{3} = 2\left(-\frac12\right) = -1, \qquad y = 2\sin\frac{2\pi}{3} = 2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3.\]

তাই বিন্দু \((x,y)=(-1,\ \sqrt3)\)। যাচাই: \(x^2+y^2 = 1+3 = 4 = 2^2 = r^2\)। \(\checkmark\)

২-নং সমাধান দেখাও

\(r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2\)। আর \(\tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{-1} = -1\)।

বিন্দু \((-1,1)\) দ্বিতীয় quadrant-এ (\(x<0,\ y>0\)), তাই \(\theta=\tfrac{3\pi}{4}\) (মানে \(135^\circ\)), \(\tfrac{7\pi}{4}\) নয়। ফল: \((r,\theta)=\left(\sqrt2,\ \tfrac{3\pi}{4}\right)\)।

এখানেই quadrant মেলানোর গুরুত্ব: শুধু \(\tan^{-1}(-1)=-\tfrac{\pi}{4}\) নিলে ভুল দিকে (চতুর্থ quadrant-এ) চলে যেতাম।

৩-নং সমাধান দেখাও

দুই পাশে \(r\) দিয়ে গুণ: \(r^2 = 4r\cos\theta\)। এবার \(r^2=x^2+y^2\) আর \(r\cos\theta=x\) বসাই:

\[x^2+y^2 = 4x.\]

বর্গ-পূরণ: \(x^2-4x+y^2=0 \Rightarrow (x-2)^2+y^2 = 4\)। এটা কেন্দ্র \((2,0)\), ব্যাসার্ধ \(2\)-এর বৃত্ত। \(\square\)

৪-নং সমাধান দেখাও

\(r=\cos 2\theta\)-এর ডান দিকের পাপড়িটা \(\theta=-\tfrac{\pi}{4}\) থেকে \(\tfrac{\pi}{4}\) পর্যন্ত (\(r\ge0\))। ক্ষেত্রফল-সূত্র:

\[A = \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac12\cos^2 2\theta\,d\theta.\]

\(\cos^2 2\theta = \dfrac{1+\cos 4\theta}{2}\) বসাই:

\[A = \frac14\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(1+\cos 4\theta)\,d\theta = \frac14\left[\theta + \frac{\sin 4\theta}{4}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac14\left[\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] = \frac{\pi}{8}.\]

(\(\sin(\pm\pi)=0\) বলে ওই পদগুলো মিলিয়ে যায়।) এক পাপড়ির ক্ষেত্রফল \(\dfrac{\pi}{8}\)।

৫-নং সমাধান দেখাও

দুই curve মেলে যেখানে \(1+\cos\theta = 1\), অর্থাৎ \(\cos\theta=0\), তাই \(\theta=\pm\tfrac{\pi}{2}\) — এই দুটোই integration-এর সীমা। বাইরের curve cardioid (\(r_1=1+\cos\theta\)), ভেতরের বৃত্ত (\(r_2=1\))। কাটা-wedge সূত্র:

\[A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac12\left[(1+\cos\theta)^2 - 1^2\right]d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac12\left(2\cos\theta+\cos^2\theta\right)d\theta.\]

দুই টুকরো আলাদা করি। প্রথমটা:

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1-(-1) = 2.\]

দ্বিতীয়টা (\(\cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}\)):

\[\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \frac12\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac12\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.\]

যোগ করে \(A = 2 + \dfrac{\pi}{4}\)।

৬-নং সমাধান দেখাও

দৈর্ঘ্য-সূত্র \(ds=\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta\)। এখানে \(r=\cos\theta,\ dr/d\theta=-\sin\theta\):

\[ds = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}\;d\theta = \sqrt{1}\;d\theta = d\theta.\]

বৃত্তটা \(\theta=0\) থেকে \(\pi\)-তে একবার সম্পূর্ণ হয় (মনে রাখো, \(0\to2\pi\) নিলে দুবার!), তাই

\[\text{length} = \int_0^{\pi} d\theta = \pi.\]

যাচাই: এটা ব্যাসার্ধ \(\tfrac12\)-এর বৃত্ত, পরিধি \(2\pi\cdot\tfrac12 = \pi\)। \(\checkmark\)

৭-নং সমাধান দেখাও

গুণ (FOIL, \(i^2=-1\)):

\[(1+3i)(5-i) = 5 - i + 15i - 3i^2 = 5 + 14i + 3 = 8 + 14i.\]

ভাগ (conjugate দিয়ে হর বাস্তব করা):

\[\frac{1}{2+i} = \frac{1}{2+i}\cdot\frac{2-i}{2-i} = \frac{2-i}{4 - i^2} = \frac{2-i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i.\]

৮-নং সমাধান দেখাও

polar রূপ: \(r=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{4}=2\); \(\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{1}=\sqrt3\), প্রথম quadrant, তাই \(\theta=\tfrac{\pi}{3}\)। সুতরাং

\[1+i\sqrt3 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}.\]

De Moivre দিয়ে ঘন:

\[(1+i\sqrt3)^3 = \left(2e^{i\pi/3}\right)^3 = 2^3 e^{i\pi} = 8(\cos\pi + i\sin\pi) = 8(-1) = -8.\]

সরাসরি যাচাই: \((1+i\sqrt3)^2 = 1+2i\sqrt3-3 = -2+2i\sqrt3\); একে \((1+i\sqrt3)\) দিয়ে গুণ করলে \(-2-2i\sqrt3+2i\sqrt3-6 = -8\)। \(\checkmark\)

৯-নং সমাধান দেখাও

\(y=e^{ct}\) বসাই। প্রতিটা derivative একটা \(c\) আনে, তাই \(y''=c^2 e^{ct}\):

\[c^2 e^{ct} = -9e^{ct} \;\Longrightarrow\; c^2 = -9 \;\Longrightarrow\; c = \pm 3i.\]

তাই \(y = e^{3it} = \cos 3t + i\sin 3t\)। বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ নিলে দুটো বাস্তব সমাধান:

\[y_{\text{real}} = \cos 3t, \qquad y_{\text{imag}} = \sin 3t.\]

এগুলো বিশুদ্ধ দোলন — যাচাই: \(\dfrac{d^2}{dt^2}\cos 3t = -9\cos 3t\)। \(\checkmark\)

---

৯. সারসংক্ষেপ ও Checklist

এই অধ্যায়ে আমরা দুটো ভাষা শিখলাম যারা আসলে এক — polar coordinates আর complex numbers — আর তাদের ওপর calculus চালালাম।

• রূপান্তর: \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\); উল্টো দিকে \(r=\sqrt{x^2+y^2},\ \tan\theta=y/x\) (quadrant মেলাও)।
• Polar curve \(r=F(\theta)\): এক নিয়ম থেকে circle (\(r=\cos\theta\)), cardioid (\(1+\cos\theta\)), rose (\(\cos2\theta\)), limaçon, spiral, আর conic (\(r=A/(1+e\cos\theta)\))।
• ক্ষেত্রফল: \(\displaystyle\int\frac12 r^2\,d\theta\); কাটা-wedge \(\frac12(r_1^2-r_2^2)\); সঠিক \(\theta\)-range নাও (দুবার ঘোরা এড়াও)।
• ঢাল ও দৈর্ঘ্য: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\); \(ds=\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta\)।
• Complex: \(z=x+iy\), \(i^2=-1\), conjugate \(\bar z=x-iy\), modulus \(r=\lvert z\rvert\); ভাগ করতে conjugate দিয়ে গুণ।
• Polar রূপ ও Euler: \(z=re^{i\theta}\); \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\); De Moivre \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\); \(1\)-এর \(n\) মূল \(e^{2\pi ik/n}\)।
• প্রয়োগ: \(y=e^{ct}\) বসিয়ে differential equation → \(c\)-এর বীজগণিত → বাস্তব ও কাল্পনিক অংশে দোলন/সর্পিল সমাধান।

Checklist — নিজেকে যাচাই করো:

• [ ] যেকোনো বিন্দুকে polar\(\leftrightarrow\)Cartesian রূপান্তর করতে পারি, quadrant মিলিয়ে।
• [ ] \(r=\cos\theta\) কেন বৃত্ত, \(r\) দিয়ে গুণ করে দেখাতে পারি।
• [ ] cardioid, rose, limaçon, conic — polar সমীকরণ থেকে চিনতে পারি।
• [ ] \(\frac12\int r^2\,d\theta\) দিয়ে ক্ষেত্রফল, সঠিক সীমা বেছে; কাটা-wedge-এ বর্গের বিয়োগ।
• [ ] polar curve-এর ঢাল (\(dy/dx\)) ও দৈর্ঘ্য (\(ds\)) বের করতে পারি।
• [ ] complex number যোগ-গুণ-ভাগ, conjugate ও modulus সহ।
• [ ] Euler's formula series থেকে প্রমাণ করতে পারি; \(e^{i\pi}=-1\) বুঝি।
• [ ] De Moivre দিয়ে ঘাত ও মূল বের করি; \(1\)-এর মূল বৃত্তে সমদূরত্বে বসাই।
• [ ] \(y=e^{ct}\) বসিয়ে সরল differential equation সমাধান করি।

---

➡️ পরের অধ্যায়: 9.10 — Infinite Series — এই অধ্যায়ের series-স্বাদ (Euler-এর \(e^{i\theta}\) series) থেকে শুরু করে infinite series-এর পুরো জগৎ: convergence (অভিসারিতা) কী, geometric series \(1+x+x^2+\cdots=\frac{1}{1-x}\), আর সবশেষে Taylor series — যেখানে \(\sin x,\cos x,e^x\) সবাই "অসীম বহুপদী" হয়ে ধরা দেয়।